[ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
1. Wykaż, że jeżeli liczby a^{2},  b^{2},  c^{2} tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c},  \frac{1}{a+b} również tworzą ciąg arytmetyczny.

2. Udowodnić, że jeżeli liczby a1, a2, ..., an, gdzie n \ge2, tworzą ciąg arytmetyczny i żadna nich nie jest zerem, to \frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_{n}}=\frac{n-1}{a_{1}a_{n}}

3. Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz poczynając od trzeciego jest równy połowie sumy dwóch poprzednich.

4. Rozwiąż układ równań \begin{cases} x+y+z=m+4 \\ 2x-y+2z=2m+2 \\ 3x+2y-3z=1-2m \end{cases}. Dla jakich wartości parametru m liczby x,y,z są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ?

5. Liczby a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n} są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o dodatnich wyrazach. Znając sumy S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} oraz T= \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n}}, oblicz iloczyn I= a_{1} \cdot a_{2}  \cdot a_{3}  \cdot ...  \cdot  a_{n}.

6. Znajdź wzór na sumę S_{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:23 
Użytkownik

Posty: 807
6. Zauważ że S_n = (x + x^2 + x^3 + x^4+...+ x^n) '. W nawiasie masz już ciąg geometryczny, zatem

S_n = (x  \cdot  \frac{1 - x^n}{1-x})'

Policz teraz z tego pochodną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 225
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
1.)
(a^{2},b^{2},c^{2})\ \ \ -ciag \ arytmetyczny
Wówczas:
a^{2}+c^{2}=2b^{2}
Teza: \ \left(\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b}\right)\ \ \ -ciag \ arytmetyczny
Najprościej jest chyba to sprawdzić z własności ciągu arytmetycznego, czyli:
\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{2}{a+c}
\frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{2}{a+c}=0
\frac{a^{2}+2ab+2ac+2bc+c^{2}-2ac-2ab-2bc-2b^{2}}{(a+b)(b+c)(a+c)}=0
\frac{a^{2}+c^{2}-2b^{2}}{(a+b)(b+c)(a+c)}=0
a^{2}+c^{2}-2b^{2}=0
a^{2}+c^{2}=2b^{2}
Co jak wiemy jest prawdą ;)

Oczywiście musi być spełnione:
a+b  \neq 0
b+c  \neq 0
a+c  \neq 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 807
5.

I = a \cdot aq \cdot aq^2 \cdot ... \cdot aq^{n-1} = a^n  \cdot   \sqrt{q^{n(n-1)}

Poza tym, wiemy że:

S = a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_n = a + aq + aq^2 +...+aq^{n-1} = aq^{n-1} (  \frac{1}{q^{n-1}} +  \frac{1}{q^{n-2}} + ... +  \frac{1}{q}  + 1) = aq^{n-1}  \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

z powyższego równania mamy zatem:

\sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i} = \frac{S}{aq^{n-1}}

T =  \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +   \frac{1}{a_3} +...+ \frac{1}{a_n} =  \frac{1}{a} + \frac{1}{aq} +   \frac{1}{aq^2} +...+ \frac{1}{aq^{n-1}} =  \frac{1}{a}  \cdot (  1 + \frac{1}{q} +   \frac{1}{q^2} +...+ \frac{1}{q^{n-1}} =  \frac{1}{a}  \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

i z powyższego równania:

Ta =   \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

Możemy zatem zapisać:

Ta =  \frac{S}{aq^{n-1}}
a stąd
aq^{n(n-1)} =  \frac{( \frac{S}{T} )^n}{a^{2n}}
Podstawiając ten związek do pierwszego równania:

I = a^n  \cdot  \sqrt{ \frac{( \frac{S}{T} )^n}{a^{2n}} } = ... = ( \frac{S}{T})^{ \frac{n}{2} }
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Ciąg arytemtyczny i geometryczny
Znowu nie moge sobie dac rady... mam nadzieje ze ktos mi pomoze... please 1.Drugi wyraz ciagu arytmetycznego wynosi 12. A iloczyn pierwszego i trzeciego wynosi 119...
 Anonymous  3
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego
1. Ciąg arytmetyczny składa się z 20 wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 310, a suma wyrazów o numerach nieparzystych 280. Znajdź dwa środkowe wyrazy tego ciągu. 2. Napisz trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym sum...
 Anonymous  2
 (2 zadania) Znajdź ciąg geometryczny. Planimetria
Długości boków trójkąta prostokątnego o polu 150 cm^2 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz obwód tego trójkąta. Znajdź ciąg geometryczny, w którym każdy wyraz poczynając od trzeciego, jest równy sumie dwóch wyrazów poprzednich....
 Anonymous  8
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągów arytmetycznych
1 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 30. Jeżeli od pierwszej liczby odejmiemy 5, od drugiej odejmiemy 4, a trzecią pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby. 2 Liczby 5x-y, 2x+y, x+2y tworzą ciag aryt...
 Anonymous  2
 (2 zadania) Układ równań. Ciągi arytemtyczne i geometry
1. Dany jest układ równań: x + 2y + z = 2m -x + 4y + z = 8 2x - y - z = m - 8 Rozwiąż ten układ równań oraz zbadaj dla jakiej wartości m pierwiastki x, y, z tworzą: a) ciąg geometryczny b) ciąg arytmetyczny 2. Wyraz trzeci i piąty ciągu arytmetyc...
 Anonymous  2
 (2 zadania) Rozwiąż równanie. Wykaż, że to ciąg geome
1. Wykaż, że ciąg liczbowy : (sqrt2 + 1)/(sqrt2 - 1); 1/(2 - sqrt2); 1/2; ... jest nieskończonym ciągiem geometrycznym malejącym. 2. Rozwiąż równanie : x^2 + x^3 + x^4 + ... = (sin^2 45 stopni) gdzie |x| < 1....
 Anonymous  2
 (2 zadania) Ciągi geometryczne. Zadania tekstowe
Proszę o pomoc w zadaniach: 1. Pan Jan złożył do banku 5000 zł. Po 18 miesiącach bank wypłacił 5495,52 zł. Jakie jest oprocentowanie (w skali roku) jeśli bank kapitalizuje odsetki co pół roku? (należy uwzględnić 20% podatek od odsetek) 2. Przyznano k...
 Anonymous  1
 (4 zadania) Ciągi arytmetyczne i geometryczne
cześć Mam do Was prośbę bo niemoge sobie poradzić z kilkoma zadaniami.. możecie mi pomoć plissss Z góry wielkie dziękuje zad1 Ciąg a(n) (indeks n) jest określony następująco: teraz układ równań ( nie znalazłam w oznaczeniach) a(1)=2 a(n+1)=an ...
 Anonymous  2
 (3 zadania) Ciągi arytmetyczne i geometryczny
ZNOWU KILKA CHOLERNIE TRUDNYCH jak dla mnie ZADAŃ CIĄGOWYCH: Znajdz wszystkie liczby naturalne n takie ze: n=1+2+3+...+(n-1) Odp:n=3 Rozwiaz rownanie: 1+4+7+...+(1+3n)=176 Odp:n=10 Suma trzech liczb twoszących ciąg geometryczny jest rowna 62,...
 Ł_Y_S_Y  2
 (2 zadania) Ciągi geometryczne. Znajdź iloraz ciągu
Liczba wyrazów skończonego ciągu geometrycznego jest parzysta. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest 5 razy wieksza od sumy wszystkich wyrazow o numerach parzystych. Znajdz iloraz tego ciągu. Odp:q=1/4 Trzy różne liczby, których suma równa sie ...
 Ł_Y_S_Y  1
 (3 zadania) Wyznacz 5ty wyraz. Oblicz sume. Ciągi
Chodzi mi tu oto by ktos mi podal wyniki... Bo rozwiązac zad. rozwiązalem, ale chodzi mi tu o 100% poprawnosci wyniku... Prosze nie podawac obl. tylko samo rozw. Pozdrawiam i dziekuje bardzo... Zadanie: 1. Wyznacz 5-ty wyraz i sume 10-ciu wyrazow ci...
 dziorki  2
 Ciagi-oszczednosci w bankach i funduszach
Do banku wplacono 10000zl na 4 lata,oprocentowanie w stosunku rocznym wynosi 6%.Oblicz sumy oszczednosci,jezeli kapitalizacja odsetek jest co pol roku. Rozwiaze to ktos?...
 Anonymous  2
 ciągi liczbowe...oprocentowanie lokat i kredytów
1. W pewnym banku oprocentowanie w stosunku rocznym wynosi 12%, a kapitalizacja odsetek następuje o kwartał. Wpłacono na konto 1000zł. Jaką kwotę wypłacił bank po 3 latach oszczędzania? 2. Na jaki procent wpłacono do banku 10000zł, jezeli po 2 lata...
 Anonymous  4
 Ciągi arytmetyczne-zadania.
1. Dane są ciągi arytmetyczne:17,21,... oraz 16,21,... . Obliczyć sumę stu pierwszych liczb występujących w obu ciągach. 2. Obliczyć sumę tych wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, ktore nie są podzielne przez 3. Dziękuje i pozdrawiam....
 kba  12
 Ciąg arytmetyczny-zadania
1) Wyznacz ciąg arytmetyczny złożony z jedenastu wyrazów, których suma wynosi 385. Wiadomo też, że ostatni z nich jest o 80 % większy od pierwszego. 2) Pierwiastki równania 27 x^3+54x^2+ax-10=...
 basia  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com