[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2009, o 00:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4554
Lokalizacja: Wrocław
W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}
Niech a_n i b_n będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \lim_{ n\to  \infty }a_n=a oraz \lim_{ n\to  \infty }b_n=b. Wtedy zachodzą poniższe równości:
\lim_{n  \to  \infty } (a_n+b_n)=a+b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n-b_n)=a-b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b
\lim_{n  \to  \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}
\lim_{n  \to  \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}
Jeśli a_n jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu b_n są ograniczone (to znaczy, istnieje stała M, taka że \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M) to:
\lim_{ n\to  \infty }a_n \cdot b_n=0.

\mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}
Niech a_n, b_n, c_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówności: a_n \le b_n \le c_n. Ponadto załóżmy, że granice ciągów a_n i c_n istnieją i są równe g. Wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n=g.

\mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}
Niech a_n, b_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówność: a_n \le b_n. Ponadto załóżmy, że \lim_{n\to  \infty } a_n= \infty, wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n= \infty.

\mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}
Jeśli a_n jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) a_n jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu a_n są ograniczone od góry,
to ciąg a_n jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\mbox{TW. 6}
Niech ciąg a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1,
(2) \lim_{n \to  \infty }  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1.
Wtedy \lim_{ n\to  \infty }a_n=0.

\mbox{TW. 7 (Stolza)}
Niech dany będzie ciąg a_n \rightarrow  \infty oraz dowolny ciąg b_n. Wtedy, jeśli: \lim_{ n\to  \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A, to:
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{b_n}{a_n}=A. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}
Niech a_n będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \lim_{ n\to  \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e. Gdzie e \approx 2.71828 jest liczbą Eulera.

\mbox{TW. 9}
Jeśli funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła w punkcie a, a ciąg a_n jest zbieżny do a, to: \lim_{ n\to  \infty }g(a_n)=g(a).

\mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}
\mbox{(1) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n}=0
\mbox{(2) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0
\mbox{(2') } \lim_{ n\to  \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0
\mbox{(3) } \lim_{ n\to  \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1
\mbox{(3') } \lim_{ n\to  \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1
\mbox{(4) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0
\mbox{(5) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{n} =1
\mbox{(6) } \lim_{ n\to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n  =e

\mbox{TW. 11}
Załóżmy, że ciąg a_n o niezerowych wyrazach spełnia: \lim_{n \to  \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g, wtedy \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}
Ukryta treść:    


\mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}
Ukryta treść:    



\mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}
Ukryta treść:    


\mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}
Ukryta treść:    


\mbox{5. }a_n= \left(  \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3
Ukryta treść:    


\mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}
Ukryta treść:    


\mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n
Ukryta treść:    



\mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n
Ukryta treść:    


\mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}
Ukryta treść:    



\mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}
Ukryta treść:    



\mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n} dla q>1, k>0
Ukryta treść:    



\mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!} dla dowolnego c>0
Ukryta treść:    



\mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}
Ukryta treść:    




\mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}
Ukryta treść:    



\mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}
Ukryta treść:    



\mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }
Ukryta treść:    



\mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n}  }
Ukryta treść:    



\mbox{20. }a_n= \left(  \frac{n+5}{n} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{21. }a_n= \left(  \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n}  \right)^n
Ukryta treść:    




\mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)
Ukryta treść:    



\mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}
Ukryta treść:    



\mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}
Ukryta treść:    



\mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)
Ukryta treść:    



\mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{28. }a_n=  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
Ukryta treść:    


\mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}
Ukryta treść:    


\mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}
Ukryta treść:    





Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granice ciągów, Analiza Krysickiego
\lim_{ n \to } n&#40;ln&#40;n+1&#41;-ln n&#41;= \lim_{ n \to ...
 mat1989  10
 Obliczanie granic ciągu - zadanie 2
Czyli \frac{1}{n} = 0, to wiem, ale \frac{1}{n^2} = też również 0? mimo, że w mianowniku jest n^2? czyli końcówka tego zadania to: \frac{0}{1} =...
 saszaw90  14
 Granice ciagów problem z zadaniami
LOL nie masz prawa w ogóle tak zrobić! masz wykładnik do &quot;ntej&quot;, gdyby był (wykładnik) liczbowy to możesz zrobić poprzez podzielność licznika i mianownika przez &quot;n&quot;. Ciekawa teoria.....
 FunTastic  10
 Wyznaczyć sumę ciągów
Wyznaczyć sumę tych ciągów a _{n} =1+3+5+...+&#40;2n-1&#41; b _{n} =2+4+6+...+2n c _{n} =1+4+7+...+&#40;3n-2&#41;...
 natalia2007  3
 Oblicz granice ciągów - zadanie 22
Szczerze mówiąc nie rozumiem czemu ma być \frac{{1-2n}}{2n}} w drugim nawiasie... Umiem stosować twierdzenie z e, ale tylko w przypadku pojedynczej liczby w wykładniku, wyjaśniacie mi to proszę. No ale idąc dalej i korzys...
 Rav91  5
 granice ciągów - zadanie 71
\lim_{ n\to \infty } \frac{log_{n}&#40; n^{4}+1&#41; }{log_{n}&#40; n^{2}+1&#41; } \lim_{ n\to \infty } \sqrt{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n^{3}} + \frac{4}{n^4} } [te...
 Smażony Ogórek  6
 granice ciągów - zadanie 109
Czy mogłby ktos wytlumaczyc jak rozwiazac granice: a) \lim_{ n\to\infty } \sqrt{3\cdot5 ^{n} + 7^{n} } b) \lim_{ n\to\infty } &#40;1- \frac{7}{n ^{2}-4 }&#41; ^{n ^{2}-2n+3 } Proszę o d...
 paula0135  2
 granica ciągów - zadanie 4
z tw o arytmetyce ciągów obliczyć \lim_{ n\to \ \infty } \frac{n^3+2n^2+1}{n-3n^{3}} mnie wyszlo 0 ale nie wiem czy wogole to dobrze robię \lim_{ n\to\ \infty } \sqrt{n^2+4n+1}- \sqrt{n^2+2n}[/tex:iij...
 olak87  9
 zbadaj monotoniczność ciągów..
a) a _{n} = \sqrt{n!} b) a _{n} = \sqrt{2 ^{n} + 3 ^{n} } c) a _{n} = \frac{2 ^{n} }{n!}...
 raphel  1
 Zadnia z obliczania granic ciągu z symbolem Newtona
a _{n} = \frac{n {n+3 \choose 3} }{ {n+4 \choose 4} } Rozpisuję to tak : \frac{\frac{n&#40;n+3&#41;&#40;n+2&#41;&#40;n+1&#41;}{n}}{ \frac{n&#40;n+4&#41;&#40;n+3&#41;&#40;n+2&#41;&#40;n+1&#41;}{n} } = n+4[/...
 Peres  5
 Wydzielono z: Pare granic
Pozwolę se wrzucić jedno pytanie tutaj, żeby nie zakładać nowego tematu A ja se pozwolę to wyciąć. Dasio11[/color...
 vagabond_drv  4
 granice ciągów z sumą
\lim_{ n\to }\frac{3}{1^2 +2^2}+\frac{5}{2^2 ...
 mat1989  7
 granice ciagow - zadanie 154
Mam problem z przeksztalceniem granicy . Wyjsciowa wyglada tak: \lim_{ n\to \infty } \frac{ 2^{3n+2}+ 6^{n-2}+3 }{ 8^{n+2}+ 4^{n-1}+ 2^{2n+3} }=..... Ja doszedlem do takiej postaci i nie wiem co dalej prosilbym kogo...
 Fifty  2
 kilka trudniejszych granic - zadanie 2
Witam! Mam problem z obliczeniem kilku granic. Zacznijmy od takiej: \lim_{n \to \infty } \left&#40; \frac{n^{2} + 2}{2n^{2} + 1} \right&#41;^{n^{2}} Ukombinowałem się z tym trochę i nie wychodzi. Dopisałem do nawia...
 kkk  7
 Obliczyć granice ciągów liczbowych.
Obliczyć granice ciągów liczbowych: 1. \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt{&#40;n+1&#41;&#40;n+2&#41;&#40;n+3&#41;...&#40;n+n&#41;} 2. \lim_{n \...
 yamka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com