[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Objetość brył obrotowych
Witam. Mam takie zadania do rozwiązania i byłbym bardzo wdzięczny za jakąkolwiek pomoc i ewentualne wskazówki. 1. Obliczyć objętość dla: a) V=? dla 2y=x^2, 2x + 2y - 3 = 0 wokół osi [...
 jakubek  3
 pole powierzchni, całka oznaczona sprawdzenie
Witam, proszę o sprawdzenie mądrzejszych ode mnie: policz pole powierzchni zawartych między funkcjami: y=x ^{3} , y=2x x^{3}=2x x_{1}= \sqrt{2} x_...
 slec  3
 Obliczanie obszaru ograniczonego krzywymi.
Mam z tym problem moglby ktos to wytlumaczyc na przykladzie zadania "Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y= -\frac{2}{3}x^2 + x \\ y=\frac{1}{3}x^2 - x - 3 Z gory dziekuje....
 matmatozuo  2
 Objetosci bryl - zadanie 2
Witam, Mam problemik z 3 podpunktami : 1. (obliczyc objetosc bryly powstalej z obrotu dookola osi OX) 2ay=x^2.\ \ 2bx=y^2 \ \ (a>0,\ \ b>0) 2. (jak wyzej tyle ze OY) y =3x^2, 9x=y^2 ...
 garf99  0
 oblicz pola figur płaskich ograniczonych krzywymi
Obliczyć pola figur płaskich ograniczonych krzywymi o równaniach: a) y=sinx\\x=0\\y=0\\x= \pi ------- b) y=x\\y=x^3\\dla 0 ...
 magdabp  3
 Pole powierzchni krzywej obracającej sie wokól osi ox
MAM TAKIE ZADANIE ALE NIE WIEM CZY JE DOBRZE ROZWIAZALAM PROSZE O SPRAWDZENIE Oblicz pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej zadanej wzorem x= t^{2} y= t - \frac{1}{3} t^{3}[/tex:1o...
 wiola_0108  1
 Objętość brył ograniczonych powierzchniami
1. z=4-x ^{2} -y ^{2}, 2z=2+x ^{2} +y ^{2} Są to dwie paraboloidy obrotowe zwrócone w przeciwne strony. Krzywą ich przecięcia będzie okrąg o równaniu x ^{2} +y ^{2} =2 i będzie on obszarem ca...
 [pawciu]  2
 Całka - potencjał pola wektorowego
Wyznaczyc potencjał pola wektorowego W= mam wynik do tego zadania ale chyba jest błędny wynik : x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} +C jak sam spróbowałem wyszedł mi następu...
 rysio1  1
 obliczyc pola płatów
obliczyc pola podanych płatów 1.z=x ^{2} +y ^{2} , x ^{2} +y ^{2} qslant 1 2.x ^{2} +y ^{2}+z ^{2} =R ^{2} , x ^{2}...
 szimano1  0
 Masa powierzchni (całka podwójna)
przedewszystkim witam wszystkich forumowiczów. od razu zwracam się z prośbą o pomoc w rozwiązaniu zadania Obliczyć masę powierzchni x^{2}+y^{2}\leqslant 4 y\geqslant \sqrt{3}|x| jeżeli gęstoś...
 Makaron  4
 Jak podzielić sinusa na równe pola? Pole pod sinusem.
Witam. Od dłuższego czasu zastanawiam się jak pole zamknięte pierwszą połówką sinusa (sinus oś OX) podzielić np. na 10 równych pól. Inaczej mówiąc, zastanawiam się, jak wyznaczyć punkty na osi OX, aby podzieliły pole zamknięte pod połówką sinus...
 cienkizanalogu  3
 Pole powierzchni funkcji trygonometrycznych
witam, mam problem z całkowaniem dawno nie używałem, a sytuacja mnie zmusiła - niestety, stety ...
 adams_bart  3
 Wyznacz strumień pola przez powierzchnię
Wyznacz strumień pola F= przez powierzchnię S: x^2+y^2+z^2=9 w kierunku normalnej zewnętrznej. No Więc wiem, że trzeba tu skorzystać z twierdzenia gaussa : \iiint _...
 kaamil115  2
 Pole powierzchni paraboloidy leżącej wewnątrz stożka.
Witam, mam takie zadanie: Obliczyć pole części powierzchni paraboloidy z = x^{2}+ y^{2}, leżącej wewnątrz stożka 2z = 3− \sqrt{x2 + y2}. Sporządzić rysunek. Robię rysunek. Rzut na płaszczyznę...
 mikkuexc  1
 calka potrojna z objetosci
\iiint (x^2 + y^2 + z^2) dV po V i x^2 + y^2 = z^2, x^2 + y^2 =z*a*1/sqrt2...
 Aramil  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com