szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
1. Wykaż, że jeżeli liczby a^{2},  b^{2},  c^{2} tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c},  \frac{1}{a+b} również tworzą ciąg arytmetyczny.

2. Udowodnić, że jeżeli liczby a1, a2, ..., an, gdzie n \ge2, tworzą ciąg arytmetyczny i żadna nich nie jest zerem, to \frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_{n}}=\frac{n-1}{a_{1}a_{n}}

3. Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz poczynając od trzeciego jest równy połowie sumy dwóch poprzednich.

4. Rozwiąż układ równań \begin{cases} x+y+z=m+4 \\ 2x-y+2z=2m+2 \\ 3x+2y-3z=1-2m \end{cases}. Dla jakich wartości parametru m liczby x,y,z są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ?

5. Liczby a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n} są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o dodatnich wyrazach. Znając sumy S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} oraz T= \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n}}, oblicz iloczyn I= a_{1} \cdot a_{2}  \cdot a_{3}  \cdot ...  \cdot  a_{n}.

6. Znajdź wzór na sumę S_{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+nx^{n-1}.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:23 
Użytkownik

Posty: 807
6. Zauważ że S_n = (x + x^2 + x^3 + x^4+...+ x^n) '. W nawiasie masz już ciąg geometryczny, zatem

S_n = (x  \cdot  \frac{1 - x^n}{1-x})'

Policz teraz z tego pochodną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 225
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
1.)
(a^{2},b^{2},c^{2})\ \ \ -ciag \ arytmetyczny
Wówczas:
a^{2}+c^{2}=2b^{2}
Teza: \ \left(\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b}\right)\ \ \ -ciag \ arytmetyczny
Najprościej jest chyba to sprawdzić z własności ciągu arytmetycznego, czyli:
\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{2}{a+c}
\frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{2}{a+c}=0
\frac{a^{2}+2ab+2ac+2bc+c^{2}-2ac-2ab-2bc-2b^{2}}{(a+b)(b+c)(a+c)}=0
\frac{a^{2}+c^{2}-2b^{2}}{(a+b)(b+c)(a+c)}=0
a^{2}+c^{2}-2b^{2}=0
a^{2}+c^{2}=2b^{2}
Co jak wiemy jest prawdą ;)

Oczywiście musi być spełnione:
a+b  \neq 0
b+c  \neq 0
a+c  \neq 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2009, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 807
5.

I = a \cdot aq \cdot aq^2 \cdot ... \cdot aq^{n-1} = a^n  \cdot   \sqrt{q^{n(n-1)}

Poza tym, wiemy że:

S = a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_n = a + aq + aq^2 +...+aq^{n-1} = aq^{n-1} (  \frac{1}{q^{n-1}} +  \frac{1}{q^{n-2}} + ... +  \frac{1}{q}  + 1) = aq^{n-1}  \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

z powyższego równania mamy zatem:

\sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i} = \frac{S}{aq^{n-1}}

T =  \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +   \frac{1}{a_3} +...+ \frac{1}{a_n} =  \frac{1}{a} + \frac{1}{aq} +   \frac{1}{aq^2} +...+ \frac{1}{aq^{n-1}} =  \frac{1}{a}  \cdot (  1 + \frac{1}{q} +   \frac{1}{q^2} +...+ \frac{1}{q^{n-1}} =  \frac{1}{a}  \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

i z powyższego równania:

Ta =   \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{1}{q_i}

Możemy zatem zapisać:

Ta =  \frac{S}{aq^{n-1}}
a stąd
aq^{n(n-1)} =  \frac{( \frac{S}{T} )^n}{a^{2n}}
Podstawiając ten związek do pierwszego równania:

I = a^n  \cdot  \sqrt{ \frac{( \frac{S}{T} )^n}{a^{2n}} } = ... = ( \frac{S}{T})^{ \frac{n}{2} }
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Ciąg arytemtyczny i geometryczny  Anonymous  3
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego  Anonymous  2
 (2 zadania) Znajdź ciąg geometryczny. Planimetria  Anonymous  8
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągów arytmetycznych  Anonymous  2
 (2 zadania) Układ równań. Ciągi arytemtyczne i geometry  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com