szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź punkt oddalony od punktu A i prostej OY o 5
Znajdź punkt oddalony od punktu A &#40;2,1&#41; i od osi OY o 5. Próbowałem zrobić to z równania okręgu o środku w punkcie A i promieniowi równemu 5 ale nie mogę znaleźć 2 równania. [tex:2wr...
 Sanio17  1
 Zadanie z równania okręgu i równania prostej
Witam, Proszę o pomoc przy rozwiązaniu zadania: Naisz równanie prostej zawierającej tę cięciwe okręgu x^2 - 4x + y^2 + 2y + 1 = 0, którą punkt A=&#40;1; -\frac{1}{2}&#41; dzieli na dwie równ...
 Mateusz Kempa  9
 Odległość prostej od ustalonego punktu p.
Witam, mam za zadanie znaleźć odległość prostej, przechodzącej przez punkty o wektorach wodzących (względem punktu p): \vec{r}_1=\vec{e}_1+\vec{e}_2-\vec{e}_3\ \ \mathrm{i}\ \ \vec{r}_2=\vec{e}_1-\vec{e}_2 od tego pu...
 tomson485  0
 punkty kwadratu-wektory
witam mam do zrobienia następujące zadanie: &quot;Dane są punkty A&#40;-3,2&#41; oraz C&#40;2,-5&#41;, wiadomo że punkty te są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Podaj współrzędne pozosta...
 naznaczony  3
 Jaka figurę tworza punkty X- wektory
Dane są dwa różne punkty A, B. Jaka figurę tworzą wszystkie punkty X takie, że: a) A\vec{X} =t \cdot A \vec{B} i 0 \le t \le 1 b) A \vec{X} =t \cdot A \vec{B}[/tex:1tti4nft...
 mat-fiz  7
 Równanie parametryczne prostej
Napisz parametryczne równanie prostej przechodzącej przez punkt A i równoległej do wektora v w postaci wektorowej i we współrzędnych, jeśli a) A(1,4), V= ; b) A(-3,1), V = ....
 Michal_Walczuk  1
 odległość punktu od prostej..
P&#40;1,2,0&#41;\\L: \begin{cases} x+y-z-1=0\\ 2x-y-3=0 \end{cases} Przedstawiam prostą w postaci parametrycznej, wyliczam jej wektor kierunkowy. Z postaci parametrycznej biorę dowolny pkt A i Liczę wektor AP. Następnie l...
 johanneskate  1
 pkt symetryczny względem prostej-sprawdzenie wyniku
znaleźć pkt. B symetryczny do pktu A=(2,-1,3) wzgl prostej l l: x=3t y=-7+5t z=2+2t czy B=(4,-3,5) ? bo nie wiem czy dobrze obliczyłam. proszę kogoś o sprawdzenie...
 mavi  1
 Wspólne punkty przecięcia prostej z okręgiem
Witam, czy dobrze rozwiązałem ten układ równań dla danych x=1, y=1, r=1 ,a=1, b=0 y=x \left&#40; x-1\right&#41; ^{2} +\left&#40; x-1\right&#41; ^{2} =1 ^{2} [tex:3...
 superz666  3
 Równanie prostej - zadanie 135
Witam, potrzebują pomocy z następującym zadaniem: Znaleźć równanie parametryczne i krawędziowe prostej przechodzącej przez punkt p=&#40;3,-1,2&#41; i przecinającej prostopadle oś Oy. Stąd wyni...
 trolu3  1
 Wyznaczenie równania prostej prostopadłej
Wyznacz równanie prostej prostopadłej o równaniu y=-4x+3 przechodzącej przez punkt P=(12,-8)....
 damian18833  1
 równanie odcinkowe prostej
proszę pomózcie mi w przekształceniu równania prostej w postaci ogólnej 3x+4y=0 do postaci odcinkowej. z góry dziękuje za pomoc...
 dinozaur  3
 Równanie prostej - zadanie 63
Napisz równanie prostej do której należą punkty A=&#40;-3,-3&#41; oraz: a) równoległej, b) prostopadłej do prostej o równaniu 2x+5y-6=0...
 raissa  1
 punkty wspólne dwóch okregów
Witam Mam program do napisania tylko ze musze zacząc od rozwikłania sprawy od strony matematycznej a z tym mam troche kłopot i prosze o pomoc. Temat : Punkty wspólne dwóch okręgów mamy dane: A=(Xa,Ya); ra; B=(Xb,Yb); rb; Jak to rozgryźć i od czego...
 attyde  4
 Analiza położenia prostej i płaszczyzny (parametr)
Witam proszę o pomoc z zadaniem: Dana jest prosta krawędziowa l:\begin{cases} x-2y+z-9=0 \\ 3x+By+z+D=0 \end{cases} i płaszczyzna XOY. Przeprowadź analizę wzajemnego położenia prostej i płaszczyzny w zależności od para...
 kingap94  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com