szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi - zadanie 2
Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi y=x^3, y=8, x=0 Całka ma wyglądać tak \int_{0}^{2}x^3-8dx ?...
 nesz  13
 Pole powierzchni bocznej bryły - zadanie 2
Obliczyć pole powierzchni bocznej tej części walca \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, która zawarta jest między powierzchniami z=0 i z = xy oraz dla której [t...
 Django  0
 Praca pola siłowego
Witam! Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania: Praca pola siłowego F\left( x,y\right) =\left, gdzie P,Q\in C ^{1}\ \left( \...
 kapturnik7  5
 Oblicz pole powierzchni bryly utworzone prze obrot dookola O
Oblicz pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi OX krzywej: y = \frac{1}{x-1} dlax \in \left\langle 2,4\right\rangle Pochodna y^{'} = - \frac{1}{ (...
 Miris  2
 pole powierzchni - zadanie 47
oblicz pole powierzchni z^2=4x wyciętej walcem y^2=4x oraz płaszczyzną x= 1...
 Marta99  3
 Wyznaczanie pola elipsy z Tw. Greena
Z twierdzenia Greena masz \int_{\partial D}-\frac{1}{2}ydx+\frac{1}{2}xdy=\int_D \left( \pfrac{\left( \frac{1}{2}x\right) }{x}-\pfrac{\left( -\frac{1}{2}y\right) }{y}\right) dxdy=\int_Ddxdy =|D|...
 Nortt  1
 Całka niezorientowana - obliczanie masy
Oblicz masę odcinka o końcach A(1,2);B(-11,11) którego gęstość w każdym punkcie jest równa \frac{1}{30} kwadratu odległości tego punktu od środka układu współprzędnych. Nie wi...
 DemoniX  1
 r. całkowy. obliczanie objętości
oblicz objętości brył, które powstały przez obrót dookoła osi Ox krzywych: a)(2a-x)y^2=x^3 0 \le x \le b<2a b)y=arcsinx 0\le x \le 1 c)...
 dyzzio  3
 Pole powierzchni bryły powstałej przez obrót cisoidy.
Witam. Muszę policzyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót cisoidy Dioklesa x^3 = y^2(2r-x) wokół osi OX, gdzie 1 \le x \le 2 Liczę pochodną: y' = \frac{3x^...
 dawid.barracuda  3
 obliczanie całek potrójnych
Potrzeba mi małej wskazówki dotyczącej całek potrójnych, otóż mając na przykład taką całkę: \iiint\limits_V \left( x^2+y^2 \right) dxdydz Po obszarze V, gdzie V jest ograniczony danymi powierzchniami: [tex:314wqjf...
 p2310  6
 oblicz pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi
Najpierw wykonaj rysunek. Następnie skorzystaj z definicji całki oznaczonej....
 justyska0809  8
 pole powierzchni torusa przez obrót
Tw. Pappusa-Guldina znamy? Jeśli nie, to robimy podstawienie walcowe (nie jestem pewien czy tak się ono nazywało, ale chyba wiadomo o co chodzi)....
 21mat  4
 obliczanie pola obszaru- problem z kątem
No też mi się tak zdaje właśnie, bo co za różnica odkąd zaczne go mierzyć... Dzięki....
 Vermax  5
 obliczanie calek przez podstawianie
witam wszystkich. nie potrafie pojac jednej rzeczy... calkowania przez podstawianie. zalaczam zdjecie z przykladem http://misiek.host.sk/calcalcal.jpg rozumiem ze 2+5e^{3x}=t a...
 nupel  3
 różniczki, formy objetosci, tensory, grad,div,itp
hej. mam problem przed kolokwium z analizy. czy ktos mogłby mi pomoc i pokazac jak to robic krok po kroku?? dostalismy takie zadania przygotowujace: zad 1. Obliczyc różniczki następujących form na R^{3} a)w=...
 Biedronka20  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com