[ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 13:26 
Moderator

Posty: 4167
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 20:09 
Moderator

Posty: 4167
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna, podzielnosc
Stosując indukcję matematyczną wykazać następujące twierdzenia dotyczące podzielności liczb Fibonacciego: 1) 5 | F_{5n} 2) 10 | F_{15n}...
 XMukiX  1
 Indukcja, nierówność
Witam! Piszę pierwszy raz na tym forum, więc proszę o wyrozumiałość. Wydawało mi się, że dobrze rozumiem indukcję, ale dzisiaj poświęciłam na jeden przykład około 2h i zmieniam zdanie. Udowodnij, że dla każdej różnej od zera, liczby naturalnej n pra...
 3vv3lina  8
 Indukcja: nierówność z potęgami
3^{n}> n^{3} dla n=1 mamy 3>1 ^{3}=1 1) 3^{n}> n^{3}\implies 3^{n+1}>(n+1) ^{3}= (n+1)(n ^{2}+2n+1)=n ^{3}+3...
 browar25  7
 indukcja nierownosc - zadanie 8
Jak udowodnić nierówność dla n \ge 17 2^{n}>n^{4} dla n=k+1 p=(k+1)^{4}= k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1 co dalej zrobic??...
 borowa  6
 indukcja matematyczna dowód - zadanie 2
Było wiele razy na Forum np. tutaj...
 smafi14  1
 rekurencja ciągi indukcja
mam problem z tego typu zadaniami T_n=1\cdot 2 \cdot 3 + 2\cdot 3 \cdot 4 + 3\cdot 4 \cdot 5 + n(n+1)(n+2) a) określ wartości w T_k w tym T_1,T_2,...,T_6[/tex:3a...
 radmalzar  4
 indukcja pierwiastki
\sqrt{i} \le 2 \sqrt{i} -1 Muszę udowodnić przez indukcje taką nierówność. Mam pierwiastki i nie wiem co z nimi zrobić. Proszę o wytłumaczenie/rozwiązanie....
 pawlacz  8
 Nierówność i indukcja - zadanie 2
1.Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n>1 zachodzi nierówność: \frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n} 2. Pokazać, ze dla dowolnych liczb nieujemnych x,y oraz dla dowoln...
 karolina21_stokrotka  4
 Indukcja matematyczna - zadanie 33
Udowodnić przy pomocy indukcji, że wyrażenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej. 16|5 ^{n} - 4n - 1 Może ktoś pomóc? Bo nie mam pojęcia jak sie za to zabrać. Sprawdzam dla 1, potem za n podstawiam n+1 i co dalej?...
 Cinoq  3
 zadania indukcja
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań: 1. Sadzamy 2n dzieci do n wagoników po dwoje. Na ile sposobów można to zrobić? 2. Udowodnić indukcyjnie, że suma kątów wewnętrznych dowolnego [tex:2seyu3u...
 anilahcim  1
 Indukcja matematyczna - zadanie 43
1. Stosując zasadę indukcji matematycznej udowodnić że \bigwedge\limits_{n\in \NN} 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^{2} Robię tak : a) Sprawdzenia dla n = 1 1 = 1^{...
 siemaelo10  8
 indukcja matematyczna czy liczba jest liczbą naturalną
Udowodnić dla n \in N: \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2}+ \frac{1}{3} n jest liczbą naturalną Dajcie jakąś wskazówkę jak to rozwiązać...
 lew487  5
 Indukcja matematyczna - podzielność
Witam. Proszę o pomoc w następującym zadaniu: Udowodnij indukcyjnie podzielność: \bigwedge\limits_{x\in N} {k ^{2}}+k+1 / Baza sprawdzona. Założenie: l \in \mathbb{N}[/t...
 pseudobombka  1
 Nierówności - indukcja
Indukcyjnie wykazać, żę dla każdej liczby naturalnej n \ge 144 istnieją liczby natualnej x i y takie, że n=9x+19y...
 menrva  1
 udowodnij- indukcja
\frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +...+ \frac{1}{n ^{2} } \le 2- \frac{1}{n}...
 elamat1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com