szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:29 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:47 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie okręgu stycznego do prostej o promieniu..
TRESC: Napisac równianie okręgu o promieniu r=\sqrt 5 i stycznego do prostej x - 2y -1=0 w punkcie A(3,1)...
 chudiniii  1
 punkt B symetryczny do punktu A względem prostej l
Znajdź punkt B symetryczny do punktu A=(3,-1,-7) względem prostejl: \begin{cases} x+y=0 \\ y+z=0\end{cases}...
 22mz  1
 rownanie prostej - zadanie 7
podstawa AB trojkata rownoramiennego ABC zawarta jest w prostej x+y+1=0. Ramie BC zawiera sie w prostej 2x-y-1=0. Wyznacz rownanie prostej k zawierajacej ramie AC wiedzac ze pkt P=(-4,0) nalezy do prostej k....
 pioonek  1
 Rzut prostej na płaszczyznę - zadanie 9
Zadanie dostałem takie: Wyznacz rzut prostopadły prostej: L: \left\{\begin{array}{1} x = 1 - t\\y = t\\z = 3 + t\end{array} na płaszczyznę o równaniu x - y + z = 0 Pomyślałem, żeby to zrobić ...
 Gouranga  2
 Prosta - dwa punkty wspólne z okręgiem
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = -3x + m ma dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu x ^{2} + 4x + y ^{2} - 6y = 0 Wyzna...
 matematykapl  2
 Równanie stycznych do okręgu, równoległych do prostej.
Potrzebuje pomocy w 2 zadaniach, byłabym również wdzięczna za wytłumaczenie krok po kroku. 1. Napisz Równanie stycznych do okręgu x^{2} +y^{2} +12x+17=0 , równoległych do prostej x+ y\frac{1}{2} -3=0.[/te...
 paulinka14205  1
 Znalezienie współczynnika kierunkowego prostej
Witam. Jak znaleźć współczynnik kierunkowy prostej gdy mamy podane, że przechodzi przez jeden punkt np. A(2,3)?...
 dawid91  13
 Punkty symetryczne względem p.ukł. współ.
CZE. NIE WIEDZIAŁEM GDZIE TO DAC WIEC DAJE TU. TAKIE ZADANIE: Dla jakich wartosci a i b punkty P= (a-1,2b) i P` = (-4, b+1) są symetryczne wzgledem poczatku ukladu wspolrzednych?? Z góry dzieki....
 Koller  2
 punkt leżący na prostej
Jaki jest wzór aby sprawdzić czy punkt leży na prostej ??? Czy mógłby mi ktoś podać ten wzór ??...
 DzbiQu  3
 odleglosc punktu od prostej
obliczyc odlaglosc punktu M&#40;3,4,5&#41; od prostej l: x+y-z=0...
 otw  7
 Podaj miarę kąta nachylenia prostej do osi OX
Witam, mam zadanie: Dane jest równanie prostej k, podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi OX jeśli: - k: y= 1 - \sqrt{3}x - k: y = -x + 2[/t...
 JaChceWolnyNick  1
 Napisać rownanie prostej
Napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej l: \sqrt{2}x - 2y + 2 = 0 i przechodzącej przez punkt B (1;-1). Bardzo proszę o pomoc....
 dejw17  1
 wspólne położenie 3 płaszczyzn
Robię zadanie i coś mi nie gra.. Mógłby mi ktoś powiedzieć gdzie robie błąd? Znalezc m dla ktorego 3 plaszczyzny przecinaja sie wzdluz prostej. H_{1}: m^{2}x+y+z=-m ; H_{2}: x+y+m= m^{2} ; H_{3}: x+z=1[/tex...
 ghallas  0
 równanie prostej równoległej do płaszczyzny
Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A&#40;1,0,-1&#41; równoległej do płaszczyzny 3x-2y-3z+3=0i przecinającej prostą \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2}[/t...
 sea_of_tears  2
 Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny - zadanie 2
Hej:) Nie ukrywam, że algebra liniowa spędza mi sen z powiek od kilku ładnych lat... Chyba z samego uprzedzenia do niej nie bardzo mi ona wychodzi:/ Mam zadanko, na którym utknęłam: Zbadać wzajemne położenie prostej i odcinka a=&#40;...
 monia0021  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com