szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 charakterystyka liczbowa macierzy
Czy ktos mogłby pomoc mi to rozwiazac? Dana jest macierz A_{4} =a_{ij} ,gdzie a_{ij} = min(i,j) Obliczyć wszystkie charakterystyki liczbowe tej macierzy. Podać własności, z jakich należy skorzystać....
 lewka5  1
 Problem z przemnożeniem macierzy
Witam mam dwie macierze: A = \begin{bmatrix} 1&1\\1&0\\1&2\end{bmatrix}\\ B = \begin{bmatrix} 1&2&3\\0&1&2\end{bmatrix}\\ oblicz A \cdot B Gubię się w tym przypadku strasznie. Rysuję sobie kr...
 Christofanow  1
 Rząd macierzy z parametrem - zadanie 9
Wyznacz rząd macierzy: \left[\begin{array}{cccc} 1-p&2&1&p\\ 1&2-p&1&0\\ 1&2&1-p&p \end{array}\right] Mam problem, jak w ogóle zabrać się za to zadanie....
 rafcio_100  5
 wyznacznik macierzy - zadanie 5
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n: \left[\begin{array}{cccccc}a_{1} & b_{1} & 0 & \ldots & 0& 0\\0&a_{2}&b_{2}& \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots &\ldots\ddots& \vdots & 0 & 0\\0&0&0&\ldots& b_{n-2}&0 \\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&b_{n-1} ...
 natkoza  4
 Wyznacznik macierzy - zadanie 110
Proszę o pomoc przy obliczaniu wyznacznika macierzy typu: \left odpowiedź: ...
 cassieenator  2
 macierzy c.d
Mianowicie posiadam nastepujace problemy : 1)\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&...&1\\0&1&1&...&1\\0&0&1&...&1\\& & &...& \\0&0&0&...&1 \end{array}\right] * X = ...
 Delvier  4
 Wyznacznik macierzy równy iloczynowi wartości własnych
Udowodnij, że wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi jej wartości własnych. Wskazówka: Co wyraz wolny wielomianu charakterystycznego ma wspólnego z jego pierwiastkami? Mam takie zadanko i nie potrafię sobie z nim poradzić...
 addmir  1
 Dowód że macierz transponowana do macierzy odwracalnej jest
Mam problem z dowodem własności macierzy odwracalnej: (A ^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} Nie wiem jak zacząć, będę wdzięczny za każdą pomoc....
 Sajkou  1
 Exp macierzy
1) Sprawdzić prawdziwość równania det exp(X)=exp(TrX) gdzie X-macierz. 2) Sprawdzic prawdziwość równania AB=BA gdy exp(A+B)=expAexpB, gdzie A,B-macierze...
 gosia  3
 podprzestrzenie wektorów własnych macierzy
Proszę o sprawdzenie i o pomoc w dokończeniu zadania.. Znaleźć wartosci własne oraz odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych macierzy: \left[/te...
 olussskaaa  2
 Wyznacznik dziwnej macierzy.
Cześć Musze obliczyc wyznacznik tej macierzy ,może wie ktoś z Was jak to zrobic. Z góry dziękuję za pomoc \left|\begin{array}{cccc}2&3&4&5\\6&7&8&9\\10&11&12&13\\14&15&16&17\end{array}\right|...
 miki5454  6
 Rząd macierzy i układ Cramera
1. Wyznaczyć rząd macierzy: \begin{vmatrix} 1 &1 &1& 1\\ 2& 2& 3 &-1 \\ 0 &0& 1& -3\\ 3& 3& 5& -5\end{vmatrix} 2. Dla jakich wartości m należącego do R, układ równa...
 kris19  0
 wyznacznik macierzy 3x3
jak obliczyć wyznacznik takiej macierzy? wystarczy mi wytłumaczenie jak ale i za wynik również będe wdzięczna \begin{vmatrix}0,85 & -0,46 &a...
 ewela__555  2
 Rząd macierzy, baza przestrzeni wierszy
mam taką macierz: \left zaczynam liczyć rząd, otrzymuje: 1 +\left[\begin{array}{cccc}...
 krokodylek  3
 Rząd macierzy - zadanie 36
Witam, mam pytanie odnośnie jednego zadanka. Oto one: Jaki jest rząd macierzy \left , jeżeli wiadomo, że układ równań \begin{...
 mikku  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com