szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Łomża
Zadanie 1
Znajdź taką najmniejszą liczbę naturalną n, aby liczby n + 1 oraz n – 110 były kwadratem liczb naturalnych.

Zadanie 2
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch dowolnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

Zadanie 3
Wykaż, że liczba \frac{8+8 ^{2}+8 ^{3}+...+8 ^{100} }{9} jest całkowita.

Zadanie 4
Rozwiąż równanie: 4 * 25  ^{2x+1}  + 5 * 625  ^{x+1}  = 129.

Zadanie 5
Wykaż, że \frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{n*(n+1)} = \frac{n}{n+1}

Zadanie 6
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n, liczba \frac{n}{3}  +  \frac{n ^{2} }{2}  +  \frac{n ^{3} }{6} jest całkowita.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 1327
2. już było
(2a+1)^2-(2n+3)^2

zastosuj wzory skróconego mnożenia, zauważysz tę podzielność
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 22:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1852
Lokalizacja: Warszawa
zad 5
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}
Korzystając z tego wzoru możemy porozpisywać kolejne ułamki na różnice dwóch ułamków (jeden ułamek odpowiada jednej różnicy :)).
\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1}- \frac{1}{2}
\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}
...
\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
Korzystając z tych zamian nasza sumę możemy zamienić na:
(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}

[ Dodano: 8 Stycznia 2009, 21:56 ]
zad 1
n+1=a^{2} \\ n-110=b^{2} \\ n+1>n-110 \Rightarrow a^{2}>b^{2} \rightarrow |a|>|b| \rightarrow a>b \hbox{(bo obie są naturalne)} \rightarrow a-b>0 \\
111=(n+1)-(n-110)=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=111\cdot 1=37\cdot 3.
Wiedząc, że a-b>0 \wedge b>0 jedyne wartości jakie może przyjmować a+b to 111 i 37, a a-b 1 i 3. W pierwszym przypadku a=61, b=60, a w drugim a=20, b=17. Parą, dla której "n" jest mniejsze jest a=20, b=17. Wtedy n+1=400, więc n=399.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2009, o 19:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
No to może 3:
\frac{8+8^{2}+8^{3}+...+8^{100}}{9}=
\frac{8^{1} \cdot (1+8)+8^{3} \cdot (1+8)+.....+8^{99} \cdot (1+8)}{9}=
\frac {9 \cdot (8+8^{3}+8^{5}+...+8^{99})}{9}=
8+8^{3}+8^{5}+...+8^{99}

Skorzystałem z tego, że 8^{n}+8^{n+1}=8^{n} \cdot (1+8)


Swistak napisał(a):
W pierwszym przypadku a=61, b=60,


Sprawdźmy:
n+1=a^{2}
n=61^{2}-1=3720

n-110=b^{2}
n=60^{2}+110=3710
NIe są sobie równe

Powinno wyjść a=56 i b=55, ale i tak druga para spełnia założenia.

Pozdrawiam ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2009, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Krk
4.

4 * 25 ^{2x+1} + 5 * 625 ^{x+1} = 129

4 * 25 ^{2x+1} + 5 * 25 ^{2x+2} = 129.

t=25^{2x+1}

4t + 125t = 129.
t=1

1=25^{2x+1}


25^{0}=25{2x+1}

x= - \frac{1}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2009, o 19:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1852
Lokalizacja: Warszawa
Dane wyrażenie możemy zamienić na: \frac{n(n+1)(n+2)}{6}. Widzimy, że w liczniku mamy iloczyn trzech kolejnych liczb. Zatem co najmniej jedna jest podzielna przez 2 i co co najmniej jedna przez 3. 2 i 3 są względnie pierwsze, więc licznik jest podzielny przez 2\cdot 3=6, więc całe wyrażenie jest całkowite.

[ Dodano: 9 Stycznia 2009, 18:33 ]
Artist napisał(a):
Swistak napisał/a:
W pierwszym przypadku a=61, b=60,

...

Powinno wyjść a=56 i b=55, ale i tak druga para spełnia założenia.

Pozdrawiam

Racja, mały błąd obliczeniowy wynikający z pośpiechu :). Rozwiązując to zadanie cały czas po głowie kołatała mi się liczba "121" (może dlatego, że jest kwadratem i jest blisko 111 xD) i z tego wyszło 60 i 61 :).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 działania na ułamkach /niewiadoma/zadania  Anonymous  9
 Proste zadania z wyrażeń algebraicznych  Anonymous  1
 Pierwiastki - zadania.  Keido  4
 [Algebra] Problematyczne zadania  Samuel  5
 Uzasadnij równość - zadania  josefine  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com