szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznacz równanie prostej - zadanie 33
wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P\ &#40;-1;1&#41; i równoległej do prostej l l:x + 6y=0 nie wiem jak to zrobić bo według mnie jest podane a i wy...
 lidunia17  13
 dł.okręgu,równanie prostej prostopadłej,, równanie stycznych
1.Znajdź długość okręgu o równaniu &#40;x+2&#41;+&#40;x+2&#41;^{2}+&#40;x-3&#41;^{2}=16 2.Znajdź równanie prostej prostopadłej do 2x-4y+3=0 3.Wyznacz równania stycznych do okręgu [tex:39oxl0nk...
 radocha91  1
 Pole i obwod trapezu , równanie prostej
A wiec tak mam dwa zadanka ktorych niestey niepotrafie rozwiazac. Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego A B C D o podstawie A B wiedzac , ze punkty A (-1,4),B(5,-2),C(7,3) sa kolejnymi wierzcholkami tego trapezu. Do prostej l należa punkty A ...
 Anonymous  1
 Odległość od prostej w przestrzeni
Witajcie, mam problem z takim zadaniem. Wykorzystując własności standardowego iloczyny skalarnego oblicz odległość punkty A=\left&#40; 3,4,2\right&#41; od prostej wyznaczonej przez punkty B=\left&#40; -2,1...
 Lukassz  1
 znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
znaleźć rzut prostej \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2} na płaszczyznę x + y + z = 0 jak to zrobic?:(...
 aannaa  3
 Równania prostej przechodzącej przez punkt przebicia
Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej: Prosta przechodzi przez punkt P=&#40;1,-1,2&#41; oraz przez punkt przebicia (punkt wspólny) prostej l:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}[/tex:nj9...
 maQu  1
 3 punkty i prosta
mam dane 3 punkty na płaszczyźnie x/y - A(A.x,A.y),B(B.x,B.y),C(C.x,C.y) należy poprowadzić prostą przez &quot;środkowy&quot; punkt, tak aby błąd aproksymacji punktów nieleżących na prostej był jak najmniejszy wydaje mi się że należy wyznaczyć wzór...
 Lemonek  1
 Niewielki problem : symetria względem prostej
Mam problem. Do rzeczy: Znajdz obraz prostej k w symetrii wzgledem prostej l i mam podane proste: k: y=2x-1 l: 2x-3y+2=0 i teraz wiadomo szukam prostopadlej do l i mam: -3x-2y+C=...
 tomowolf  1
 równanie prostej, prostopadłej
znajdź równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzednych i prostopadłej do prostej KL, jesli K=&#40;-3,2&#41; i L=&#40;95, -10&#41;...
 mateusz.ex  1
 2 punkty w przesztrzeni i prosta
Witam, Potrzebuje pomocy w rozwiazaniu takiego zadania na liczbach - znakach ogólnych: Dany są punkty w PRZESTRZENI: A(x1,y1,z1) oraz B(x2,y2,z2) Szukamy: Punktu C(x3,y3,z3) wiedząc że punkt ten leży na przecięciu się prostych przechodzą...
 dropsec  0
 Wyznaczyć płaszczyzna prostopadłą do prostej k...
Wyznaczyć płaszczyzna prostopadłą do prostej k ktora zawiera punkt A. A&#40;1,1,-1&#41; k \begin{cases} x+y-2+1=0 \\ x-y+2z-3=0 \end{cases}...
 Dorotta007  1
 Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt - zadanie 2
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A = (4, 5) i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy większym niż prosta k ( k = x-3y-9=0 ) wiem że można to zrobić tak c=tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2...
 Union  2
 Położenie prostej w przestrzeni
Położenie prostej w przestrzeni wysnaczają następujące kąty: \frac{2 \pi}{3} \\ kąt z osią Y \frac{ \pi}{6} \\ kąt z płaszczyna XY \frac{\pi}{3} \\ kąt z p...
 lled3  0
 Równanie prostej - zadanie 117
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A=&#40;2,1,3&#41;,i prostopadłej do płaszczyzny \ \pi : x+3y-4z+1=0..Wyznacz punkt wspólny prostej i płaszczyzny. Moje wnioski: Więc tak ma...
 marcinek16marcin  4
 punkty wspólne prostej i okręgu
Witam, Mam taki problem: Zbadaj ile punktów wspólnych z okręgiem \left&#40;x+3\right&#41; ^{2} + \left&#40;y-2\right&#41; ^{2} = 31 ma prosta y = -2x -1 I nie mam pojęcia z której strony to r...
 neomagnet  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com