szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2006, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Tworzącą stożka widzimy ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem \alpha. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości stożka.

Ktoś ma jakiś pomysł? Będę wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 13:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Trochę mało konkretnie. Widzimy pod kątem α ale względem czego? Przecież można różnie patrzeć :mrgreen: Chodzi o kąt między tworzącą a podstawą stożka czy między prostą prostopadłą do tworzącej i przebiegającej przez środek kuli a np. podstawą czy wysokością stożka? :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 545
Lokalizacja: Kraków
Obrazek
Kąt pod jakim widzimy tworzącą ze środka kuli, jest jednoznaczny.
Wyobraźmy sobie, że stoimy w punkcie „S” i patrzymy na tworzącą „l”.
Znając kąt \alpha, wyliczmy kąt \delta oraz \frac{\gamma }{2}.
Wychodząc z wzorów na objętości, łatwo wyliczymy interesujący nas stosunek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 16:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Aaa. To o takie "widzenie" chodzi :D Nie skojarzyłem :lol: Chociaż dalej nie jestem przekonany, czy "widzenie odcinka pod pewnym kątem z danego punktu" jest poprawnym wyrażeniem matematycznie rzecz ujmując :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 16:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Jest intuicyjne, a poza tym pojawia się w wielu zadaniach, więc wg mnie jest jak najbardziej poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 18:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 890
Lokalizacja: Koszalin
"Powiadamy, że odcinek \overline{AB} widać z punktu X pod kątem \alpha < \pi, gdy zachodzi równość m(\angle AXB)=\alpha." Zdanie pochodzi z książki, więc widzenie odcinka pod kątem z danego punktu raczej nie jest wymysłem autora zbioru zadań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Dziękuję za wszystkie odpowiedzi. To jednak komplikuje moją sytuację, bo w takim układzie nie bardzo mogę sobie poradzić z zapisaniem tego stosunku.
Zadanie udało mi się rozwiązać przyjmując, że kąt \alpha jest zawarty pomiędzy tworzącą stożka, a promieniem R równoległym do podstawy AB.

Natomiast na tym rysunku nie mam pojęcia jak to wszystko obliczyć. Gdyby jeszcze pomiędzy l, a R by kąt prosty..., ale go tam (chyba) nie ma :-(.

Tak więc utknąłem na samym początku, czyli na skróceniu wzorów:

\frac{4 R^{3}}{r^{2}h}

W życiu bym nie przypuszczał, że tak pozornie proste zadanie może sprawić tyle kłopotu...

Ktoś ma jakiś pomysł?

P.S W_Zygmunt Czy mogę zapytać w czym rysowałeś ten rysunek? Wygląda na CADa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
\delta=\pi-\alpha\\\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\delta=\alpha-\frac{\pi}{2}\\\gamma=2\alpha-\pi\\r=R\,ctg\frac{\gamma}{2}=R\,ctg(\alpha-\frac{\pi}{2})=-R\,tg\alpha\\h=r\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg(2\alpha-\pi)=-R\,tg\alpha\,tg2\alpha
Dalej już sobie poradzisz (po podstawieniu do tego twojego nieskróconego coś się powinno poskracać i poupraszczać. Jeszcze pewnie będzie można coś z tym f. tryg. pokombinować żeby było prościej i przejrzyściej :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Chyba mam (byłbym wdzięczny za sprawdzenie). Pomiędzy R, a l musi być kąt prosty - wynika to z def. odległości. A więc tak:

\beta=180-90-\alpha=90-\alpha \\ \angle ABC=180-90-90+\alpha \\ \angle ABC=\alpha \\ \\ tg \frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r} \\ tg \frac{\alpha}{2}r=R \\ tg \alpha=\frac{h}{r} \\ h=tg \alpha r

Podstawiając do wzoru:
\large \frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}r^{3}}{r^{3}\cdot tg\alpha}=\frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}}{tg\alpha}

EDIT: Dexiu - właśnie zobaczyłem Twojego posta. Nie bardzo rozumiem linię nr 1 (to na pewno nie wyjdzie kąt \delta.)

EDIT2: Chyba błędnie założyłeś, że kąt \alpha jest zawarty pomiędzy odcinkiem CS, a SB (tak wynika z kolorystyki rysunku). Tymczasem on jest zawarty między CS, a promieniem R.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 22:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1174
Lokalizacja: Jaworzno
Otóż nie, drogi Viperze. To ty błędnie zasugerowałeś się albo rysunkiem (na którym W_ZYGMUNT napisał α między odcinkami R i CS ze względu na czytelność rysunku, a właściwy kąt α zaznaczył kolorem żółtym), albo sam dorobiłeś sobie definicję "widoczności" tworzącej pod kątem α . Tworząca stożka to odcinek BC (lub jak kto woli AC - na jedno wychodzi przecież). Mówimy, że odcinek "widać" z pewnego punktu (u nas S) pod pewnym kątem (u nas α ), jeśli ten kąt jest zawarty między półprotymi wyznaczonymi przez punkt S i końce odcinka (u nas B i C). Czyli \alpha=|\angle BSC| :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2006, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Kraków
Chol...

Można zwariować :roll:

Zwykle, gdy w podręczniku używano jakiegoś określenia, to wcześniej była podana jakaś definicja. A tu NIC. Nie mając zdefiniowanego konta patrzenia nie mogłem intuicyjnie wyczuć o co chodzi (fakt, nie za dobrze przeanalizowałem definicję juzefa :-(.

A więc wychodzi na to, że Twoje rozwiązanie jest dobre. Bardzo dziękuję za pomoc i przepraszam za kłopoty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kula wpisana w stożek - zadanie 19
Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w stożek o wysokości = h i kącie rozwarcia 2 alfa. Proszę o jakąś wskazówkę bo nie wiem jak się do tego zabrać/...
 oponek  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 22
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o kącie przy wierzchołku 2 \alpha i podstawie długości 8. Wyznacz promień kuli wpisanej w ten stożek....
 zlafoka  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 2
Pole powierzchni całkowitej stozka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka. Będę wdzięczny za pomoc...
 lookasiu87  2
 kula wpisana w stożek - zadanie 13
Kiedy w stożek da się wpisać kule? Jakie muszą być spełnione zależności? Nie wiem czy to ma znaczenie ale raz podstawa jest kwadrat, a raz trójkąt równoboczny. Jako dane będą podawane tylko a-długość krawędzi podstawy, h-wysokość ostrosłupa i r-pro...
 moniace  4
 kula wpisana w stożek - zadanie 7
Kula o promieniu długości 3 wpisana jest w stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę 120 stopni. Oblicz długość tworzącej stożka. proszę o pomoc......
 raphel  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 10
W stożek, w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę 2alfa wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli....
 piotrekkazek  1
 kula wpisana w stożek - zadanie 5
W stożek o promieniu podstawy 1 i tworzącej 3 wpisano kulę. Oblicz pole powierzchni kuli. za rozwiązanie ogromne dzięki ...
 impress2s  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 21
W stożek wpisano kulę. Wykaż, że stosunek objętości stożka do objetości kuli jest równy stosunkowi pola powierchni stożka do pola powierzchni kuli...
 kroolik_91  1
 Kula wpisana w stożek - zadanie 4
W stożek wpisano kulę. pole powierchni kuli jest w stosunku do pola podstawy stożka jak 4:3. znajdz kat rozwarcia stożka. Temat poprawiłam. Radzę zapoznać się z regulaminem. ariadna...
 ania69  0
 Kula wpisana w stożek - zadanie 25
Promień stożka jest dwa razy większy od promienia kuli wpisanej w ten stożek. Oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka. Doszłam do czegoś w stylu cos=1-H ^{2}... w odpowiedziach mam, że \frac{7}{25}[/tex:w8dz5p...
 Math_s  10
 Kula wpisana w stożek - zadanie 11
W stożek, w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę 2 wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli. ...
 pm97  0
 Kula wpisana w stożek - zadanie 3
Siedzę nad tym od godziny i nie potrafię zrobić... : Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Słyszałem, ...
 Koojon  1
 kula wpisana w stożek - zadanie 17
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe \frac{16}{9} razy większe od pola podstawy tego stożka. Wyznacz sinus kąta rozwarcia stożka....
 j_krupski  2
 Kula wpisana w stożek - zadanie 24
W stożek o wysokości 10 wpisano kulę o promieniu 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka....
 skubek  2
 kula wpisana w stożek - zadanie 9
w stożek, w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę 2\alpha wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli....
 mat1989  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com