szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pole części powierzchni, współrzedne biegunowe
Obliczyć pole części powierzchni z=x^{2}+y^{2} zawartej między płaszczyznami z=1 i z=9, zastosować współrzędne biegunowe. Wiem jak to wygląda, wiem jak działają współrzędne biegunowe tylko jak to policzyć? Bo tam będą ...
 stempien  0
 Pola obszarów ograniczonych krzywymi
Właściwie to chcialem zapytać jaki byscie zaznaczyli obszar... i dlaczego x^{2}+ y^{2}-2y=0 x^{2}+ y^{2}-4y=0...
 MarcinJelenia  9
 pole powierzchni bocznej stozka - zadanie 2
korzystajac ze wzorow na pole powierzchni bocznej bryly obrotowej wyprowadz wzory na objetosc i pole powierzchni bocznej stozka o promieniu r i wysokosci h. Rozwaz obszar ograniczony liniami x=o, x=h , y=0. y =\frac{rx}{h}[/tex:2f4oe4...
 Atraktor  6
 całki oznaczone - obliczyc pole powierzchni
obliczyc pole obszaru ograniczonego a) okregiem x ^{2} + y ^{2} = 25 i parabolą y ^{2} = x + 5 i zawierającego punkt (0,0) w swoim wnętrzu. b) krzywymi y= log x[/tex:1ae...
 agan.  7
 pola obszarów - zadanie 4
obliczyc pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi 1.y ^{2} =4x, x+y=3, y=0 (y qslant 0) 2.x ^{2} +y...
 szimano1  1
 Pola obszarów - zadanie 2
Dana jest funkcja f(x)= \sqrt{x} e ^{2x-8} a) wyznaczyć styczną do wykresu funkcji w punkcie x _{0} =4 b) narysować wyznaczoną styczną i obliczyć pole obszaru ograniczonego przez narys...
 Dj Tiesto  9
 Obliczenie pola obszaru... postać parametryczna
Witam mam problem z obliczeniem tego pola, bardzo prosze o pomoc... x(t)=t^{2}-1 y(t)=t^{3}-t Nie ma podanego przedziału całkowania ale ja doszedłem do czegoś takiego... [tex...
 infeq  3
 Dwie objętości
Poległem....Albo już zrycie umysłu... Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami: 1. z^{2} = x^{2} + y^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 2. 3z = x^{2} + y^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} ...
 Tobol  1
 obliczyć strumień pola
witam mam takie zadanko obliczyć strumień polaf(x,y,z)=(0,0, x+y) przez powierzchnie która jest kwadratem o wierzchołkach(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0) i(1,0,0)[/tex...
 zuku8818  0
 Strumień pola wektorowego - zadanie 10
Oblicz strumień pola wektorowego F=(x^{2},y^{2},z^{2}) przez zewnętrzną stronę powierzchni \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^{2}}{16} = 1 Czy mógłby ktoś krok po kroku wyjaś...
 zeegy1  2
 Całka obliczanie analityczne lub numeryczne.
Witam. Mam problem z policzeniem poniższej całki. u(1)= \int_{0}^{1} \left( \sqrt{1- \left( \frac{ \partial v}{ \partial s} \right) ^{2} } -1 \right) ds, v=T( \tau ) \cdot ...
 djpierug  2
 pole powierzchni, całka oznaczona sprawdzenie
Witam, proszę o sprawdzenie mądrzejszych ode mnie: policz pole powierzchni zawartych między funkcjami: y=x ^{3} , y=2x x^{3}=2x x_{1}= \sqrt{2} x_...
 slec  3
 policzyć pole powierzchni ograniczonej funkcjami
mam na zadanie policzyć pole ograniczone wykresami funkcji: x=2a i y^{2}= \frac{x^{2}}{2a-x} -- 6 cze 2013, o 20:16 -- jeśli się nie mylę, zadanie sprowadza się do policzenia całki: [tex:1l1...
 JakubCh  2
 pole powierzchni - zadanie 13
może ktoś pomóc obliczyć obszar ograniczony krzywymi: xy=2 x+y=3...
 sivo  3
 Obliczenie pola powierzchni
Witam! Bardzo bym prosił o pomoc w obliczeniu pola powierzchni. Otóż mam wykres, który nie jest zadany wzorem i chcę obliczyć pole powierzchni pod tym wykresem. Wydaje mi się, że najlepiej będzie to zrobić całką Riemanna, ale niestety nie mogę sobi...
 scooby117  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com