[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 400
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wymiar, baza podprzestrzeni, macierze, rząd macierzy.
Mam problem z kilkoma zadaniami z algebry liniowej. Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki. 1. Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni rozpiętej na wektorach: (1,0,0,-1...
 Pooli  1
 det macierzy - zadanie 2
witam! jakos mi nie idzie z macierzami wiec zwracam sie o mala pomoc Danych jest 5 mascierzy A1, A2, A3, A4, A5, kwadratowych o wymiarach 4x4 Pokazac, ze istnieje ...
 pebe.pl  0
 wyznaczanie macierzy x - zadanie 2
Mam problem z rozwiązaniem tego równania: \left *X =\left powiem szczerze nie mam poj...
 david90  1
 3 pytania dot. macierzy?
Witam, bardzo prosze o pomoc z n/w pytaniami .. 1)Jakie operacje na wierszach macierzy (operacje elementarne) nie zmieniaja rzędu macierzy. 2) Co się stanie z wyznacznikiem macierzy A , jeżeli jeden z niej wierszy pomnozymy przez 7 ,a co – gdy j...
 Cha3K  1
 wyznacznik macierzy (z gwiazdką)
Niech a_i >0, i=1,2,...,n takie że \sum a_i = 1 Pokaż że \left | \begin {array}{cccccccc} \frac{1+a_1}{a_1} & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & \fra...
 darek20  4
 rząd macierzy - najłatwiejszy sposób?
Mam mały problem. Jeśli macierz ma więcej kolumn niż wierszy, to jak najprościej obliczyć jej rząd? np. jeśli składa się z 3 wierszy i 5 kolumn? Wiem, że może mieć rząd co najwyżej 3, co robię później? Przekształcam ją tak by zredukować liczbę kolum...
 chan_rozwielikaty  4
 Rząd macierzy - zadanie 22
Chciałabym prosić o wskazówkę jak rozwiązać zadanie tego typu, rozwiązuję różne zadania z macierzy, ale akurat z takim przykładem się nie spotkałam. Mam podaną macierz, w której jedna liczba jest niewiadomą (x) i muszę stwierdzić dla jakich wartości...
 studentin21  3
 wielomian charakterystyczny macierzy odwroconej
h(\lambda ) =\det (A^{-1} -\lambda I) = \frac{1}{\det A} \cdot \det (I- \lambda A) = \\ = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot \det (A- \frac{1}{\lambda}I) = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lamb...
 wlq  2
 Uzasadnić symetryczność macierzy - zadanie 2
1. Uzasadnij, że przekształcenie liniowe M: R^3 \rightarrow R^3 zadane macierzą symetryczną m, przedstawia się także macierzą symetryczną m' w dowolnym innym k...
 MakCis  1
 przykład macierzy formy kwadratowej
F((x_1,x_2,x_3,x_4))=5x_3^2+2x_4^2-2x_3x_4 Wydaje mi się, że tak, ale mogę się mylić nie wiem, ale wydaje mi się, że ...
 Amino2009  6
 Mnożenie macierzy 4x4 przez wektor kolumnowy
Zadanie typu rozwiąż układ równań (tu 4wierszowy z 4 niewiadomymi / x1,x1,x3,x4 = B(tu liczba) Wiadomo... A\cdot X=B wzór: X = A^{-1}\cdot B odwróconą już mam, teraz pytanie jak to wymn...
 malvision  1
 Wyznacznik macierzy - uzasadnić.
\begin{vmatrix}?&?&?&?&? \\ ?&0&0&0&? \\ ?&0&0&0&? \\ ?&0&0&0&? \\ ?&?&?&?&? \end{vmatrix} Uzasadnić, że niezależnie od liczb ukrytych pod ...
 Wierzba  1
 kilkukrotne mnożenie macierzy
Witam Mam daną macierz \left. Wykonując działania [tex:1tch...
 socjalna  4
 Rząd macierzy - zadanie 56
Siemka, na czym polega obliczanie rzędu macierzy. Proszę mi to wytłumaczyć na tym przykładzie: \begin{bmatrix}1&-1&2&-1\\0&2&-2&4\\-1&2&1&7\\2&0&3&3\end{bmatrix}...
 mistakers  3
 Znalezc wzor przeksztalcenia
Znalezc wzor przeksztalcenia, jezeli: \varphi: R^{3} \rightarrow R^{3} \varphi \left( 1,0,1 \right)= \left( 3,2,1\right) \varphi \left( 0,1,1 \right&#4...
 gaberus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com