szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2006, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Tworzącą stożka widzimy ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem \alpha. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości stożka.

Ktoś ma jakiś pomysł? Będę wdzięczny.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 13:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Trochę mało konkretnie. Widzimy pod kątem α ale względem czego? Przecież można różnie patrzeć :mrgreen: Chodzi o kąt między tworzącą a podstawą stożka czy między prostą prostopadłą do tworzącej i przebiegającej przez środek kuli a np. podstawą czy wysokością stożka? :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 545
Lokalizacja: Kraków
Obrazek
Kąt pod jakim widzimy tworzącą ze środka kuli, jest jednoznaczny.
Wyobraźmy sobie, że stoimy w punkcie „S” i patrzymy na tworzącą „l”.
Znając kąt \alpha, wyliczmy kąt \delta oraz \frac{\gamma }{2}.
Wychodząc z wzorów na objętości, łatwo wyliczymy interesujący nas stosunek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 16:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Aaa. To o takie "widzenie" chodzi :D Nie skojarzyłem :lol: Chociaż dalej nie jestem przekonany, czy "widzenie odcinka pod pewnym kątem z danego punktu" jest poprawnym wyrażeniem matematycznie rzecz ujmując :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 16:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Jest intuicyjne, a poza tym pojawia się w wielu zadaniach, więc wg mnie jest jak najbardziej poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 18:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 890
Lokalizacja: Koszalin
"Powiadamy, że odcinek \overline{AB} widać z punktu X pod kątem \alpha < \pi, gdy zachodzi równość m(\angle AXB)=\alpha." Zdanie pochodzi z książki, więc widzenie odcinka pod kątem z danego punktu raczej nie jest wymysłem autora zbioru zadań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Dziękuję za wszystkie odpowiedzi. To jednak komplikuje moją sytuację, bo w takim układzie nie bardzo mogę sobie poradzić z zapisaniem tego stosunku.
Zadanie udało mi się rozwiązać przyjmując, że kąt \alpha jest zawarty pomiędzy tworzącą stożka, a promieniem R równoległym do podstawy AB.

Natomiast na tym rysunku nie mam pojęcia jak to wszystko obliczyć. Gdyby jeszcze pomiędzy l, a R by kąt prosty..., ale go tam (chyba) nie ma :-(.

Tak więc utknąłem na samym początku, czyli na skróceniu wzorów:

\frac{4 R^{3}}{r^{2}h}

W życiu bym nie przypuszczał, że tak pozornie proste zadanie może sprawić tyle kłopotu...

Ktoś ma jakiś pomysł?

P.S W_Zygmunt Czy mogę zapytać w czym rysowałeś ten rysunek? Wygląda na CADa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
\delta=\pi-\alpha\\\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\delta=\alpha-\frac{\pi}{2}\\\gamma=2\alpha-\pi\\r=R\,ctg\frac{\gamma}{2}=R\,ctg(\alpha-\frac{\pi}{2})=-R\,tg\alpha\\h=r\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg(2\alpha-\pi)=-R\,tg\alpha\,tg2\alpha
Dalej już sobie poradzisz (po podstawieniu do tego twojego nieskróconego coś się powinno poskracać i poupraszczać. Jeszcze pewnie będzie można coś z tym f. tryg. pokombinować żeby było prościej i przejrzyściej :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Chyba mam (byłbym wdzięczny za sprawdzenie). Pomiędzy R, a l musi być kąt prosty - wynika to z def. odległości. A więc tak:

\beta=180-90-\alpha=90-\alpha \\ \angle ABC=180-90-90+\alpha \\ \angle ABC=\alpha \\ \\ tg \frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r} \\ tg \frac{\alpha}{2}r=R \\ tg \alpha=\frac{h}{r} \\ h=tg \alpha r

Podstawiając do wzoru:
\large \frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}r^{3}}{r^{3}\cdot tg\alpha}=\frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}}{tg\alpha}

EDIT: Dexiu - właśnie zobaczyłem Twojego posta. Nie bardzo rozumiem linię nr 1 (to na pewno nie wyjdzie kąt \delta.)

EDIT2: Chyba błędnie założyłeś, że kąt \alpha jest zawarty pomiędzy odcinkiem CS, a SB (tak wynika z kolorystyki rysunku). Tymczasem on jest zawarty między CS, a promieniem R.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 22:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Otóż nie, drogi Viperze. To ty błędnie zasugerowałeś się albo rysunkiem (na którym W_ZYGMUNT napisał α między odcinkami R i CS ze względu na czytelność rysunku, a właściwy kąt α zaznaczył kolorem żółtym), albo sam dorobiłeś sobie definicję "widoczności" tworzącej pod kątem α . Tworząca stożka to odcinek BC (lub jak kto woli AC - na jedno wychodzi przecież). Mówimy, że odcinek "widać" z pewnego punktu (u nas S) pod pewnym kątem (u nas α ), jeśli ten kąt jest zawarty między półprotymi wyznaczonymi przez punkt S i końce odcinka (u nas B i C). Czyli \alpha=|\angle BSC| :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Chol...

Można zwariować :roll:

Zwykle, gdy w podręczniku używano jakiegoś określenia, to wcześniej była podana jakaś definicja. A tu NIC. Nie mając zdefiniowanego konta patrzenia nie mogłem intuicyjnie wyczuć o co chodzi (fakt, nie za dobrze przeanalizowałem definicję juzefa :-(.

A więc wychodzi na to, że Twoje rozwiązanie jest dobre. Bardzo dziękuję za pomoc i przepraszam za kłopoty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kula wpisana w stożek - zadanie 9  mat1989  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 16  kuchcik08  1
 kula wpisana w stożek - zadanie 12  piotrekkazek  0
 kula wpisana w stożek - zadanie 6  FEMO  1
 kula wpisana w stożek - zadanie 17  j_krupski  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com