szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 12:26 
Moderator

Posty: 4257
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 19:09 
Moderator

Posty: 4257
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna. - zadanie 2
Istnieje taka liczba naturalna , że dla wszystkich liczb naturalnych n \ge n_0 każda liczba postaci \frac{n^5}{5} + \frac{3n^3}{3} + \frac{7n}{15} jest liczbą naturalną. Oraz Istnieje taka...
 Glo  0
 Indukcja - Kłaczkow 5.2b
Metodą indukcjimatematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi nierówność. 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 Nie moge rozwiazc tego zadania ......
 veS  3
 Indukcja matematyczna...
Witam serdecznie... Przeszukałem całe forum i nie znalazłem podobnego przykładu dlatego proszę o pomoc w jego rozwiązaniu Udowodnić, że dla każdej liczby naturaln...
 yarooo84  2
 indukcja matematyczna - zadanie 21
chodzi mi o to (1+2+...+n+(n+1))^2 czy tutaj mamy coś wykorzystać czy to po prostu pomijamy...
 Krzysiu91  8
 indukcja nierówność - zadanie 2
Dla jakich liczb naturalnych n prawdziwa jest nierówność: n^{3}...
 witn11  4
 Dwie nierówności i indukcja
Witajcie. Mam za zadanie udowodnić za pomocą indukcji matematycznej te oto nierówności: 1)n^3 < 4^n 2)5n \le n^2 -3 , n>5 Oczywiście samą zasadę indukcji znam. Zacinam się za to w jej dr...
 matih32  3
 indukcja matematyczna - zadanie 12
Witam mam problem z pewnym zadaniem: 1+2+...+n= \frac{n+1}{2}\cdot n 1. Sprawdzam dla n=1: L=1 P= \frac{1+1}{2}\cdot 1=1 2. Zakładam, że równanie jest ...
 Adaminho  1
 indukcja - udowodnij prawdziwość nierówności
przejżałem kilka tu podobnych zadań, ale i tak nie moge sobie poradzic z tym zadaniem. udowodnij że dla każde liczby naturalnej n\geq2 prawdziwa jest nierówność \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3...
 Anonymous  3
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 4
Dla n=1 nierówność jest oczywiście prawdziwa. Niech k\ge 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Załóżmy, że \frac{1}{k}+\frac...
 Juana1990  10
 indukcja wlasnosci ciagu Fibonacciego
Wykazac nastepujace wlasnosci ciagu Fibonacciego: 1.\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}F_{k}=F_{2n-1}-1 2. \sum_{k=0}^{n}F^{2}_{k}=F_{n}F_{n+1} 3. F_{2n+1}=F^{2}_{n}+F^{2}_{n+1}[/t...
 wiedzma  0
 Indukcja i kolejna nierównóść
Ponownie szukałem, ale nie znalazłem... Tym razem problem mam z wykazaniem takiej nierówności: (n+1)^n < n^{n+1} Zacinam się zaraz na samym początku po sformułowaniu tezy... Dziękuję z góry za pomoc. Pozdraw...
 pawellogrd  2
 indukcja mat. udowodnij, że dla n>3...
Witam Mam do udowodnienia przez indukcje matematyczna: dla kazdego n>3 3^n>n^2+23 Doszlam dotad: Zalozenie indukcyjne: 3^k>k^2+23 Teza indukcyjna: 3^{k+1}>(k+1)^2+23[/t...
 Patri  6
 indukcja nierownosc
1+ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n} n \in N Czy moge prosic o dokladne wytlumaczenie mi tego krok po kroku?? Dziekuje za pomoc....
 maryjusz  2
 indukcja matematyczna - zadanie 3
Wykaż ze ciąg (a_{n}) , n\in N gdzie a_{1}=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2a_{n} }[/tex:2...
 bonitka  2
 Prosta indukcja
30n < 2 ^{n} + 110 Banał, ale zapomniałem jak to sie robilo :/...
 SiewcaWiatru  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com