szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Strumień pola wektorowego problem
Obliczyć strumień wektora F= \left przez powierzchnię czworościanu pkt \left( 0,0,0 \right), \left(1,0,0 \right) , [tex:398z...
 bizzy  1
 Obliczanie płatów powierzchniowych
Witam. Bardzo bym prosił o pokazanie mi jak rozwiązać takie oto dwa zadanka: 1) Obliczyć pole płata powierzchniowego z=xy dla x^{2}+y^2\leqslant3. 2) Obliczyć pole płata powierzchniowego [...
 ...::PROZAC::..  2
 Oblicz pracę sił pola. - zadanie 2
F= \left I mam obliczyć pracę sił pola podczas po drodze z punktu A=\left(1, \pi\right) \ \ B=\left(2, 2 \pi\right)[/t...
 gobi12  2
 Obliczanie pola pod wykresem
Wynik w odpowiedziach jest poprawny, zamieść swoje obliczenia. D_{1}:\\ 0\leqslant x\leqslant 1\\ \sqrt{x}-1\leqslant y\leqslant 2x+2\\ \\ D_{2}:\\ 1\leqslant x\leqslant 4\\ \sqr...
 paolaaa11  7
 Obliczenie objętości - całka potrójna
Bardzo proszę o pomoc z obliczeniem objętości. Trzeba obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami \ 2 z = x^{2}+y^{2} oraz \ z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} Całkę zapisałałam tak: [tex:2u...
 hannah000  5
 Pole powierzchni bryły obrotowej względem prostej o równaniu
Witam. Mam za zadanie obliczyć pole powierzchni bryły powstałej z obrotu obszaru pod cykloidą zadaną równaniem parametrycznym: \begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases} dookoła prostej o r...
 huteusz  2
 objętość i pole powierzchni bryły obrotowej
Proszę o pomoc! Oblicz objętość i pole powierzchni bryły obrotowej powstałej z obrotu krzywej x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t\in\langle 0,2\pi\rangle...
 titka19  4
 Całka oznaczona (bryły,pole powierzchni)
Witam, dostałem ogromny zakres na kolokwium i zostało mi parę zadań z którymi nie mogę sobie poradzić, gdyby ktoś mógł je zrobić byłbym niesamowicie wdzięczny. 1. obliczyć pole figury ograniczonej: a) elipsą daną za pomocą równań parametrycznych [te...
 icewater  1
 obliczanie pola przez calke
Witam mam problem io nie wiem gdzie robie blad bo pole wychodzi mi ujemne y=x-7, y=x^{2}-6x+3 po obliczeniu otrzymuje całkę \int_{2}^{5}-x^{2}+7x-10=\left[ \frac{x^{3}}{3}...
 lokiec16  1
 Obliczanie objętości bryły obrotowej
Witam. Mam problem z następującym zadaniem: Obliczyć objętość bryły obrotowej otrzymanej przez obrót wykresu funkcji y=\cos 2x, x \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{4}\right\rangle Otrzymałem taką całkę, ale nie mam pomy...
 aigore  1
 Obiczenie pola powierzchni
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi: y=e^{x} \ y=e^{-x} \ x=1 Wykres jest już narysowany no i mam ładny obszar, w takich sytuacjach co mam dalej robić? ( powoli )....
 Quaerens  10
 Pola płatów
obliczyć pola podanych płatów 1.{\sum} - część paraboli 2x+3y+z-6=0 wycięta przez walec x ^{2} +y ^{2} =4 2.{\sum} - część para...
 szimano1  6
 cyrkulacja pola wektorowego - zadanie 2
Witam, mam pewien problem z zadaniem. Jak mam wyznaczyć powierzchnię, po której całkuję? Treść zadania: Obliczyć cyrkulację pola wektorowego A= wzdłuż krzywej L:x^2+y^2=1 , [tex:10...
 deafmute  1
 Obliczanie calki z definicji
mam takie zadanie. korzystajac z definicji obliczyc calki ( uzasadniajac uprzednio ich istnienie) i mam np taka calke \int_{-2}^{3} x^{2} dx kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac. i licze na wskazowki :/ jak juz be...
 Misiaulin  3
 Dywagacje na temat pola i objętości kuli
... a w zasadzie nie tylko kuli, ale wszystkich brył obrotowych. Chcemy policzyć objętość bryły która powstała w wyniku obrotu dodatniej funkcji f(x) na przedziale wokół osi x. Sumujemy sobie objętości infinitezymalnie "płaskich" walc...
 jacekvool  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com