[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 400
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory własne macierzy - zadanie 3
Użyłem google lecz wszędzie jest zapisane to w takiej szybkiej postaci. Co mi niestety nie naświetla sprawy. Mając macierz \begin{bmatrix} 1&3&0\\3&-2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix} Obliczyłem równanie c...
 ivnz  4
 Wartości i wektory własne macierzy - zadanie 4
No to od czego zaczynamy? Od policzenia wyznacznika jakiej macierzy?...
 cheeky0  11
 Rząd macierzy 4x4 z parametrem .
Witam . Jak w temacie : \left. Po kilku operacjach elementarnych otrzymuję macierz wyzerowaną pod p...
 Adik907  1
 Znaleźć B z macierzy
Niech A = \left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&3\\ \end{array}\right| Obliczyć B = (A - I0 \cdot ( A^{-1} + I) oraz det (2 \cdot B^{3}) \cdot (I =...
 dstrz  3
 nietypowe mnożenie macierzy
witam. mam problem z mnożeniem przez jedną macierz. nie wiem czy pomnożyc -2 czy calosc czy moze jakos inaczej to zrobic. oto przykład 4X - 2 \cdot \left( \begin{bmatrix} 2&i\\0&2i\end{bmatrix} + 4X \right)[/tex:3n...
 dethim  5
 potegowanie macierzy itd
jak podejsc do tych zadan 1.Proszę podnieść do k-tej potęgi macierz kwadratową o rozmiarach nxn, złożoną z jedynek. 2.Macierze A i B komutują" oznacza, że AB = BA. Proszę pokazać, że jeżeli kwadratowa macierz A ma komutować ze wszystkimi kwadrat...
 imgstage  1
 Wyznaczanie rzędu macierzy.
Mam następujące pytanie: Jak wyznaczyć rząd macierzy za pomocą metody sprawdzania wyznaczników, a dokładniej chodzi mi o kolejność i co z czym sprawdzać (słyszałem o jakiś liniach parzystych/nieparzystych, które składają się na wyznaczniki, a może po...
 Brzezin  7
 obliczć kilka początkowych potęg macierzy i wysuń hipoteze
obliczć kilka początkowych potęg macierzy A= \left Następnie wysunąć hipotezę o postaci macierzy A^{n} i uzasadn...
 imysz  5
 przykład macierzy
Mam za zadanie podać przykład macierzy, która ma wszystkie wartości własne na okręgu jednostkowym, a nie jest macierzą izometrii.Proszę o pomoc....
 agusiaczarna22  1
 Norma macierzy - zadanie 6
Witam, mój problem polega na tym, że nie wiem co mam policzyć. Mam pewną macierz A, na jej podstawie wyliczam macierz A'. Chodzi o to że macierz A' jest "przybliżeniem" macierzy B którą znam. Profesor powiedział żebym policzyła normę RM (na...
 Spadomiś  0
 Nieosobliwość macierzy - zadanie 2
Jakbyś miał jakieś pytania to pytaj śmiało....
 adambak  4
 suma macierzy (?)
Dana jest macierz A o wymiarach 4x5 i o elementach a _{ij} (i= 1,2,3,4; j = 1,2,3,4,5_, której wartości sa następujace: A= \left[\begin{array}{ccccc}-12&0&4&10&3\\-2&1&-5&2&a...
 astuhu  7
 Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż równanie
Witam. Chciałbym prosić o pomoc przy tym zadaniu. Treść:Metodą macierzy odwrotnej rozwiaząć równanie Ax = b, gdzie A=\left[\begin{array}{cccc}20&1&8&1\\0&-1&1&-1\\0&0&1&1\...
 krzy91  2
 Wartości własne macierzy - zadanie 2
Witam, zadanie brzmi: dana jest macierz: \left. Oblicz jej wartości własne. Więc najpierw muszę zrobić tak: \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&-1\\1&3...
 swpr  1
 wyznacznik macierzy - zadanie 100
obliczyć wyznacznik macierzy A^{2012}, jeśli \begin{bmatrix} 10&7\\7&5\end{bmatrix} nigdy nie spotkałem się z takim zadaniem, o co w nim chodzi? nie kapuje tego A^{2012...
 pawel296  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com