szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz pole trójkąta,którego wierzchołkami są punkty przecię
Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia wykresu funkcji y=\frac{1}{2}x^{2}+6x+16 z osiami układu współrzędnych....
 Eudoksja15  3
 Wyznaczenie równania prostej.
Prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych. Napisz równanie tej prostej wiedząc, że jej odległość od punktu A=(-3,4) jest równa 3. jeśli podstawię dane do wzoru na odległość punktu od prostej, to źle mi wychodzi ;p;p chyba, że robię jak...
 czarnaxyz  12
 punkty w równoległoboku i przystawanie trójkątów
a&#41; \ S=&#40; \frac{x_A+x_C}{2} ; \frac{y_A+y_C}{2} &#41;=&#40;2;-1&#41;\\ b&#41; \ \vec{BC} ==\\ A&#40;-4;1&#41; \rightarrow \vec{BC} \rightarrow D&#40;-4+7;1-9&#41;=&#40;3;-8&#41; c) Trójkąty są pr...
 pawelfajny  1
 Dane sa punkty ABC wyznacz odlgelosc punktu A od prostej BC!
więc 1. Wyznaczasz równanie prostej BC. B=(2,4) C=(3,3) 4=a*2+b 3=a*3+b /-1 --- 4=2a+b 3=3a-b --- 7=5a a= 5/7 4=2a+b 4=2*5/7 +b 4=5+b b=-1 y= 5/7 x-1 2. Wyznaczasz równanie prostej prostopadłej do BC i przechodzącej przez punkt A. y=5/7x-1 A=(-1,...
 Rumc  3
 znaleźć równanie prostej - zadanie 4
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A&#40;1,2,1&#41; i przecinającej dwie proste: l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-1}{2}, l_2: \frac{x-2}{2}=\fr...
 zibi79  1
 Wyprowadz wzór na odległóść punktu od prostej
witam mam problem z takim dwoma zadaniami. Wyprowadz wzór na odległóść punktu P_{0}&#40;x_{0}, y _{0} ,z_{0} &#41; od prostej l w przestrzeniR^{3} Napisać rówananie płaszczyzny stycznej do...
 ziolek899  0
 Równanie prostej - zadanie 70
Prosta K o równaniu y=\frac{\sqrt{3}k}{2} jest nachylona do osi OX pod kątem \alpha. Prosta L przechodzi przez punkt a=2 \frac{ \sqrt{3} }{\sqrt{5}} i jest nachy...
 freddie.  1
 wyznaczyć rownanie prostej
Wyznaczyc rownanie prostej prostopadłej do wektora \vec{u} =&#40; \vec{j}- \vec{2i}- \vec{k}&#41; oraz do wektora \vec{b}= zawierającej punkt A=(1,1,1). jest to zadanie ktore najpr...
 grzesiekzaw16  1
 punkt wspólny prostej z odcinkiem
pomóżcie oblicz dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu 2x-3y+m=0 ma punkt wspólny z odcinkiem Ab gdy A=(0,-1) B=(1,1)...
 asiula0321  1
 Napisac rownanie prostej przechodzacej...
Napisac rownanie prostej przechodzacej przez punkt P i rownoleglej do plaszczyz \pi_1 i \pi_2, gdy: P&#40;-1,0,2&#41;\\ \pi_1: \ 2x-y+3z-2=0\\ \pi_2: \ x+y-2z+3=0[/tex:1hz6gef8...
 wegian  1
 Równanie okręgu stycznego do prostej - zadanie 5
Proszę o pomoc: Wyznacz równanie okręgu o środku S=(-2,3) stycznego do prostej l o równaniu 3x+4y+14=0....
 start30  2
 rownainie okregu symetrycznego wzgledm prostej
Znajdz wspolrzedne srodka okregu, oblicz promien i narysuj okrag i przy okazji prosta y=2x. Przyjrz sie zaleznosci....
 nihat1  2
 dł.okręgu,równanie prostej prostopadłej,, równanie stycznych
1.Znajdź długość okręgu o równaniu &#40;x+2&#41;+&#40;x+2&#41;^{2}+&#40;x-3&#41;^{2}=16 2.Znajdź równanie prostej prostopadłej do 2x-4y+3=0 3.Wyznacz równania stycznych do okręgu [tex:39oxl0nk...
 radocha91  1
 znaleźć rzut prostej na płaszczyznę
znaleźć rzut prostej \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2} na płaszczyznę x + y + z = 0 jak to zrobic?:(...
 aannaa  3
 Równania prostej przechodzącej przez punkt przebicia
Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej: Prosta przechodzi przez punkt P=&#40;1,-1,2&#41; oraz przez punkt przebicia (punkt wspólny) prostej l:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}[/tex:nj9...
 maQu  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com