szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 15:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
1. Jaki jest rząd takiej macierzy:

3 2 2 2
2 3 2 5
9 1 4 5
2 2 3 4
7 1 6 -1

:?:

Wybieram minor złożony z 4 wersów i 4 kolumn poprzez odrzucenie ostatniej linijki. Liczę wyznacznik tego minora, wychodzi 0. Czy to oznacza, że mam potem wybrać minor złożony z 3 wersów i 3 kolumn i sprawdzić, ile wynosi jego wyznacznik? Czy szukać innego minora 4 / 4??? A w ogóle to jeżeli wyznacznik macierzy powstałej poprzez dopisanie do powyższej macierzy kolumny złożonej z wyrazów wolnych wynosi 0, to znaczy że cały układ może mieć albo nieskończenie wiele rozwiązań albo brak rozwiązań?

2. Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy poniższy układ równań jest sprzeczny:

x + 2y + 3z - 2t + u = 4
3x + 6y + 5z - 4t + 3u = 5
x + 2y + 7z -4t + u = 11
2x + 4y + 2z - 3t + 3u = 6

Zrobiłem do tego 3 podejścia. W pierwszym potraktowałem "u", potem "t" a następnie "x" i "y" jako parametr. Za każdym razem det W = 0.
Jeżeli "u" potraktuje się jako parametr, to Wx = -32u + 512.
Czy to oznacza, że układ jest sprzeczny?

Proszę o pomoc.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 15:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
latex.htm

@9. Macierze,wyznaczniki

1) Najlepiej wykonaj kilka operacji na wierszach. Wtedy zobaczysz jaki jest rząd macierzy (sprowadz macierz do postaci wierszowo zredukowanej)

2)

Cytuj:
Zrobiłem do tego 3 podejścia. W pierwszym potraktowałem "u", potem "t" a następnie "x" i "y" jako parametr.

Mozesz mi to wytłumaczyć? Co to znaczy, że potraktowałeś jako parametr?
Znów operacje wierszowe +
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzeni ... -Capellego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 15:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
miodzio1988 napisał(a):
1) Najlepiej wykonaj kilka operacji na wierszach. Wtedy zobaczysz jaki jest rząd macierzy (sprowadz macierz do postaci wierszowo zredukowanej)


Ale czy wybór minora ma wpływ na jego wyznacznik? Tzn. czy może się zdarzyć, że minor złożony z 4 wierszy i 4 kolumn ma różną wartość wyznacznika w zależności od tego, która kolumnę / wers macierzy wyjściowej pominę?


miodzio1988 napisał(a):
2)

Cytuj:
Zrobiłem do tego 3 podejścia. W pierwszym potraktowałem "u", potem "t" a następnie "x" i "y" jako parametr.

Mozesz mi to wytłumaczyć? Co to znaczy, że potraktowałeś jako parametr?
Znów operacje wierszowe +
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzeni ... -Capellego


Liczba niewiadomych jest większa od liczby wierszy. Potraktowałem jako parametr, czyli przerzuciłem na prawą stronę równania, tak żeby występowały we wszelkich wyznacznikach jako część wyrażenia wolnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 15:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Cytuj:
A w ogóle to jeżeli wyznacznik macierzy powstałej poprzez dopisanie do powyższej macierzy kolumny złożonej z wyrazów wolnych wynosi 0, to znaczy że cały układ może mieć albo nieskończenie wiele rozwiązań albo brak rozwiązań?


Dla uklady AX = 0 możliwe są następujące sytuacje:
1) detA \neq 0 -> dokladnie jedno rozwiązanie(zerowe)
2) detA = 0 -> nieskonczenie wiele rozwiazan (w tym zerowe)

Wiec wynika z tego ze uklad jednorodny nie moze byc sprzeczny gdyz zawsze ma min. 1 jedno rozwiazanie - zerowe :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Ale w obu przypadkach myślałem o układach niejednorodnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Racja, mój błąd niezauważyłem :]

No to dla niejednorodnych AX = B, gdzie A - kwadratowa:
1)Uklad AX = B ma dokladnie jedno rozwiązanie jeśli detA \neq 0 (Tw.Cramera)
2) Jeśli detA = 0 to wiersze sa liniowo zalezne, czyli min dwa/wiersze kolumny sa identyczne,
czyli min jeden wiersz/kolumna = 0, wiec uklad moze miec nieskonczenie wiele rozwiazan badz byc sprzeczny


Tw. K-C (A nie musi byc kwadratowa), n - liczba niewiadomych
1)Uklad AX=B ma rozwiazanie gdy rzad macierzy A = rzad macierzy rozszerezonej A|B
i teraz:
a) rz(A) = rz(A|B) = n -> uklad ma dokladnie jedno rozwiazanie
b) rz(A) = rz(A|B) < n -> uklad ma nieskonczenie wiele rozwiazan zaleznie od n-r parametrow
c) jesli rz(A) <> rz(A|B) to uklad nie ma rozwiazan (jest sprzeczny)

Trochę zmieniłem i uściśliłem :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Dobra. I teraz
x = Wx / W
y = Wy / W
z = Wz / W

Ale żeby policzyć W, trzeba dopisać do macierzy

3 2 2 2
2 3 2 5
9 1 4 5
2 2 3 4
7 1 6 -1

...wyrazy wolne po prawej stronie. Dopisuję, liczę i wychodzi W = 0. Wniosek: brak rozwiązań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Nie wiem czy do konca rozumiem co chcesz zrobic, bo zakladam ze chcesz policzyc to ze wzorow Cramera, ale zeby je stosowac, musisz miec macierz wspolczynnikow kwardratowa :) A to mi na kwadratowa nie wyglada :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 18:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Tak. Dlatego dopisuję jako piątą kolumnę wyrazy wolne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 18:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Szczerze mowiac mi sie wydaje ze nie mozna tak zrobic i zeby rozwiazac ten uklad musisz go potraktowac inaczej np. Gaussem, ale moze niech wypowie sie ktos bardziej kompetentny :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 18:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
A może po prostu trzeba olać ostatnie równanie i rozwiązać układ równań złożony z pierwszych 4 równań a potem sprawdzić, czy wynik zgadza się z tamtym 5 równaniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 18:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 569
Ja się będę chyba jednak upierać że trzeba skorzystać z innej metody bo twierdzenie mówi jasno, że
Cramera możemy stosować dla układu n równań o n niewiadomych - Ty chcesz o ile się nie mylę rozwiazac zadanie z Krysickiego 9.62 :) 5 równan i 4 niewiadome więc nie spełnia to wymagań i trzeba inaczej :P
Noo chyba ze sa jakies tajemne triki ale nic mi o nich nie wiadomo :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Tak, dokładnie nad tym zadaniem teraz się zatrzymałem. Z tego układu wynika, że x,y,z,t muszą spełniać układ 5 równań, który zamieniam na dwa warunki: 7x + y + 6z - t = 7 i układ równań złożony z pierwszych czterech linijek. Rozwiążę go i sprawdzę, czy zachodzi 7x + y + 6z - t = 7.

Później jeszcze jest 9.63, 9.64, 9.65 oraz 9.66 w tym samym stylu. Niektóre macierze można liczyć pół godziny...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2009, o 23:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
Przemas O'Black napisał(a):
A może po prostu trzeba olać ostatnie równanie i rozwiązać układ równań złożony z pierwszych 4 równań


Jakoś daleko wtedy nie dojdziesz.

Przemas O'Black napisał(a):
Później jeszcze jest 9.63, 9.64, 9.65 oraz 9.66 w tym samym stylu. Niektóre macierze można liczyć pół godziny...


Gauss i po 5 minutach masz wynik.
Zastosuj się do moich rad i nie kombinuj
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2009, o 10:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Mądra ta metoda Gaussa... :P
W książce jej nie ma a pomaga. Dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 norma macierzy  Anonymous  2
 postać diagonalna macierzy  przemo_c  1
 Wartości własne macierzy  m  1
 Dowód dla macierzy  Anonymous  1
 macierz-układ równań  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com