szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Mnożenie macierzy i wektorów, równanie
Dlaczego poniższe równianie zachodzi?: \frac{\bigtriangledown f'Qd}{d'Qd}d = \bigtriangledown f gdzie: \bigtriangledown f, d \in \mathbb{R}^{n \times 1} Q \in \mathbb{R}^{n \times n}...
 Kulfon  0
 wyznacznik macierzy - zadanie 42
\begin{bmatrix} 0&1&3&0\\4&5&2&2\\-2&-1&-3&0\\4&2&5&0\end{bmatrix} Mam tu policzyć jakiś wyznacznik. Nie mam pojęcia jak to robić; wiem, że korzysta się z twierdzenie Lapla...
 m.muszy  4
 Jak obliczyc macierz odwrotną do danej macierzy?
Jak obliczyć macierz odwrotną do macierzy? \left a takze \left...
 crew1988  1
 Równanie macierzowe, odwracanie macierzy
Rozwiąż równanie macierzowe wykorzystując operacje odwracania macierzy. \left \cdot X \cdot \left=\left[\begin{array}{cc}3&5...
 rodnej  2
 Podać wzór przekształcenia liniowego
Podać wzór analityczny przekształcenia \psi: R ^{3} \rightarrow R ^{3}, o którym wiadomo, że: ker\Psi=lin(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmat...
 annavg  0
 wyznacznik macierzy - należy wykorzystć podprzesprzeń?
Witam, Mam jeszcze jeden problem z macierzą. Muszę udowodnić poniższy lemat: Jeśli X jest macierza o wymiarach n \times (k+1) takich, że n > k+1, wówczas rzX = k+1[/...
 abcdef13  3
 Rzędy macierzy [kilka pytań]
Witam. Chciałbym zapytać o kilka rzeczy związanych z macierzami. Według samej definicji rzędu, jest to liczba liniowo niezależnych wektorów, a więc kolumn lub wierszy w macierzy. I wspaniale, kiedy dany mamy wzór z E-trapezu,...
 Ceplusplusik  10
 Minimalna ilość operacji mnożenia kilku macierzy
Witam. // do moderatorów: proszę przed przeniesieniem mojego tematu do kosza powiadamiać mnie jakoś o powodzie, żebym mógł się poprawić; bez tego będę bezmyślnie zastanawiał się nad powodem moderacji i nie będę miał możliwości zmiany swojego postępo...
 kokosek  4
 Wyznaczenie macierzy odwrotnej
Witajcie! Proszę Was o pomoc wyznaczeniu macierzy odwrotnej do macierzy: A=\begin {bmatrix} \frac{7}{5} \end {bmatrix} Niby najprostsza macierz jaka może być a jednak mam pewien problem (mimo że potrafię odwracać macie...
 Axis  4
 Rząd macierzy. - zadanie 4
Witam. Mam takie zadanie: Macierz, której wierszami są wektory , ,, ma rząd równy: A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 Niby widać od razu, ale dla bezpieczeństwa poprzekształcałem odejmując wiersze i wyszło...
 dawid.barracuda  2
 Oblicz wyznacznik macierzy - zadanie 4
Oblicz wyznacznik: a) \left b)\left[\begin{array}{cccc}1&2&-9&0\\1&...
 Z_i_o_M_e_K  1
 Mnożenie macierzy - zadanie 23
Witam, mam przestawić działanie macierzowe AB=C w postaci układu równań. Wymiary macierzy to: A - 2x2 B - 1x2 C - 1x2. Wiem, że aby pomnożyć macierz A przez B liczba kolumn pierwszej musi zgadzać się liczbą wierzy drugiej. W tym przypadku tak nie je...
 Hondo  4
 Rząd macierzy - zadanie 20
Próbowałem już odejmować i dodawać od różnych wierszów i kolumn żeby doprowadzić do zer w kolumnie lub wierszu, ale zawsze mi jakaś inna liczba zostaje. Prosiłbym o rozpisanie, albo powiedzenie co od czego odejmować w poszczególnych krokach (który wi...
 pc  1
 Kilka pytań na tamat macierzy.
A^{-1}= \frac{1}{detA} \cdot D^T Co to jest detA w tym wzorze?...
 mistque  2
 rozmiar macierzy
Witam, Czy ktoś mógłby pomóc mi podać rozmiary macierzy A, B, C aby można było obliczyć 2AB + ACB...
 h3X  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com