szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 12:26 
Moderator

Posty: 4284
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 19:09 
Moderator

Posty: 4284
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba : a) 2^(6n+1)+3^(2n+2) jest podzielna przez 11 b) 2^(n+2)*3^n+5n-4 jest podzielna przez 25 c) 3^(2^n) - 1 jest podzielna przez 2^(n+2) Nie wiem jak to rozwiązać. Napiszę sposób jakim to robiliśmy ...
 pandaboy  19
 Indukcja matematyczna. - zadanie 2
Istnieje taka liczba naturalna , że dla wszystkich liczb naturalnych n \ge n_0 każda liczba postaci \frac{n^5}{5} + \frac{3n^3}{3} + \frac{7n}{15} jest liczbą naturalną. Oraz Istnieje taka...
 Glo  0
 Indukcja - Kłaczkow 5.2b
Metodą indukcjimatematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi nierówność. 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 Nie moge rozwiazc tego zadania ......
 veS  3
 Co to jest indukcja matematyczna?
Indukcja matematyczna to takie twierdzenie o prawdziwości twierdzeń, które brzmi następująco: Jeśli jakieś twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej k oraz: dla wszystkich liczb naturalnych n...
 damik1318  3
 Indukcja matematyczna...
Witam serdecznie... Przeszukałem całe forum i nie znalazłem podobnego przykładu dlatego proszę o pomoc w jego rozwiązaniu Udowodnić, że dla każdej liczby naturaln...
 yarooo84  2
 Indukcja, silnia.
Pokazać, że dla n\in\mathbb N: \sum_{k=0}^n (-1)^{k}{n\choose k}=0 Krok drugi: Założenie: \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}=0 Teza: [tex:2458...
 Edward W  3
 indukcja matematyczna - zadanie 21
chodzi mi o to (1+2+...+n+(n+1))^2 czy tutaj mamy coś wykorzystać czy to po prostu pomijamy...
 Krzysiu91  8
 indukcja nierówność - zadanie 2
Dla jakich liczb naturalnych n prawdziwa jest nierówność: n^{3}...
 witn11  4
 indukcja matematyczna - zadanie 53
Cześć Mam problem z dwoma przykładami z indukcji matematycznej. 4^{n-1} \geq n^2 7^n-4^n jest podzieln...
 andrzej9555  1
 Indukcja matematyczna - nierówności
Korzystając z indukcji matematycznej udowodnij, że dla dowolnego n \in \mathbb N\right\}: 1. \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + ... + \frac{1}{ n^{2} } < \frac{n-1}{n+1} Robiłam ...
 nikola012  1
 Dwie nierówności i indukcja
Witajcie. Mam za zadanie udowodnić za pomocą indukcji matematycznej te oto nierówności: 1)n^3 < 4^n 2)5n \le n^2 -3 , n>5 Oczywiście samą zasadę indukcji znam. Zacinam się za to w jej dr...
 matih32  3
 indukcja matematyczna - zadanie 12
Witam mam problem z pewnym zadaniem: 1+2+...+n= \frac{n+1}{2}\cdot n 1. Sprawdzam dla n=1: L=1 P= \frac{1+1}{2}\cdot 1=1 2. Zakładam, że równanie jest ...
 Adaminho  1
 indukcja - udowodnij prawdziwość nierówności
przejżałem kilka tu podobnych zadań, ale i tak nie moge sobie poradzic z tym zadaniem. udowodnij że dla każde liczby naturalnej n\geq2 prawdziwa jest nierówność \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3...
 Anonymous  3
 indukcja L=P
Witam, w zadaniu doszedłem do takiego równania \frac{1}{6} \cdot \left( k +1\right) \cdot \left( 2k+1\right) + \left( k+1\right)^{2} = \frac{1}{6} \cdot \left( k+1\right) \cdot \left[ \left( k+...
 eth3r  1
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 4
Dla n=1 nierówność jest oczywiście prawdziwa. Niech k\ge 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Załóżmy, że \frac{1}{k}+\frac...
 Juana1990  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com