szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rząd macierzy - zadanie 46
Jak jest rząd macierzy \begin{bmatrix} 2&3&-1\\-1&2&2\end{bmatrix} czy rząd wynosi 2? a jaki jest rząd tej macierzy \begin{bmatrix} 2&3&-1&:1\\-1&2&2&:3\end{bmatrix}[...
 DBoniem  2
 wskaźnik uwarunkowania K∞ dla macierzy A
Witam, na wstępie chciałbym zaznaczyć że to zadanie dostałem na Metodach Numerycznych. Więc jak nie ten dział to przepraszam i proszę o przeniesienie do poprawnego ...
 Leniwy  0
 Obliczanie wyznacznika macierzy - zadanie 4
Witajcie, mam problem z obliczanie wyznacznika macierzy, a konkretnie z redukcją. Bardzo prosiłabym o wytłumaczenie w jaki sposób redukować macierze...wiem, że trzeba wygenerować jak najwięcej zer, ale nie mam pojęcia w jaki sposób tego dokonać (czyt...
 Suzumiya  5
 Stosując rozwinięcie Laplace'a oblicz wyznaczniki macierzy
a) \left b) \left[\begin{array}{ccccc}3&1&5&0&0\\4&1&2&1&a...
 manu_utd  17
 Znajdź rząd macierzy - zadanie 2
Znajdź rząd macierzy. Dopiero co mam macierze na studniach i troche nie wiem jak to zrobić... \begin{bmatrix} 3&0&1&2\\2&1&amp...
 izak110  2
 rząd macierzy/rozwiązania bazowe
Witam. Piszę po raz pierwszy z dwoma problemami. Pierwszy to obliczanie rzędu macierzy. Widziałem, że można obliczać rząd macierzy obliczając minory. Jednak obliczając tą metodą nie zawsze wychodził mi prawidłowy wynik. Z tego co wiem jest to troch...
 Lambda92  1
 Macierz, wyznacznik macierzy, macierz odwrotna
Witam, Prosilbym Was o wykonanie tych zadan 'krok po kroku' abym mogl zrozomiec na logike jak takie zadania wykonywac gdyz zbliza mi sie kolokwium z matematyki a latwiej by mi bylo sie z tym wszystkim polapac aniezeli uczac sie teorii 'na pamiec'. Z ...
 Matez  1
 łączność iloczynu macierzy
Prosiłbym o wyprowadzenie dowodu na łączność iloczynu macierzy: (AB)C=A(BC)...
 radkow  2
 Rozwiazać nierówność ( wyznacznik macierzy)
Jak w temacie: \left < 0 Wg rozwiąz...
 mokasyn15  1
 Wyznaczanie macierzy X z równania - zadanie 2
Cześć. Mam problem z rozwiązaniem równania A* A^{T} *X=2A gdzie A= \left. Najpierw transponowałem macierz otrzymując [tex:30bq...
 Xandow  3
 rząd macierzy - zadanie 4
Wyznacz rząd macierzy: 1).\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&4&1\\1&1&1&5\\1&2&3&4\\1&1&1&1\end{array}\right| 2).\left|\begin{array}{ccccc}1&2&3&-1&4\\2&1&1&2&1\\-1&1&2&-3&3\end{array}\right|[...
 orbitka_  2
 Rzędy macierzy - zadanie 4
Jak znaleźć rząd macierzy za pomocą minorów???...
 dusiaczek91  2
 Czy układy macierzy tworzą bazę przestrzeni.
Witam, mam podane takie układy macierzy i mam sprawdzić, czy tworzą one bazę w przestrzeni = 2 a) \begin{bmatrix} 1&0\\1&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 1&0\\2&0\end{bmatrix} \ \begin{bma...
 ginka26  8
 Rząd macierzy - zadanie 27
\left...
 fyyy  1
 Operacje macierzy - wyjaśnienie oznaczeń
Jakiej operacji na macierzach są to oznaczenia? \overline{D},D ^{H} ============== 1. to już wiem że sprzężenie macierzy. 2. a to drugie to co to?...
 netsprint  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com