szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n - 4 jest
podzielna przez 6.

i jeszcze jedno zadanie: Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 4 prawdziwa jest nierówność

n!>2^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Wiesz na czym polega indukcja?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, ale to, że wiem jakoś w chwili obecnej nic mi nie daje. Nawet jakoś specjalnie nie jestem przekonana, że to zadanie trzeba za pomocą indukcji zrobić, ale tak kazali...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8724
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli wiesz, to napisz próby swojego rozwiązania, sprawdzimy je ewentualnie skorygujemy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Warszawa
co do jednego z zadań to przyszło mi do głowy rozwiązanie nie koniecznie za pomocą indukcji
:
n!>2^n
1 \cdot 2 \cdot ...  \cdot n>2^n
z zależności między średnimi:
\frac{1+2+...+n}{n}>  \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n}

(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n
\frac{1+2+...+n}{n}>2
1+2+...+n>2n
\frac{1+n}{2} \cdot n>2n
\frac{1+n}{2} >2
1+n>4
n>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 13:26 
Moderator

Posty: 4224
Lokalizacja: Łódź
Wątpliwe jest przejście:
olcia_ napisał(a):
(  \frac{1+2+...+n}{n})^n>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n
( \frac{1+2+...+n}{n})^n >2^n

Po prostu, olcia_, wykorzystujesz tutaj fakt, którego prawdziwości dowodzisz... Nawet gdyby próbować dowodzić żądanej nierówności n!>2^n nie wprost, to przedstawionym przez Ciebie tokiem rozumowania niczego nie osiągniemy.

Mamy natomiast 4!=24>16=2^4.
Załóżmy teraz, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k\ge 4 jest k!>2^k.
Mamy wówczas (k+1)!=k!(k+1)>(k+1)2^k=(k-1)2^k+2\cdot 2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}.
Indukcja kończy zatem dowód tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
a można tak:

k!(k+1)>2^k \cdot(k+1)>2^k \cdot 2= 2^{k+1}
gdyż,k \ge 4  \Leftrightarrow k+1 \ge 5>2

??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2009, o 20:09 
Moderator

Posty: 4224
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście, że można. Wykorzystujemy w obydwu rozumowaniach ten sam fakt: skoro k\ge 4, to na pewno k>1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie z indukcja
Mam udowodnić to dla a,b \in R \wedge n \in N. Jeśli chodzi o symbol Newtona to jestem cienki Bolek i slabo operuje na dzialaniach z tym zwiazanych. Prosze zatem o pomoc i szczegółowe wytlumaczenie ...
 leszczu450  1
 Indukcja matematyczna - zadanie 44
Witam. Mam takie zadanie. Wykaż za pomocą indukcji matematyczniej, że \wedge n \in N \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}...
 grzesiek50  3
 indukcja wykaż że...
Właśnie rozpoczęłam studia informatyczne, matma to nie jest mój konik, ale nie jestem też noga, jednak z twierdzeniem udowadnianiem i wykazywaniem zawsze miałam problem. Dostałam taka pracę domową, pierwszą cześć chyba rozumiem, ale z drugą mam probl...
 adka0147  5
 Indukcja matematyczna - zadanie 47
Męczę się z pewnym przykładem i nie wiem czy moje rozwiązanie jest formalnie poprawne 10n <2^n+25 Muszę udowodnić że dla każdego n naturalnego nierówność jest prawdziwa Domyślam się ze nie mogę zrobić tego w taki spo...
 alchem  22
 Problem z indukcją - zadanie 2
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=n^4-6n^2+10. Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Chce indukcyjnie. n^4-6n^2+10>0 t=n^2 \wedge t>0 [tex...
 stanley12  8
 Czy indukcja jest możliwa tylko dla każdej liczby naturalnej
Mam zadanie: Uzasadnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba n ^{3} - n jest podzielna przez 24 Chciałem zrobić to indukcją matematyczną, ale doszedłem do w...
 bobobob  4
 Indukcja matematyczna - zadanie 42
Udowodnij przez indukcję że dla n>1 zachodzi: \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \le n! \le \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \sqrt{n} e Męcze się z tym już długo i nie mogę wp...
 martin_bar  1
 indukcja, funkcje trygonometryczne
Udowodnić, że dla x \in R i n \in N, prawdziwa jest nierówność: |\sin (nx)| \le n|\sin x|...
 Katarzyna92  1
 indukcja - trudny przykład z symbolem Newtona
Witajcie, zwracam się do Was z prośbą o pomoc, bo walczę z tym przykładem i nie mogę wygrać. Każda pomoc mile widziana. \sum_{k=2}^{n} {n \choose k} k\left( k-1\right)=n\left( n-1\right)2 ^{n-2} Pozdra...
 studencikmaly  3
 Indukcja matematyczna udowodnij wzór
Mialem zadanie zeby znalesc wzor na ciag liczbowy gdzie a_{0}=1 a_{1}=15 a_{2}=150 a_{3}=1250 a_{4}=9375 ...
 andrzej258  4
 Nierówność + indukcja.
Witam. Mam (...) prośbę. 1. Udowodnić, że \left( n! \right) ^{2} \ge n^{n+1} \ dla \ n \ge 7, \ n \in \mathbb{N} Z góry dziękuję....
 Bobi02  5
 Wykaż indukcją podzelność przez 3 reszty 2
Wykaż za pomocą indukcji że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych gdzie najmniejsza liczba to 2k-3 przez 3 daje resztę dwa. Mam problem w drugim kroku. Daje założenie (2n-3)^{2}+(2n-2)^{2}+(2n-1)^{2}...
 Deamon  4
 Indukcja matematyczna - udowodnienie zadania
Witam, mógłby mi ktoś sprawdzić czy w dobry sposób rozwiązałem zadanie? Treść zadania: Używając zupełnej indukcji matematycznej, udowodnij, że dla n>0 zachodzi 3| 10^{n} -1 Moja próba roz...
 Dartam  1
 indukcja matematyczna - zadanie 34
Mam tu prosty do rozwiązania przykład. Znam metodę, tylko nie rozumiem, dlaczego to jest udowodnione Udowodnić dla n \in N: 1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2} teraz rozwiązanie: dla n=n+1 [t...
 lew487  4
 Indukcja - liczby stirlinga
Prawidłowy wzór to: \left\{ \begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\} = { n \choose 3}+ { n \choose 4} \cdot 3 (co wynika z dowodu kombinatorycznego - gdy mamy dwa podzbiory po dwa elementy, to na trzy sposoby możemy ...
 Dexous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com