szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Chicago
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek. Z góry serdecznie dziękuję!

1. Obliczyć objętość bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox linii y^{2}(x-4)=x(x-3), 0 \le x \le 3
2. Obliczyć objętość i powierzchnię bryły obrotowej: y =  \frac{1}{x-1}, 2 \le x \le 4
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej x= t^{2}, y=t- \frac{1}{3}t^{3}, 0 \le t \le  \sqrt{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Wzory na objętość V i pole powierzchni P bryły powstałej z obrotu krzywej y=f(x) dla x z przedziału [a,b] :
V= \pi \int_a^by^2dx =\pi \int_a^bf^2(x)dx,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx

Jeśli krzywa jest dana parametrycznie: x=g(t),\ y=h(t),\ a\leq t\leq b, przy czym funkcja g jest ściśle monotoniczna (malejącą lub rosnąca) na [a,b] a h jest na tym przedziale nieujemna, to
V=\pi \int_a^by^2|x'|dt =\pi \int_a^bh^2(t)|g'(t)|dt,
P= 2\pi \int_a^b y\sqrt{[x']^2+[y']^2}dt=2\pi \int_a^b h(t)\sqrt{[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt

1) obliczasz ze wzoru krzywej y^2 i wstawiasz do całki. otrzymujesz łatwą całkę z funkcji wymiernej.

2) objętość to łatwa całka z ułamka prostego, pole jest trochę bardziej skomplikowane:
\sqrt{1+[y']^2}=\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}} więc
P= 2\pi \int_2^4 y\sqrt{1+[y']^2}dx=2\pi \int_2^4 \frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
Aby obliczyć tę całkę za występujący w niej pierwiastek wstawiasz nową zmienną. Z podstawienia obliczasz x, a z równania na x obliczasz dx.
Jak to wstawisz do całki to wychodzi łatwa całka z funkcji wymiernej.

3) ponieważ na podanym przedziale funkcja x jest rosnąca, a funkcja y nieujemna (co łatwo sprawdzić rozwiązując nierówność y>=0) to możesz skorzystać z podanych wzorów. W obu całkach funkcja podcałkowa (po uproszczeniu) jest wielomianem.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów i sześcianów
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanów o wymiarach: a) 2\,cm \times 4,5\, cm \times 3,5\, cm b) 11\, dm \times 11\, dm \times 11\, dm. POTRZEBUJĘ OBLICZENIA NIE SAME WYNIKI PRZYKŁAD J...
 Sparkles  1
 objetosc brył obrotowych
Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu figury T wokół osi Ox T: 1 qslant x ...
 qaz  1
 Pole powierzchni ograniczone krzywymi - zadanie 2
1) Jak to nic nie ogranicza z dołu? Na pewno rysujesz dobrą krzywą? 2) Granice całkowania są złe, poza tym przecież nie wolno dzielić przez zero......
 annakarpa1  6
 Obliczanie masy bryły - całka potrójna - zadanie 2
1. Obliczyć masę bryły opisanej równaniem: r ^{2} \le x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \le R ^{2} , z>0 jeżeli gęstość w punkcie (x,y,z) jest równa odległości tego punktu od płaszczyzny z=...
 luki1992  5
 całki podwójne, pola powierzchni i całki potrójne
Szukam rozwiązań do całek podwójnych potrójnych i pól powierzchni w przestrzeni z 4 i 5 rozdziału Analiza matematyczna w zadaniach cz.2 Krysicki Włodarski...
 day4  0
 Pola figur - zadanie 11
Obliczyć pole figury ograniczonej krzywą: 1.y = \frac{ \arccos (x+2)}{\sqrt{x+3}} 2.(y- \arcsin x)^2 = x-x^2...
 Przemkooo  1
 Pole powierzchni bryły. Sprawdzenie poprawności.
Witam. Muszę policzyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót krzywej y = 2x^3 i 0 \le x \le 1 Liczę pochodną: y' = 6x^2 Układam całkę: S ...
 dawid.barracuda  6
 Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej
Obliczyc pole powierzchni bryly obrowej wokol osi OX x^{2} +y ^{2} = 4-- 26 marca 2009, 22:16 --help pls ;/...
 Cieniu  2
 pole powierzchni - zadanie 57
obliczyć pole ograniczone krzywymi y= \frac{1}{1+x^2}, x=1, x=-1...
 easyrider835  6
 pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji uwikłanej
wyznacz pole powierzchni ograniczonej przez funkcję: x^2 + y^2 = 121\cdot\sin(x + y)...
 Arch_Stanton  2
 Pola zbiorów
Witam. Jak policzyć pola zbiorów pomiędzy krzywymi? 1. y=sin x \wedge y=0 2. y= \sqrt{x} \wedge y=x^{2} 3. y=4-x^{2} \wedge y=2+x...
 rathaniel  1
 czesc wspolna objetosci walcow.
polecenie: Wyznaczyc objetosc czesci wspolnej walcow x^{2}+y^{2} qslant 1 oraz x^{2}+y^{2} ...
 iza_zizi  5
 Obliczanie objętości bryły
Witam, mam takie zadanie: Przy pomocy całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej stożkiem \frac{x^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{9} = z ^{2} i paraboloidą \frac{x^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{9} = 2z...
 Quad  3
 Calka potrojna. Problem z okresleniem powierzchni
Mam problem z rozwiazaniem tej calki: \iiint z\sqrt{x^{2}+y^{2}dxdydz Dla bryly ograniczonej przez powierzchnie: x^{2}+y^{2}-2z=0 oraz x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 w I okte...
 K4c2m4r  9
 Obliczanie całki - pierwiastek
\int_{}^{} x^3 \sqrt{2+2x^4} dx Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać....
 Mateo14  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com