[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 400
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznacznik macierzy - zadanie 5
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n: \left[\begin{array}{cccccc}a_{1} & b_{1} & 0 & \ldots & 0& 0\\0&a_{2}&b_{2}& \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots &\ldots\ddots& \vdots & 0 & 0\\0&0&0&\ldots& b_{n-2}&0 \\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&b_{n-1} ...
 natkoza  4
 macierzy c.d
Mianowicie posiadam nastepujace problemy : 1)\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&...&1\\0&1&1&...&1\\0&0&1&...&1\\& & &...& \\0&0&0&...&1 \end{array}\right] * X = ...
 Delvier  4
 Lemat do dowodu łączności iloczynu trzech macierzy
Witam! Potrzebuję dowodu tej tezy lub kontrprzykładu: \sum_{j}^{} \sum_{l}^{} a_{ij}b_{jl}c_{lk}= \sum_{l}^{} \sum_{j}^{}a_{ij}b_{jl}c_{lk}...
 zedd5  2
 wyznaczanie rzędu macierzy 5x2
R(A)=R \left = 2 I teraz nie wiem skąd to wyszło im 2 ://// Ktoś może wytłumaczyć ? plis :* ...
 karolciamozg  1
 Obliczyć wartości oraz wektory własne macierzy
\left Otóż policzyłem z równanie charakterystycznego det=0 : s=0 (dwuk...
 hubertwojtowicz  0
 Oblicz wyznacznik iloczynu macierzy
Niech A = 2B, B2 = 4I+ \begin{bmatrix} 0&1&3\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}, gdzie A, B są macierzami rozmiaru 3 x 3. Obliczyć det(A^{T}*B)...
 suhar  2
 Wyznacznik macierzy, dowód
W macierzy A\in\mathbb{K}^{n,n} na przecięciach pewnych k wierszy z pewnymi l kolumnami znajdują się elementy równe 0 i ...
 adambak  4
 Sprawdzić czy zbiór macierzy tworzy grupę
Sprawdzić czy dany zbiór macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy: b) a \in M(n,Z): det A \in \{-1,1\} c). a \in GL(n,R): det A \in \{-1,1\} d). a \in M&...
 Natasha  1
 transponowanie macierzy - zadanie 2
\left( \left \cdot X + \left \right) ^{T} jak to transponować? można każdy składnik osobno?...
 rzeznik997  6
 wyznacznik macierzy - zadanie 13
Witam serdecznie, mam takie dwa zadanka na obliczenie wyznacznika macierzy: a.) \left|\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&-3\\3&2&9&4\\2&3&6&1\end{array}\right| i w tym przykładzie użyłem twierdzenia Sarrusa i ...
 MitS  7
 Znajdź wartość własną i wektor własny macierzy
Znajdź wartość własną i wektor własny macierzy A= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix} Z tego co czytałem to się chyba tak rozwiązuje: det(A- \lambda )= \begin{b...
 kriss024  3
 Exp macierzy
1) Sprawdzić prawdziwość równania det exp(X)=exp(TrX) gdzie X-macierz. 2) Sprawdzic prawdziwość równania AB=BA gdy exp(A+B)=expAexpB, gdzie A,B-macierze...
 gosia  3
 Wektory własne macierzy + zespolone
Witam, Mam problem tym zadaniem. Wyznacz wszystkie ( rzeczywiste i zespolone ) wektory własne macierzy. \begin{bmatrix} 0 & 0& 0 &0 &-1 \\ 0 &1 &0& 1 &0 \\ 0 &0& 1& 0 & 0 \\ 0 &0&...
 Nesa  3
 macierz odwrotna oraz wzór cramera
Witam, Czy ktoś może mi pomóc przy tym zadaniu: Dana jest macierz wejściowa (input matrix) A i wektor końcowego popytu d: A=\left[...
 milalp23  0
 Wyznacznik macierzy 3x4?
Witam. Takie zadanko: Dane są A=\left, B= \left[\begin{array}{cccc}1&4&1&0\\2&1&1&1\\1&-2&amp...
 mobopx  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com