szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Potęgowanie macierzy - zadanie 4
proszę o pomoc w obliczeniu następującej macierzy (\left \left\lef...
 izuleczka13  5
 wyznacznik macierzy - zadanie 5
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n: \left[\begin{array}{cccccc}a_{1} & b_{1} & 0 & \ldots & 0& 0\\0&a_{2}&b_{2}& \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots &\ldots\ddots& \vdots & 0 & 0\\0&0&0&\ldots& b_{n-2}&0 \\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&b_{n-1} ...
 natkoza  4
 wektory własne macierzy
Biedzę się już kilka dni i nic mi nie wychodzi, chyba muszę robić jakiś głupi błąd. Bardzo proszę, gdyby ktoś mógł mi napisać jakie są wektory własne tej macierzy. Wartości wyszły mi takie: 1 5.303 1.697 Wektory wyszły mi takie (ale są chyba błędne,...
 gitty  2
 macierzy c.d
Mianowicie posiadam nastepujace problemy : 1)\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&...&1\\0&1&1&...&1\\0&0&1&...&1\\& & &...& \\0&0&0&...&1 \end{array}\right] * X = ...
 Delvier  4
 równanie macierzy
Potrzeba mi pomocy przy rozwiązaniu takiego równania macierzowego: 3A - 2\begin{bmatrix} 2&5\\-1&0\end{bmatrix} = -5A - \begin{bmatrix} 2&1\\0&-1\end{bmatrix} czy to dobrze ...
 pescar  4
 mnozenie macierzy - zadanie 2
Hej! Gdzies robie blad i nie wiem gdzie....czy ktos moze policzyc \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 0.7^n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bma...
 Jacek_fizyk  4
 Exp macierzy
1) Sprawdzić prawdziwość równania det exp(X)=exp(TrX) gdzie X-macierz. 2) Sprawdzic prawdziwość równania AB=BA gdy exp(A+B)=expAexpB, gdzie A,B-macierze...
 gosia  3
 Określoność macierzy - zadanie 3
Jak sprawdzić czy macierz jest ujemnie określona?...
 affected  4
 Wyznacznik dziwnej macierzy.
Cześć Musze obliczyc wyznacznik tej macierzy ,może wie ktoś z Was jak to zrobic. Z góry dziękuję za pomoc \left|\begin{array}{cccc}2&3&4&5\\6&7&8&9\\10&11&12&13\\14&15&16&17\end{array}\right|...
 miki5454  6
 układ równań za pomocą macierzy
Cześć mam prośbę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania: \left\{\begin{array}{l} x-2y=1\\-4x+8y=-8\\3x+y=-3 \end{array} narazie obliczyłam rząd macierzy A A= \begin{bmatrix} 1&-2\\-4&8\\3&1\end{b...
 izulka_nh  4
 Jak obliczyc wyznacznik macierzy 5 stopnia i paru innych ?
Witam, Mógłby ktoś w miarę zrozumiale objaśnić jak się wylicza wyznacznik macierzy 5 stopnia? Nie chodzi mi o jakaś tam konkretną ale ogólnie o zasady wyliczania. No ale dla przykładu dam tą :p \left[\begin{array}{ccccc}1&2&0&0&...
 danul  4
 Wyznacznik macierzy 5x5
mam pytanie czy znając tylko rozmiar macierzy można wyliczyć jej wyznacznik? a jeżeli tak to jak ? ...
 elcia_ch  1
 metodę macierzy odwrotnej
A^{-1}= \begin{bmatrix} 0&-1&1 \\ -1&2&-1\\2&-1&0 \end{bmatrix} \left-> \left Za pomocą operacji elementarnych sprowadź lewy blok do ...
 filip90  4
 Wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy.
Witam. Mam sobie taką o to macierz: (s1-A)=\begin{bmatrix} s&-1&0\\0&s&-1\\k&2&s+1\end{bmatrix} Wielomian charakterystyczny tego czegoś wynosi: s^{3} + s^{2} + 2s +k[/tex:39...
 Dawidq  1
 Mnożenie macierzy wykonalne ?
\left \left Czy mnożenie tych macierzy jest wykonalne ?...
 verso20  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com