szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zamiana parametrycznego równania prostej na równanie ogólne
Mamy: \begin{cases} x=1+s-2t \\ y=2-s \\ z=s+t \end{cases} czyli s i t zamieniamy na wektory \vec{s}=&#40;1,-1,1&#41; \\\vec{t}=&#40;-2,0,1&#41; to wektor kierunkowy płaszczyzny wynosi [tex...
 Vengan  2
 Punkty A=(7,8) i B=(-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC
Punkty A=(7,8) i B=(-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |BCA|=90 stopni. a)wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX...
 skowron6  1
 Równianie prostej - zadanie 2
Przez punkt A = (2,3) poprowadzono prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej... Na prawdę sprawia mi ogromną trudność ten dział (g. analityczna) i siedzę nad tym zadaniem już z godzinę,...
 nicolka2010  11
 Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do proskej...
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej określonej wzorem y=3 -5x jest równy: A) -\frac{1}{3} B) 3 C) -5 D) 1\5 Wiem, że prawidłowa odpowiedź to D... Ale dla czego !? Proszę o szybką odpowie...
 takashi17  4
 równanie prostej. - zadanie 8
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A&#40;-2,0&#41; i równoległej do prostej2x+y-1=0 oraz prostej przechodzącej przez punkt A&#40;-2,0&#41; i prostop...
 RycerzykLFC  4
 Punkty ABC wierzchołkami
Punkty A=(A,2), B=(13,4) C=(7,10) są wierzchołkami trójkąta. Mam do obliczenia... Długość boku BC, Równanie prostej zawierającej BC, oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka A. Równania wyznaczę, myślę bez problemu, ale...
 pablo89  3
 Punkty na płaszczyźnie
Na płaszczyźnie danych jest 6 różnych punktów, przy czym trójka z nich jest współliniowa. Udowodnić, że stosunek długości najdłuższego odcinka do długości najkrótszego odcinka wyznaczonego przez pary tych punktów jest nie mniejszy od 2....
 szymek12  0
 Rownanie prostej przechodzacej przez punkty
Napisz równanie prostej przechodzacej przez punkty A(1;1) B(-2;-8)...
 fito98  1
 Równanie stycznej do okręgu prostopadłej do prostej
Napisz równanie stycznej do okręgu x^{2}+ y^{2}=5 prostopadłej do prostej 2x-y=0...
 marabuta  3
 punkt P symetryczny do pkt P względem prostej L
jak w temacie, potrzebuje rozwiązania i to krok po kroku zadania typu znajdź punkt symetryczny do punktu P&#40;1,3,1&#41; względem prostej L L: \begin{cases} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 3 + 2t \end{cases}[/t...
 karolaine  3
 Wyznacz równanie a) płaszczyzny; b) prostej ?
\vec{AB} =\left \vec{u} \times \vec{AB}=\begin{vmatrix} \vec{i} &amp; \vec{j} &amp; \vec{k} \\3&amp;1&amp;5\\2&amp;-1&amp;3\end{vmatrix}=\left H:[tex:3bxi1yl...
 tommat19  9
 współczynnik kierunkowy prostej
Narysuj równoległobok o wierzchołkach: A(-5,-3) B(4,-1) C(7,4) D(-2,2). Oblicz współczynniki kierunkowe i napisz równania prostych zawierających boki tego równoległoboku. Czy współczynniki kierunkowe prostych zawierających przekątne tego równoległobo...
 mapa22  2
 Obraz prostej w symetrii względem punktu
witam mam taki problem jak by mi ktos to mogł wytłumaczyc bo potrzebuje do zadania a nie wiem zabardzo jak sie do tebgo zbrac zadanie jest takie: Znajdź równanie prostej y = 2x - 4 w symetrii środkowej względem punktu (3;-1)....
 sajmonns  1
 Czy punkt należy do prostej (w przestrzeni trójwymiarowej)
Jak w najprostszy sposób sprawdzić czy dany punkt S należy do prostej k w przestrzeni trójwymiarowej ? Prosta k wyrażona jest w postaci parametrycznej. Pierwsze co mi przyszło do głowy to podstawienie współrzędnych punktu do...
 oggylwiatko  3
 znajdź punkty przecięcia
ZNajdź punkty przecięcia: a) okręgu x^2+y^2-3x+5y-4=0 z osiami układu współrzędnych b) okręgów x^2+y^2-3x+5y-4=0 i x^2+y^2+x-7y=0...
 Monikaa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com