szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć pole powierzchni.  marcinek92  7
 Pole powierzchni. Gdzie mam błąd?  dawid.barracuda  2
 Obliczanie całki przez podstawianie  dawid1990  7
 Obliczyć strumień przepływu pola  mm34639  5
 Pole powierzchni powstele przez obrot krzywej dookola osi  osebcio  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com