szukanie zaawansowane
 [ Posty: 49 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 4349
Lokalizacja: Kraków
Witam,
szczególnie miłosników zadań olimpijskich, ale tak wogole to wszystkich, Korzystając z mijajacego urlopu oraz kończacego sie już sezonu ogórkowego postanowiłem zebrac pewien wiekszy zestaw zadań z tej tematyki, aby zostały lepiej zauwazone (niz gdyby były w wielu róznych watkach). Być moze okaza sie one znane i szybko posypia sie rozwiazania, badz linki. Dla mnie niektóre z nich sa za trudne (zadanie "trudne" to takie, którego się nie potrafi rozwiazać). Oczywiscie nie mowie które to, aby nikogo nie sugerowac :D
Te zadania, które sa powtórka (były wczesniej na forum, lecz nie rozwiazano, tez sa oznaczone, na czerwono.) Dochodzi tez kilka oryginalnych problemów z Mathlinks, oraz z ksiazki: De Koninck, Mercier, 1001 Number theory Problems. Takze z innych dwoch książek. Spora czesc jest z różnych olimpiad, zawodów, itp. Myśle ze raczej nie pojawialy sie jeszcze na forum. Oznaczenia sa standarowe, ale w razie watpliwosci pewne pojecia sa definiowane. Zadanie 57, jest kontynuacja Problemu 69 (Kólko matematyczne >> Nierozwiązane problemy), jako ze rozwazamy kwadraty zamiast szescianów. Tu istnieja nietrywialne rozwiazania, wiec teza jest nieco inaczej sformułowana.
Mogły sie tu tez wkraść błedy- to beda skorygowane (oby!) :D
Kto lubi teorie liczb i chcialby sobie troszke potrenowac, to myślę ze jest ku temu okazja :D . Autorzy rozwiazań, beda podawani (czasem zapewne z grubym opóźnieniem :D). Zapraszam wszystkich do rozwiazywania.
Dziekuje za zainteresowania. Powodzenia



1.Niech q będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n liczba q^{(q+1)^n}+1 dzieli się przez (q+1)^{n+1} ale nie przez (q+1)^{n+2}

2. P Jeśli różnica sześcianów dwóch liczb naturalnych jest kwadratem pewnej liczby całkowitej dodatniej n, to liczba n daje sie zapisać jako sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
a Wykaż ten lemat
b A oto taki przykład: 8^3-7^3=(2^2+3^2)^2, podać inny
c uzasadnić ze liczb n o tej własnosci jest nieskonczenie wiele

3. P Niech n i k bedą liczbami naturalnymi takie, ze 2 \leq k \leq n. Nazwiemy układ liczb a_1, ...,a_k wyjątkowym, jeśli przy dowolnym rozkładzie n=n_1+ ...+n_k, gdzie a_j to liczby całkowite nieujemne, to wtedy choć jedna z liczb ja_j dla j=1,...,n jest całkowita
a Dla jakich n i k istnieją ukłądy wyjątkowe?
b Wyznacz je, o ile to możliwe

4. P (Rozwiazane przez Swistak)
Wykaz, ze jesli a, b, c, d są to liczby naturalne, to iloczyn
(\frac{a}{b} - \frac{c}{d})(\frac{d}{c} - \frac{b}{a})
nie jest liczbą naturalną
Zad. 4.
Ukryta treść:    


5. 1001 ntp. Wykaż, że jeśli a i b są to liczby naturalne i ab+1 jest kwadratem, to zbiór
A = \{ a, b, a+b +2\sqrt{ab+1}, 4(a+ \sqrt{ab+1})(b+\sqrt{ab+1})\sqrt{ab+1} \}
jest taki, że jeśli x, y \in A, x \neq y, to wtedy xy+1 jest takze kwadratem. I dalej podać dwa przykłądy
takich zbiorów (dobierajac stosownie a i b).

6. P Niech A będzie zbiorem wszystkich czterocyfrowych liczb- w układzie dziesiętnym, -w których zapisie występują dokłądnie dwie cyfry, przy czym żadna z nich nie jest zerem. Zamieniając miejscami cyfry liczby n \in A otrzymujemy liczbę f(n) \in A np f(3111)=1333. Wyznaczyć liczbę n \in A , spełniającą warunek n >f(n), dla której NWD(n,f(n)) jest możliwie największa.

7. P Niech S \subset \{ 1, ...,N \} taki ze gdy x, y \in S to x+y \notin S, tj suma dowolnych dwoch elementów wypada ze zbioru. Jaka jest największa możliwa taka moc zbioru S, gdy
N=50 ?

8. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (a,b) takich, że liczba a+b^2 jest dzielnikiem a^2b -1

9. Znajdź najmniejszą możliwie liczbę pierwszą p taka, że \lfloor (3+\sqrt{p})^{2n} \rfloor +1 jest podzielne przez 2^{n+1} dla dowolnej liczby naturalnej n,

10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych a i b takich ,że a^2+m jest podzielna przez b, i b^2+m jest podzielna przez a, gdzie m jest ustaloną liczba naturalną.

11. Musztardi Budujemy rójkątną tablicę według schematu: w pierwszym wierszu wpisujemy dowolną liczbę naturalną n>1; w każdym następnym wierszu pod wpisaną w poprzednim liczbą m umieszczamy po lewej stronie m^2 a po prawej m+1. Pokazać, że liczby występujące w dowolnym wierszu tak zbudowanej tabeli są różne.

12. Mathlinks, Liczby naturalne a, b, c są takie, że NWD(a^2-1, b^2-1, c^2-1)=1. Wykaż, że NWD(ab+c, ac+b, bc+a)=NWD(a,b,c)

13. P Trzy równania; a) Wykaż, że równanie x^4-y^4=2z^2 nie ma rozwiazań N^{*} (zbiorze liczb całkowitych dodatnich). Czy równanie x^4-y^4=z^2 ma ich nieskończenie wiele?
b) Znajdź wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych t, że: \frac{y^3-y}{x^3-x}=2
c) Rozwiąż równanie- w dziedzinie liczb całkowitych x^2+6=y^5

14. (Rozwiazane przez )
Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych x,y, z takie, że
x^3+y^3=2z^3
i
x+y+ z jest liczbą pierwszą
Zad. 14.
Ukryta treść:    


15. P Czy istnieje ciąg a_n dla n=2,3,4,... ściśle rosnący i taki że
1) a_2=2
2) a_{nm}=a_n a_m dla indeksów m, n względnie pierwszych
3) istnieje indeks j taki, że a_j \neq j
?

16. Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych x,y,z takie, że:
\left\{\begin{array}{l} 4x^3+y^2=16 \\z^2+yz =3 \end{array}

17. Dowieść, że jeśli liczby całkowite a i b są takie iż 2a^2+a=3b^2+b
to liczby a-b i 3a+3b+1 są kwadratami liczb całkowitych

18. Dana jest liczba pierwsza p i liczba naturalna a taka, że a \leq p. Niech A= \sum_{j=0}^{p-1} a^j. Wykaż, że jeśli q jest liczbą pierwszą i dzielnikiem A to q-1 jest podzielne przez p

19. Liczbę naturalną m zwiemy dobrą, jesli istnieje liczba n, taka, że m=\frac{n}{d(n)} gdzie funkcja d(n) oznacza ilosc dzielnikow liczby n. Np liczba m=5 jest dobra, bo dobieramy do niej n=60. Znajdź najmniejszą liczbę naturalna, która nie jest dobra.

20. Dane są liczby naturalne a, b, c, d, e, f takie, że abc = fed Czy liczba a(b^2+c^2)+d(e^2+f^2) może być pierwsza? Odpowiedź
uzasadnij

21. Liczby całkowite a, b, c są takie iż obie sumy:
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} +\frac{c}{a} i \frac{a}{c} + \frac{c}{b} +\frac{b}{a} są całkowite. Wykaż że |a| = |b|= |c|.

22. 1001 ntp. Niech a_n bedzie ciągiem jaki powstaje z N po skreśleniu wszystkich kwadratów, tj ciągiem 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,.... Wykazać, iż dla n \geq 1 zachodzi
a_n= n+ || \sqrt{n} ||,
gdzie ||x|| oznacza liczbę całkowita najlepiej przybliżająca x, tj ||x||= \lfloor x +\frac{1}{2} \rfloor

23. Niech S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{ {n \choose k} }. Znajdz rekurencje jako spełnia ciąg S_n, a następnie użyj jej by "zwinac podana sume", tj obliczyć S_n w sposób jawny

24. (Rozwiazane przez: Klorel i Sylwek)
Zwardon, Liczbę naturalną n zwie się wypasioną*, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p, dzielącej n, liczba p^2 również dzieli n. Rozstrzygnąc, czy istnieje nieskończenie wiele liczb n, takich że n oraz n+1wypasione .
* (ang. powerful number)
Zad. 24.
Klorel
Ukryta treść:    


Sylwek
Ukryta treść:    


Ukryta treść:    


25. Wyznacz wszystkie liczby naturalne m dające się zapisac w postaci
m=\frac{1}{a_1}+ \frac{2}{a_2}+ \frac{3}{a_3}+...+\frac{1378}{a_{1378}}
gdzie a_1, a_2, a_3, ... są pewnymi liczbami naturalnymi.

26. Niech m, n będą liczbami naturalnymi. Udowodnij że liczba \sqrt{2} lezy między liczbami
\frac{m}{n} a \frac{m+2n}{m+n}.

27. Rozstrzygnij, czy kwadrat liczby naturalnej może w zapisie dziesiętnym kończyć się ciągiem s>3 jednakowych cyfr, różnych od zera.
Uwaga: s=3 jest realizowane dla 38^2=1444
*Wykaż iż istnieje nieskończenie wiele realizacji s=2

28. Wykaż, że dla n \geq 2 przedział (2^n+1, 2^{n+1}-1) zawiera liczbę k, która może być zapisana jako suma n liczb pierwszych
Dać przykład dla n=10

29. (Rozwiazane przez Mcbob)
Liczby całkowite x, y spełniają równanie 3x+5y=2xy-1,
Wyznacz wszystkie mozliwe wartości wyrazenia
x-y
Zad. 29.
Ukryta treść:    

Ukryta treść:    


30. Wykaż, iż dla dowolnej liczby naturalnej n>2 można dobrać n parami różnych liczb a_j takich że:
\sum_{j=1}^n a_j= NWW(a_1, ...,a_n)=n!
(Np dla n=4 moznaby wziąść liczby 1, 3, 8, 12, itd)

31. Niech n bedzie liczbą naturalną. Wykaż, że jesli 2+2\sqrt{28n^2+1} jest całkowita, to jest pełnym kwadratem. Czy możesz podać wszystkie takie n (lub choćby najmniejsze trzy o takiej własności ?)

32. Znajdź ostatnią cyfrę liczby \lfloor  (6+\sqrt{31})^{2009} \rfloor, gdzie. Ile cyfr ma ta liczba (w zapisie dziesiętnym) ?
Uwaga: \lfloor x \rfloor oznacza część całkowitą liczby x

33. P Niech p bedzie liczba pierwsza postaci 10k \pm 3
Wykaz ze p |F_{p+1}, ale p^2 \nmid F_{p+1}
gdzie F_{n} to ciag Fibonacciego

34. Przypuśćmy, że S jest zbiorem pewnych liczb całkowitych, i spełnia dwa warunki:
(1) istnieją x, y \in S takie, że NWD(x, y)= NWD(x-2, y-2)=1
(2) jesli x, y \in S to x^2 - y \in S*
* Dopuszczmy mozliwość x=y
Wykaż, że S jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych

35. (Rozwiazane przez )
Tak dobierz stałą a by liczba (10^n+10^{n-1}+....+10+1)(10^{n+1}+a) +1 była kwadratem liczby naturalnej, dla dowolnego n=1, 2, 3.....
Zad. 35.
Ukryta treść:    


36. Dany jest ciąg A_n zdefiniowany A_0=1, \ A_1=2 i A_{n+1}=A_n+ \frac{A_{n-1}}{1+A_{n-1}^2}.
wykaż ze 52<A_{1371} <65
Czy mozna poprawić oszacowanie? (* czy mozna obliczyć \lfloor A_{1371} \rfloor ?)

37. Wykazać, że jeżeli a, b są liczbami naturalnymi takimi, że liczba ab+2 dzieli liczbę a^2+ b^2 to liczba
\frac{2(a^2+b^2)}{ab+2} jest kwadratem liczby naturalnej.

38. (Rozwiazane przez )
Definiujemy funkcję f:
f(n)= \left\{\begin{array}{l} \frac{n}{2} \ gdy \ n \equiv 0 \ (mod \ 2) \\ 5n+1 \ gdy \ n \equiv 1 \ (mod \ 2)  \end{array}
Podac przykład liczby naturalnej n, iż ciag kolejnych iteracji n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... się "zapętli", tj nie wystapi w nim nigdy liczba 1
zad 38
Ukryta treść:    


39. Wykaż, że jeśli a jest liczbą nieparzystą, i n>2 to kongruencja x^2 \equiv a \ (mod \ 2^n) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy a \equiv 1 \ (mod \ 8). Wykaż, ze wtedy istnieją dokłądnie cztery rozwiązania. Sprawdź dla n=5 , \ a=1

40. Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb naturalnych >1, takie, że liczba 3x+1 jest podzielna przez y, zaś liczba
3y+1 jest podzielna przez x
Następnie rozważ ten sam problem, ale w zbiorze liczb całkowitych. Czy będzie więcej rozwiązań?

41 P. Wykaz mozliwie najprosciej-elementarnie ze nie ma trzech takich liczb a,b,c całkowitych ze
\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=0

42. P Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej m>1 istnieje nieskońćzenie wiele liczb nieparzystych n takich, że \sigma(n)>nm, gdzie
\sigma(n) oznacza sumę wszystkich dzielników liczby n

43. Znajdź wszystkie trójki a, b, c liczb całkowitych takie, że:
\left\{\begin{array}{l} a\equiv b \ (mod \ c)\\b\equiv c \ (mod \ a)\\c\equiv a \ (mod \ b) \end{array}

44. Wykaż, iż równanie x^2+x+1=py ma rozwiązanie całkowitoliczbowe dla nieskończenie wielu liczb pierwszych p. Dać przykład takiego p dla którego rówiązań nie ma.

45. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
P Niech n bedzie liczba naturalną. Dowieść, ze wszystkie współczynniki rozwiniecia dwumianu Newtona (a+b)^n są nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy n ma postać
2^k -1 dla pewnego k
zad 45
Ukryta treść:    


46. (Rozwiązane przez mol_ksiazkowy)
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) takie, że
4ab-a- b
jest kwadratem liczby naturalnej

47. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby naturalne n o następującej włąściwości:
Jeśli wzglednie pierwsze liczby dodatnie a i b są dzielnikami n, to również liczba a+b-1 jest dzielnikiem liczby n.

48. a Niech liczby naturalne a, b będą względnie pierwsze. Wykaż, że istnieje dokładnie \frac{1}{2}(ab-a-b+1) liczb naturalnych, których nie da się zapisać w formie ax+ by, przy czym x, y są to liczby całkowie nieujemne.
b Wyznaczyc je dla dla a=7,  b=3

49. Wykazać, ze istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że
{ n \choose 1}- { n \choose 3}+ { n \choose 5} -{ n \choose 7}+..... =\sqrt{2}^{n-1}
Scharakteryzować rozmieszczenie wszystkich takich liczb w N

50. (Rozwiązane przez czekoladowy)
Czy istnieje trójka liczb trójkątnych, t_n, t_k, t_m, która spełnia równanie Pitagorasa, tj t_n^2 +t_k^2=t_m^2 ?
Uwaga: n ta liczba trójkątna wyraża sie wzorem t_n= \frac{n(n+1)}{2}

51. Czy istnieje nieskończony ciąg złożony z liczb pierwszych q_n taki, iz
q_1+q_2+...+q_n
jest liczbą złożoną dla n= 2, 3.... ?

52. Ciag Fibonacciego- dwie własności, Jeśli F_n jest ciągiem Fibonacciego to:
a) arcctg(F_{2n+1}) + arcctg(F_{2n+2}) = arcctg(F_{2n}) dla n=1, 2, 3,...
b) Wykaż, że F_{2n} jest dzielnikiem liczby F_{3n}+(-1)^n F_n dla n>0

53. M Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje liczba pierwsza, która dzieli dokładnie jedną liczbę naturalną nie większą od n.
Wskaż takie p dla n=2009

54. Niech n>1 i zbudujmy zbiór \[ S=\{-n,-(n-1),\dots,-1,0,1,\dots,(n-1),n\} \]. Powiemy że podzbiór P \subset S jest bazą dla S, jeśli dla dowolnego x \in S istnieją s_j \in P t ze x =\sum_{j=1}^n s_j oraz s_ i \neq s_j dla i \neq j. Wyznacz najmniejszą możliwie liczbę k taka, że każdy k elementowy podzbiór S jest bazą.

55. 1001 ntp Niech k \geq 1. Mówimy, że liczba n jest k- hyper perfect, gdy
n= 1+ k\sum_{d|n, \ 1<d<n} d
(Liczby 1- hyper perfect , to po prostu liczby doskonałe).
a) Wykaż, ze n jest k- hyper perfect wtedy i tylko wtedy gdy \sigma(n)= n+1 +\frac{n-1}{k}
b) Jesli n jest k- hyper perfect, to najmniejszy dzielnik pierwszy n jest > k
c) Dać przykład liczby 2- hyper perfect i 3- hyper perfect

56. a Wykaż, że liczba Fermata F_n=2^{2^{n}}+1 jest pierwsza lub pseudopierwsza b Wykaż że każdy dzielnik pierwszy p liczby Fermata F_n jest postaci
p=2^{n+1}k+1 gdzie k jest liczbą naturalną.
Nastepnie użyc tego by wykazac iz p=274177 jest dzielnikiem pierwszym liczby F_{6}
Uwaga: Liczbę m zwiemy pseudopierwszą, jeśli jest złożona i m jest dzielnikiem 2^m -2

57.a Czy istnieje nieskończenie wiele par a,b liczb naturalnych takich, że liczby
ab+a, \ ab + b
są kwadratami liczb całkowitych?
b Czy istnieje wśród nich taka para, iż ab jest także kwadratem?

58. Niech p>2 będzie liczbą pierwszą, i k=\frac{p-1}{2} oraz ciąg a_1<a_2<...<a_{k+1} liczb naturalnych. Wykazać, że istnieją indeksy i, j takie, że
\frac{a_i}{NWD(a_i.a_j)} \geq k+1

59. Niech t_k bedzie k ta liczbą trójkątna i określamy f(n)=\frac{1}{k}, gdzie t_{k-1} <n \leq t_k. tj mamy: \sum_{n \leq t_k} f(n) =k
Wykaż, że f(n)=||\sqrt{8n-7} ||^{-1}
dla n=1,2,3,...

60. Niech m będzie liczba całkowitą. Wykaz, że wyrażenie:
\lfloor \frac{3m+4}{13} \rfloor - \lfloor \frac{m-28- \lfloor \frac{m-7}{13} \rfloor }{4} \rfloor
jest stałe, tj niezalezy od m

61. Niech S_n oznacza sumę początkowych n liczb pierwszych. Wykaż, że między S_n a S_{n+1} leży kwadrat pewnej liczby całkowitej.
Czy m=2025 leźy między S_n a S_{n+1} dla pewnego n ?!

62. a Rozstrzygnij, czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a dla których można dobrać liczbę pierwszą p i liczbę całkowitą x aby
\frac{x^2}{a-x}=p
b Znajdż - o ile istnieją takie p oraz x dla a=740

63. Dane są liczby całkowite a>0 i b>0, takie że 2a-1, 2b-1 i a+b są to liczby pierwsze. Wykaż, iz a^b+b^a i a^a+b^b nie są podzielne przez a+b
Podać przykłady, że jeśli opuścić dowolne z założen (np. ze a+b jest pierwsza), teza nie zachodzi

64. a Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb naturalnych >1, takie, że liczba 2xy-1 jest podzielna przez (x-1)(y-1)
b Rozważ ten sam problem w dziedzinie liczb całkowitych. Czy rozwiązań bedzie wiecej ?

65. Niech a>1 będzie liczbą naturalną. I niech będzie dany zbiór A \subset N, A \neq \emptyset, taki, że jeśli k \in A to k+2a \in A i \lfloor \frac{k}{a} \rfloor  \in A. Wykaż, że A=N
Uwaga: \lfloor x \rfloor oznacza część całkowitą liczby x.

66. (Rozwiazane przez Swistak)
1001 ntp Wykaza że dla n \geq 1 liczba
\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{8}
jest liczbą trójkątna t_k dla pewnego k
Zad. 66.
Ukryta treść:    


67. Niech M_0 =2^{2^{6}}+15
a) Wykaż, że liczba 107 jest dzielnikiem M_0
b) Wyznacz najmniejszy dzielnik pierwszy p liczby M_0
c) jeśli f(n)=n^{16} +n-1, to istnieje n \in N takie ze M_0=f(n)

68. Znależć wszystkie skończone zbiory liczb całkowitych dodatnich, o co najmniej dwóch elementach,
mające wlasnosc: dla dowolnych dwóch liczb a, b (a > b) nalezacych do zbioru, liczba \frac{b^2}{a-b} takze nalezy
do tego zbioru.

69. Mathlinks Niech dana będzie liczba całkowita a>17 i taka, ze 3a-2 jest kwadratem. Wykaż, że istnieją takie b, c \in N iż liczby a+b, b+c, c+a, a+b+c są kwadratami.
Wskaż b i c, dla a=34

70. Liczbę całkowitą n>0 zwiemy obfitą, jeśli \sigma(n)>2n, (np 45 nie jest obfita, bo \sigma(45)=78 <90). Dać przykład nieparzystej liczby obfitej.
Wykazac, iż liczb obfitych jest nieskończenie wiele.

71. Wyznacz liczbe układów (x_1,...,x_{17}), gdzie x_i \in \{ -1,0,1 \} takich ze zachodza dwa warunki:
1) \sum_{i=1}^{17} x_i =11
2) \sum_{i=1}^{k} x_i \geq 0 dla k=1,2, ...,17

72. Liczba Nivena zwie się taką liczbą naturalna, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr np 81 jest liczba Nivena (gdyz dzieli się przez 8+1), zaś 71 nie jest liczba Nivena (gdyz nie dzieli się przez 7+1).
Uzywając komputera znajdz wszystkie liczby Nivena n \in [12476, \ 12645 ]

73. Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, iż każdy nieparzysty dzielnik pierwszy p liczby n^2+1 ma postać 12k+1 lub 12k+5, dla pewnego k \in \{0,1,2, 3,... \}

74. Mówimy, że funkcja f, o dziedzinie N jest multi, gdy f(1)=1 oraz gdy zachodzi implikacja: jeżeli m i n są względnie pierwsze to f(mn)=f(m)f(n).
Jesli zaś implikacja ta zachodzi dla dowolnych m, n \in N (a nie tylko dla wzglednie pierwszych) to f zwiemy full multi.
Wykaż, ze funkcja f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor - \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor jest multi. A czy jest full multi ?

75. (Rozwiazane przez )
Czy istnieje funkcja multi , taka, że:
\begin{cases} f(30)=0\\f(105)=1\\f(70)=1\end{cases}
?
Zad. 75.
Ukryta treść:    


76. Mówimy, iż f jest strong multi, gdy jest multi i gdy dla dowolnej liczby pierwszej p i m \in N f(p^m)= f(p)
Które z poniższych czterech funkji f_jstrong multi:
f_1(n)= \prod_{p |n} p
f_2(n)= \sum_{d |n} d^2
f_3(n)= 2^{\omega(n)}
f_4(n)= \sum_{d |n} \mu^2(d) d
Uwaga:
\omega(n) to ilość dzielników pierwszych liczby n,(\omega(1)=0),
\mu() funkcja Moebiusa
?

77. (Rozwiazane przez mol_ksiazkowy)
Oblicz wartość wyrazenia:
\frac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)}
Zad. 77.
Ukryta treść:    


78. Liczba 145 ma ciekawą własność, tj wyraża się ona przez sumę silni swoich cyfr, tj. 145=1! + 4!+ 5!. Liczbę o tej własności zwiemy silną. Wyznaczyć wszystkie liczby silne M=(a_n a_{n-1}...a_1 a_0)_{10}=\sum_{j=0}^{n} a_j 10^j, przy czym zakładamy a_{n-1} \neq 0.
Czy bez tego załozenia rozwiazań bedzie wiecej?

79. Liczbę naturalną n>1 nazywa sie kwadratową jeśli jest podzielna przez kwadrat pewnej liczby pierwszej p. (np n=70 nie jest kwadratową, zaś n=147 jest ). Czy istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny liczb kwadratowych a, a+r, a+2r, .... i taki, że NWD(a,r)=1 ?

80. 1001 ntp. Powiemy, że liczba n ma rozwinięcie Cantora, jesli można ją zapisać w formie:
n= \sum_{j=1}^m j! a_j,
gdzie a_j są to liczby całkowite: 0 \leq a_j \leq j, dla j=1,...,m
a) Znajdz rozwinięcie Cantora liczb 23 i 57
b) Wykaz iż kazda liczba naturalna posiada rozwinięcie Cantora i jest ono jedyne.

81. 1001 ntp. a Mówimy, iż liczba naturalna n>1 jest automorficzna jeśli wzięte od pewnego miejsca, ostatnie cyfry liczby n^2 (w zapisie dzisiętnym) tworzą liczbę n. I tak np liczby 5, 25 oraz 625automorficzne.
Wykazać, iż istnieje nieskończenie wiele liczb automorficznych.
b Przykładem cztero-cyfrowej liczby automorficznej jest 9376. Czy istnieje pięcio-cyfrowa liczba automorficzna ?

82. zoI, P Znależć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy mozna wziasc np. 41, 80, 320).

83. P Czy istnieją liczby naturalne różne od n=1 i n=25 o tej wlasnosci, iz ułamek \frac{1}{n(n+7)} wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny ?
b) Czy istnieje liczba pierwsza p>5 o tej wlasnosci, iz ułamek
\frac{1}{n(n+p)} wyraza sie jako skończony ułamek dziesiętny dla wiecej niż dwóch wartosci n?

84. Wykaż iż układ kongruencji
\begin{cases} x \equiv a \ (mod \ m)\\ x \equiv b \ (mod \ n)\end{cases}
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m,n)|a-b

85. Wykaż, że liczba N= ((\sqrt{6}+\sqrt{19})^{1980} - (\sqrt{6}-\sqrt{19})^{1980})\sqrt{114} jest całkowita,
oraz znajdź ostatnią cyfrę tej liczby

86. Mathlinks Wykaż że jeśli x, y, z są to liczby naturalne, to (xy+1)(yz+1)(zx+1) jest kwadratem, wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb xy+1, yz+1, zx+1 jest kwadratem.
(Przykład x=3, \ y=5, \ z=16)

87. Jeśli S jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to S+1= \{x+1 \ : x\in S \} jest przesunięciem S. Ile podzbiorów zbioru \{ 1, 2, ...,n \} ma te własność iż:
S \cup (S+1) = \{ 1, 2,...,n+1 \} ?

88. Udowodnij, ze jeśli p>1 i d>0 są to liczby całkowite, to wtedy liczby p i p+d są obie pierwsze, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
(p-1)! (\frac{1}{p} + \frac{(-1)^d d!}{p+d}) + \frac{1}{p}+\frac{1}{p+d}
jest całkowita

89. (Rozwiazane przez )
Zbiór \{ 2,...,15 \} rodziel na siedem parami rozłacznych zbiorów dwuelementowych A =\{ x,y \}, tak by w każdym z nich xy \equiv 1 \ (mod \ 17)
Zad. 89.
Ukryta treść:    


90. Wykaż, ze funkcja \lambda(n)=n \prod_{p |n} (1+\frac{1}{p})
a) jest multi
b) \lambda(n) \leq \sigma(n), a równość zachodzi, gdy n jest bezkwadratowa
c) \lambda(n)=2n tylko gdy n=2^a 3^b, dla a, b=1,2,3,...

91. (Rozwiazane przez Artist)
Powiemy, iż liczba n jest kompletna, jesli n^2 ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest 32043. Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?
Zad. 91.
Ukryta treść:    


92. (Rozwiązane przez XMas11)
Mathlinks, Czy istnieją takie liczby całkowite a, b, c, i liczba pierwsza p
\frac{1}{p}= \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
?

93. P Ciag a_j dla j=1, ..400 liczb naturalnych spełnia rekurencje Ciag a_{n+1}= d(a_n)+d(n) dla n=1, 2,...,399; gdzie d(k) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby k. Udowodnij, ze w tym ciagu wystepuje co najwyzej 210 liczb pierwszych.

94. P (Rozwiązanie podlinkowane przez marek12)
Rozwiąż układ równań:
n+k=( NWD(n,k))^2
k+m=(NWD(k,m))^2
n+m=(NWD(m,n))^2
gdy
n,m, k \in N
Zad. 94
Ukryta treść:    


95. (Rozwiazane przez Dumel)
Czy istnieje funkcja f różnowartościowa określona na zbiorze N i o wartosciach w zbiorze \{0,1,2,3,... \} i taka, że dla dowolnych m i n: f(mn)=f(m)+f(n)?
Odpowiedz uzasadnij
Zad. 95.
Ukryta treść:    


96. Mathlinks P Niech zbior S \subset N ma te własnosci
a) S zawiera wszystkie szesciany liczb naturalnych
b) nie istnieja liczby naturalne x,y,z takie ze
wśrod liczb x,x,z, x^3+y^3+z^3 dokladnie trzy są w S
Wykaz ze S=N

97. Mathlinks, Określamy ciąg a_j dla j \in \{0,1,2,...,k-1\}=D, tak, że a_0=1 i a_{n}\equiv a_{n-1}+n (mod\ k). Dla jakich wartości k ciąg ten przyjmuje każda wartość z D ?

98. P Dwie liczby naturalne m i n zwiemy podobnymi, jeśli mają te same dzielniki pierwsze (np 3*5^2*7 i 3*5*7^4). Liczby m i n zwiemy bardzo podobnymi, jeśli podobnem i n oraz m+1 i n+1. (np bardzo podobne6 i 48). Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bardzo podobnych ?

99. Mathlinks, Czy zbiór N można rozbić na dwa rozłączne zbiory niekończone A, B takie, że suma dowolnych trzech elementów z A nalezy do A zaś suma dowolnych trzech elementów z B nalezy do B ?( poza oczywistym rozbiciem na zbior liczb parzystych i nieparzystych). Odpowiedz uzasadnij

100. Niech S bedzie zbiorem 43 liczb naturalnych nie większych niż 100. Dla każdego podzbioru X \subset S niech t_X to będzie iloczyn wszystkich liczb ze zbioru X. Wykaż, ze istnieją dwa rozłaczne podzbiory A, B zbioru S takie, że t_At_B^2 jest sześcianem liczby naturalnej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 09:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Cytuj:
91. Powiemy, iż liczba n jest kompletna, jesli n^{2} ma w zapisie dziesiętnym każda cyfrę i to dokładnie każda jeden raz. Najmniejsza taka liczbą jest 32043. Dać inny przykład liczby kompletnej. Czy liczba kompletna może być pierwsza?

Na samym początku zauważmy, że liczba ta jest 5 cyfrowa. Na przykład 99066=
Teraz n^{2} ma jako sumę cyfr: 1+2+3+....+9=45, zatem jest podzielne przez 9, przez co n jest podzielne przez 3 i nie może być pierwsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2009, o 12:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1834
Lokalizacja: Warszawa
Zad 4:    


-- 5 września 2009, 13:19 --

Zad 26:    


-- 5 września 2009, 21:37 --

Zad 66:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2009, o 11:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 479
Lokalizacja: Poland
Zad.29
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
94
http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4- ... -01feb.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 19:16 
Moderator

Posty: 9540
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 14:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: adwad
do zadania 4 alternatywne rozwiązanie (sprawdzić :!: )

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 17:20 
Moderator

Posty: 9540
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 38:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Końskie
24.
Nie ja jestem autorem, tylko xmass na warsztatach zrobił, tak przeglądałem zadania i na nie trafiłem, pomyślałem, ze może komuś się przyda i będzie jedno zadanie odhaczone.
Sylwek zrobił prościej, ale nie mogę sobie przypomnieć jak ;] ( nie słuchałem go wtedy na omówieniu szczerze mówiąc xD;])
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 19:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2606
Lokalizacja: Warszawa
8, 9 spełniają, gdy n, n+1 są wypasione, to: 4n(n+1), (2n+1)^2 też, a to są dwie kolejne liczby naturalne (na dodatek większe, od tych poprzednich wypasionych), w ten sposób tworzymy nieskończony ciąg par liczb wypasionych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 19:54 
Moderator

Posty: 9540
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 89:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2009, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
95.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2009, o 22:00 
Moderator

Posty: 9540
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 30:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2009, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 4349
Lokalizacja: Kraków
77
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2009, o 18:49 
Moderator

Posty: 9540
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zadanie 75:    
Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2010, o 20:23 
Użytkownik

Posty: 4349
Lokalizacja: Kraków
no to...
22.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 11:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie 21:    


Zadanie 31:    


Zadanie 39:    


Zadanie 22:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 15:47 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
92. Przykład
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2010, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 4349
Lokalizacja: Kraków
ad 92
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 330
Lokalizacja: Koziegłówki
Zadanie nr 41
Ukryta treść:    

Zadanie 50
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 12:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Warszawa
Nie zauważyłem wcześniej, że 22. już było wrzucone.

Zadanie 18:    


PS: czekoladowy - jakoś nie podoba mi się twoje przejście do układu równań; czy pod tym kryje się coś, czego nie widzę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 330
Lokalizacja: Koziegłówki
Zad 67 (a \wedgec)
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
czekoladowy możesz objaśnić to przejście, bo chyba to jest nie jasne
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=0 \Leftrightarrow  \begin{cases} a+b=0 \\ b+c=0 \\ c+a=0 \end{cases} \vee (a=0 \vee b=0  \vee c=0) \\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 14:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Czekoladowy założył, że te liczby są naturalne. Chyba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2010, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 382
Znajdzie się odważny, żeby rozwiązać zadanie 92. dla p>3?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 49 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Nadzwyczaj satysfakcjonująca podzielność
a ta równość z początku poprzedniego posta skąd wynika?4 a^2+\frac{p}{4a^2}-2=n &#40;p-1&#41;...
 czekoladowy  33
 [Teoria liczb] Kilka zadań z algebry i arytmetyki - zadanie 2
Dostałem od nauczyciela kilka zadań do zrobienia, z niektórymi dałem radę, ale te mnie zatrzymały: zad.1. Wykaż, że wielomianu p&#40;x,y&#41;=x^{200}y^{200}+1 zmiennych x i y nie można przedstawić w postaci iloczynu dwóc...
 alchemik  6
 [Teoria liczb] podzelność i szereg
Niech m,n naturalne oraz m nieparzyste i n&gt;1. Niech r,s naturalne i takie ze \frac{r}{s}=\sum_{k=0}^{2^n-1}\frac1{&#40;2k+1&#41;^m} Pokaż że 2^{n+2}|r...
 marek12  0
 [Teoria liczb] Dzielniki pierwsze, ciąg Fibonacciego
Udowodnić, że jeśli dodatnie całkowite n NIE jest postaci 2 ^{y} 3 ^{x} (gdzie x i y są całkowite nieujemne), to F _{n}[...
 jakub_jabulko  0
 [MIX] Zestaw pięćdziesięciu zadań przed II etapem OM
\left\{\begin{matrix} &amp; |x-y| - \frac{|x|}{x} = -1\\ &amp; |2x - y| + |x+y -1| + |x-y| + y = 1 \end{matrix}\right Z pierwszego: x&gt;0 \Rightarrow y=x, dla [tex:8cdxrr...
 wiedzmac  18
 [Teoria liczb] Liczba trójkątna - zadanie 2
Dowieść całkiem prosto (tj. elementarnie - w kilku wierszach), że na to aby liczba trójkątna t_{2k-1}, t_{n}=1+...+n, była kwadratem trzeba i wystarczy aby k i 2k-1 były kwadratami, zaś żeby [...
 mol_ksiazkowy  1
 [Teoria liczb] 2001!
Jaka jest ostatnia niezerowa cyfra 2001! ?...
 zoolka4  9
 [Teoria liczb] Suma cyfr sumy cyfr sumy cyfr pewnej liczby.
Niech f&#40;x&#41; oznacza sumę cyfr liczby liczby naturalnej x w zapisie dziesiętnym. Oblicz f&#40;f&#40;f&#40;4444^{4444}&#41;&#41;&#41;. Zacząłem od oszacowania które wystąpiło w podobnym ...
 kp1311  6
 [Teoria liczb] Dwie fajne teorie liczb z odwrotnościami.
1. Pokazać, że dla dowolnego naturalnego n&gt;2 istnieje n różnych liczb naturalnych k_1,k_2,\ldots,k_n takich, że \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{k_i}=1[/tex...
 adamm  4
 [Teoria liczb] Liczby względnie pierwsze - zadanie 7
Udowodnić, że liczby 7^{k}-6^{k} \ oraz \ 7^{k}+6^{k} są względnie pierwsze....
 pawelsuz  3
 [Kombinatoryka] Rozstrzygnij z trójką liczb - zadanie 3
Przy okazji - gdzie można przeczytać o wykorzystaniu macierzy do rozwiązywania zadań? Bo w ogóle ich nie ogarniam, a, jak widać, są przydatne....
 kaszubki  6
 [Teoria liczb] Dobra para
Dana jest ustalona para &#40;s,t&#41; liczb całkowitych, s \neq 0 \neq t . Majac inna pare liczb całkowitych &#40;x,y&#41; zastepujemy ją wg schematu [tex:1nu08cqv...
 mol_ksiazkowy  0
 [Teoria liczb] teoryja lyczb
Jako że pojutrze matura (jeee...!) proponuję staroszkolną metodę, a zarazem przaśny cytat: jeśli nie wiesz co robić, licz deltę (tak, maturzyści! pojutrze będziemy to robić (yeah!)). Konsekwentnie: \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab-1} = k[/tex:2...
 Emce1  5
 [Teoria liczb] Podzielność liczb - zadanie 48
Niech d \in C \wedge d \ge 2 i d będzie dzielnikiem liczb a^{2}+a+1, b^{2}+b+1, c^{2}+c+1. Wykaż, że nie istnieją takie liczby całkowite a, b, c[/t...
 Zahion  4
 [Teoria liczb] Podzielnosc - zadanie 3
znajdz wszystkie liczby naturalne n dla ktorych zachodzi podzielnosc: &#40;2n+1&#41; \ | \ &#40;n!&#41;^...
 przemk20  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com