szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oblicz pole powierzchni - zadanie 2
Mam problem z obliczeniem pola powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła Osi Ox wykresu funkcji y=lnx dla x należącego do przedziału <1,2> Korzystam ze wzoru : S=2\pi...
 dickens1  2
 Pola figur, całka oznaczona
Znaleźć pole figury zawartej między wymienionymi krzywymi: 1.y=\cos ^{3}x, y=\cos \frac{x}{2}\, x=0,\ x=\pi 2.y=3\cos \frac{x}{2}, y=1+2\cos ^{3}x\ , \ x=\pi 3.y=x\arctan x, y=x...
 lukasz7  1
 Pole powierzchni i obwód obszaru.
Oblicz pole powierzchni i obwód obszary ograniczonego krzywą x(t)=t ^{2} + 1 , y(t)=t - \frac{t ^{3} }{3}. Kompletnie nie mam pojęcia jak wyznaczyć granice całkowania, czy ktoś mógłby to dokładnie wyt...
 Rastook  5
 Całka oznaczona - pole powierzchni.
Witam. Mam do policzenia całkę: \int_{0}^{1}(2x^3-5x^2-3x+4) \mbox{d}x Z wykresu wynika, że w granicach całkowania wykres w pewnym momencie idzie pod oś OX. Jak powinienem to policzyć żeby było dobrze? Dodam jeszc...
 dawid.barracuda  1
 Strumień pola wektorowego problem
Obliczyć strumień wektora F= \left przez powierzchnię czworościanu pkt \left( 0,0,0 \right), \left(1,0,0 \right) , [tex:398z...
 bizzy  1
 Sprawdzenie objetosci bryły
Oblicz objętosc bryły ograniczonej powierzchniami: z=1-x^{2}-y^{2} i z=0 Moje rozwiązanie: V= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{1} (1-r^{2})*rdr= 2\pi \int_{0}^{1}(...
 Idina  1
 Pole powierzchni. Gdzie jest błąd?
Witam. Muszę policzyć pole powierzchni ograniczone tymi krzywymi: y = \frac{1+ \ln x}{x} y = -2 \ln x Ułożyłem takie całki: \int_{1}^{e} \frac{1+ \ln x}{x} \mbox{d}x + \int_{e...
 dawid.barracuda  6
 Pole powierzchni. - zadanie 9
Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej następującymi liniami : y = \frac{\ln x}{ x^{2} } y=0 x=1 x=e \int_...
 ugabuga333  1
 Obliczanie długości łuku krzywej - zadanie 2
mysl troche samodzielnie, na kolukwium Cie nie poprowadze:) teraz masz \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}, i podstaw do wzoru. Dalej jest latwo...
 hija87  25
 Obliczyć objętości brył
A mam pytanie przy okazji bo mam podobny przykladzik, tzn: x^{2}+y^{2}=2x oraz x^{2}+y^{2}=z^{2} To co mi powstanie po przejsciu na objetosc i wspolrzedne biegunowe :P? bedzie poprostu [tex:3...
 nicniewiem  2
 Pola obszarów ograniczonych krzywymi
Właściwie to chcialem zapytać jaki byscie zaznaczyli obszar... i dlaczego x^{2}+ y^{2}-2y=0 x^{2}+ y^{2}-4y=0...
 MarcinJelenia  7
 pochodne, całki, obliczanie długości krzywej
witam, mam do zrobienia takie zadanie, proszę o pomoc Oblicz długość krzywej y= \frac{1}{3} ( 1 + 4x \sqrt{x} ) w przed...
 _Mil_  5
 Obliczanie pola ograniczonego krzywymi
Oblicz pole ograniczone krzywymi: y= \frac{1}{x}\\ y=x^2\\ y=e \\ x \ge 0...
 luska103  3
 Całka do obliczania pola oraz granicy
\lim_{ N\to \infty } } \sum_{i=1}^{N} \frac{\sin \frac{i \cdot \pi }{2N} }{2N} miałam rownież policzyc pole P=\int_{0}^{ \pi } \sin x dx wyszło mi 2. to jest ...
 karolinap92  5
 Pola ograniczone krzywymi - zadanie 3
Witam, Przygotowuje sie do egzaminu i mam problem z dwoma przykladami. W przykladzie pierwszym po naszkicowaniu sobie wykresow funkcji wyszlo mi ze sie nie przecinaja. 1)x= -y^{2} i y=x-6 2)x= y^{2} i y=3x-2 Z gory dzieki za pomoc...
 FunkuPL  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com