[ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Stargard
1) Przedstawić równanie prostej l : \begin{cases} 3x - 2y + 5z -1 = 0 \\ 2x - y + 2z - 2 = 0 \end{cases} w postaci kanonicznej i parametrycznej.
2)Znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt A(2,-1,3) i prostopadłej do płaszczyzn x+y+z=0 i x-y=0
3)Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierające proste:
l _{1}:\frac{x-3}{-2}= \frac{y-1}{3}= \frac{z-2}{1} l _{2}:\begin{cases} x=1-2t \\\ y=3t \\z=3+t  \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2009, o 20:23 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Stargard
1. wprowadzasz t=z

\begin{cases}3x-2y=1-5t\\2x-y=2-2t \end{cases}
po wyliczeniu układu równań powinieneś otrzymać:
x=1+t, y=4t, z=t. z tego możesz określić wektor kierunkowy prostej: a=[1,4,1] oraz P(1,0,0)

teraz tylko wystarczy podstawić:
postać kanoniczna:
\frac{x-1}{1}= \frac{y}{4}=\frac{z}{1}

postać parametryczna:
l: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,4,1)
\begin {cases}x=1+t\\y=4t\\z=t\end{cases}

2. jeśli mnie moja wyobraźnia nie myli, prosta ta powinna być równoległa do krawędzi płaszczyzn.
więc powinna być równoległa do iloczynu wektorowego wektorów normalnych obu pł.
N _{1} \times N _{2} =a
a=[1,1,-2]
teraz wystarczy stworzyć prostą o wektorze kierunkowym a i przechodzącą przez punkt A
l: (x,y,z)=(2,-1,3)+(1,1,-2)t
i ewentualnie zamienić na wygodniejszą postać ;)

3. niestety proste te są równoległe (iloczyn wektorowy wektorów kierunkowy =0).
Ale myślę, że można zrobić wektor z punktów leżących na obu prostych:) z równań obu prostych wyznaczamy P1(3,1,2) i P2(1,0,3). Tworzymy wektor P1P2=[-2,4,8]=2[-1,2,4].
Teraz wyznaczamy wektor normalny szukanej płaszczyzny z iloczynu wektorowego wektora kierunkowego obu prostych i wektora P1P2. Mi wyszło N=[-1,2,4]. Teraz obieramy dowolny punkt należący np. do prostej l2, za t podstawmy powiedzmy 1, otrzymamy punkt B(-1,3,4).
Teraz wystarczy z równania A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 stworzyć płaszczyznę podstawiając dane punktu B(x0,y0,z0) oraz wektora normalnego N=[A,B,C]
Mi wyszło
-x+2y+4z-23=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2009, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Stargard
Co do pierwszego zadania to nie jestem pewien ze względu na to, że odczytałeś współrzędne wektora kierunkowego prostej z parametru z, który przecież nie przedstawia tego wektora. Ja zrobiłem to zadanie w ten sposób, że również za z przyjąłem parametr t\in R i w ten sposób podstawiając za t dowolną wartość otrzymasz P_{0}. A wektor kierunkowy otrzymałem z iloczynu wektorowego 2 płaszczyzn.
Co do drugiego: prosta prostopadła do 2 płaszczyzn jest równoległa do ich krawędzi? Może i tak ale byłaby to prostopadłość w której prosta nie przecina się z płaszczyznami.
Co do trzeciego: skoro proste są równoległe w tym przypadku pokrywają się i kąt miedzy nimi jest 0, więc iloczyn wektorowy też powinien wynosić 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2009, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Stargard
Ad.1 Napisałem równanie prostej względem parametru z, ponieważ mamy 2 równania i 3 niewiadome, więc rozwiązania będą względem jakiegoś parametru. Hmmm ale faktycznie, powinno się wyznaczyć wektory normalne obu płaszczyzn tworzących prostą, następnie zrobić ich iloczyn wektorowy. Potem o ile żadna z liczb w tym iloczynie nie wynosi 0, to podstawiamy np za nią zero, i obliczamy tym sposobem układ, co nam da współrzędne punktu. Z punktu i iloczynu wektorowego tworzymy równania prostej.

Mi wyszło tym sposobem:
\begin{cases} x=t \\ y=-8+4t \\ z=-3+t \end{cases} - parametryczne
\frac{x}{1} =\frac{y+8}{4}=\frac{z+4}{1}

Ad.2 A gdzieś pisze że ta prosta musi się przecinać? Nie mogę sobie wyobrazić jakby to mogło inaczej wyglądać, skoro płaszczyzny nie są równoległe, a prosta ma być prostopadła do obu. Bo z tego co wiem, prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeżeli jest prostopadła do dwóch prostych należących do niej. Zaraz jeszcze spróbuje coś wykombinować ;)

Ad.3 Oczywiście, iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych obu prostych równoległych wynosi zero, bo wektory te są identyczne, dlatego to jest szczególny przypadek. Proste te różnią się jedynie "punktem przyłożenia w przestrzeni" (tak to przynajmniej widzę). Ale przecież znamy również punkty które leżą na tych prostych i możemy je odczytać z równań. Dlatego wykorzystałem je i zrobiłem z nich wektor, który następnie wymnożyłem wektorowo z wektorem kierunkowym.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu
czesc ! sluchajcie mam takie pytanko: mam okrag O - (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2 - normalka mam tez punkt A o wspolrzednych xA,yA S(x0,y0) - srodek oraz r I teraz schody: jak mam znalezc rownanie ogolne stycznej, stycznych i wpsolrzednie punktu stycznosc...
 Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem
Witam. Jak obliczyc punkt przecięcia prostej y=ax+b z okręgiem y^2 = r^2 - (x - p)^2? Piszę pewien mały programik - siedzę już na tym wzorem ze dwie godziny i nijak mi to wychodzi... ...
 Anonymous  5
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost
Potrzebuję wzory na odległość punktu od prostej, odległość dwóch prostych... Najbardziej usatysfakcjonowałby mnie link do jakiejś strony z wzorami z geometrii analitycznej. Z góry dziękuje....
 Anonymous  1
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan
Mam zadańko: Zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie: x^2 +y^2 = 2x - 4y +1 to według mnie jest okrąg, ale w odpowiedzach pisze ze to jest zbiór jednopunktowy - a jak wy uważacie??javascript:emoticon(':?:')...
 Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu
Mam napisać rownanie prostej wiedzac ze nalezy do niej punkt P(1,-3) i jest ona styczna do okregu x^2+y^2-6x-2y+6=0. Obliczyłam ze S(3,1) r=2 i wiem ze beda takie 2 proste, bo jedna to bedzie x=1 ale mam klopot z wyznaczeniem tej drugiej....
 Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty
siema ! czy jest ktoś kto mógłby mi wytłumaczyć jak sie wyznacza równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty ?? byłbym wdzięczny jeśli jeszcze dziś otrzymam odpowiedź...
 mnk  1
 Równanie kllepsydry.
Witajcie! Ostatnio zagiął mnie znajomy pytając się jak znaleźć równanie klepsydry... wiadomo, ze w porządnej klepsydrze w jednostce czasu ta sama ilość opiasku przelatuje w dół... później jak juź uda się znaleźć właściwą zależność pewnie będzie trze...
 Anonymous  3
 Wyznacz równanie krzywej jaką opisuje wierzchołek krzywe
Witam, Mam takie polecenie: Wyznacz równanie krzywej, jaką opisuje wierzchołek paraboli o podanym równaniu, jeśli m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Szczerze mówiąc, nie rozumiem zbytnio tego polecenia ale starałem się robić przykład wedle schematu ...
 apacz  4
 Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu
Czy ktos zna rownanie stycznej do okregu x*x+y*y=1 przechadzacej przez punkt A (xA,yA) przyczym, xA *xA + yA*yA >1 prosze o pomoc...
 _el_doopa  2
 Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=x
Pytanie jak w temacie. Jak to się robi? odwrotność x ze znakiem minus?...
 apacz  3
 Napisz równanie płaszczyzny zawierajacej trójkąt
Chyba powinnam to pytanie umieścić tutaj: Jestem na pierwszym roku studiów (ekonomia) i matematyka zaczęła mi sprawiać trudności. Mam takie zadanko, czy ktos mógłby mi powiedzieć, jak się je rozwiązuje? Nawet może być rozwiązane bez większego tłumac...
 zaga  6
 Pole i obwod trapezu , równanie prostej
A wiec tak mam dwa zadanka ktorych niestey niepotrafie rozwiazac. Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego A B C D o podstawie A B wiedzac , ze punkty A (-1,4),B(5,-2),C(7,3) sa kolejnymi wierzcholkami tego trapezu. Do prostej l należa punkty A ...
 Anonymous  1
 Napisz równanie prostej prostopadłej i równoległej
Bardzo was proszę o pomoc potrzebuje to na wczoraj. Z góry wielkie dzięki, przesyłam cieplutkie pozdrowionka ...
 Anonymous  2
 Znajdź równanie symetralnej cięciwy. Wyznacz współrzÄ
Prosta o równaniu x-2y+2=0 przecina okrag o O: x^2+y^2-6x-16=0 w punktach A i B. Znajdź rownanie symetralnej m cieciwy AB. Wyznacz współrzędne takiego punktu M należącego do m, dla którego trójkąt ABM jest prostokątny. Z góry dzięki...
 Anonymous  1
 Trzy punkty - równanie okręgu.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(-3,1), B(1,3), C(3,1)...
 judge00  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com