szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 12:26 
Moderator

Posty: 4230
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 19:09 
Moderator

Posty: 4230
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja - przeprowadzenie dowodu
to jest już 2 etaap, i po prostu nie mogę doprowadzic lewą stronę równania do prawej.. jak ja mam to zrobić? proszę o dokłady przebieg..2- 1/2^{k}+ \frac{1}{2} ^{k+1}= 2- 1/2^{k+1}...
 bucalala  3
 Indukcja - zadania i jedno pytanie.
Witam. Mam kilka < a właściwie jedno pytanie > dotyczące zapisu liczby. Udowodnij, że jeżeli n jest nie mniejszą od 5 liczbą pierwszą, to liczba a^{2} -1 jest podzielna przez 24. Czy istnieje jakiś zapis liczby ...
 Spektor  3
 Indukcja, udowodnij
Udowodnij, że: 3| n^3 + 2n...
 Roogoos  7
 Indukcja - sigma
Proszę o wytłumaczenie jak udowadniać prawdziwość równości dla przykładów z tzw. sigmą. \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i\left( i+1\right) } = \frac{n}{n+1} Założenie: \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n\left(...
 laewqq  9
 Indukcja podzielność- czy to jest dobrze?
Hey! Mam do Was prośbę. Moglibyście, drodzy forumowicze sprawdzić, czy to jest dobrze? Z góry dziękuję 10 \mid 3^{4n+2} + 2^{4n+1} - 21^{n-1} \\[/tex...
 alexander321  3
 indukcja nierówności
Mam udowodnić taką nierówność: \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2} dla n\geq1 ale czy nie wychodzi czasem ze w tym przypoadku np dla n=1 L=P ? bo cos mi tu nie pasuje.. i ...
 Pshczoolka  6
 indukcja dla ciagow
udowodnić indukcyjnie ze jezeli wyrazy ciagu a _{n} spelniaja nastepujace warunki : a _{0}=2 , a _{1}=3 , a _{n+1} =3a _{n} -2a _{n-1}[/tex:1g1...
 iza19  2
 Indukcja i rekurencja
Zadanko z ksiazki "Wprowadzenie do algorytmów" (str 36). Pokaż, stosując metodę indukcji matematycznej, że dla n będącego potęgą dwójki rozwiązaniem równania rekurencyjnego T(n)= \lbrace 2, \quad jesli \ n=2 \\ \ ...
 ast3rot  6
 indukcja matematyczna - zadanie 30
Pokaż że dla dowolnego naturalnego n liczba: 1) n ^{3} - n jest podzielna przez 6 2) 5 ^{n} - n jest podzielna przez 4...
 madzia_wawa  8
 [indukcja] dowód
Mam następujące zadanie: Udowodnij, że suma liczb naturalnych od 1 do n jest równa \frac{n(n+1)}{2} dowód: L=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{(n+...
 darioze  8
 Indukcja matematyczna - początki
witam jest takie zadanie do udowodnienia z indukcji: \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{{{\rm{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\rm{6}}} Jak to ruszyć??? Nie bardzo wiem jak rozumieć lewą stronę bo do tej por...
 yonagold  3
 indukcja - zadanie 19
1+2+2 ^{2}+...2 ^{n-1} 1+3+3 ^{2} +3 ^{n-1} +3 ^{n} \frac{1}{1*3}+\frac{1}{2*4}+\frac{1}{3*5}+...+[t...
 bu55  1
 Indukcja matematyczna z zastosowaniem nierówności B.
Witam, mam problem z zadaniem: Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n \ge 6 zachodzi nierówność n!< \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}. Sprawdziłam, że dla n=6...
 banja  2
 Indukcja: "Sprawdzam prawdziwość wzoru dla"
Kiedy sprawdzam prawdziwość wzoru dla n=0, kiedy dla n=1 (ewentualnie kiedy dla jeszcze innego n)? oraz przykład: Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każd...
 Fritillaria  8
 W czym tkwi błąd....?-indukcja
Udowodnij idnukcyjnie: 6|n^{3}+5n Założenie: n^{3}+5n=6t Teza: (n+1)^{3}+5n+5=6s Dowód: L=n^{3}+3n^{2}+3n+1+5n+5=n^{3}+5n+3n^{2}+3n+6[/tex:...
 Kaszim  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com