szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształcenie Elementarne macierzy
Proszę o pomoc w rowiązaniu nastepujących zadań . zadanie 1 Dana jest macierz A_{4} =a_{ij} ,gdzie a_{ij} = min(i,j) Obliczyć wszystkie charakterystyki liczbo...
 Kasienka_15  2
 odwracanie macierzy liczb zespolonych
Dlaczego? Te wszystkie operacje elementarne są ok dla liczb z dowolnego ciała. Bo na wykładzie podane zostało: "pomnożenie dowolnego wiersza/kolumny macierzy przez dowolną liczbę rzeczywistą róż...
 TeTaim  5
 Kongruencja macierzy
Jak w ogólnym przypadku sprawdzić, czy macierze A i B są kongruentne nad \mathbb{R}? Jest na to jakiś algorytm?...
 binaj  0
 eksponenta macierzy + odwrotna transformata Laplace'a
Witam, Mam za zadanie wyznaczyć e^{At} , gdzie A to macierz A= \left. Chciałem skorzystać z metody: e^{At} = \mathcal{L}^{-1...
 Dividee  0
 Ortogonalne wektory własne macierzy
Aha, wartości iloczynów wyszły różne od zera więc wektory te nie są ortogonalne, tak?-- 18 sty 2014, o 18:21 --Ok, głupie pytanie.....
 jaranna  6
 Przykłądy zadań z macierzy
witam...potrzebuję 10 przykładów zadań z macierzy wraz z rozwiązaniami...mogą to być najprostsze zadania...dziękuje z góry i pozdrawiam.....
 bleee90  1
 Znaleźć ogólne rozwiązanie układu równań wg. macierzy rozsz.
Znaleźć ogólne rozwiązanie układu równań, którego macierz rozszerzona jest postaci: \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&0&0&7|-3\\0&1&0&0&-3|1\\0&0&0&1&5|-4\\0&0&0&0&0|0\end{arr...
 niesuch  4
 Wzór na przekształcenie liniowe oraz złożenie dwóch
Witam! Zadanie wygląda tak: Dane są bazy A=\{ (0,1,0),(1,2,3),(5,7,1)\} \\ B=\{ (0,1),(1,1)\} \\ C=\{ (2,1),(1,0)\} 1. Niech \varphi :{ \RR }^{ 3 }...
 macmil  0
 Udowodnij, że wyznacznik macierzy jest równy n + 1
Udowodnij, że: \det \begin{bmatrix} 2&-1&0&\ldots &0 \\ -1&2&-1&\ddots &\vdots \\ 0&-1&2&\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & \ldots & 0 &...
 nikodem92  7
 wartości wyznacznika macierzy
mam podać możliwe wartości wyznacznika macierzy A, ale nie wiem nawet jak się do tego zabrać A^{T}- A^{-1}=0...
 thepunisher92pl  3
 dodawanie macierzy i liczb
Polecenia nie ma, jest tylko znak równości, co oznacza, że należy policzyć...-- 22 cze 2009, o 21:06 --udałam się do profesora tworzącego egzamin i udzielił mi on odpowiedzi takiej: wykonać operacje na macierzach i zostawić na...
 kaha.dr  4
 Wyznaczyć wyznacznik macierzy podniesionej do kwadratu
Wyznaczyć w=\det A^2, wiedząc, że macierz A jest macierzą kwadratową stopnia drugiego o elementach rzeczywistych oraz spełnia równanie: a) \det(A^{-3})=\det(4A^T)...
 TinTin  0
 Pełne widmo macierzy.
Witam. Co to jest pełne widmo macierzy i macierz o pełnym widmie? To że ma wielomian charakterystyczny ma tyle pierwiastków jakiego jest stopnia?...
 rolnik41  0
 Złe uwarunkowanie macierzy
Czy moglby ktos pomoc mi rozwiazac to zadanie: Dla jakich wartości a macierz jest źle uwarunkowana?...
 Dominia  0
 Wyznacznik macierzy - zadanie 35
Jeżeli mam macierz o wymiarze 3x3 i det=3 składającą się z trzech kolumn A_{1},A_{2},A_{3} i utworze z niej nową macierz postaci \left to jej wyzn...
 Igorx  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com