szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Matematyczny zapis przekształceń macierzy
Witam. Mam następujący problem. Chodzi o pewne przekształcenia macierzy i ich formalny zapis. Mianowicie jak formalnie zapisać: - konkatenacje macierzy -- wklejenie jednej pod drugą ? - macierz stworzoną z kopii innej macierzy, np. mamy macierz: [te...
 Gisella  1
 Wzór macierzowy z punktem osobliwym
Natknąłem się na pewien wzór i potrzebuję pomocy, skąd on się bierze. Niech M(x) będzie rodziną macierzy zależącą gładko od parametrów. Jeśli 0 jest normalnym punktem osobliwym, a P jest odwzorowaniem na zdegenerowane wartości własne macierzy M(0),...
 Destroykid  0
 Macierz odwrotna i mnożenie macierzy - gdzie popełniam błąd?
Witam. Mam do rozwiązania taki układ równań (przekształcony do takiej postaci, aby otrzymać już rozwiązania): X = -D ^{-1} D _{0} D=\left[/te...
 lopcio  2
 wyznacznik macierzy - zadanie 11
Ja mam jeszcze jedno pytanie o wyznacznik. Ma wyjść 0, ale za nic mi nie wychodzi :/ Potrzebne jest mi to do liczenia rzędu macierzy. \left|\begin{array}{cccc}1&2&3&-2\\3&6&5&-4\\1&2&7&-4\\2&4&2&-3\end{array}\right| ...
 blackhawk16  1
 Wyznacznik macierzy 2x3 - zadanie 3
Siemanko czy ktoś podpowie jak obliczyć wyznacznik macierzy? \left...
 Vercyngetorix  1
 Wyznaczanie odwzorowania liniowego z macierzy
Cześć , zmagam się z takim zadaniem : Dana jest macierz : M _{f} (B) , f:R ^{3} \rightarrow R ^{3} jest liniowe . B : u _{1}=(1,-1,0) , u _{2} =(0,1,1), u _{3} =(0,0,1) ....
 tadek667  6
 wzór na przekształcenie liniowe
Witam, mam problem z zadaniem z przekształceń liniowych. Zadanie brzmi: Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe \varphi : R ^{2} \rightarrow R^{4} zadane warunkiem:\varphi ((5,1))=(2,5,1...
 edyta2211  0
 Rząd macierzy - zadanie 22
Chciałabym prosić o wskazówkę jak rozwiązać zadanie tego typu, rozwiązuję różne zadania z macierzy, ale akurat z takim przykładem się nie spotkałam. Mam podaną macierz, w której jedna liczba jest niewiadomą (x) i muszę stwierdzić dla jakich wartości...
 studentin21  3
 wielomian charakterystyczny macierzy odwroconej
h(\lambda ) =\det (A^{-1} -\lambda I) = \frac{1}{\det A} \cdot \det (I- \lambda A) = \\ = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot \det (A- \frac{1}{\lambda}I) = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lamb...
 wlq  2
 wyznacznik macierzy - zadanie 57
witam mam pewien problem z obliczeniem wyznacznika macierzy: \begin{bmatrix} 0&0&6&0\\7&1&-3&4\\-8&3&1&10\\0&1&0&3 \end{bmatrix} mianowice licząc metodą rozwinięcia Lapleca ...
 Funias  8
 przykład macierzy formy kwadratowej
F((x_1,x_2,x_3,x_4))=5x_3^2+2x_4^2-2x_3x_4 Wydaje mi się, że tak, ale mogę się mylić nie wiem, ale wydaje mi się, że ...
 Amino2009  6
 jedno pytanie z normy macierzy
\left A \vec{x}= \left ||A \vec{x} ||_{2}=sup \sqrt{|x_{1}+100x_{2}|^{2...
 ki88s  0
 Wyznaczniki i rząd macierzy
Prosił bym o wyznaczenie wyznacznika oraz rzędu macierzy podanej poniżej \left Dodam jeszcz...
 Matej91  9
 oblicz rząd macierzy
potrezbuje pomocy w obliczeniu rzędu macierz. Probowalam sama liczyc jednak nic mi nie wychodzi. Z góry dziekuje. 0-5 0 2 8 3-4 5 7 2 1 4 0-4 0 1...
 Anika  4
 kilkukrotne mnożenie macierzy
Witam Mam daną macierz \left. Wykonując działania [tex:1tch...
 socjalna  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com