szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 879
Udowodnij, ze jeseli liczby a, b, c sa dodatnie, to ...
\sqrt{ \frac{a+b}{c} } +  \sqrt{ \frac{b+c}{a} } +  \sqrt{ \frac{c+a}{b} }   \ge 3 \sqrt{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:47 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
\sqrt{ \frac{a+b}{2c} } +  \sqrt{ \frac{b+c}{2a} } +  \sqrt{ \frac{a+c}{2b} }  \ge 3
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.
\sqrt{ \frac{a+b}{2c} }=x,\sqrt{ \frac{b+c}{2a} }=y,\sqrt{ \frac{a+c}{2b} }=z
x+y+z  \ge 3 \sqrt[3]{xyz}
Nie jestem tylko pewny czy ta ostatnia nierówność daje już tezę (jeśli nie to wszystko się sypie :P).
Mógłby ktoś zweryfikować.
Faktycznie zapomniałem trójki (błąd przy pracy TeX-u :P)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 439
Lokalizacja: Małopolska
x+y+z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} =3 \sqrt[3]{  \sqrt{ \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8abc} }  } \ge 3 \sqrt[3]{ \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ab} \cdot 2 \sqrt{bc} \cdot 2 \sqrt{ac}   }{8abc} } } =3
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 879
Cytuj:
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.


A jakiś dowod na to znajdę? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 21:59 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
marcinn12 napisał(a):
Cytuj:
Średnia arytmetyczna >= średniej geometrycznej.


A jakiś dowod na to znajdę? :P

Dla dowolnej ilości a _{n}?
W wędrówkach po krainie nierówności.
Jeśli tylko dla 3 to gdzieś na forum na pewno jest :D ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 32925
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
skorzytajmy z tego ze:
b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 \Rightarrow    b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n
oczywiscie kazdy wyraz jest to liczba rzeczywista dodatnia.(*)

mamy udowodnic ze:
\frac{a_{1}+ a_{2}+...+ a_{n}}{n} \ge  \sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}
ztame po przeksztalceniu mamy:
\frac{a_{1}+ a_{2}+...+ a_{n}}{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}} \ge n

teraz korzystamy z (*)
nasze wyrazy b to :
b_{1}= \frac{a_{1}}{{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}}}
...
b_{n}= \frac{a_{n}}{{\sqrt[n]{ a_{1}* a_{2}*...* a_{n}}}}
iloczyn jest rowny 1 wiec ...mamy nasza nierownosc;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:11 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Nakahed90 napisał(a):
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.

Owszem ;) Ale, jak ktoś nie zna nierówności pomiędzy średnimi to raczej nierówności Jensena też :P

86199.htm
Tutaj jest zgrabny dowodzik dla dowolnego n.

92471.htm

a tu jest to co dokładnie potrzebujesz: trzy liczby nieujemne.

Cytuj:
skorzytajmy z tego ze:
b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 \Rightarrow b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n
oczywiscie kazdy wyraz jest to liczba rzeczywista dodatnia.(*)

Hm.. skąd wiemy, że b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 32925
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
mozna to udowodnic oczywisicie;]robilem kiedys dowod tego i moge Cie zapewnic ze to jest prawda;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:18 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
miodzio1988 napisał(a):
mozna to udowodnic oczywisicie;]robilem kiedys dowod tego i moge Cie zapewnic ze to jest prawda;]

Wierzę na słowo, spróbuję sam udowodnić, może coś wyjdzie ;D

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 22:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 879
smigol napisał(a):
Nakahed90 napisał(a):
Z Jensena łatwo idzie wyprowadzić.

Owszem ;) Ale, jak ktoś nie zna nierówności pomiędzy średnimi to raczej nierówności Jensena też :P



To ześ trafił w sedno :) Dzieki przeanalizuje to i jak czegoś nie będę wiedział to będę pytać.


Cytuj:
Hm.. skąd wiemy, że b_{1}* b_{2}*...* b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n?


Miałem o to samo spytac, jednak poproszę o dowód, jeśli nie jest długi ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2009, o 17:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2605
Lokalizacja: Warszawa
Dla n=2 ładnie się zwija. Teraz założenie indukcyjne b_{1} \cdot b_{2}*\cdot \ldots \cdot b_{n}=1 implikuje b_{1}+ b_{2}+...+ b_{n} \ge n, tezę dowodzimy w ten sposób - wiadomo, że wśród b_1,\ldots b_{n+1} istnieje liczba zarówno większa lub równa 1 (niech będzie b_n jak i mniejsza lub równa 1, zatem zachodzi: (b_n-1)(b_{n+1}-1) \le 0 \iff b_n+b_{n+1} \ge 1+b_nb_{n+1}, zauważmy, że n liczb: b_1;b_2;\ldots;b_{n-1};(b_n \cdot  b_{n+1}) spełnia założenie indukcyjne (n liczb i iloczyn = 1), zatem z założenia i z wyprowadzonej nierówności:
b_1 + b_2 + \ldots + b_n + b_{n+1} \ge (b_1 + b_2 + \ldots + b_{n-1} + b_n \cdot b_{n+1}) + 1 \ge n+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni
Mam takie zadanko, trzeba udowodnić, że w zbiorze liczb rzeczywistych: sqrtTrzeciegoStopnia(a*b*c)=...
 magik100  2
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych
Takie wyrażonko: (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)(a+9)(a+11)=... Na początku chciałem to zrobic drogą: (a+1)= =(a+1)= =(a+1)[(a+1)^3+18(a+1)^2+80(a+1...
 Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych
Wskaz liczbę niewymierna x taką, aby wartość poniższego wyrażenia była liczbą wymierną: a)sqrt11/x b)sqrt111+x...
 jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych
która z liczb jest większa: A=sqrt(9+4*sqrt(5)) czy B=sqrt^3(38+17*sqrt(5)) i jeszcze takie: A=222^555 czy B=555^222 Byłbym wdzięczny za sposób rozwiązywania tego typu zadań. Z góry dzieki....
 Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa
Rozstrzygnij, która z liczb jest większa: 22^{55} czy 55^{22} ? Kiedyś to zadanie było robione na kółku, lecz zgubiłem gdzieś obliczenia, wiem że 22^{55} jest ...
 Tomasz B  5
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?
Szukalam w Adamantanie i w googlach i nie udalo mi sie dowiedziec kiedy w Czebyszewie zachodzi rownosc. Wydaje mi sie ze wtedy i tylko wtedy gdy co najmniej jeden z ciagow jest staly - to na pewno implikuje w jedna strone, ale nie wiem czy to rownow...
 Linka  1
 Udowodnij podzielność - zadanie 13
No na takiej ze w pierszym nwiasie masz ostatni skladnik jedynkę, wiec jak sobie podniesiesz do jakiejkolwiek potegi to w nawiasie otrzymasz wielomian w którym kazdy wyraz bedzi podzilny przez 4n oprocz wyrazu wolnego rownego 1....
 LichuKlichu  1
 Udowodnij ze liczba ... jest liczba naturalną
Zadanie bardzo podobne do opisanego w tym poscie: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3935 Z tym ze ja mam do czynienia z pierwiastkiem stopnia 3 :/ Oto to...
 1jedrzej1  1
 Udowodnij że jeśli .....
Odrazu mówie żę nie wiem czy w dobrym miejscu to umieszczam. Udowodnij że jeśli a , b i c należą do liczb rzeczywistych to: a � +b � + c � ≥ ab +ac +b...
 n0o  2
 sprawdzanie która z liczb jest większa
Nie wiem czy umieściłam ten temat we właściwym miejscu, ale zdecydowałam drogą dedukcji że najlapiej pasuje właśnie tu Zadanie jest banalne, ale nie jestem pewna c...
 czkawka  12
 Udowodnij, że.... Suma pierwiastkow.
udowodnij że \sqrt{20+14\sqrt{2}} + \sqrt{20-14\sqrt{2}} = 4...
 kuzio87  2
 Porównanie liczb (bez kalkulatora)
Witam, Jak zrobić coś takiego: Która z liczb a czy b jest większa, jeżeli a = 2\sqrt{5} + \sqrt{21}, b=9. Oblicz bez użycia kalkulatora. Z góry serdeczne dzięki....
 Mateusz Kempa  2
 Nierówność - zadanie 9
Jak byście zrobili takie zadanko? Rozwiąż nierówność \sqrt{2}x-4\leq2x-3 Rozwiązanie przedstaw w postaci x q a\sqrt{c}+b ...
 koala  5
 udowodnij jeżeli a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca to a=b=c
wiem jak to zrobić ale nie jestem pewien bo wiem jak to zrobić w drugą strone a to chyba nie oto chodzi pomocy????...
 Anonymous  1
 Nierówność - zadanie 11
Proszę o rozwiązanie tego zadania Sprawdź czy liczby x=3/7 i y=2 spełniają nierówność (x+y)(4-y)-(2x-y)�...
 Keira  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com