szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć strumien pola
Obliczyć strumien pola F= przez zewnętrzną stronę brzegu obszaru ograniczonego powierzchniami z=9-x^2-y^2 , z=0...
 szpryc12  5
 Pole powierzchni bryły obrotowej - zadanie 6
y=e ^{-\left| x\right| } czy granice tej całki to a=0 \wedge b= \infty ?...
 DemoniX  2
 Obliczenie pola - zadanie 2
Wyszła mi taka całka do obliczenia: \int_{3}^{9}\left| -x^{2} + 12x - 27 \right| Dobrze ją zapisałem?...
 spryciarz92  17
 Całka pola symetrycznego względem osi OY - zadanie 2
Czy wartość całki \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x ^{2} }dx = 0?...
 nicknameless  1
 paraboloida-część objętośći
Mam paraboloide, mam wyprowadzony wzor na objętość całkowitą tj. dla jakiegoś H i R. chodzi mi teraz, jak wyznaczyc w ktorym miejscu (jakie h,r) np. będzie 1/2 objętości całkowitej. nie oczekuję gotowego rozwiązania. jedynie wskazówki;-)...
 rafauu  1
 Pole płata powierzchni,zmiana na biegunowe,obliczenia
Należy zastosować podstawienie 1+r^2=u^2...
 larrybigl  2
 Pole powierzchni - całka podwójna - zadanie 2
Mam problem z zadaniem z Krysickiego. Nie wiem w ogóle jak się za to zabrać, jak wyznaczyć obszar całkowania. Obliczyć pole tej części powierzchni z= \sqrt{x ^{2} - y^{2}}, która zawarta jest wewnątrz walca [tex:r5bw85xh...
 trzeciack  1
 Objetosci bryl - zadanie 2
Witam, Mam problemik z 3 podpunktami : 1. (obliczyc objetosc bryly powstalej z obrotu dookola osi OX) 2ay=x^2.\ \ 2bx=y^2 \ \ (a>0,\ \ b>0) 2. (jak wyzej tyle ze OY) y =3x^2, 9x=y^2 ...
 garf99  0
 Pola figur-postać parametryczna
Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi w postaci parametrycznej: a)asteroidą: x=cos^{3}t , y=sin^{3}t , 0 \le t \le 2\pi Liczę ,ale nie chce mi wyn...
 wojtek6214  2
 Obliczanie całki przez podstawienie
\int \cos^{3} x dx Mam do obliczenia taką całkę i niestety nie umiem sobie z tym zadaniem poradzić ...
 lirycznecudo  2
 praca pola siły
Z działu zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej potrzebuję rozwiązać zadanie dotyczące pracy pola siły. Treść: Obliczyć pracę siły F o składowych P=x, Q=y, R=x+y-1 na odcinku AB gdy A(1,1,1), B(2,3,4). Z góry dziękuję za pomoc!!!...
 monia000  0
 Obliczanie całki - zadanie 10
\int \frac{1+tgx}{cosx} \mbox{d}x Proszę o rozwiązanie powyższej całki, z góry dziekuję i pozdrawiam. Bartek...
 Zirios  5
 liczenie objętości, obrót wokół ox oy
Jak mam policzyć objętość figury ograniczoną powierzchnią powstałą przez obróty=tanx dla x \in <0, \frac{\pi}{4} > zarówno wokół osi Ox i osi Oy ? umiem policzyć obrót wokół jednej osi ...
 prawyakapit  1
 Obliczanie całki oznaczonej - zadanie 2
Uprzejmie proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższej całki. Jest to czas wypływu cieczy z naczynia. t _{w}= \int_{0}^{H} \frac{A(z)dz}{U \cdot u(z)∙A_0 } dane: A(z)=1,13 m^2 A_0=0,0002 m^2 U=0,55 ...
 pitertbg03  1
 obliczanie całki przez części
Witam. Może ktoś sprawdzić mi ten przyklad? Nie wiem co źle robię.. : \int_{}^{} xln ^{2}x dx= \left|f(x)=ln ^{2} x f'(x)= \frac{2lnx}{x} , g'(x)=x, g(x)= \frac{x ^{2} }{2} \right| = ln ...
 llkk  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com