szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 12:26 
Moderator

Posty: 4376
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 19:09 
Moderator

Posty: 4376
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja - jak z niej korzystać?
Korzystając z następujących założeń (funkcję następnika dla n naturalnego zapisuję jako s(n)): - 0 \in \NN - n \in \NN \implies s(n)...
 k0l0  1
 Indukcja - przeprowadzenie dowodu
to jest już 2 etaap, i po prostu nie mogę doprowadzic lewą stronę równania do prawej.. jak ja mam to zrobić? proszę o dokłady przebieg..2- 1/2^{k}+ \frac{1}{2} ^{k+1}= 2- 1/2^{k+1}...
 bucalala  3
 Indukcja - zadania i jedno pytanie.
Witam. Mam kilka < a właściwie jedno pytanie > dotyczące zapisu liczby. Udowodnij, że jeżeli n jest nie mniejszą od 5 liczbą pierwszą, to liczba a^{2} -1 jest podzielna przez 24. Czy istnieje jakiś zapis liczby ...
 Spektor  3
 Indukcja, udowodnij
Udowodnij, że: 3| n^3 + 2n...
 Roogoos  7
 Indukcja - sigma
Proszę o wytłumaczenie jak udowadniać prawdziwość równości dla przykładów z tzw. sigmą. \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i\left( i+1\right) } = \frac{n}{n+1} Założenie: \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n\left(...
 laewqq  9
 Indukcja podzielność- czy to jest dobrze?
Hey! Mam do Was prośbę. Moglibyście, drodzy forumowicze sprawdzić, czy to jest dobrze? Z góry dziękuję 10 \mid 3^{4n+2} + 2^{4n+1} - 21^{n-1} \\[/tex...
 alexander321  3
 indukcja nierówności
Mam udowodnić taką nierówność: \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2} dla n\geq1 ale czy nie wychodzi czasem ze w tym przypoadku np dla n=1 L=P ? bo cos mi tu nie pasuje.. i ...
 Pshczoolka  6
 indukcja dla ciagow
udowodnić indukcyjnie ze jezeli wyrazy ciagu a _{n} spelniaja nastepujace warunki : a _{0}=2 , a _{1}=3 , a _{n+1} =3a _{n} -2a _{n-1}[/tex:1g1...
 iza19  2
 Indukcja i rekurencja
Zadanko z ksiazki "Wprowadzenie do algorytmów" (str 36). Pokaż, stosując metodę indukcji matematycznej, że dla n będącego potęgą dwójki rozwiązaniem równania rekurencyjnego T(n)= \lbrace 2, \quad jesli \ n=2 \\ \ ...
 ast3rot  6
 Indukcja matematyczna- liczby całkowite
Zasada indukcji wymaga istnienia elementu najmniejszego oraz następnika. Stąd wniosek, że bezpośrednio zastosowac jej do zbioru liczb całkowitych nie można. Ale nic nie stoi na przeszkodzie, żeby ją zastosowac osobno dla liczb dodatnich i osobno dla ...
 mwrooo  2
 indukcja matematyczna - zadanie 30
Pokaż że dla dowolnego naturalnego n liczba: 1) n ^{3} - n jest podzielna przez 6 2) 5 ^{n} - n jest podzielna przez 4...
 madzia_wawa  8
 [indukcja] dowód
Mam następujące zadanie: Udowodnij, że suma liczb naturalnych od 1 do n jest równa \frac{n(n+1)}{2} dowód: L=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{(n+...
 darioze  8
 Indukcja matematyczna - początki
witam jest takie zadanie do udowodnienia z indukcji: \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{{{\rm{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\rm{6}}} Jak to ruszyć??? Nie bardzo wiem jak rozumieć lewą stronę bo do tej por...
 yonagold  3
 indukcja - zadanie 19
1+2+2 ^{2}+...2 ^{n-1} 1+3+3 ^{2} +3 ^{n-1} +3 ^{n} \frac{1}{1*3}+\frac{1}{2*4}+\frac{1}{3*5}+...+[t...
 bu55  1
 Indukcja matematyczna z zastosowaniem nierówności B.
Witam, mam problem z zadaniem: Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n \ge 6 zachodzi nierówność n!< \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}. Sprawdziłam, że dla n=6...
 banja  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com