[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni kuli
Aby wyprowadzić wzór na pole pow kuli należy skorzystać ze wzoru na całkowanie , ale jak dojść do tego???...
 exscyzor  2
 Oblicz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi.
Oblicz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi(określ normalny obszar). y=4-x^{2} \ \ \ y=3x \ \ \ y=3 Normalnie to pierw szukam punktów przecięcia czyli: 4-x^{2}=3x \ \ \ i \ \ \ 3x=3[/tex:...
 Jasiulkr  2
 stosunek pola - zadanie 2
W jakim stosunku parabola y^{2}=2x dzieli pole koła x^{2}+y^{2}\leqslant 8. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu, lub jakieś naprowadzenie ...
 Danek  4
 przecięcie brył
Mam tutaj dwa cylindry i muszę znaleźć objętość ich przecięcia C _{1} = {(x, y, z) : x^{2}+y^{2} \le r^{2} } oraz C_{2} = {(x, y, z) : x^{2}+z^{2} \le r^{2} } Przyznaje nie ma...
 Absx  1
 całki -obliczanie objetosci
potrzebuje pomocy przy obliczeniu objetosci bryly ograniczonej prostymi za pomoca calek x=0 x=1 y=1-x z=0 z=10-5x-2y[/...
 pola143  1
 Strumień pola przez powierzchnię zamkniętą
Witam Zadanie, a dokładniej dwa jak w temacie: Obliczyć strumień pola wektorowego U=x^2\mathrm{i}+y^2\mathrm{j}+z^2\mathrm{k} przez ca...
 qavaxb  1
 Obliczanie całki potrójnej - zadanie 2
\int \int \int (x ^{2}+y^{2}) dxdydz gdzie V: \begin{cases} x ^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x ^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{cases} Granice całkowania: \begin{cases} 0 \le \psi \le ...
 marcinek16marcin  6
 Pola figur pod wykresem - całka oznaczona
Oblicz pole powierzchni figury zawartej pomiędzy krzywymi: y=2; y= \frac {1}{x} ; y=x^{2} ; x>0 Proszę tylko o zapisanie tego jako całka oznaczona, z obliczeniem sobie poradzę. Bardzo proszę o jak najszybszą odpowiedź ...
 Watari  1
 Objętość bryły i pole powierzchni
Witam, mam 2 zadania: 1. Objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z=2 \sqrt{x^2 + y^2} z=3-x^2-y^2 Należy to zrobić na całce podwójnej czy potrójnej i jaki jest wzór? 2. Pole powierzchni obszaru z=2 \...
 Piotrek71  7
 pole czesci powierzchni
Obliczyc pole czesci walca parabolitycznego 2z=y^2 wycietej plaszczyznami x=\frac{1}{2}y , x=2y, y=2\sqrt{2} więc wyliczylam te pochodne czastkowe i doszlam ze ; \iint...
 Vixy  3
 Całka po polu powierzchni
Witam, Mam problem z paroma przykładami. Wzór znam, ale albo gdzieś robię błędy w rozumowaniu albo te przykłady są takie głupie. Polecenie: Obliczyć całki \iintfds, gdy: 1) f(x,y,z)=x+y+\sqrt{\fr...
 TheBizarre  1
 wyjaśnienie problemu dotyczącego pól powierzchni
mam taki problem związany z obliczaniem pól powierzchni ograniczonych wykresami funkcji nie rozumie dlaczego w niektórych zadaniach po narysowaniu wykresów liczy się tylko jedno pole powierzchni np \begin{cases}y= X^{2} -2 \\ y=x \end...
 astarot20  3
 Obliczanie mas brył
Cześć. 1) Obliczyć masę bryły \begin{cases} z \le 3-x^{2}-y^{2} \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 9 \end{cases} z gęstości \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Z policzeniem całki nie będzie problemu. Chodzi mi głów...
 Assassin-Girl  6
 Pole powierzchni plaskiej
dana funkcja r=r( \alpha )= acos3 \alpha gdzie a>0 prosze krok po kroku jak rozwiązać tego typu zadanie...
 Kamil18  1
 objętośc brył
obliczyć objętość brył ograniczonych podanymi powierzchniami 1.x ^{2} +y ^{2} -2y=0 , z=x^{2} +y ^{2} , z=0 2.x ^{2} +y ^{2}+z ^{2} -2y=0 3.(x-1) ^{2} +(y-1...
 szimano1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com