szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Witam, nie wiem jak zrobić takie zadanie:
Wyprowadź wzór na A ^{n} dla macierzy
A = \begin{bmatrix} 2&-3\\4&-5\end{bmatrix}
Wskazówka: znajdź diagonalną macierz B podobną do A..

proszę o pomoc..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Macierz diagonalna podobna do A to taka, która na przekątnej zawiera wartości własne przekształcenia opisanego macierzą A (wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A). Jest to po prostu macierz Jordana A_{J}.
Czyli liczymy wartości własne: det \begin{bmatrix} 2-x&-3\\4&-5-x\end{bmatrix}=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0
Więc wartości własne to -1 i -2, a postać diagonalna macierzy:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}
Macierz w postaci diagonalnej łatwo podnosi się do potęgi:
\begin{bmatrix} -1&0\\0&-2\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} (-1)^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{bmatrix}

Teraz trzeba sobie przypomnieć o związku między A i A_{J}:
A=C^{-1} A_{J}  C, gdzie C-macierz, w której w kolumnach stoją wektory własne.
A^{n}=C^{-1}  A_{J} C  \cdot  C^{-1}  A_{J} C  \cdot  ...  \cdot  C^{-1}  A_{J}  C \cdot C^{-1}  A_{J}  C=C^{-1}  A_{J}^{n}  C
Wektory własne to (1,1) i (3,4), więc:
C= \begin{bmatrix} 1&3\\1&4\end{bmatrix}, C^{-1}= \begin{bmatrix} 4&-3\\-1&1\end{bmatrix}
Ostatecznie:
A^{n}=\begin{bmatrix} 4(-1)^{n}-3(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+3(-2)^{n}\\4(-1)^{n}-4(-2)^{n}&-3(-1)^{n}+4(-2)^{n}\end{bmatrix}, o ile nigdzie się nie pomyliłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wymiar zbioru macierzy
Określmy X=\{ A \ge 0:tr(A)=1\}, A są macierzami o wymiarach d\times d o wyrazach zespolonych. Pokazać, że dim\ X=d^2-1....
 fon_nojman  6
 Wyznaczenie macierzy odwrotnej - zadanie 2
Mam pytanie: Czy jeżeli mam jakąś macierz "A" i ona jest podniesiona do kwadratu to: -czy najpierw podnoszę tą macierz do kwadratu a dopiero później wyznaczam macierz odwrotną -czy najpierw wyznaczam macierz odwrotną a dopiero jak otrzymam...
 kaamil115  1
 Rozklad macierzy.
Czy ktos wie moze, jak mając dana macierz symetryczna X oraz macierz kwadratowa \Lambda, ktora na przekatnej ma wartosci wlasne X (na pozostalych miejscach 0), mozna znalezc macierz P taka, że: P^TXP = \Lamb...
 dorodoro  0
 Przestrzen macierzy 2x2. U-podzbiór, baza, wymiar
Witam! Mam maly problem z zadankiem. Pytanie brzmi który z ponizszych podzbiorów matryc 2x2 tworzy podprzestrzen (jest zamkniety, zachowuje operacje)? Jesli tak to skonstruuj baze U i wskaz wymiar U. Mamy do rozpatrzenia 2 zbiory matryc: Zbiór ...
 trelek2  2
 wyznacznik macierzy - zadanie 55
Rozwiąż równanie: \begin{vmatrix} 1&x&x^{2}&...&x^{n}\\1&a_{1}&a^{2}_{1}&...&a^{n}_{1}\\1&a_{2}&a^{2}_{2}&...&a^{n}_{2}\\...&...&...&...&...\\1&a_{n}&a^{2}_{n}&amp...
 alfgordon  2
 obliczanie wyznacznika macierzy - równanie
Kolejne zadanie, które przysparza mi problemów... mamy równanie A^T \cdot (4A)^{-1} = 16(A^{-1})T, szukamy \det A Rozwiązaliśmy je na zajęciach w następujący sposób: [tex:3...
 niebieska_biedronka  3
 wyznacznik macierzy - zadanie 92
obliczyć wyznacznik macierzy A A= \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\2&3&0&-5\end{array}\right|= ^{W _{1}-W _{4} }= \left|\begin{array}{c...
 pawel296  7
 Rząd macierzy - zadanie 6
Nie za bardzo rozumiem jak się oblicza rząd macierzy. Czy ktoś mógłby mi to jasno i dokładnie wytłumaczyć? Weźmy taki przykład. \left...
 sq  29
 wyznacznik macierzy- zadania
proszę o pomoc w rozwiazaniu tego wyznacznika bo juz się pogubiłam. zgóry dziękuje za pomoc \left|\begin{array}{cccc}5sinx&2&1&4\\1&cosx&0&0\\0&1&1&3\\0&1&1&4\end{array}\right|[/tex:2mpec...
 ab19911  6
 mnożenie macierzy przez wektor - zadanie 2
rozwiazuje włąsnie zadanie zadanie i utknęłam na pomnożeniu macierzy przez wektor mam macierz o wymiarach 3x3 i mam pomnożyć ja przez wektor 3x1...
 trebles1  1
 Wyznacznik Macierzy 4x4 - zadanie 5
\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\2&4+x&2&2\\3&3&4+x&3\\4&4&4&4+x\end{array}\right|=0 Wyznaczyć wszystkie wartości x spełniające dane równanie....
 szatanekn2l  4
 Podać wzór przekształcenia liniowego
Podać wzór analityczny przekształcenia \psi: R ^{3} \rightarrow R ^{3}, o którym wiadomo, że: ker\Psi=lin(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmat...
 annavg  0
 Oblicz wyznacznik macierzy - zadanie 12
Oblicz wyznacznik macierzy stosując rozwinięcie Laplace'a względem wybranego wiersza. \begin{bmatrix} -1&0&0&3\\1&-1&1&0\\0&-3&3&0\\1&-1&-2&2\end{bmatrix} |A...
 manu_utd  3
 Rząd macierzy - zadanie 2
Siema drodzy forumowicze. Po raz kolejny proszę was o pomoc w w takiej o to błahej sprawie. Mianowicie: czy mógłbym ktoś mi w prosty sposób opisać na czym polega liczenie rzędu macierzy.?...
 sir_dudi  3
 Wzór dla zmiany macierzy odwzorowania liniowego
Podaj wzór dla zmiany macierzy odwzorowania liniowego f:R ^{n} \rightarrow R ^{n} przy przejściu od bazy B do bazy B' w R ^{n}. J...
 puma941  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com