szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:29 
Gość Specjalny

Posty: 2624
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2009, o 23:47 
Gość Specjalny

Posty: 2624
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odległość punktu od prostej - zadanie 41
Chce obliczyć odległość punku &#40;x,sinx&#41; od prostej y=4. d=\frac{|0 \cdot x+sinx-4|}{ \sqrt{1} }=|sinx-4| czy to jest okej?...
 stanley12  3
 punkty jednakowo odległe
Znajdz rownanie krzywej, ktora tworza wszystkie punkty jednakowo odlegle od okregu x^2+y^2-2y=0 i prostej y+1=0...
 see-you  1
 równanie prostopadłej i równoległej do prostej
mam dany punkt P=&#40;2 ,-3&#41; i równanie prostej k: \ 2x-3y=0. Trzeba napisać równanie prostej prostopadłej oraz równoległej do k....
 phil77  3
 Równanie okręgu stycznego do prostej
Napisz równanie okręgu o środku S=&#40;3;-1&#41; stycznego do prostej y=2x+3 oraz równanie okręgu symetrycznego do niego względem tej prostej....
 nkwd  1
 odległość punkt od prostej
Witam, Bardzo proszę o pomoc z zadaniem: Oblicz odległość punktu P&#40;1;1;1&#41; od prostej wyznaczonej poprzez przecięcie się płaszczyzn: \pi _{1}: x+y+z=0 \pi _{2}: 2x-2z...
 jaranna  7
 równanie prostej w przestrzeni R3
Witam, mam zadanie, z którym mam trochę problemów: Przedstaw równanie prostej w przestrzeni \RR^{3} (odnotowując ich związek z odpowiednimi wektorami) oraz wyznacz kąt, pod jakim prosta prostopadła do wektorów [tex:2u50l...
 mailew17  1
 Suma odległości punktów od prostej-zadanie.
treść: na prostej o równaniu y=x-2 znajdź punkt, dla którego suma jego odległości od punktów A=(-3;4) i B=(1;5) jest najmniejsza. bardzo proszę o wskazówki, co do rozwiązania tego zadanka. jestem w 2 klasie LO wiec proszę o odpowiedzi bazujące na ...
 Agniesia  5
 Odległóść punktu od prostej - zadanie 42
WItam. Mam problem. Jak wyznaczyć współrzędne punktu jeśli mam podany wzór prostej oraz odległość owego punktu od tej prostej?...
 gratis71  3
 Promień świetlny... (znajdź równanie prostej)
Promień świetlny wysłany z punktu A=(5,9) odbija się od osi OX w punkcie B=(2,0), a następnie odbija się od osi OY. Znajdź równanie prostej, po której porusza się promień po odbiciu od osi OY. Proszę o wskazówki. Odbicie od prostej jak zmienia współ...
 jeremi  3
 Równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym
Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić krok po kroku, jak zrobić następujące zadanie? Podać równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym: \begin{cases} 2x + 3y + z = 6 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases} Na początek liczę sobi...
 opti  3
 Równanie prostej przechodzącej przez punkt i równogległej...
Witam, proszę o pomoc przy zadaniu: Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(1,-2) i równoległej do prostej przechodzącej przez punkty: A=(4,-5) i B=(-10,2) Z góry dzięki za pomoc!...
 rumun1990  7
 Dwa punkty plus jednokładność.
Punkt (0,0) jest obrazem punktu (1,1) w jednokładności o środku S. Jaki jest związek między współrzędnymi punktu S a skalą tej jednokładności??...
 Daniel_007  1
 Punkty na prostej odległe od siebie
Jak rozwiązać to zadanie: Na prostej x+2y=1 y-z=2 wskaż dwa punkty odległe od siebie o 3....
 Zoey123  3
 wyznacz punkty P i R na prostej k
Dana jest prosta k o równaniu x + y - 12 = 0 oraz punkt M = (-5,9) Wyznacz na prostej k takie punkty P i R, aby d...
 sweetdream52  0
 współczynnik kierunkowy prostej i symetralna
Dane są punkty A = &#40;-7, -1&#41; i B = &#40;5, -3&#41;. Oblicz współczynnik kierunkowy równania prostej l będącej symetralną odcinka AB.[/tex:1yhf...
 zenek781  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com