[ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odł prostej od płaszczyzny
czy ktoś mógłby powiedzieć to jak rozwiązać to zadanie: na prostej \begin{cases} x=0 \\ y=t \\ z=t \end{cases} znajdź punkt odległy o 10 od płaszczyzny x+y+z=0...
 deafmute  4
 Znaleźć równanie prostej - zadanie 8
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt &#40;2,3,1&#41; i przez punkt przebicia prostej x = 1+t, y = −2t, z = 1+3t z...
 wojtekk-14  1
 Rownoległosc prostej
Wykaz, ze obrazem prostej w jednokładnosci jest prosta do niej rownolegla Moze jakis trop jakis pomysł... z gory dzieki ...
 Pan Mak  1
 Obliczenie równania prostej
Prosiłbym o dokładne obliczenia i wyjaśnienia, bo nic nie rozumiem z tych zadań. 1. Znajdź miary kątów trójkąta ograniczonego osią x, prostą y = -x + 5 oraz prostą y = \sqrt{3x} +7. 2. Jaki...
 Glazzz  1
 Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C..
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C jeśli: A (1, 3), B (5,1), C(4,4) Potrzebuje w miare prostego objasnienia. Dziekuje!...
 norbert_mistrz  13
 środek i promień okręgu i równanie prostej prostopadłej...
zad.1 Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu; x^2+y^2-4x+2y=0 zad.2 Napisz równanie prostej prostopadłej i prostej równoległej do prostej 2x-3y+1=0 zad.3 rozwiąż nierówności -x^2+3x i -2&lt;0....
 Misia1617  1
 Znajdź równanie prostej - zadanie 8
Polecenie: Znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y +1 = 0 i stycznej do okrędu o równaniu x^{2} + y^{2} - 4x - 2y + 4 = 0 Dos...
 Mathias666  4
 Punkty przecięcia dwóch krzywych
pierwsza krzywa: y=x ^{2}-4x druga krzywa: y=-x ^{2}+6x-8 jak się wyznacza punkty przecięcia dwóch krzywych? Mógłby ktoś pokazać?...
 wojtek_1231  5
 Odległość punktu od prostej - zadanie 13
Czy może mi ktoś powiedzieć jak rozwiązać to zadanie? : Dana jest prosta \vec{r} \times \vec{a} = \vec{b}, gdzie \vec{a}=\begin{bmatrix} 0\\0\\1\end{bmatrix}, \vec{b}= \begin...
 teqnick  0
 Wzajemne położenie prostej i okręgu - zadanie 7
1.Napisz równania stycznych do okręgu &quot;o&quot; i prostopadłych do prostej k: a)o:&#40;x+2&#41;^{2}+&#40;y-3&#41;^{2}=1; k: y=x b)o:&#40;x-5&#41;^{2}+y^{2}=9; k: y=-x 2. Napisz równania s...
 damjack  1
 Położenie prostej i okręgu
Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o, jeśli: o: x^{2} + y ^{2} + 6x + 2y = 0 l: x + y = 8 Jeśli prosta ma punkty wspólne z okręgiem, to oblicz ich współrzędne, wykonaj rysunek....
 wojtek993  1
 Punkty K i L
Punkty K=&#40;-2,2&#41; i L=&#40;3,4&#41; są końcami odcinka KL. Wobec tego: a) dla każdej liczby rzeczywistej m, prosta 5x+2y+m=0 jest prostopadła do odcinka KL...
 altmen  1
 odległości punktów na prostej od punktu
Mam prostą o równaniu y=2x+1 do prostej należy punkt A=&#40;1,3&#41;. Jak najszybciej znaleźć współrzędne punktów C i D leżących na prostej wiedząc że oba punkty są oddalone o 5 od punktu A ?...
 major37  2
 Równanie prostej - zadanie 64
Przez punkt A=&#40;-1,0&#41; poprowadź prostą zawierająca cięciwe okręgu x ^{2} +y ^{2}=2x+3 Zależy mi bardziej na krokach jak to rozwiązać niż samym wyniku ...
 arl3nu  3
 Przesunięcie prostej o wektor i odbicie względem osi OY
Prostą k przesunięto o wektor \vec{w} , a nastepnie otrzymany obraz przekształcono przez symetrię względem osi OY, uzyskując prostą l o równaniu 2x \ -5y \ +4 \ = \ 0[/tex...
 Sparth99  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com