[ Posty: 49 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 01:35 
Użytkownik

Posty: 4264
Lokalizacja: Kraków
Witam,
szczególnie miłosników zadań olimpijskich, ale tak wogole to wszystkich, Korzystając z mijajacego urlopu oraz kończacego sie już sezonu ogórkowego postanowiłem zebrac pewien wiekszy zestaw zadań z tej tematyki, aby zostały lepiej zauwazone (niz gdyby były w wielu róznych watkach). Być moze okaza sie one znane i szybko posypia sie rozwiazania, badz linki. Dla mnie niektóre z nich sa za trudne (zadanie "trudne" to takie, którego się nie potrafi rozwiazać). Oczywiscie nie mowie które to, aby nikogo nie sugerowac :D
Te zadania, które sa powtórka (były wczesniej na forum, lecz nie rozwiazano, tez sa oznaczone, na czerwono.) Dochodzi tez kilka oryginalnych problemów z Mathlinks, oraz z ksiazki: De Koninck, Mercier, 1001 Number theory Problems. Takze z innych dwoch książek. Spora czesc jest z różnych olimpiad, zawodów, itp. Myśle ze raczej nie pojawialy sie jeszcze na forum. Oznaczenia sa standarowe, ale w razie watpliwosci pewne pojecia sa definiowane. Zadanie 57, jest kontynuacja Problemu 69 (Kólko matematyczne >> Nierozwiązane problemy), jako ze rozwazamy kwadraty zamiast szescianów. Tu istnieja nietrywialne rozwiazania, wiec teza jest nieco inaczej sformułowana.
Mogły sie tu tez wkraść błedy- to beda skorygowane (oby!) :D
Kto lubi teorie liczb i chcialby sobie troszke potrenowac, to myślę ze jest ku temu okazja :D . Autorzy rozwiazań, beda podawani (czasem zapewne z grubym opóźnieniem :D). Zapraszam wszystkich do rozwiazywania.
Dziekuje za zainteresowania. Powodzenia



1.Niech q będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n liczba q^{(q+1)^n}+1 dzieli się przez (q+1)^{n+1} ale nie przez (q+1)^{n+2}

2. P Jeśli różnica sześcianów dwóch liczb naturalnych jest kwadratem pewnej liczby całkowitej dodatniej n, to liczba n daje sie zapisać jako sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
a Wykaż ten lemat
b A oto taki przykład: 8^3-7^3=(2^2+3^2)^2, podać inny
c uzasadnić ze liczb n o tej własnosci jest nieskonczenie wiele

3. P Niech n i k bedą liczbami naturalnymi takie, ze 2 \leq k \leq n. Nazwiemy układ liczb a_1, ...,a_k wyjątkowym, jeśli przy dowolnym rozkładzie n=n_1+ ...+n_k, gdzie a_j to liczby całkowite nieujemne, to wtedy choć jedna z liczb ja_j dla j=1,...,n jest całkowita
a Dla jakich n i k istnieją ukłądy wyjątkowe?
b Wyznacz je, o ile to możliwe

4. P (Rozwiazane przez Swistak)
Wykaz, ze jesli a, b, c, d są to liczby naturalne, to iloczyn
(\frac{a}{b} - \frac{c}{d})(\frac{d}{c} - \frac{b}{a})
nie jest liczbą naturalną
Zad. 4.
Ukryta treść:    


5. 1001 ntp. Wykaż, że jeśli a i b są to liczby naturalne i ab+1 jest kwadratem, to zbiór
A = \{ a, b, a+b +2\sqrt{ab+1}, 4(a+ \sqrt{ab+1})(b+\sqrt{ab+1})\sqrt{ab+1} \}
jest taki, że jeśli x, y \in A, x \neq y, to wtedy xy+1 jest takze kwadratem. I dalej podać dwa przykłądy
takich zbiorów (dobierajac stosownie a i b).

6. P Niech A będzie zbiorem wszystkich czterocyfrowych liczb- w układzie dziesiętnym, -w których zapisie występują dokłądnie dwie cyfry, przy czym żadna z nich nie jest zerem. Zamieniając miejscami cyfry liczby n \in A otrzymujemy liczbę f(n) \in A np f(3111)=1333. Wyznaczyć liczbę n \in A , spełniającą warunek n >f(n), dla której NWD(n,f(n)) jest możliwie największa.

7. P Niech S \subset \{ 1, ...,N \} taki ze gdy x, y \in S to x+y \notin S, tj suma dowolnych dwoch elementów wypada ze zbioru. Jaka jest największa możliwa taka moc zbioru S, gdy
N=50 ?

8. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (a,b) takich, że liczba a+b^2 jest dzielnikiem a^2b -1

9. Znajdź najmniejszą możliwie liczbę pierwszą p taka, że \lfloor (3+\sqrt{p})^{2n} \rfloor +1 jest podzielne przez 2^{n+1} dla dowolnej liczby naturalnej n,

10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych a i b takich ,że a^2+m jest podzielna przez b, i b^2+m jest podzielna przez a, gdzie m jest ustaloną liczba naturalną.

11. Musztardi Budujemy rójkątną tablicę według schematu: w pierwszym wierszu wpisujemy dowolną liczbę naturalną n>1; w każdym następnym wierszu pod wpisaną w poprzednim liczbą m umieszczamy po lewej stronie m^2 a po prawej m+1. Pokazać, że liczby występujące w dowolnym wierszu tak zbudowanej tabeli są różne.

12. Mathlinks, Liczby naturalne a, b, c są takie, że NWD(a^2-1, b^2-1, c^2-1)=1. Wykaż, że NWD(ab+c, ac+b, bc+a)=NWD(a,b,c)

13. P Trzy równania; a) Wykaż, że równanie x^4-y^4=2z^2 nie ma rozwiazań N^{*} (zbiorze liczb całkowitych dodatnich). Czy równanie x^4-y^4=z^2 ma ich nieskończenie wiele?
b) Znajdź wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych t, że: \frac{y^3-y}{x^3-x}=2
c) Rozwiąż równanie- w dziedzinie liczb całkowitych x^2+6=y^5

14. (Rozwiazane przez )
Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych x,y, z takie, że
x^3+y^3=2z^3
i
x+y+ z jest liczbą pierwszą
Zad. 14.
Ukryta treść:    


15. P Czy istnieje ciąg a_n dla n=2,3,4,... ściśle rosnący i taki że
1) a_2=2
2) a_{nm}=a_n a_m dla indeksów m, n względnie pierwszych
3) istnieje indeks j taki, że a_j \neq j
?

16. Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych x,y,z takie, że:
\left\{\begin{array}{l} 4x^3+y^2=16 \\z^2+yz =3 \end{array}

17. Dowieść, że jeśli liczby całkowite a i b są takie iż 2a^2+a=3b^2+b
to liczby a-b i 3a+3b+1 są kwadratami liczb całkowitych

18. Dana jest liczba pierwsza p i liczba naturalna a taka, że a \leq p. Niech A= \sum_{j=0}^{p-1} a^j. Wykaż, że jeśli q jest liczbą pierwszą i dzielnikiem A to q-1 jest podzielne przez p

19. Liczbę naturalną m zwiemy dobrą, jesli istnieje liczba n, taka, że m=\frac{n}{d(n)} gdzie funkcja d(n) oznacza ilosc dzielnikow liczby n. Np liczba m=5 jest dobra, bo dobieramy do niej n=60. Znajdź najmniejszą liczbę naturalna, która nie jest dobra.

20. Dane są liczby naturalne a, b, c, d, e, f takie, że abc = fed Czy liczba a(b^2+c^2)+d(e^2+f^2) może być pierwsza? Odpowiedź
uzasadnij

21. Liczby całkowite a, b, c są takie iż obie sumy:
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} +\frac{c}{a} i \frac{a}{c} + \frac{c}{b} +\frac{b}{a} są całkowite. Wykaż że |a| = |b|= |c|.

22. 1001 ntp. Niech a_n bedzie ciągiem jaki powstaje z N po skreśleniu wszystkich kwadratów, tj ciągiem 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,.... Wykazać, iż dla n \geq 1 zachodzi
a_n= n+ || \sqrt{n} ||,
gdzie ||x|| oznacza liczbę całkowita najlepiej przybliżająca x, tj ||x||= \lfloor x +\frac{1}{2} \rfloor

23. Niech S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{ {n \choose k} }. Znajdz rekurencje jako spełnia ciąg S_n, a następnie użyj jej by "zwinac podana sume", tj obliczyć S_n w sposób jawny

24. (Rozwiazane przez: Klorel i Sylwek)
Zwardon, Liczbę naturalną n zwie się wypasioną*, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p, dzielącej n, liczba p^2 również dzieli n. Rozstrzygnąc, czy istnieje nieskończenie wiele liczb n, takich że n oraz n+1wypasione .
* (ang. powerful number)
Zad. 24.
Klorel
Ukryta treść:    


Sylwek
Ukryta treść:    


Ukryta treść:    


25. Wyznacz wszystkie liczby naturalne m dające się zapisac w postaci
m=\frac{1}{a_1}+ \frac{2}{a_2}+ \frac{3}{a_3}+...+\frac{1378}{a_{1378}}
gdzie a_1, a_2, a_3, ... są pewnymi liczbami naturalnymi.

26. Niech m, n będą liczbami naturalnymi. Udowodnij że liczba \sqrt{2} lezy między liczbami
\frac{m}{n} a \frac{m+2n}{m+n}.

27. Rozstrzygnij, czy kwadrat liczby naturalnej może w zapisie dziesiętnym kończyć się ciągiem s>3 jednakowych cyfr, różnych od zera.
Uwaga: s=3 jest realizowane dla 38^2=1444
*Wykaż iż istnieje nieskończenie wiele realizacji s=2

28. Wykaż, że dla n \geq 2 przedział (2^n+1, 2^{n+1}-1) zawiera liczbę k, która może być zapisana jako suma n liczb pierwszych
Dać przykład dla n=10

29. (Rozwiazane przez Mcbob)
Liczby całkowite x, y spełniają równanie 3x+5y=2xy-1,
Wyznacz wszystkie mozliwe wartości wyrazenia
x-y
Zad. 29.
Ukryta treść:    

Ukryta treść:    


30. Wykaż, iż dla dowolnej liczby naturalnej n>2 można dobrać n parami różnych liczb a_j takich że:
\sum_{j=1}^n a_j= NWW(a_1, ...,a_n)=n!
(Np dla n=4 moznaby wziąść liczby 1, 3, 8, 12, itd)

31. Niech n bedzie liczbą naturalną. Wykaż, że jesli 2+2\sqrt{28n^2+1} jest całkowita, to jest pełnym kwadratem. Czy możesz podać wszystkie takie n (lub choćby najmniejsze trzy o takiej własności ?)

32. Znajdź ostatnią cyfrę liczby \lfloor  (6+\sqrt{31})^{2009} \rfloor, gdzie. Ile cyfr ma ta liczba (w zapisie dziesiętnym) ?
Uwaga: \lfloor x \rfloor oznacza część całkowitą liczby x

33. P Niech p bedzie liczba pierwsza postaci 10k \pm 3
Wykaz ze p |F_{p+1}, ale p^2 \nmid F_{p+1}
gdzie F_{n} to ciag Fibonacciego

34. Przypuśćmy, że S jest zbiorem pewnych liczb całkowitych, i spełnia dwa warunki:
(1) istnieją x, y \in S takie, że NWD(x, y)= NWD(x-2, y-2)=1
(2) jesli x, y \in S to x^2 - y \in S*
* Dopuszczmy mozliwość x=y
Wykaż, że S jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych

35. (Rozwiazane przez )
Tak dobierz stałą a by liczba (10^n+10^{n-1}+....+10+1)(10^{n+1}+a) +1 była kwadratem liczby naturalnej, dla dowolnego n=1, 2, 3.....
Zad. 35.
Ukryta treść:    


36. Dany jest ciąg A_n zdefiniowany A_0=1, \ A_1=2 i A_{n+1}=A_n+ \frac{A_{n-1}}{1+A_{n-1}^2}.
wykaż ze 52<A_{1371} <65
Czy mozna poprawić oszacowanie? (* czy mozna obliczyć \lfloor A_{1371} \rfloor ?)

37. Wykazać, że jeżeli a, b są liczbami naturalnymi takimi, że liczba ab+2 dzieli liczbę a^2+ b^2 to liczba
\frac{2(a^2+b^2)}{ab+2} jest kwadratem liczby naturalnej.

38. (Rozwiazane przez )
Definiujemy funkcję f:
f(n)= \left\{\begin{array}{l} \frac{n}{2} \ gdy \ n \equiv 0 \ (mod \ 2) \\ 5n+1 \ gdy \ n \equiv 1 \ (mod \ 2)  \end{array}
Podac przykład liczby naturalnej n, iż ciag kolejnych iteracji n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... się "zapętli", tj nie wystapi w nim nigdy liczba 1
zad 38
Ukryta treść:    


39. Wykaż, że jeśli a jest liczbą nieparzystą, i n>2 to kongruencja x^2 \equiv a \ (mod \ 2^n) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy a \equiv 1 \ (mod \ 8). Wykaż, ze wtedy istnieją dokłądnie cztery rozwiązania. Sprawdź dla n=5 , \ a=1

40. Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb naturalnych >1, takie, że liczba 3x+1 jest podzielna przez y, zaś liczba
3y+1 jest podzielna przez x
Następnie rozważ ten sam problem, ale w zbiorze liczb całkowitych. Czy będzie więcej rozwiązań?

41 P. Wykaz mozliwie najprosciej-elementarnie ze nie ma trzech takich liczb a,b,c całkowitych ze
\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=0

42. P Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej m>1 istnieje nieskońćzenie wiele liczb nieparzystych n takich, że \sigma(n)>nm, gdzie
\sigma(n) oznacza sumę wszystkich dzielników liczby n

43. Znajdź wszystkie trójki a, b, c liczb całkowitych takie, że:
\left\{\begin{array}{l} a\equiv b \ (mod \ c)\\b\equiv c \ (mod \ a)\\c\equiv a \ (mod \ b) \end{array}

44. Wykaż, iż równanie x^2+x+1=py ma rozwiązanie całkowitoliczbowe dla nieskończenie wielu liczb pierwszych p. Dać przykład takiego p dla którego rówiązań nie ma.

45. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
P Niech n bedzie liczba naturalną. Dowieść, ze wszystkie współczynniki rozwiniecia dwumianu Newtona (a+b)^n są nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy n ma postać
2^k -1 dla pewnego k
zad 45
Ukryta treść:    


46. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) takie, że
4ab-a- b
jest kwadratem liczby naturalnej

47. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby naturalne n o następującej włąściwości:
Jeśli wzglednie pierwsze liczby dodatnie a i b są dzielnikami n, to również liczba a+b-1 jest dzielnikiem liczby n.

48. a Niech liczby naturalne a, b będą względnie pierwsze. Wykaż, że istnieje dokładnie \frac{1}{2}(ab-a-b+1) liczb naturalnych, których nie da się zapisać w formie ax+ by, przy czym x, y są to liczby całkowie nieujemne.
b Wyznaczyc je dla dla a=7,  b=3

49. Wykazać, ze istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że
{ n \choose 1}- { n \choose 3}+ { n \choose 5} -{ n \choose 7}+..... =\sqrt{2}^{n-1}
Scharakteryzować rozmieszczenie wszystkich takich liczb w N

50. (Rozwiązane przez czekoladowy)
Czy istnieje trójka liczb trójkątnych, t_n, t_k, t_m, która spełnia równanie Pitagorasa, tj t_n^2 +t_k^2=t_m^2 ?
Uwaga: n ta liczba trójkątna wyraża sie wzorem t_n= \frac{n(n+1)}{2}

51. Czy istnieje nieskończony ciąg złożony z liczb pierwszych q_n taki, iz
q_1+q_2+...+q_n
jest liczbą złożoną dla n= 2, 3.... ?

52. Ciag Fibonacciego- dwie własności, Jeśli F_n jest ciągiem Fibonacciego to:
a) arcctg(F_{2n+1}) + arcctg(F_{2n+2}) = arcctg(F_{2n}) dla n=1, 2, 3,...
b) Wykaż, że F_{2n} jest dzielnikiem liczby F_{3n}+(-1)^n F_n dla n>0

53. M Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje liczba pierwsza, która dzieli dokładnie jedną liczbę naturalną nie większą od n.
Wskaż takie p dla n=2009

54. Niech n>1 i zbudujmy zbiór \[ S=\{-n,-(n-1),\dots,-1,0,1,\dots,(n-1),n\} \]. Powiemy że podzbiór P \subset S jest bazą dla S, jeśli dla dowolnego x \in S istnieją s_j \in P t ze x =\sum_{j=1}^n s_j oraz s_ i \neq s_j dla i \neq j. Wyznacz najmniejszą możliwie liczbę k taka, że każdy k elementowy podzbiór S jest bazą.

55. 1001 ntp Niech k \geq 1. Mówimy, że liczba n jest k- hyper perfect, gdy
n= 1+ k\sum_{d|n, \ 1<d<n} d
(Liczby 1- hyper perfect , to po prostu liczby doskonałe).
a) Wykaż, ze n jest k- hyper perfect wtedy i tylko wtedy gdy \sigma(n)= n+1 +\frac{n-1}{k}
b) Jesli n jest k- hyper perfect, to najmniejszy dzielnik pierwszy n jest > k
c) Dać przykład liczby 2- hyper perfect i 3- hyper perfect

56. a Wykaż, że liczba Fermata F_n=2^{2^{n}}+1 jest pierwsza lub pseudopierwsza b Wykaż że każdy dzielnik pierwszy p liczby Fermata F_n jest postaci
p=2^{n+1}k+1 gdzie k jest liczbą naturalną.
Nastepnie użyc tego by wykazac iz p=274177 jest dzielnikiem pierwszym liczby F_{6}
Uwaga: Liczbę m zwiemy pseudopierwszą, jeśli jest złożona i m jest dzielnikiem 2^m -2

57.a Czy istnieje nieskończenie wiele par a,b liczb naturalnych takich, że liczby
ab+a, \ ab + b
są kwadratami liczb całkowitych?
b Czy istnieje wśród nich taka para, iż ab jest także kwadratem?

58. Niech p>2 będzie liczbą pierwszą, i k=\frac{p-1}{2} oraz ciąg a_1<a_2<...<a_{k+1} liczb naturalnych. Wykazać, że istnieją indeksy i, j takie, że
\frac{a_i}{NWD(a_i.a_j)} \geq k+1

59. Niech t_k bedzie k ta liczbą trójkątna i określamy f(n)=\frac{1}{k}, gdzie t_{k-1} <n \leq t_k. tj mamy: \sum_{n \leq t_k} f(n) =k
Wykaż, że f(n)=||\sqrt{8n-7} ||^{-1}
dla n=1,2,3,...

60. Niech m będzie liczba całkowitą. Wykaz, że wyrażenie:
\lfloor \frac{3m+4}{13} \rfloor - \lfloor \frac{m-28- \lfloor \frac{m-7}{13} \rfloor }{4} \rfloor
jest stałe, tj niezalezy od m

61. Niech S_n oznacza sumę początkowych n liczb pierwszych. Wykaż, że między S_n a S_{n+1} leży kwadrat pewnej liczby całkowitej.
Czy m=2025 leźy między S_n a S_{n+1} dla pewnego n ?!

62. a Rozstrzygnij, czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a dla których można dobrać liczbę pierwszą p i liczbę całkowitą x aby
\frac{x^2}{a-x}=p
b Znajdż - o ile istnieją takie p oraz x dla a=740

63. Dane są liczby całkowite a>0 i b>0, takie że 2a-1, 2b-1 i a+b są to liczby pierwsze. Wykaż, iz a^b+b^a i a^a+b^b nie są podzielne przez a+b
Podać przykłady, że jeśli opuścić dowolne z założen (np. ze a+b jest pierwsza), teza nie zachodzi

64. a Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb naturalnych >1, takie, że liczba 2xy-1 jest podzielna przez (x-1)(y-1)
b Rozważ ten sam problem w dziedzinie liczb całkowitych. Czy rozwiązań bedzie wiecej ?

65. Niech a>1 będzie liczbą naturalną. I niech będzie dany zbiór A \subset N, A \neq \emptyset, taki, że jeśli k \in A to k+2a \in A i \lfloor \frac{k}{a} \rfloor  \in A. Wykaż, że A=N
Uwaga: \lfloor x \rfloor oznacza część całkowitą liczby x.

66. (Rozwiazane przez Swistak)
1001 ntp Wykaza że dla n \geq 1 liczba
\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{8}
jest liczbą trójkątna t_k dla pewnego k
Zad. 66.
Ukryta treść:    


67. Niech M_0 =2^{2^{6}}+15
a) Wykaż, że liczba 107 jest dzielnikiem M_0
b) Wyznacz najmniejszy dzielnik pierwszy p liczby M_0
c) jeśli f(n)=n^{16} +n-1, to istnieje n \in N takie ze M_0=f(n)

68. Znależć wszystkie skończone zbiory liczb całkowitych dodatnich, o co najmniej dwóch elementach,
mające wlasnosc: dla dowolnych dwóch liczb a, b (a > b) nalezacych do zbioru, liczba \frac{b^2}{a-b} takze nalezy
do tego zbioru.

69. Mathlinks Niech dana będzie liczba całkowita a>17 i taka, ze 3a-2 jest kwadratem. Wykaż, że istnieją takie b, c \in N iż liczby a+b, b+c, c+a, a+b+c są kwadratami.
Wskaż b i c, dla a=34

70. Liczbę całkowitą n>0 zwiemy obfitą, jeśli \sigma(n)>2n, (np 45 nie jest obfita, bo \sigma(45)=78 <90). Dać przykład nieparzystej liczby obfitej.
Wykazac, iż liczb obfitych jest nieskończenie wiele.

71. Wyznacz liczbe układów (x_1,...,x_{17}), gdzie x_i \in \{ -1,0,1 \} takich ze zachodza dwa warunki:
1) \sum_{i=1}^{17} x_i =11
2) \sum_{i=1}^{k} x_i \geq 0 dla k=1,2, ...,17

72. Liczba Nivena zwie się taką liczbą naturalna, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr np 81 jest liczba Nivena (gdyz dzieli się przez 8+1), zaś 71 nie jest liczba Nivena (gdyz nie dzieli się przez 7+1).
Uzywając komputera znajdz wszystkie liczby Nivena n \in [12476, \ 12645 ]

73. Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, iż każdy nieparzysty dzielnik pierwszy p liczby n^2+1 ma postać 12k+1 lub 12k+5, dla pewnego k \in \{0,1,2, 3,... \}

74. Mówimy, że funkcja f, o dziedzinie N jest multi, gdy f(1)=1 oraz gdy zachodzi implikacja: jeżeli m i n są względnie pierwsze to f(mn)=f(m)f(n).
Jesli zaś implikacja ta zachodzi dla dowolnych m, n \in N (a nie tylko dla wzglednie pierwszych) to f zwiemy full multi.
Wykaż, ze funkcja f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor - \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor jest multi. A czy jest full multi ?

75. (Rozwiazane przez )
Czy istnieje funkcja multi , taka, że:
\begin{cases} f(30)=0\\f(105)=1\\f(70)=1\end{cases}
?
Zad. 75.
Ukryta treść:    


76. Mówimy, iż f jest strong multi, gdy jest multi i gdy dla dowolnej liczby pierwszej p i m \in N f(p^m)= f(p)
Które z poniższych czterech funkji f_jstrong multi:
f_1(n)= \prod_{p |n} p
f_2(n)= \sum_{d |n} d^2
f_3(n)= 2^{\omega(n)}
f_4(n)= \sum_{d |n} \mu^2(d) d
Uwaga:
\omega(n) to ilość dzielników pierwszych liczby n,(\omega(1)=0),
\mu() funkcja Moebiusa
?

77. (Rozwiazane przez mol_ksiazkowy)
Oblicz wartość wyrazenia:
\frac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)}
Zad. 77.
Ukryta treść:    


78. Liczba 145 ma ciekawą własność, tj wyraża się ona przez sumę silni swoich cyfr, tj. 145=1! + 4!+ 5!. Liczbę o tej własności zwiemy silną. Wyznaczyć wszystkie liczby silne M=(a_n a_{n-1}...a_1 a_0)_{10}=\sum_{j=0}^{n} a_j 10^j, przy czym zakładamy a_{n-1} \neq 0.
Czy bez tego załozenia rozwiazań bedzie wiecej?

79. Liczbę naturalną n>1 nazywa sie kwadratową jeśli jest podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej p. (np n=70 nie jest kwadratową, zaś n=147 jest ). Czy istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny liczb kwadratowych a, a+r, a+2r, .... i taki, że NWD(a,r)=1 ?

80. 1001 ntp. Powiemy, że liczba n ma rozwinięcie Cantora, jesli można ją zapisać w formie:
n= \sum_{j=1}^m j! a_j,
gdzie a_j są to liczby całkowite: 0 \leq a_j \leq j, dla j=1,...,m
a) Znajdz rozwinięcie Cantora liczb 23 i 57
b) Wykaz iż kazda liczba naturalna posiada rozwinięcie Cantora i jest ono jedyne.

81. 1001 ntp. a Mówimy, iż liczba naturalna n>1 jest automorficzna jeśli wzięte od pewnego miejsca, ostatnie cyfry liczby n^2 (w zapisie dzisiętnym) tworzą liczbę n. I tak np liczby 5, 25 oraz 625automorficzne.
Wykazać, iż istnieje nieskończenie wiele liczb automorficznych.
b Przykładem cztero-cyfrowej liczby automorficznej jest 9376. Czy istnieje pięcio-cyfrowa liczba automorficzna ?

82. zoI, P Znależć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy mozna wziasc np. 41, 80, 320).

83. P Czy istnieją liczby naturalne różne od n=1 i n=25 o tej wlasnosci, iz ułamek \frac{1}{n(n+7)} wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny ?
b) Czy istnieje liczba pierwsza p>5 o tej wlasnosci, iz ułamek
\frac{1}{n(n+p)} wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny dla wiecej niż dwóch wartosci n?

84. Wykaż iż układ kongruencji
\begin{cases} x \equiv a \ (mod \ m)\\ x \equiv b \ (mod \ n)\end{cases}
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m,n)|a-b

85. Wykaż, że liczba N= ((\sqrt{6}+\sqrt{19})^{1980} - (\sqrt{6}-\sqrt{19})^{1980})\sqrt{114} jest całkowita,
oraz znajdź ostatnią cyfrę tej liczby

86. Mathlinks Wykaż że jeśli x, y, z są to liczby naturalne, to (xy+1)(yz+1)(zx+1) jest kwadratem, wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb xy+1, yz+1, zx+1 jest kwadratem.
(Przykład x=3, \ y=5, \ z=16)

87. Jeśli S jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to S+1= \{x+1 \ : x\in S \} jest przesunięciem S. Ile podzbiorów zbioru \{ 1, 2, ...,n \} ma te własność iż:
S \cup (S+1) = \{ 1, 2,...,n+1 \} ?

88. Udowodnij, ze jeśli p>1 i d>0 są to liczby całkowite, to wtedy liczby p i p+d są obie pierwsze, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
(p-1)! (\frac{1}{p} + \frac{(-1)^d d!}{p+d}) + \frac{1}{p}+\frac{1}{p+d}
jest całkowita

89. (Rozwiazane przez )
Zbiór \{ 2,...,15 \} rodziel na siedem parami rozłacznych zbiorów dwuelementowych A =\{ x,y \}, tak by w każdym z nich xy \equiv 1 \ (mod \ 17)
Zad. 89.
Ukryta treść:    


90. Wykaż, ze funkcja \lambda(n)=n \prod_{p |n} (1+\frac{1}{p})
a) jest multi
b) \lambda(n) \leq \sigma(n), a równość zachodzi, gdy n jest bezkwadratowa
c) \lambda(n)=2n tylko gdy n=2^a 3^b, dla a, b=1,2,3,...

91. (Rozwiazane przez Artist)
Powiemy, iż liczba n jest kompletna, jesli n^2 ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest 32043. Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?
Zad. 91.
Ukryta treść:    


92. (Rozwiązane przez XMas11)
Mathlinks, Czy istnieją takie liczby całkowite a, b, c, i liczba pierwsza p
\frac{1}{p}= \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
?

93. P Ciag a_j dla j=1, ..400 liczb naturalnych spełnia rekurencje Ciag a_{n+1}= d(a_n)+d(n) dla n=1, 2,...,399; gdzie d(k) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby k. Udowodnij, ze w tym ciagu wystepuje co najwyzej 210 liczb pierwszych.

94. P (Rozwiązanie podlinkowane przez marek12)
Rozwiąż układ równań:
n+k=( NWD(n,k))^2
k+m=(NWD(k,m))^2
n+m=(NWD(m,n))^2
gdy
n,m, k \in N
Zad. 94
Ukryta treść:    


95. (Rozwiazane przez Dumel)
Czy istnieje funkcja f różnowartościowa określona na zbiorze N i o wartosciach w zbiorze \{0,1,2,3,... \} i taka, że dla dowolnych m i n: f(mn)=f(m)+f(n)?
Odpowiedz uzasadnij
Zad. 95.
Ukryta treść:    


96. Mathlinks P Niech zbior S \subset N ma te własnosci
a) S zawiera wszystkie szesciany liczb naturalnych
b) nie istnieja liczby naturalne x,y,z takie ze
wśrod liczb x,x,z, x^3+y^3+z^3 dokladnie trzy są w S
Wykaz ze S=N

97. Mathlinks, Określamy ciąg a_j dla j \in \{0,1,2,...,k-1\}=D, tak, że a_0=1 i a_{n}\equiv a_{n-1}+n (mod\ k). Dla jakich wartości k ciąg ten przyjmuje każda wartość z D ?

98. P Dwie liczby naturalne m i n zwiemy podobnymi, jeśli mają te same dzielniki pierwsze (np 3*5^2*7 i 3*5*7^4). Liczby m i n zwiemy bardzo podobnymi, jeśli podobnem i n oraz m+1 i n+1. (np bardzo podobne6 i 48). Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bardzo podobnych ?

99. Mathlinks, Czy zbiór N można rozbić na dwa rozłączne zbiory niekończone A, B takie, że suma dowolnych trzech elementów z A nalezy do A zaś suma dowolnych trzech elementów z B nalezy do B ?( poza oczywistym rozbiciem na zbior liczb parzystych i nieparzystych). Odpowiedz uzasadnij

100. Niech S bedzie zbiorem 43 liczb naturalnych nie większych niż 100. Dla każdego podzbioru X \subset S niech t_X to będzie iloczyn wszystkich liczb ze zbioru X. Wykaż, ze istnieją dwa rozłaczne podzbiory A, B zbioru S takie, że t_At_B^2 jest sześcianem liczby naturalnej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 10:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Cytuj:
91. Powiemy, iż liczba n jest kompletna, jesli n^{2} ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest 32043. Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?

Na samym początku zauważmy, że liczba ta jest 5 cyfrowa. Na przykład 99066=
Teraz n^{2} ma jako sumę cyfr: 1+2+3+....+9=45, zatem jest podzielne przez 9, przez co n jest podzielne przez 3 i nie może być pierwsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 13:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1824
Lokalizacja: Warszawa
Zad 4:    


-- 5 września 2009, 13:19 --

Zad 26:    


-- 5 września 2009, 21:37 --

Zad 66:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2009, o 12:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 479
Lokalizacja: Poland
Zad.29
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 17:55 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
94
http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4- ... -01feb.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 20:16 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 14:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: adwad
do zadania 4 alternatywne rozwiązanie (sprawdzić :!: )

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 18:20 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 38:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Końskie
24.
Nie ja jestem autorem, tylko xmass na warsztatach zrobił, tak przeglądałem zadania i na nie trafiłem, pomyślałem, ze może komuś się przyda i będzie jedno zadanie odhaczone.
Sylwek zrobił prościej, ale nie mogę sobie przypomnieć jak ;] ( nie słuchałem go wtedy na omówieniu szczerze mówiąc xD;])
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 20:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2603
Lokalizacja: Amsterdam
8, 9 spełniają, gdy n, n+1 są wypasione, to: 4n(n+1), (2n+1)^2 też, a to są dwie kolejne liczby naturalne (na dodatek większe, od tych poprzednich wypasionych), w ten sposób tworzymy nieskończony ciąg par liczb wypasionych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 20:54 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 89:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2009, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
95.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2009, o 23:00 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 30:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2009, o 16:35 
Użytkownik

Posty: 4264
Lokalizacja: Kraków
77
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2009, o 19:49 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 75:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2010, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 4264
Lokalizacja: Kraków
no to...
22.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 12:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie 21:    


Zadanie 31:    


Zadanie 39:    


Zadanie 22:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 16:47 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
92. Przykład
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 4264
Lokalizacja: Kraków
ad 92
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 329
Lokalizacja: Koziegłówki
Zadanie nr 41
Ukryta treść:    

Zadanie 50
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Warszawa
Nie zauważyłem wcześniej, że 22. już było wrzucone.

Zadanie 18:    


PS: czekoladowy - jakoś nie podoba mi się twoje przejście do układu równań; czy pod tym kryje się coś, czego nie widzę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 329
Lokalizacja: Koziegłówki
Zad 67 (a \wedgec)
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 15:46 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
czekoladowy możesz objaśnić to przejście, bo chyba to jest nie jasne
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=0 \Leftrightarrow  \begin{cases} a+b=0 \\ b+c=0 \\ c+a=0 \end{cases} \vee (a=0 \vee b=0  \vee c=0) \\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 15:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Czekoladowy założył, że te liczby są naturalne. Chyba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 15:56 
Użytkownik

Posty: 382
Znajdzie się odważny, żeby rozwiązać zadanie 92. dla p>3?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 49 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadanie z kwadratem liczby całkowitej
Jak zrobic takie oto zadaie; niech s(n) onacza sume n kolejnycj liczb pierwszych począwszy od 2 Pokazać że między liczbami s(n) i s(n+1) zawsze istnieje kwadrat liczby całkowitej. WM brzmi ciekawie, ale tematem to nie jest ...
 matex_06  2
 [Nierówności] Udowodnij nierówność dla liczb dodatnich
Udowodnij, że jeżeli liczby a,b,c są dodatnie i a+b+c q abc, to: a^2+b^2+c^2 ...
 Sylwek  1
 [Teoria liczb][Planimetria] Równanie i coś do skonstruowania
1. Czy równanie: x^{20}+y^{25}=z^{29} ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich? 2. Dany jest trójkąt ABC. Skonstruuj punkty X i Y na bokach AB i BC tak, by |AX|=|BY| oraz odcinki XY i AC były do siebie równoległe....
 taka_jedna  1
 [Kombinatoryka][Teoria liczb] Malowanie wierzchołków
Wierzchołki wielokąta foremnego pomalowano (użyto co najmniej dwóch kolorów, każdy wierzchołek ma dokładnie jeden kolor). Wszystkie wierzchołki ustalonego koloru również tworzą jakiś wielokąt foremny. Udowodnić, że istnieją takie dwa kolory, którymi ...
 XMaS11  1
 [Teoria liczb] Podzielność - kilkukrotne potęgowanie n
Witam! Dane jest takie oto zadanie, żeby pokazać, że: 547|n^{n^{n^{n^{n}}}}-n^{n^{n^{n}}}...
 Rooster  1
 [Teoria liczb] 2 ciekawe zadania z teorii liczb
udowodnij że jeśli p jest liczbą pierwszą (w zad.2 p>2) to: zad. 1 p|1^2*2^2*3^2*...*&#40;p-2&#41;^2-1 zad.2 p|2^2*4^2*6^2*...*&#40;p-1&#41;^2+&#40;-1&#41;^{ \frac{p-1}{2}} szczególnie ...
 Dumel  2
 [Teoria liczb] podzbiór zbioru
Niech K=\{n|n=a^2+b^2, a, b, n \in \mathbb{N}, a , b &gt;0\}. Znaleźć wszystkie liczby całkowite m takie, że \{m, m+1, m+2\} \subset K....
 rochaj  1
 [Teoria liczb] Sumy potęg dwójki
Potrzebuję mały lemacik, ale nie wiem jak go udowodnić.. może nawet jest takie twierdzenie tylko o nim nie wiem, chodzi oto że należy wykazać że suma jakiejkolwiek liczby RÓŻNYCH potęg dwójki jest zawsze różna od jakiejkolwiek sumy różnych innych pot...
 coldplayer  1
 [Teoria liczb] układ z podzielnością
Znaleźć wszystkie liczby naturalne a,b,c takie że 1+a|b^2+c^2 1+b|c^2+a^2 1+c|a^2+b^2...
 rochaj  0
 [Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi - zadanie 3
Znaleźć pary liczb pierwszych &#40;p,q&#41; dla których równanie x^4+&#40;q-2&#41;x=p-4 ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity....
 rochaj  3
 [Teoria liczb] Podzielność dla liczb pierwszych
Mam takie pytania (zadania pochodza z kolka matematycznego pawlowskiego) 1. Udowodnij ze jesli p jest pierwsza i liczba 11111...1 (p jedynek) jest podzielna przez p to p=3 2. Udowonij ze jesli p jest pierwsza i a^p-b^p ...
 matex_06  5
 [Kombinatoryka] 2004 liczb pierwszych i czwarta potęga
Dany jest zbiór A złożony z 2004 rożnych liczb naturalnych, z których żadna nie dzieli się przez liczbę pierwszą większą od 26. Udowodnić, że ze zbioru A można wybrać cztery (parami różne) liczby, których iloczyn jest czwartą potęgą liczby całkowitej...
 Sylwek  4
 [Równania funkcyjne] Funkcja na zbiorze liczb całkowitych - zadanie 12
teraz wyznacz ..o i le istnieja wszystkie funkcje okresl. na zbiorze liczb całkowitych jak i o wartoscich w nim, t ze spelniony jest tozsamo ponizszy warunek,... rozwiaz poprzyj stosownymi rachunkami... ...
 mol_ksiazkowy  2
 [Teoria liczb][Planimetria] Suma cyfr, drabina
1. Niech S(n) oznacza sumę cyfr liczby n, oblicz S&#40;S&#40;S&#40;2006^{2009}&#41;&#41;&#41; 2.O podłogęi prostopadłą do niej scianę stoi oparta drabina. Nóżki drabiny przesuwają się po podłodze (bez poślizgu) prostopadl...
 zbyszek96  14
 [Teoria liczb] NWD kolejnych liczb Fermata -dowód.
Udowodnij, że NWD&#40;F _{n}, F _{n+1}&#41;=1....
 MagdaW  18
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com