[ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: Ostrołęka
Witam

Proszę o rozwiązanie zadania:
,,Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x^{2}+(y+2)^{2}=7 z prostą o równaniu y=4x-2?"
Proszę o zrobienie jak dla chłopa, ponieważ przed sprawdzianem z tego jestem :)

Z góry dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:19 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Chcesz sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań:
\begin{cases} x^{2}+(y+2)^{2}=7 \\ y=4x-2 \end{cases}
y z drugiego równania wstawiasz do pierwszego i dostajesz:
17x^{2}=7
x^{2}=\frac{7}{17}
x= \pm \sqrt{\frac{7}{17}}
czyli układ ma dwa rozwiązania (każdemu z tych x-ów odpowiada jeden y), prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

W trudniejszych przykładach wystarczy policzyć deltę końcowego równania i na jej podstawie sprawdzić, ile jest rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Są dwie metody rozwiązywania tego typu zadań. Metoda pierwsza, metodą jak dla chłopa, wedle życzenia ;)

Z równania prostej wyznaczasz x lub y i wstawiasz do równania okręgu otrzymując równanie kradratowe. Liczysz następnie wyróżnik równania kwadratowego (delta) i masz 3 możliwości:
delta > 0 - okrąg ma z prostą dwa punkty wspólne
delta = 0 - okrąg ma z prostą jeden punkt wspólny
delta < 0 - okrąg nie ma punktów wspólnych z prostą

Teraz praktyka:

\begin{cases} y=4x-2\\x^2 + (y+2)^2 = 7\end{cases}

x^2 + (4x-2+2)^2 = 7

x^2 + 16x^2 - 7 = 0

17x^2 - 7 = 0

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 0^2 - 4 * (-7)*17 = 476

\Delta > 0

Odp. Okrąg ma z prostą 2 punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:29 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest ta druga metoda?

Poza tym, nie używaj delty na daremno :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
2 metoda wykorzystuje wzór na odległość punktu od prostej.

Znajdujesz współrzędne środka okręgu na podstawie jego równania. W Twoim przykładzie środek ma współrzędne S=(0;-2).

Drugim krokiem jest przedstawienie równania prostej w postaci ogólnej (Ax+By+C=0)

y=4x-2

-4x + y + 2 = 0

Następnie liczymy odległość tej prostej od środka okręgu:

d =  \frac { \left|Ax_{0} + By_{0} +C \right| }{ \sqrt{A^2+B^2}}

W naszym przypadku:
x _{0} = 0

y _{0} = -2

A = -4

B = 1

C = 2

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

d = \frac { \left| -4*0 + 1*-2 +2\right| }{ \sqrt{(-4)^2+1^2}} = 0

Teraz porównujemy otrzymaną odległość z promieniem. Jeśli:
d < r - okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prosta jest nazywana sieczną)
d = r - okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prosta jest nazywana styczną)
d > r - okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych

W tym przypadku d<r więc okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne :)

Obydwie metody są poprawne i decyzja należy do Ciebie, którą z nich wybierzesz.

Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 00:47 
Gość Specjalny

Posty: 2602
Lokalizacja: Warszawa
Wydawało mi się, że ta metoda, o której wspomniałeś, jest jakoś bardziej zmyślna. Nasunęło mi się to rozwiązanie ( z odległością od prostej ), jednak stwierdziłem, że jest mało efektywne. Ciężko byłoby trochę, gdyby współczynniki były brzydkie, tzn. jakieś trochę zagmatwane współczynniki niewymierne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Wielkopolska
Nic chyba bardziej zmyślnego nie idzie tutaj wymyślić ;) A co do metody to kwestia gustu, co kto woli. Podałem dwie, bo akurat moja matematyczka preferuje tą drugą metodę, stąd mi się tak nasunęła. BTW, sorki za zdublowanie odpowiedzi, ale zauważyłem po fakcie dopiero, że ktoś odpisał już :?

Pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkty na płaszczyźnie - zadanie 7
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane są punkty A=&#40;-5.2&#41; i B&#40;4,4&#41; oraz proste k i l tworzące z prostą o równaniu y=0 kąty o równych miarach. Wyznacz równania prostych k ...
 v_vizis  4
 Prosta l jest prostopadła do prostej k o równianiu
Witajcie, mam mały problem z tym pewnie prostym zadaniem. Prosta l: 2x + 7y + 1 = 0 jest prostopadła do prostej k o równaniu: a. 2x-7y + 1=0 b. 2x+7y+1=0 c....
 sennheiser123  6
 Na płaszczyźnie R dane sa punkty
Na płaszczyźnie R� dane sa punkty A = (3,1) B = (3,3). wyznaczyc wszystki takie punkty C &#8364; R� dla których wektory AB i AC tworza kąt o mierze 30° i ||AC|| = 1...
 -ONA-  0
 Punkty A=(7,8) i B=(-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC
Punkty A=(7,8) i B=(-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |BCA|=90 stopni. a)wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX...
 skowron6  1
 Jak sprawdzić, czy 3 punkty są współliniowe
Jak obliczyć czy punkty są współliniowe A=(0;3) B=(2,4) C=(-200;-97) Prosze o wytłumaczenie lub tylko na podanie drogi do celu......
 affi  10
 czy punkty leżą na jednej prostej
1) Czy punkty A = (2;−3; 2), B = (3;−1; 1), C = (−1; 2; 1) leżą na jednej prostej?. 2)Proszę obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (2; 1;−1), B =(1; 1; 0), C = (2;−1; 3) 3)Proszę obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkacie...
 Nattefrost  3
 odległość punktu od prostej - zadanie 41
Chce obliczyć odległość punku &#40;x,sinx&#41; od prostej y=4. d=\frac{|0 \cdot x+sinx-4|}{ \sqrt{1} }=|sinx-4| czy to jest okej?...
 stanley12  3
 odleg punktu od prostej 2
Dany jest trapez ABCD, gdzie A(3,-2), B(3,3), C(0,4), D(-15,4). a) Które boki trapezu są równoległe? Odp. uzasadnij. b) Oblicz długość wysokości tego trapezu....
 Natalia007  1
 Zadanie [Wyznacz rownanie prostej ]
Wyznacz rownanie prostej zawierajacej wysokosc trojkata ABC poprowadzona z wierzchlka C, jezeli: A= (-5, -3) , B= (0, -6 ) C= (2, -1)...
 nice88  2
 Punkty na płaszczyźnie
Na płaszczyźnie danych jest 6 różnych punktów, przy czym trójka z nich jest współliniowa. Udowodnić, że stosunek długości najdłuższego odcinka do długości najkrótszego odcinka wyznaczonego przez pary tych punktów jest nie mniejszy od 2....
 szymek12  0
 równanie prostopadłej i równoległej do prostej
mam dany punkt P=&#40;2 ,-3&#41; i równanie prostej k: \ 2x-3y=0. Trzeba napisać równanie prostej prostopadłej oraz równoległej do k....
 phil77  3
 Równanie prostej i okręgu 3
Dane są punkty B(-3,-3), B(7,2). Pierwsze miałam wyliczyć równanie okręgu (w postaci zredukowanej), którego średnicą jest odcinek AB. Wyszło mi x^{2}+y^{2}-4x+y-27=0 i to rozwiązanie jest ok....
 jeal  1
 Równanie okręgu stycznego do prostej o promieniu..
TRESC: Napisac równianie okręgu o promieniu r=\sqrt 5 i stycznego do prostej x - 2y -1=0 w punkcie A(3,1)...
 chudiniii  1
 Równanie stycznej do okręgu prostopadłej do prostej
Napisz równanie stycznej do okręgu x^{2}+ y^{2}=5 prostopadłej do prostej 2x-y=0...
 marabuta  3
 odległość punkt od prostej
Witam, Bardzo proszę o pomoc z zadaniem: Oblicz odległość punktu P&#40;1;1;1&#41; od prostej wyznaczonej poprzez przecięcie się płaszczyzn: \pi _{1}: x+y+z=0 \pi _{2}: 2x-2z...
 jaranna  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com