szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8725
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8725
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 13:26 
Moderator

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 20:09 
Moderator

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [indukcja] wykaż, że ...
dla każdej liczby naturalnej dodatniej n: liczba 5^{5n - 2} + 3 jest podzielna przez 4. Dodano: 5 Kwiecień 2007, 20:18 ] Chodzi mi o...
 Rafal88K  1
 indukcja z silnią - zadanie 2
1) n^{3} \geqslant {{n+1} \choose 2} 2)2^{n}...
 belmondo  1
 Indukcja matematyczna - trygonometria
Wykazać, korzystając z zasady indukcji matematycznej: 1. \bigwedge\limits_{n\in N+}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2^2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2^3}\cdot\ldots\cdot\cos\frac{\alpha}{2^n}=\frac{\sin\alpha}{2^n\sin\frac{\alpha}{...
 Isoptin  2
 Indukcja, problem z ostatnim przeksztalceniem
Witam Was serdecznie, czy moze mi ktos podpowiedziec jak to dokonczyc? Przeszkadza mi to (n+1)^{2} 1. 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Dla n=1 s...
 solmech  4
 indukcja z szeregiem
Mam takie jedno proste zadanko z indukcji, którego jakby nie umię ugryźć: \sum_{k=2}^{n}\ (k-1)k = \frac{(n-1)n(n+1)}{3} Proszę o jakąkolwiek pomoc a może link do materiałów o podobnych przykłada...
 tomig  2
 Indukcja. Udowodnij równość
Mam problem z udowodnieniem dość prostego wzoru. Problem w tym, że mamy dwóch prowadzących którzy najwyraźniej inaczej do tego podchodzą. Proszę o propozycję udowodnienia tego równania. Z góry dziękuje ...
 goliat5858  2
 Indukcja - trzy zadania.
Udowodnij za pomoca metody indukcji matematycznej, ze dla dowolnych n naturalnych zachodza: 1. a^{n} + b^{n} \leqslant (a+b)^{n}, a,b \geqslant 0 2. (a+b)^{n} ...
 Molas.  24
 indukcja nierównośc
podczas udowadniania pewnej nierówności indukcyjnie doszedłem do nierówności (n+3)(n+4)*...*(2n+1)(2n+2)> (n+2)^{n} i z nią mam problem. aczkolwiek na trudną nie wygląda....
 mnij  2
 Problem z indukcją.
Witam! Mam problem ze zrozumieniem indukcji matematycznej. Czy ktoś mógłby mi pomóc i jakoś mnie naprowadzić na dobrą drogę? Więc do rzeczy. Mam taki przykład: Pokaż przez indukcje matematyczną, że dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 1 ...
 czuwi  2
 indukcja - zadanie 7
Udowodnij stosujac zasade indukcji zupelnej, ze liczba 10^n+4^n-2 jest podzielna przez 3...
 otw  1
 indukcja matematyczna - zadanie 23
Wykaż że 41|5\cdot 7^{2(n+1)}+2^{3n} dla każdej liczby naturalnej...
 kalik  1
 Dowody wzorow. Indukcja.
Udowodnij, ze dla kazdej liczby naturalnej n: a) 30 dzieli n^5-n b) 6 dzieli n^3+11n Z gory dziekuje...
 Velitus  1
 indukcja ze sumą - zadanie 2
czy wie ktos moze jak to zrobic za pomoca indukcji matematycznej ? \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} = \sum_{i=1}^{2n} (-1) ^{i+1} \frac{1}{i}...
 pacia1620  1
 Indukcja matematyczna, udowodnij równość
Stosując zasadę indukcji matematycznej udowodnij, że dla każdego n należącego do liczb naturalnych zachodzi następująca równość: 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n \cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}...
 Łukasz_1989  5
 Ciąg rekurencyjny & zwykły & indukcja :)
Dany jest ciąg \begin{cases} a_1=2\\a_{n+1}=3a_n +2\end{cases} dla n należących do licz naturalnych Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że powyższy ciąg można zastąpić wzorem ogólnym a_n = 3^n -1[/tex...
 Axadiw  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com