[ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 13:26 
Moderator

Posty: 4167
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 20:09 
Moderator

Posty: 4167
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja: "Sprawdzam prawdziwość wzoru dla"
Kiedy sprawdzam prawdziwość wzoru dla n=0, kiedy dla n=1 (ewentualnie kiedy dla jeszcze innego n)? oraz przykład: Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każd...
 Fritillaria  8
 Indukcja - liczba składników
Udowodnić, że: 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} No i właściwie chodzi mi o tezę dla drugiego kroku indukcyjnego: 1-\frac{1...
 Edward W  1
 dowód indukcja silnia
Mam udowodnić 3 ^{n} <n! n \ge 7 Próbuję dla n=n+1 3 ^{n+1} <(n+1)! 2*3 ^{n} +3 ^{n} < n! \cdot (n+1) Nie wiem co z tym dalej...
 lew487  4
 wzór newtona, liczba przekątnych, indukcja
Wykaż indukcyjnie: 1) \forall_{x \in\NN} |\sin nx| \le n|\sin x| 2) \forall_{n \in\NN} liczba przekątnych w n-kącie 3) \forall_{a,b \in\NN} (a...
 aqlec  1
 Nierówność - indukcja
Niech a_1,a_2,...,a_n>0 oraz a_{n+1}=a_1 Pokazać przez indukcję, że dla dowolnego n \in \mathbb{N} zachodzi \frac{\prod_...
 tatteredspire  3
 Indukcja matematyczna, podzielność - zadanie 2
Jak udowodnić za pomocą indukcji 4| 5^{5n-2} +3...
 waski123  1
 Indukcja: nierówność z pierwiastkami
Polecenie do tego zadania: Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n: \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n} dla n=1 mamy ...
 browar25  2
 Indukcja zupełna - wielomian
Wykazać za pomocą indukcji zupełnej, że wielomian (n-1) x^n{}+nx^{n-1}+ (-1)^n{} dla n=2,3, ... jest podzielny przez wielomian (x+1)^2{}....
 Dawid12_92  3
 udowodnic monotonicznosc - indukcja matematyczna
tak jak w temacie: \begin{cases} b _{1}=b ,b \in R-\left\{ 0\right\} \\ b _{n}=(1- \frac{1}{3 ^{n} })b _{n-1} , n \ge 2 \end{cases} wiem, że trzeba rozważyć 2 przypadki, kiedy b<0[/tex:1knrxjz2...
 abcd3713  1
 Indukcja matematyczna - zadanie 45
Witam mam zadanie do rozwiązania, najlepiej na jutro. Nie mogę poradzić sobie z dowodem Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n jes...
 olga523  6
 Indukcja a nierówności
Witam! Wiem, że temat był wałkowany bardzo dużą ilość razy, ale po przejrzeniu większości nie znalazłem odpowiedzi. Otóż mam udowodnić metodą indukcji matematycznej taką oto nierówność: \frac{1}{1^{2}}+ \frac{1}{2^{2}}+ \frac{1}{3^{3...
 Peter Zof  4
 Indukcja - zadania i jedno pytanie.
Witam. Mam kilka < a właściwie jedno pytanie > dotyczące zapisu liczby. Udowodnij, że jeżeli n jest nie mniejszą od 5 liczbą pierwszą, to liczba a^{2} -1 jest podzielna przez 24. Czy istnieje jakiś zapis liczby ...
 Spektor  3
 Indukcja, udowodnij
Udowodnij, że: 3| n^3 + 2n...
 Roogoos  7
 Indukcja matematyczna: o co tu chodzi? - zadanie 2
Witam wszystkich, Ma poprzedniej lekcji rozpoczęliśmy indukcję matematyczną. No i tyle zrozumiałam że zaczęliśmy coś co trzeba wykazać. Przykładowe zadanie które dostaliśmy to: Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej doda...
 naukaposzlawlas  12
 Indukcja nierowność - zadanie 4
Udowodnij korzystając z np indukcji 3^n>n^3 ,n \ge 4 Sprawdzilem najpierw dla czterech, potem teza: 3^(n+1)>(n+1)^3 Rozpisałem do : 3^n*3>n^3+3n^2+3...
 kiler7  19
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com