[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 400
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wartość parametru m macierzy
Dla jakiej wartości parametru m macierz \left jest nieosobliwa? Czy wystarczy tu obliczyć wyznacz...
 pietrek41  1
 Wzór macierzy
Czy może ktoś podać wzór na macierz A ^{D}, bo nigdzie nie mogę znaleźć......
 azusia  1
 wartości własne i wektory własne macierzy - zadanie 3
Czy mógłby ktoś mi wyjaśnić od czego zacząć naukę wartości własnych i wektorów własnych macierzy? Jak to się liczy? Interesuje mnie głównie macierz 2x2. Na tym zagadnieniu kończą mi się notatki, a muszę to wiedzieć na najbliższy weekend... Trochę pr...
 wampirzyca  2
 wartości własne macierzy - zadanie 7
Jak znaleźć wszytskie macierze o wymiarach 2x2 mające wartości własne \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1? Proszę o pomoc...
 student0321  2
 Korzystając z macierzy przejscia,wyznacz współrzędne wektora
Korzystając z macierzy przejscia, wyznacz współrzędne wektora x=\left w bazie S=(\left,\left[\begin{array}{ccc}3\\2\\1\...
 izak110  0
 łączność iloczynu macierzy
Prosiłbym o wyprowadzenie dowodu na łączność iloczynu macierzy: (AB)C=A(BC)...
 radkow  2
 Obliczyc macierze odwrotne macierzy...
witam mam taki o to problem z 3-ma macierzami pierwsa \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix} pierwsza jest banalnie prosta... ale jezeli robimy to pokolei wg wzoru to zajmuje dlugo cza...
 Mateusz9000  3
 Obliczanie wyznacznika macierzy - zadanie 3
1.Obliczyć wyznacznik macierzy; \left[\begin{array}{cccccc}7&6&5&4&4&2\\9&7&8&9&3&3\\7&4&9&7&0&0\\5&3&6&1&0&0\\0&0&5&6&0&0\\0&0&...
 fantastatycznie  2
 Baza obrazu macierzy
Mam taka macierz i mam znalezc baze obrazu macierzy. Nie wiem tylko co zrobic dla a rownego 1. Reszte zrobilem. \begin{bmatrix} a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{bmatrix}...
 Heniek1991  0
 rząd macierzy - zadanie 4
Wyznacz rząd macierzy: 1).\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&4&1\\1&1&1&5\\1&2&3&4\\1&1&1&1\end{array}\right| 2).\left|\begin{array}{ccccc}1&2&3&-1&4\\2&1&1&2&1\\-1&1&2&-3&3\end{array}\right|[...
 orbitka_  2
 Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC
P=0.5 \cdot \left|\begin{array}{ccc}x _{1} &y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right| \\ \\ A= \left( x_{1},y _{1} \right) \\ B= \left( x_{2},y_{2} \right) \\ C= \left( x...
 diego_maradona  4
 Prosty wyznacznik macierzy
Jak krok po kroku obliczyć wyznacznik takiej prostej macierzy: A4= \\ detA4= ???...
 faho  5
 norma macierzy - jakaś skomplikowana
nie wiem czy to właściwy dział, norma macierzy to chyba algebra, ale to zadanie mam na "analizie" mam policzyć normę macierzy \left, gdy: ||A|| = ...
 mm34639  5
 Wyznacznik macierzy 2x3 - zadanie 2
Proszę o rozwiązanie tego przykładu... i wytłumaczenie krok po kroku. kompletnie nie rozumiem liczenia wyznacznika z macierzy prostokątnych. Zadanie: Oblicz wyznacznik macierzy. \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0...
 Bloodyshade  7
 mnożenie macierzy i właściwości przestrzeni
Sprawdzić, czy mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V, ma w tym zbiorze element neutralny oraz odwrotny. V={A \in M(2,2): A=\begin{bmatrix} a&0\\b&c\end{bmatrix}, a,b,c \in R \wedge a*c \neq 0}[/tex...
 kinga7  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com