szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 13:26 
Moderator

Posty: 4168
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 20:09 
Moderator

Posty: 4168
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja - zadanie 8
ciag (an) okreslony jest wzorem rekurencyjnym a1=12 an+1=an+14n+7 stosujac zasade indukcji matematycznej wykaż, ze an=7n�+5 z gory dzieki...
 marecki85  1
 Indukcja matematyczna.
Udowodnij. 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}...
 belzebub16  3
 Dwumian newtona- indukcja
Jeśli możecie korzystać z dwumianu newtona to wystarczy 2^{n}=(1+1)^{n}= \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} 1^{n} \cdot 1^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}....
 grabeQ  2
 szereg indukcja
Źle. Zanim zaczniesz rozwiązywać zadania w których pojawia się symbol sumy, powinieneś najpierw dobrze zrozumieć co ten symbol oznacza i jak go używać. Spróbuj w ramach ćwiczenia najpierw: a) napisać ile wynosi \sum_{i=1}^{4} i^2[/t...
 Krzysiu91  14
 INDUKCJA MATEMATYCZNA - wykazac indukcyjnie
Witam , moglby ktos pomoc w rozwiazaniu tego zadania ? potrzebuje jeden przyklad zeby to zrozumiec \forall_{n \ge 2} 2^n > n bede bardzo wdziezn za pomoc Zapoznaj się z instrukcją LaTeX...
 bananoke  6
 Indukcja matematyczna - dowód
Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, że: \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{n}< \sqrt{n} gdy n \ge 7 i jest liczbą naturalną Z góry dzięki Pozdrawiam Maks...
 Brzezin  4
 Indukcja - nierówność i dowód na zbiorach
Dzięki! A co ze zbiorami?...
 mikrobart  15
 indukcja, pytania
Tak więc chciałem zapytać o indukcję matematyczną. Tzn. chodzi mi o drugi krok. Popatrzmy, że zakładamy, że teza jest prawdziwa, po czym staramy się pokazać w oparciu o to założenie, że dla n+1 teza jest prawdziwa ( bo wy...
 tukanik  3
 Indukcja matematyczna - zadanie 29
mógłby mi ktoś pomóc z dwoma zadaniami... Zadanie 1 Wykaż że dla n naturalnego zachodzi 1^2+3^2+5^2+...+(2n+1)^2= \frac{(n+1)(4n^2+8n+3)}{3} Zadanie 2 Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej ...
 magda_5  3
 Indukcja z mnozeniem
Witam, takiej indukcji jeszcze nigdy nie robilem. Nie moge sobie poradzic z ostatnim przeksztalceniem. Bardzo bym sie ucieszyl jak by mi ktos byl w stanie pomoc. \prod_{i=1}^{n} \frac{2i-1}{2i} = \frac{1}{2^2^n}{2n \choose n}[/tex:2...
 solmech  4
 Indukcja: zmienna w wykładniku - jak to się rozwiązuje?
Z pewnością wszyscy na tym forum wiedzą, jak dowodzi się podzielności, gdy zmienna jest w podstawie. Niestety ja mam z tym problem i umiem rozwiązać tylko przypadki ze zmienną w wykładniku. Mógłby ktoś mi to objaśnić na przykładzie dowodu, że dla każ...
 krzysiek111  4
 Indukcja z znakiem sumy oraz f. tryg.
Proszę wykazać indukcją matematyczną tożsamość: \sum_{k=1}^{n} \cos kx = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{1}{2}x} - \frac{1}{2} Proszę o możliwie szczegółowe rozpisanie zadania gdyż mam problem nawet ze s...
 pc  0
 postęp geometryczny wykazać indukcją
Wykazać za pomocą indukcji matematycznej, że prawdziwe są wzory dla każdej liczby naturalnej n. zadanie 1: Wzór na n-tą sumę cząstkową postępu geometrycznego: S _{n} =a _{1} \frac{q ^{n}-1 }{q-1} , q ...
 Hania_87  3
 Macierze indukcja
Udowodnij: (I - A)^{-1}\cdot (I-A)^{n-1}= I + A + A^{2}+...+A^{n} No to biore n = 0 (I-A)^{-1}\cdot (I-A) = I+A i już tutaj coś ...
 Robson1416  6
 indukcja matematyczna - zadanie 6
Mam problem z tymi dowodami, dlatego wdzieczna bylabym za wszelkie rady i wskazowki: Udowodnij, ze dla wszystkicj x nalezacych do R i wszyskich n nalezacych do N zachodzi: {-x\choose n}= (-1)^n {x+n-1\choose n}[/tex:kj3p3g...
 MarlenQs  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com