szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odległość punktu od prostej - zadanie 41
Chce obliczyć odległość punku &#40;x,sinx&#41; od prostej y=4. d=\frac{|0 \cdot x+sinx-4|}{ \sqrt{1} }=|sinx-4| czy to jest okej?...
 stanley12  3
 równanie prostej z dwusieczną
Znajdź równanie prostej zawierającej dwusieczną kata utworzonego przez proste 5x+12y+2=0 i 3x+4y+2=0 Na początku znalazłem punkt wspólny tych prostych. następnie mamy dwie dwusieczne ponieważ mamy dwa różne kąty te dwusieczne tworzą kat prosty. I ter...
 zaudi  1
 czy punkt leży na prostej
Punkt P nie leży na danej prostej, bo nie spełnia warunku zadanego przez drugie równanie określające tę prostą....
 Tasha  4
 równanie prostopadłej i równoległej do prostej
mam dany punkt P=&#40;2 ,-3&#41; i równanie prostej k: \ 2x-3y=0. Trzeba napisać równanie prostej prostopadłej oraz równoległej do k....
 phil77  3
 równanie prostej - zadanie 16
Dane są dwa wierzchołki A(9, -1) i B(-7, 3) prostokąta ABCD oraz punkt E(4, -4) należący do boku CD. a.) wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD b.) oblicz współrzędne wierzchołka C c.) oblicz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych t...
 0202122piotras  1
 znajdz odleglosc punktu a od prostej
Znajdz odleglosc punktu A od prostej l, wiedzac ze A(-2,3) l:y=-3x-2...
 SpiT  1
 Symetria względem prostej
dane sa proste k: x-y+1=0 oraz l: x-2y+1=0 znajdz rownanie obrazu prostej l w symetrii wzgledem prostej k....
 mat1989  1
 odległość pkt. od prostej 3
dane są dwa pkt A=(2;-3) i B=(5;-1). znajdź prostą leżąćą w odległości 6 od pkt.A i 4 od pkt.B...
 milalp  1
 Współczynnik kierunkowy przechodzący przez 2 punkty.
Witam! Chciałbym się upewnić czy zadanie prze zemnie zrobione jest dobrze wykonane. Treść zadania: Wyznacz współczynnik kierunkowy przechodzący przez punkty : P_{1}=&#40;3,2&#41;` ; ...
 Revoxen  3
 odległość punkt od prostej
Witam, Bardzo proszę o pomoc z zadaniem: Oblicz odległość punktu P&#40;1;1;1&#41; od prostej wyznaczonej poprzez przecięcie się płaszczyzn: \pi _{1}: x+y+z=0 \pi _{2}: 2x-2z...
 jaranna  7
 znajdz rownanie prostej - zadanie 4
Znajdź równanie prostej k przechodzącej przez punkt A&#40;5,2&#41; i takiej że odległość tej prostej od punktów B&#40;-5,0&#41; i C&#40;13,-18&#41; są sobie równe...
 saviol7  1
 równanie prostej stycznej do dwóch okregów
Witam. czy ktos bylby tak uprzejmy i podal mi rownanie prostej stycznej do dwoch okregow jednoczesnie? okrąg1: S&#40;x_1,y_1&#41;, r_1, okrag2: S&#40;x_2,y_2&#41;, r_2 P.S. Szukalem wszedzie ...
 kac83  2
 równanie prostej w przestrzeni R3
Witam, mam zadanie, z którym mam trochę problemów: Przedstaw równanie prostej w przestrzeni \RR^{3} (odnotowując ich związek z odpowiednimi wektorami) oraz wyznacz kąt, pod jakim prosta prostopadła do wektorów [tex:2u50l...
 mailew17  1
 Punkty o współrzędnych całkowitych
Oblicz ilość punktów o obu współrzędnych całkowitych zawartych w obszarze domkniętym (tzn. wraz z brzegiem) ograniczonym parabolą o równaniu y=x^{2} - 50x + 49 i osią OX. (Możesz skorzystać ze wzoru 1^{2} + ...
 Psycho  2
 Napsać równanie prostej
Napisać równanie prostej w przestrzenie afinicznej przechodzącej przez punkty przebicia prostych l_{1} l_{2} z płaszczyzną \pi ^{3}, jeśli: l ^{1} ...
 6mari9  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com