szukanie zaawansowane
 [ Posty: 19 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 00:40 
Użytkownik

Posty: 260
Oblicz granicę ciągu:
u_n= \frac{2^n \cdot 3^n}{n!}
a tak od razu to czy mógłbym prosić o dowód tego wyrażenia: \frac{n!}{n^n} \le  \frac{1}{n}

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc
Maks
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 00:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
Skkorzystaj z tego, że :
\lim_{n \to   \infty }  \frac{ a_{n+1} }{a_{n} }=g<1  \Rightarrow   \lim_{n \to  \infty  } a_{n}=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 01:01 
Użytkownik

Posty: 260
Dobra, dobra śliczne dzięki;), a co z:
u_n=(1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2})(1- \frac{1}{4^2})...(1- \frac{1}{n^2})
Uprzejmie proszę o rozwiązanie tego przykładu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 01:40 
Użytkownik

Posty: 42
sry za offtop, to przez przypadek chciałem żeby mi wyświetliło tego latexa przy podglądzie wiadomości bo kolega zapomniał kodu z tex'a dodać...

u_n= \frac{2^n \cdot 3^n}{n!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 08:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8728
Lokalizacja: Łódź
Brzezin napisał(a):
Dobra, dobra śliczne dzięki;), a co z:
u_n=(1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2})(1- \frac{1}{4^2})...(1- \frac{1}{n^2})
Uprzejmie proszę o rozwiązanie tego przykładu


Wspólny mianownik, wzór skrócoengo mnożenia i ładnie się poskraca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Brzezin napisał(a):
czy mógłbym prosić o dowód tego wyrażenia: \frac{n!}{n^n} \le  \frac{1}{n}


Pewnie da się indukcyjnie, ale można tak:

L = \frac{n!}{n^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...  \cdot n}{n \cdot n \cdot n \cdot n ... \cdot n} =\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-1}{n}

Ponieważ
\frac{2}{n} \le 1 ;

\frac{3}{n} \le 1 ;

\frac{4}{n} \le 1 ... \frac{n-1}{n} \le 1

to:

\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-1}{n} \le \frac{1}{n} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = \frac{1}{n} = P

L \le P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
Jeszcze założenia kolega poprosimy.
\frac{2}{n}  \le 1
dla n =1 co się dzieje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
miodzio1988 napisał(a):
Jeszcze założenia kolega poprosimy.
\frac{2}{n}  \le 1
dla n =1 co się dzieje?


Wiedziałem że ktoś się odezwie w tej sprawie :twisted: :twisted: :twisted: No ale że TY??? :D
A kiedy 2/n może wystąpić? Dopiero dla n=2 lub większego!!! Zwróć uwagę skąd wychodzimy co jest punktem wyjścia n! oraz n^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
No jak to kiedy może wystąpić? Mamy iloczyn mądralo, więc bierzmy pod uwagę wszystkie liczby jednocześnie. Nie podoba mi się ten dowód :P
To samo z \frac{3}{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:44 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Problem polega mniej więcej na czymś takim. Jak ktoś napisze, że zbiór składa się z elementów \{ 1,2,3,\ldots ,n\} dla \mathbb{N} \ni n\ge 1 to ktoś inny podniesie krzyk, że jak to może zachodzić dla n=2 skoro wypisano już trójkę należącą do zbioru...

Idea jest dobra, przynajmniej mi się podoba. Każdy element z iloczynu kolejnych liczb począwszy od dwójki do n szacujemy z góry przez n i koniec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
miodzio1988 napisał(a):
No jak to kiedy może wystąpić? Mamy iloczyn mądralo, więc bierzmy pod uwagę wszystkie liczby jednocześnie. Nie podoba mi się ten dowód :P
To samo z \frac{3}{n}


Czy na pewno rozumiesz znak silni? i "n" do "n"??

Dowód jest ok.
Żeby uprościć sprawę. To sprawdz sobie czy nierównośc pasuje dla n=1,2,3,4,5,6,7,8,9 (podpowiem PASUJE!) a mój dowód traktuj od n=10 wzwyż (jeśli robi to Tobie jakąś różnicę)

Czy jak rozpisujesz silnię n! = 1*2*3*4*...*n to masz na myśli to że dla n=1 pojawi się 2? dla n=3 pojawi się 4 i więcej?
2/n , 3/n , 4/n wstawiasz tylko wtedy, gdy masz odpowiednio wysokie n :evil:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 11:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
frej napisał(a):
Każdy element z iloczynu kolejnych liczb począwszy od dwójki do n szacujemy z góry przez n i koniec.


I tego mi brakowało. Teraz się nie czepiam;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 12:36 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Ech, ten formalizm :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 260
Dowód jest bardzo sprytny, a czy ktoś może nie ma może wersji indukcyjnej (lub potrafi go tak udowodnić)? Wiem, wiem dowód to dowód, ale bardzo chciałbym zobaczyć tutaj indukcję matematyczną :wink:

Inkwizytor napisał(a):
Brzezin napisał(a):
czy mógłbym prosić o dowód tego wyrażenia: \frac{n!}{n^n} \le  \frac{1}{n}


Pewnie da się indukcyjnie, ale można tak:

L = \frac{n!}{n^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...  \cdot n}{n \cdot n \cdot n \cdot n ... \cdot n} =\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-1}{n}

Ponieważ
\frac{2}{n} \le 1 ;

\frac{3}{n} \le 1 ;

\frac{4}{n} \le 1 ... \frac{n-1}{n} \le 1

to:

\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-1}{n} \le \frac{1}{n} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = \frac{1}{n} = P

L \le P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 21:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Nie wiem czy dobrze ale ja bym sobie oszacował to tak :P
Wiemy że: n! \leq (\frac{n}{e})^n\sqrt{n}e z ważniaka
No to mamy:
\frac{n!}{n^{n}} \leq \frac{(\frac{n}{e})^n\sqrt{n}e}{n^{n}} = \frac{1}{e^{n}}\sqrt{n}e = 0 \leq \frac{1}{n}

Ale lepiej niech ktoś to sprawdzi i się wypowie :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 21:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8728
Lokalizacja: Łódź
Nie powinno być znaku równości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
W sensie powinienem to zapisać tak :?:

\frac{n!}{n^{n}} \leq \frac{(\frac{n}{e})^n\sqrt{n}e}{n^{n}} \leq \frac{1}{e^{n}}\sqrt{n}e \leq 0 \leq \frac{1}{n}

A jeśli mógłbyś Nakahed to popraw bo chciałbym się w końcu nauczyć pisać poprawnie :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2009, o 22:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8728
Lokalizacja: Łódź
Teraz znów jest źle, bo ta wartość dąży do 0 z prawej strony, a z twojego zapisu wynika, że dąże z lewej. Zamiast drugiego znaku \le powinien być znak równości, w tym miejscu nie szacujesz, tylko upraszczasz wyrażenie. Ja nie jestem pewien, czy ostatnie szacowani jest do końca poprawne, ale to musi ktoś inny zweryfikować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2009, o 21:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Mój pomysł na indukcję:
nierówność \frac{n!}{n^n} \le \frac{1}{n} jest równoważna (dla n całkowitych dodatnich): n! \le n^{n-1}

i tę nierówność będę udowadniał indukcyjnie
Aby nie zanudzać wiadomo sprawdzamy dla n=1 -> wychodzi ok.

Zał. ind. (n=k)
k! \le k^{k-1}

Teza ind. (n=k+1)
(k+1)! \le (k+1)^k

L = (k+1)! = k!\cdot(k+1) \le k^{k-1}\cdot(k+1) \le (k+1)^{k-1}\cdot(k+1) = (k+1)^k = P

Q.E.D.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 19 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz granice ciagu - zadanie 21  Adamusos  4
 Oblicz granicę ciągu - zadanie 105  pangru  2
 Oblicz granice ciągu - zadanie 106  Stachu93  4
 Oblicz granicę ciągu - zadanie 113  bartex9  4
 oblicz granice ciągu - zadanie 117  rflq  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com