szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 882
Udowodnij, ze jeseli liczby a, b, c sa dodatnie, to ...
\sqrt{ \frac{a+b}{c} } +  \sqrt{ \frac{b+c}{a} } +  \sqrt{ \frac{c+a}{b} }   \ge 3 \sqrt{2}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:47 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
\sqrt{ \frac{a+b}{2c} } +  \sqrt{ \frac{b+c}{2a} } +  \sqrt{ \frac{a+c}{2b} }  \ge 3
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.
\sqrt{ \frac{a+b}{2c} }=x,\sqrt{ \frac{b+c}{2a} }=y,\sqrt{ \frac{a+c}{2b} }=z
x+y+z  \ge 3 \sqrt[3]{xyz}
Nie jestem tylko pewny czy ta ostatnia nierówność daje już tezę (jeśli nie to wszystko się sypie :P).
Mógłby ktoś zweryfikować.
Faktycznie zapomniałem trójki (błąd przy pracy TeX-u :P)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 441
Lokalizacja: Małopolska
x+y+z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} =3 \sqrt[3]{  \sqrt{ \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8abc} }  } \ge 3 \sqrt[3]{ \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ab} \cdot 2 \sqrt{bc} \cdot 2 \sqrt{ac}   }{8abc} } } =3
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 882
Cytuj:
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.


A jakiś dowod na to znajdę? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:59 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
marcinn12 napisał(a):
Cytuj:
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.


A jakiś dowod na to znajdę? :P

Dla dowolnej ilości a _{n}?
W wędrówkach po krainie nierówności.
Jeśli tylko dla 3 to gdzieś na forum na pewno jest :D ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8725
Lokalizacja: Łódź
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
skorzytajmy z tego ze:
b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 \Rightarrow    b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n
oczywiscie kazdy wyraz jest to liczba rzeczywista dodatnia.(*)

mamy udowodnic ze:
\frac{a_{1}+ a_{2}+...+ a_{n}}{n} \ge  \sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}
ztame po przeksztalceniu mamy:
\frac{a_{1}+ a_{2}+...+ a_{n}}{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}} \ge n

teraz korzystamy z (*)
nasze wyrazy b to :
b_{1}= \frac{a_{1}}{{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}}}
...
b_{n}= \frac{a_{n}}{{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}}}
iloczyn jest rowny 1 wiec ...mamy nasza nierownosc;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:11 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Nakahed90 napisał(a):
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.

Owszem ;) Ale, jak ktoś nie zna nierówności pomiędzy średnimi to raczej nierówności Jensena też :P

86199.htm
Tutaj jest zgrabny dowodzik dla dowolnego n.

92471.htm

a tu jest to co dokładnie potrzebujesz: trzy liczby nieujemne.

Cytuj:
skorzytajmy z tego ze:
b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 \Rightarrow b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n
oczywiscie kazdy wyraz jest to liczba rzeczywista dodatnia.(*)

Hm.. skąd wiemy, że b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
mozna to udowodnic oczywisicie;]robilem kiedys dowod tego i moge Cie zapewnic ze to jest prawda;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:18 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
miodzio1988 napisał(a):
mozna to udowodnic oczywisicie;]robilem kiedys dowod tego i moge Cie zapewnic ze to jest prawda;]

Wierzę na słowo, spróbuję sam udowodnić, może coś wyjdzie ;D

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 882
smigol napisał(a):
Nakahed90 napisał(a):
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.

Owszem ;) Ale, jak ktoś nie zna nierówności pomiędzy średnimi to raczej nierówności Jensena też :P



To ześ trafił w sedno :) Dzieki przeanalizuje to i jak czegoś nie będę wiedział to będę pytać.


Cytuj:
Hm.. skąd wiemy, że b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n?


Miałem o to samo spytac, jednak poproszę o dowód, jeśli nie jest długi ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2009, o 17:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2617
Lokalizacja: Warszawa
Dla n=2 ładnie się zwija. Teraz założenie indukcyjne b_{1} \cdot b_{2}*\cdot \ldots \cdot b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n, tezę dowodzimy w ten sposób - wiadomo, że wśród b_1,\ldots b_{n+1} istnieje liczba zarówno większa lub równa 1 (niech będzie b_n jak i mniejsza lub równa 1, zatem zachodzi: (b_n-1)(b_{n+1}-1) \le 0 \iff b_n+b_{n+1} \ge 1+b_nb_{n+1}, zauważmy, że n liczb: b_1;b_2;\ldots;b_{n-1};(b_n \cdot  b_{n+1}) spełnia założenie indukcyjne (n liczb i iloczyn = 1), zatem z założenia i z wyprowadzonej nierówności:
b_1 + b_2 + \ldots + b_n + b_{n+1} \ge (b_1 + b_2 + \ldots + b_{n-1} + b_n \cdot b_{n+1}) + 1 \ge n+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa  Tomasz B  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com