szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 545
Zbadać różniczkowalność funkcji f(x,y)= \sqrt[3]{x^3+y^3} w punkcie (0,0)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2009, o 17:05 
Użytkownik

Posty: 100
Lokalizacja: Warszawa
ja to robiłem na cwiczeniach tak:

f'_{x}(0,0)= \lim_{dx \to 0 } \frac{f(0+dx,0)-f(0,0)}{dx}=\lim_{dx \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{(dx) ^{3}+ 0^3 }-0 }{dx}=1

Później analogicznie liczysz:
f'_{y}(0,0)= \lim_{dy \to 0 } \frac{f(0,0+dy)-f(0,0)}{dy}=\lim_{dy \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{0^{3}+ (dy)^3 }-0 }{dx}=1

Czyli grad f= [0,0].

f-->f(x,y) jest rózniczkowalna wtedy i tylko wtredy gdy:
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y)-[f' _{x},f' _{y} ][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

Podstawiasz więc wszystko do powyższego wzoru i sprawdzasz gczy granica sie zeruje.
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-0-[1,1][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

czyli
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-dx-dy}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

teraz mozesz sobie wziać taki podciag, dla którego(dx,dy)=(\frac{1}{n} , \frac{1}{n}) \rightarrow (0,0)

\lim_{n \to  \infty } \alpha ( \frac{1}{n}, \frac{1}{n})=\lim_{n \to  \infty }\frac{\sqrt[3]{ (\frac{1}{n}) ^3+ (\frac{1}{n} )^3}- \frac{1}{n} -\frac{1}{n}}{\sqrt{(\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{n})^2} }= \neq 0

Ponieważ granica podciagu jest rózna od zera, więc granica ciagu nie może być równa 0, a więc funkcja nie jest różniczkowalna w badanym punkcie.

ale sie napisałem..
mam nadzieje, że dobrze, jakby co to sa tu sprawniejsi w matematyce :)
pzdr
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 545
a jak sprawdzić ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 17:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Np z definicji:
|\sqrt[3]{x^{3} + y^{3}}| \le \sqrt[3]{2(\max\{|x|,|y|\})^{3}} = \sqrt[3]{2}\cdot\max\{|x|,|y|\} = \sqrt[3]{2}\cdot d((x,y),(0,0))\to 0
jeśli (x,y)\to 0, gdzie d oznacza metrykę maksimum.

Czyli f(x,y)\to 0 = f(0,0) gdy (x,y)\to (0,0), zatem funkcja jest ciągła w (0,0)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 17:42 
Użytkownik

Posty: 545
a na jakimś innym przykładzie?

-- 26 mar 2009, o 17:31 --

?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rózniczkowalność  baniusia88  0
 różniczkowalność  _kamilkaaa  3
 różniczkowalnośc  lukiii1987  10
 Różniczkowalność - zadanie 3  KamilP  1
 różniczkowalność - zadanie 6  dziadek_18  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com