szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie prostej prostopadłej do danej
Witam, potrzebuje małej wskazówki. Dajmy na to, że znalazłem już wzór prostej y=-2x+8 i teraz muszę wyznaczyć wzór prostej do niej prostopadłej, która zawiera punkt (-2,-2). Teraz piszę y=ax+b i tu mam problem - jaki powinien być współczynnik a i od ...
 septu  1
 punkt na prostej - zadanie 2
mam podane równanie prostej i jeden punkt leżący na tej prostej ktory ma byc końcem odcinka leżącego na tej prostej o długości podanej w zadaniu jak wyliczyć współrzedne tego punktu?...
 gaelle91  2
 Prosta przechdzaca przez punkt prostopadla do innej prostej
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej l: A=&#40;2,-5,3&#41; l: \frac{x+5}{3}= \frac{y}{-2} = \frac{z-1}{1} Prosze o wskazówke jak się za to zabra...
 woj250  5
 liczba punktów wspólnych okręgu i prostej
W zależności od parametru m wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu &#40;x-1&#41;^{2} + &#40;y+3&#41;^{2}=3 i prostej x+y-m=0. Dla m=1 wykonaj ilustrację graficzną. _________________ Więc robi...
 kujdak  1
 rownanie obrazu prostej;p
Napisz równanie obrazu prostej k w jednokładności J 2,0 jeżeli wiadomo, że prosta k przechodzi przez środek okręgu o równaniu x�+y�+8x-2y+1=0i jest prostopadła do wektora u=....
 konr_flis  2
 Odległość punktu od prostej... - zadanie 2
Zbadaj, w zależności od wartości parametru m \ &#40;m \in \RR&#41; liczbę punktów wspólnych okręgu o z prostą l, jeśli : o: \ &#40;x-1&#41;^2+&#40;y...
 Hajtowy  8
 Równanie krawędziowe prostej - zadanie 3
Witam, mam pytanie, jak z równania krawędziowego prostej otrzymać postać kierunkową?...
 Cziki  1
 Okrąg symetryczny do okręgu względem prostej
Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 względem prostej o równaniu x-y-3=0...
 kiero  1
 Wyznaczyć równanie hiperboli stycznej do prostej
Wyznaczyć równanie hiperboli, która jest styczna do prostej 3x-4y+4=0 w punkcie &#40;-12,-8&#41;. Jak się w ogóle za to zabrać? Mając hiperbolę i prostą prostopadłą/równoległą, potrafię wyzna...
 Alojzy Pompka  0
 punkty - zadanie 5
mamy punkt A=(o,-3) oraz srodek boku AB; E=(-1,2) Wyznacz punkt B...
 kuternoga  2
 Napisz równanie okręgu jeśli należą do niego dane punkty
Napisz równanie okręgu o promieniu \sqrt{5} jeśli punkt A &#40;0, 4&#41; i B &#40;-1, 1&#41; należą do tego okręgu...
 bobobob  3
 napisz rownanie prostej - zadanie 2
napisz rownanie plaszczyzny przechodzacej przez punkty P(1,0,2) i prostopadlej do prostaj l: 2x-y-z=0 x+3z-1=0-- 10 lut 2010, o 15:51 --\left[\begin{array}{ccc}i&amp;j&amp;k\\2&amp;-1&amp;-1\\1&amp;0&amp;3...
 adrianu  0
 Zadanie z równania okręgu i równania prostej
Witam, Proszę o pomoc przy rozwiązaniu zadania: Naisz równanie prostej zawierającej tę cięciwe okręgu x^2 - 4x + y^2 + 2y + 1 = 0, którą punkt A=&#40;1; -\frac{1}{2}&#41; dzieli na dwie równ...
 Mateusz Kempa  9
 Okrąg przechodzący przez 2 punkty
Programuje w javie, w ukladzie wspolrzednych bede wyprowadzac 2 proste, końce tych prostych stanowią 2 punkty na których musze 'postawić' okrąg przechodzący przez te punkty Wykres sie może zmieniac wiec te punkty za kazdym razem moze byc w innym miej...
 szpaczny  8
 Przekształcenia - punkty stałe i wyznaczenie obrazu prostej
a.) punkty stałe wyznaczasz z zależności \begin{cases} x&#39;=x \\ y&#39;=y \end{cases} \begin{cases} x+y+1=x \\ 2x-y=y \end{cases} \begin{cases} y+1=0 \\ 2x=2y \end{cases}[/te...
 marekpb  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com