szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz rownanie prostej - zadanie 3
Dana jest funkcja f&#40;x&#41;=\frac{1}{x} Wyznacz rownanie prostej y=ax+b\ &#40;a \neq 0&#41; ktora z wykresem funkcji ma tylko jeden punkt wspolny A=&#40;2,\frac{1}{2}&#41;[/t...
 HBFS  2
 Równanie prostej - zadanie 60
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu x ^{2} + y ^{2} - 2x+4y-5=0 ...
 pecos27  1
 Punkty wspólne prostej i okręgu - zadanie 2
Znaleźć punkty wspólne prostej o równaniu x-y+2=0 i okręgu &#40;x-3&#41;^2+&#40;y+2&#41;^2=25. Próbowałem w ten sposób. Rozwiązuje układ równań... \begin{cases} y=x+2\\ &#40;x-3...
 adi1910  4
 równanie prostej z środkową trójkąta
Mam problem w pewnym zadanku, nie mam przykładu w książce i nic nie wygooglowałem więc może tutaj ktoś pomoże. Punkty A(-2,1) i B(4,3) i C(1,4) są wierzchołkami trójkata ABC: a) Napisz równanie prostej CD zawierającej wysokość trójkąta ABC b) Na...
 Eoghan  3
 Znajdź taką wartość m aby punkty były współliniowe
Znajdź taką wartość m, aby punkty P=(3,7), Q=(m, m-1), R=(-2,-8) leżały na jednej prostej. Chciałam wyznaczyć najpierw a i b uzależnione od m, ale dziwne mi wychodzą wyniki. Pewnie trzeba to jakoś inaczej ugryźć ......
 loooz  2
 równanie prostej zawierajacej bok trójkata
hej tym razem takie mam: &quot;proste 3x-2y+2=0 i x-y+2=0 zawieraja dwa boki pewnego trójkata, a prosta 2x-y-1=0 zawiera jedną z jego srodkowych, znajdz równanie pr...
 marta__17  0
 z postaci krawedziowej na równanie prostej
Udało mi się rozwiązać zadanie i doprowadzić do postaci krawędziowej : \begin{cases} -12x+8y-6z+24=0\\5x+18y+14z-28=0\end{cases} tyle, że w odpowiedzi podana jest postać taka tej prostej : \frac{x-6}{110}[...
 radziator  3
 Wektory i symetria wzgledem prostej
Znajdź wektor symetryczny względem prostej y=x+1 do wektora \vec{AB} o początku A=&#40;-3,1&#41; i końcu B=&#40;-2,3&#41; Jak rozwiąz...
 oluch-na  1
 równanie prostej i rzuty
1. Prostą l: \begin{cases} 6x+2y-z=0 \\ 3x+2y+2z=0 \end{cases} zapisać w postaci parametrycznej. 2. Znaleźć rzut prostokątny punktu P=&#40;3, -2, 1&#41; na płaszczyznę \pi : 2x-y...
 lottta  0
 Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o , jeśli
Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o , jeśli: d) o: x ^{2} + y ^{2} + 4x - 6y + 8 = 0 l:y = - \frac{5}{3}x - 5 już doszedłem jak się za to zabrać, ale ilokrość wydaje mi się ...
 bart3k  2
 wyznacz równanie prostej ....
wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta o wierzchołkach A=(-1; -3) , B=(3;-2) ,C=(6;1) poprowadzoną z wierzchołka C....
 hwdp43  1
 Równanie prostej - zadanie 29
Przez punkt A=&#40;2;3&#41; poprowadzono prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej. Rozwiązałem to zadanie dzięki równaniu odcinkowego prostej. Ale mam py...
 Charles90  3
 odległość punktu d prostej
proszę o pomoc w rozwiazaniu: Określ odległosć punktu P od prostej l, jeśli: P&#40;5,-2&#41; l: 4x-3y=2 dziekuję...
 celia11  1
 Okręgi symetryczne względem prostej - zadanie 2
Cześć! Mam problem z takim zadankiem: mam znaleźć równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej. Równanie okręgu: &#40;x+1&#41;^2+&#40;y-3&#41;^2=1 Równanie ogólne prostej: 2x-y=0 ...
 Bugmenot  5
 Wzajmne połóżenie prostej i okręgu
Witam Proszę o pomoc z takim zadaniem: Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o, jeśli o: \ x^{2}+y^{2}-6x=0; \ l: \ y=3x-1. Wykonaj stosowne obliczenia...
 sumeria  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com