szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów i sześcianów
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanów o wymiarach: a) 2\,cm \times 4,5\, cm \times 3,5\, cm b) 11\, dm \times 11\, dm \times 11\, dm. POTRZEBUJĘ OBLICZENIA NIE SAME WYNIKI PRZYKŁAD J...
 Sparkles  1
 obliczanie pola czesci
Wyznaczy pole części 2z=y^2 wyecięte przez figure : x=0.5y, x=2y, x=2\sqrt{2} wychodzi: \int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}\int\limits_{0,5x}^{2x} (\sqrt{1+y^2+(0,5y^2...
 Vixy  1
 Obliczanie masy bryły - całka potrójna - zadanie 2
1. Obliczyć masę bryły opisanej równaniem: r ^{2} \le x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \le R ^{2} , z>0 jeżeli gęstość w punkcie (x,y,z) jest równa odległości tego punktu od płaszczyzny z=...
 luki1992  5
 Liczenie objętości
Obliczyc objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji f(x)=\frac{ \sqrt{arctgx} }{x} dla x qslant 1 dookoła osi OX Z góry dz...
 morosport15  1
 Strumień pola wektorowego
1) Oblicz strumień pola wektorowego (wektor)F (x,y,z) = (5x+z, x-3y, 4y-2z) przez górną część płaszczyzny x+y+z=2 odciętą płaszczyznami układy współrzędnych. 2) Oblicz strumień pola wektorowego (wektor)F = (x,y,z) przez górną stronę powierzchni z=1-...
 Frawoj  1
 Pole powierzchni bryły. Sprawdzenie poprawności.
Witam. Muszę policzyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót krzywej y = 2x^3 i 0 \le x \le 1 Liczę pochodną: y' = 6x^2 Układam całkę: S ...
 dawid.barracuda  6
 Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej
Obliczyc pole powierzchni bryly obrowej wokol osi OX x^{2} +y ^{2} = 4-- 26 marca 2009, 22:16 --help pls ;/...
 Cieniu  2
 pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji uwikłanej
wyznacz pole powierzchni ograniczonej przez funkcję: x^2 + y^2 = 121\cdot\sin(x + y)...
 Arch_Stanton  2
 Pola zbiorów
Witam. Jak policzyć pola zbiorów pomiędzy krzywymi? 1. y=sin x \wedge y=0 2. y= \sqrt{x} \wedge y=x^{2} 3. y=4-x^{2} \wedge y=2+x...
 rathaniel  1
 Pola ograniczone krzywymi - zadanie 3
Witam, Przygotowuje sie do egzaminu i mam problem z dwoma przykladami. W przykladzie pierwszym po naszkicowaniu sobie wykresow funkcji wyszlo mi ze sie nie przecinaja. 1)x= -y^{2} i y=x-6 2)x= y^{2} i y=3x-2 Z gory dzieki za pomoc...
 FunkuPL  5
 Obliczanie objętości bryły
Witam, mam takie zadanie: Przy pomocy całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej stożkiem \frac{x^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{9} = z ^{2} i paraboloidą \frac{x^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{9} = 2z...
 Quad  3
 Pole powierzchni - zadanie 15
Obliczyc pole cześci powierzchni z^{2} =4x wcietej płaszczyznay^{2}=4x i płaszczyzna x=1 Jak wyznaczyć obszar po którym należny całkować ...
 luqasz  0
 pola (teoretycznie)
Mam pytanie teoretyczne odnośnie wzorów: P=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}|x(t)\cdot y'(t)-y(t)\cdot x'(t)|dt oraz \pm P= \int_{ t_{1} }^{ t_{2} }\left| h&#40...
 kondzioz  0
 oblicz pole części powierzchni
z= 4-\sqrt{x^2+y^2} x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 Moje pierwsze zadanie tego typu, bardzo prosze o sprawdzenie i wzskazanie bledow. [tex...
 benRNZ  1
 Środek ciężkości pola ograniczonego dwoma równaniami.
Witam. Mam takie zadanie: Obliczyć współrzędne środka ciężkości pola ograniczonego parabolami y^2 = ax i x^2= ay, a>0 Jak mam zastosować wzory: \z...
 dawid.barracuda  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com