[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 523
Zbadać różniczkowalność funkcji f(x,y)= \sqrt[3]{x^3+y^3} w punkcie (0,0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2009, o 17:05 
Użytkownik

Posty: 100
Lokalizacja: Warszawa
ja to robiłem na cwiczeniach tak:

f'_{x}(0,0)= \lim_{dx \to 0 } \frac{f(0+dx,0)-f(0,0)}{dx}=\lim_{dx \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{(dx) ^{3}+ 0^3 }-0 }{dx}=1

Później analogicznie liczysz:
f'_{y}(0,0)= \lim_{dy \to 0 } \frac{f(0,0+dy)-f(0,0)}{dy}=\lim_{dy \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{0^{3}+ (dy)^3 }-0 }{dx}=1

Czyli grad f= [0,0].

f-->f(x,y) jest rózniczkowalna wtedy i tylko wtredy gdy:
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y)-[f' _{x},f' _{y} ][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

Podstawiasz więc wszystko do powyższego wzoru i sprawdzasz gczy granica sie zeruje.
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-0-[1,1][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

czyli
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-dx-dy}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

teraz mozesz sobie wziać taki podciag, dla którego(dx,dy)=(\frac{1}{n} , \frac{1}{n}) \rightarrow (0,0)

\lim_{n \to  \infty } \alpha ( \frac{1}{n}, \frac{1}{n})=\lim_{n \to  \infty }\frac{\sqrt[3]{ (\frac{1}{n}) ^3+ (\frac{1}{n} )^3}- \frac{1}{n} -\frac{1}{n}}{\sqrt{(\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{n})^2} }= \neq 0

Ponieważ granica podciagu jest rózna od zera, więc granica ciagu nie może być równa 0, a więc funkcja nie jest różniczkowalna w badanym punkcie.

ale sie napisałem..
mam nadzieje, że dobrze, jakby co to sa tu sprawniejsi w matematyce :)
pzdr
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 523
a jak sprawdzić ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 17:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Np z definicji:
|\sqrt[3]{x^{3} + y^{3}}| \le \sqrt[3]{2(\max\{|x|,|y|\})^{3}} = \sqrt[3]{2}\cdot\max\{|x|,|y|\} = \sqrt[3]{2}\cdot d((x,y),(0,0))\to 0
jeśli (x,y)\to 0, gdzie d oznacza metrykę maksimum.

Czyli f(x,y)\to 0 = f(0,0) gdy (x,y)\to (0,0), zatem funkcja jest ciągła w (0,0)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 17:42 
Użytkownik

Posty: 523
a na jakimś innym przykładzie?

-- 26 mar 2009, o 17:31 --

?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rózniczkowalność
Czesc..chcialabym zeby ktos krok po kroku powiedzial mi jak sie sprawdza rozniczkowalnosc funkcji..co trezba robic po kolei...bo nie za bardzo moge sie polapac z ksiazek..moze ktos z was moze mi pomoc..z gory dziekuje:)...
 baniusia88  0
 różniczkowalnośc
Wyznacz wartości a oraz b tak by funkcjia y=\frac{ax-4}{x+b} dla x ≤ 0 i y= \frac{2}{3}x-2 dla x>0 była różniczkowalna w punkcie x=0...
 lukiii1987  10
 różniczkowalność - zadanie 5
zbadać różniczkowalność f(x)=|x|^{|x|}...
 robin5hood  1
 różniczkowalność - zadanie 7
Sprawdź, czy funkcja $$ f(x,y) = ft\{\begin{array}{cc}exp(- \frac{1}{x^2+y^2} ) \mbox { dla } (x,y) \ ...
 Mazaki  0
 Różniczkowalność - zadanie 3
Witam! Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji wielu zmiennych brzmi: Jeżeli funkcja posiada pochodne cząstkowe w punkcie P i są one w tym punkcie ciągłe to funkcja jest różniczkowalna. Bardzo prosiłbym abyście rozwiali moje watpliwość. Aby ...
 KamilP  1
 różniczkowalność - zadanie 6
Znajdź wartość a i b tak aby funkcja f była wszędzie różniczkowalna na prostej rzeczywistej: f(x) = \begin{cases} 0 dla x \leqslant 0\\ a + sin(x + b) dla x > 0 \end{cases}...
 dziadek_18  1
 rozniczkowalnosc
obiczyc rozniczkowalnosc nastepujacych funkcji y= \arctan x \ \ \ \ dla \ \ \ \ \ |x|1...
 baniusia88  0
 różniczkowalność
Wyznacz wartości a oraz b (a, b \in R) tak, by funkcja f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac {ax-4}{x+b}\qquad dla \; x \leqslant 0 \wedge x \neq -b\\ \frac {3}{2} x - 2 \qquad dla \; x>0 \end{array}...
 _kamilkaaa  3
 różniczkowalność - zadanie 8
Wiecie może jak uzasadnić, że funkcja: \int\limits_{0}^{cos^{2}} \frac {e^{2t}}{\sqrt{t^{2}+5}} dt jest różniczkowalna w przedziale <0;3,14..> ?? ...
 takaJedna  0
 różniczkowalność - zadanie 4
Uzasadnij że funkcja f:R^{2} R F(x,y)=\begin{cases} \frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, &#...
 magdamala20  2
 różniczkowalność - zadanie 2
Jak z wykresu funkcji odczytać czy funkcja jest różniczkowalna?...
 Arvit  2
 Zbadaj różniczkowalność funkcji - zadanie 2
\int_{0}^{cos^{2}x} \frac{ e^{2t} }{ \sqrt{ t^{2} +5}} }dt uzasadnić że funkcja jest różniczkowalna w przedziale <0,pi> oraz zbadać jej monotoniczność i ekstrema w tym przedziale...
 marekgo2  2
 różniczkowalność w przestrzeni unitarnej i unormowanej
Witam. Chciałabym prosić o sprawdzenie czy rozwiązania następujących zadań są dobre: 1. Niech (X,<*,*>) będzie przestrzenią unitarną i niech y_0 \in X. Zbadać różniczkowalność po...
 malutka_87  2
 Różniczkowalnośc, pochodna kierunkowa
1) Zbadaj różniczkowalnośc w (0,0) f(x,y)=e- \frac{1}{ x^{2}+ y^{2} }, gdzie x^{2}+ y^{2} >0 oraz f(0,0)=0 2)Oblicz dwoma sposobami pochodn...
 D-Mic  1
 Różniczkowalność funkcji - zadanie 23
Witam. Mam pytanie. Chcę sprawdzić, czy funkcja dwóch zmiennych jest różniczkowalna w punkcie np. \left( 0,0)\right) Jeśli obliczę pochodne cząstkowe z definicji i np. wyjdzie mi: \frac{ \mbox{d...
 elpopo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com