szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie macierzy AX=XB
Witam, Czy ktoś wie, jak rozwiązać równanie macierzowe: AX = XB gdzie det A i det B różne od zera...
 kaniusia  7
 Jak obliczyc macierz odwrotną do danej macierzy?
Jak obliczyć macierz odwrotną do macierzy? \left a takze \left...
 crew1988  1
 obliczyć wyznacznik macierzy
Witam. Jak obliczyć ten wyznacznik macierzy. Orłem jak widać z matematyki nie jestem... Wiem że to nie jest trudne ale wyznaczników 4x4 i większych nie rozumie. Z góry wielkie dzięki! \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\2&2&0&0\\-3&1&3...
 rt87  4
 Wyznaczenie macierzy odwrotnej
Witajcie! Proszę Was o pomoc wyznaczeniu macierzy odwrotnej do macierzy: A=\begin {bmatrix} \frac{7}{5} \end {bmatrix} Niby najprostsza macierz jaka może być a jednak mam pewien problem (mimo że potrafię odwracać macie...
 Axis  4
 bazy macierzy przekształcen liniowych
Proszę o pomoc z tym zadankiem, mam je na jutro, a muszę je mieć zrobione Względem pewnej bazy \{ e1; e2 \} 2-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem liczb rzeczywistych maci...
 nyndentens  1
 Obliczanie macierzy właściwej z macierzy odwrotnej.
Mam takie zadanie z macierzami , z którym mam problem. Proszę o pomoc. 1.) Wiadomo , że (2A) ^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\-8&-2&0\\10&12&-6\end{array...
 mgut  1
 Ułamki w macierzy
Witam, mam pewne pytanie, czy z równania macierzowego, gdzie mam obliczyć x może wyjść macierz gdzie są liczby po przecinku? np 3692,25 ??...
 Ukassiu  3
 Oblicz wyznacznik macierzy - zadanie 4
Oblicz wyznacznik: a) \left b)\left[\begin{array}{cccc}1&2&-9&0\\1&...
 Z_i_o_M_e_K  1
 Wektor własny macierzy.
Witam wszystkich! Mam za zadanie obliczyć unormowany wektor własny macierzy B dla wartości własnej \lambda=4: B=\begin{bmatrix} 1&2&1\\2&3&-1\\1&-1&4\end{bmatrix} Rozwi...
 tomson485  2
 Oblicz wyznacznik macierzy - zadanie 17
3B to macierz B gdzie kazdy wyraz jest pomnozony przez 3...
 Bobi02  3
 Rząd macierzy - zadanie 20
Próbowałem już odejmować i dodawać od różnych wierszów i kolumn żeby doprowadzić do zer w kolumnie lub wierszu, ale zawsze mi jakaś inna liczba zostaje. Prosiłbym o rozpisanie, albo powiedzenie co od czego odejmować w poszczególnych krokach (który wi...
 pc  1
 Kilka pytań na tamat macierzy.
A^{-1}= \frac{1}{detA} \cdot D^T Co to jest detA w tym wzorze?...
 mistque  2
 rozmiar macierzy
Witam, Czy ktoś mógłby pomóc mi podać rozmiary macierzy A, B, C aby można było obliczyć 2AB + ACB...
 h3X  1
 Nie daje się odwrócić macierzy o niezerowym wyznaczniku
Mam macierz \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 4 & 5 & 3 \\ -5 & 1 & 3 \end{bmatrix} Na podstawie strony http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ można...
 Borneq  3
 Obliczenie Norm Macierzy
Witajcie, chciałbym prosić o podpowiedź w kwestii rozwiązania zadania na Metody Numeryczne(póki co mamy powtórkę z Matematyki, więc chodzi mi raczej o metodę rozwiązania problemu tak "analogowo", przełożeniem tego na matlaba zajmę się późni...
 strykul  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com