szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 mar 2009, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 524
Zbadać różniczkowalność funkcji f(x,y)= \sqrt[3]{x^3+y^3} w punkcie (0,0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2009, o 16:05 
Użytkownik

Posty: 100
Lokalizacja: Warszawa
ja to robiłem na cwiczeniach tak:

f'_{x}(0,0)= \lim_{dx \to 0 } \frac{f(0+dx,0)-f(0,0)}{dx}=\lim_{dx \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{(dx) ^{3}+ 0^3 }-0 }{dx}=1

Później analogicznie liczysz:
f'_{y}(0,0)= \lim_{dy \to 0 } \frac{f(0,0+dy)-f(0,0)}{dy}=\lim_{dy \to 0 } \frac{ \sqrt[3]{0^{3}+ (dy)^3 }-0 }{dx}=1

Czyli grad f= [0,0].

f-->f(x,y) jest rózniczkowalna wtedy i tylko wtredy gdy:
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y)-[f' _{x},f' _{y} ][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

Podstawiasz więc wszystko do powyższego wzoru i sprawdzasz gczy granica sie zeruje.
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-0-[1,1][dx,dy]}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

czyli
\lim_{(dx,dy) \to (0,0) } \frac{\sqrt[3]{dx^3+dy^3}-dx-dy}{\sqrt{dx^2+dy^2} }=0

teraz mozesz sobie wziać taki podciag, dla którego(dx,dy)=(\frac{1}{n} , \frac{1}{n}) \rightarrow (0,0)

\lim_{n \to  \infty } \alpha ( \frac{1}{n}, \frac{1}{n})=\lim_{n \to  \infty }\frac{\sqrt[3]{ (\frac{1}{n}) ^3+ (\frac{1}{n} )^3}- \frac{1}{n} -\frac{1}{n}}{\sqrt{(\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{n})^2} }= \neq 0

Ponieważ granica podciagu jest rózna od zera, więc granica ciagu nie może być równa 0, a więc funkcja nie jest różniczkowalna w badanym punkcie.

ale sie napisałem..
mam nadzieje, że dobrze, jakby co to sa tu sprawniejsi w matematyce :)
pzdr
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 524
a jak sprawdzić ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Np z definicji:
|\sqrt[3]{x^{3} + y^{3}}| \le \sqrt[3]{2(\max\{|x|,|y|\})^{3}} = \sqrt[3]{2}\cdot\max\{|x|,|y|\} = \sqrt[3]{2}\cdot d((x,y),(0,0))\to 0
jeśli (x,y)\to 0, gdzie d oznacza metrykę maksimum.

Czyli f(x,y)\to 0 = f(0,0) gdy (x,y)\to (0,0), zatem funkcja jest ciągła w (0,0)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 524
a na jakimś innym przykładzie?

-- 26 mar 2009, o 17:31 --

?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 różniczkowalność - zadanie 8
Wiecie może jak uzasadnić, że funkcja: \int\limits_{0}^{cos^{2}} \frac {e^{2t}}{\sqrt{t^{2}+5}} dt jest różniczkowalna w przedziale <0;3,14..> ?? ...
 takaJedna  0
 rózniczkowalność
Czesc..chcialabym zeby ktos krok po kroku powiedzial mi jak sie sprawdza rozniczkowalnosc funkcji..co trezba robic po kolei...bo nie za bardzo moge sie polapac z ksiazek..moze ktos z was moze mi pomoc..z gory dziekuje:)...
 baniusia88  0
 różniczkowalnośc
Wyznacz wartości a oraz b tak by funkcjia y=\frac{ax-4}{x+b} dla x ≤ 0 i y= \frac{2}{3}x-2 dla x>0 była różniczkowalna w punkcie x=0...
 lukiii1987  10
 różniczkowalność - zadanie 5
zbadać różniczkowalność f(x)=|x|^{|x|}...
 robin5hood  1
 różniczkowalność - zadanie 7
Sprawdź, czy funkcja $$ f(x,y) = ft\{\begin{array}{cc}exp(- \frac{1}{x^2+y^2} ) \mbox { dla } (x,y) \ ...
 Mazaki  0
 Różniczkowalność - zadanie 3
Witam! Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji wielu zmiennych brzmi: Jeżeli funkcja posiada pochodne cząstkowe w punkcie P i są one w tym punkcie ciągłe to funkcja jest różniczkowalna. Bardzo prosiłbym abyście rozwiali moje watpliwość. Aby ...
 KamilP  1
 różniczkowalność - zadanie 6
Znajdź wartość a i b tak aby funkcja f była wszędzie różniczkowalna na prostej rzeczywistej: f(x) = \begin{cases} 0 dla x \leqslant 0\\ a + sin(x + b) dla x > 0 \end{cases}...
 dziadek_18  1
 rozniczkowalnosc
obiczyc rozniczkowalnosc nastepujacych funkcji y= \arctan x \ \ \ \ dla \ \ \ \ \ |x|1...
 baniusia88  0
 różniczkowalność
Wyznacz wartości a oraz b (a, b \in R) tak, by funkcja f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac {ax-4}{x+b}\qquad dla \; x \leqslant 0 \wedge x \neq -b\\ \frac {3}{2} x - 2 \qquad dla \; x>0 \end{array}...
 _kamilkaaa  3
 różniczkowalność - zadanie 4
Uzasadnij że funkcja f:R^{2} R F(x,y)=\begin{cases} \frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, &#...
 magdamala20  2
 różniczkowalność - zadanie 2
Jak z wykresu funkcji odczytać czy funkcja jest różniczkowalna?...
 Arvit  2
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 7
Jak sprawdzić różniczkowalność funkcji: f(x)= \begin{cases} xsin(\frac{1}{x}) \dla\ x \neq 0 \\ 0\ dla\ x=0 \end{cases}...
 s-e-b  3
 Różniczkowalność funkcji. - zadanie 4
Czy funkcja f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} określona wzorem : f(x) = \begin{cases} e^{- \frac{1}{x} } ; x>0 \\ 0 ; x \le 0\end{cases} jest różniczkowalna ? Znajd...
 humax  7
 Różniczkowalność funkcji w punkcie/geometria w R3
1) Czy funkcja \begin{cases} \frac{e^{x} - 1}{x} &\text{dla } x \neq 0 \\ 1 & \text{dla } x = 0 \end{cases} ma pochodną w punkcie x = 0? Jeżeli tak to znaleźć wartość tej pochodnej. ...
 shqullaz  0
 Zbadać różniczkowalność funkcji - zadanie 2
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-2x-2 \ dla\quad x1 \end{array}...
 siekieracku  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com