szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie prostej l przechodzącej przez punkt.
Witam, Otóż mam zadanie: Znajdź równanie prostej l przechodzącej przez punkt &#40;1,0,3&#41; równoległej do płaszczyzny x-2y+z=0 oraz mającej punkt wspólny z prostą a wyrażoną równaniem [tex...
 Adrianovv  1
 rownanie prostej rownoleglej oddalonej o pewna odleglosc
napisz rownanie prostej rownoleglej do prostej o rownaniu x+y+2=0 i oddalonej od niej o 5 \sqrt{2}...
 Lyzka  9
 punkty symetryczne
Wskaż prostą, względem której są symetryczne punkty A(-1,0) i B(-1,0). odp. jest to oś rzędnych, czy dobrze rozwiązałem?...
 nogiln  4
 Napisz równanie okręgu do którego należą trzy punkty
A\left&#40; -2;3\right&#41; B\left&#40; -1;4\right&#41; C\left&#40; 3;6\right&#41;...
 saraxx  2
 punkty na jednej płaszczyźnie
Sprawdzić, czy punkty A(−1, 3, 2), B(0, 1, 5), C(−1, 2, 1), D(2, 1, 3) lezą w jednej płaszczyźnie. Wystarczy sprawdzić czy wektory AB i CD są komplanarne i jeżeli tak to będzie oznaczać że punkty A,B,C,D leżą na jednej płaszczyźnie??...
 lofi  0
 Dane są punkty
Punkty A = (-2; 1), B = (4; -1), C = (-1, 4) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. a) Oblicz pole trójkąta ABC. b) Oblicz długość okręgu opisanego na trójkącie ABC. c) Uzasadnij, ze < ABC ma marę mniejszą niż 300....
 mateusz3  2
 znajdz równanie prostej m
Prosze o pomoc w rozwiazaniu takiego zadania: Dana jest prosta k o równaniu y=2x-3. Znajdz równanie prostej m będącej obrazem prostej k w przekształceniu T...
 pawlik5101  1
 elemenety geometrii analitycznej- równanie prostej
W trójkącie ABC dane są wierzchołki A(1,4), B(2,1), C(5,3), wyznacz równanie prostej zawierającej środkową tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A....
 cytrynka114  3
 Rownanie prostej w przestrzeni
witam, mam problem. jest podana prosta L: x+2= -y = mz jak mam to interpretowac? teoretycznie wektor rownolegly do niej jest 0 0 0 ?! z gory dziekuje za pomoc...
 algebra  3
 Równanie prostej - zadanie 14
Punkty A=(-3,1) i B=(5,3) są symetryczne względem pewnej prostej. Napisz równanie tej prostej....
 Mathias666  2
 Sprawdź czy punkty leżą po tej samej stronie płaszczyzny.
Cześć, jak w temacie mam sprawdzić czy dwa punkty leża po tej samej stronie płaszczyzny. Nie bardzo mam pomysł jak to wyznaczyć. Na forum znalazłem podobny przykład, lecz sprowadziło się wszystko, tylko do stwierdzenia, iż jeśli wstawimy współrzędn...
 normandy  3
 znaleźć równanie prostej ograniczającej trójkąt
Przez punkt przecięcia prostych x=1 i x+y-2=0 przeprowadzono prostą ograniczającą wraz z osiami trójkąt o polu równym 1. Znaleźć równanie prostej....
 BabaJaga  0
 Równanie okręgu stycznego do prostej - zadanie 4
A na czym ten błąd polega? Nie chce popełnić go w przyszłości. Najpierw znalazłem równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt P (a ...
 Bartek1991  3
 symetria wzgledem podanej prostej
jak rozwiązać zadanie : Znajdz obrzy podanych pukntów w symetrii względem podanej prostej : a) A=(2;-4) , B=(0;-1) i x=3 b) A=(-3;-1), B=(-5;-2) i y=-3...
 a91  1
 Rzut prostej na płaszczyznę - zadanie 10
Witam! Mam znaleźć rzut prostej l _{1} : \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1} na płaszczyznę poprowadzoną przez prostą l: \begin{cases} 2x+3y+z-8=0 \\ x+4y-2z+3=0 \end{cases} równolegle do [tex...
 jadwiziga  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com