szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2009, o 00:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4831
Lokalizacja: Lozanna
W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}
Niech a_n i b_n będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \lim_{ n\to  \infty }a_n=a oraz \lim_{ n\to  \infty }b_n=b. Wtedy zachodzą poniższe równości:
\lim_{n  \to  \infty } (a_n+b_n)=a+b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n-b_n)=a-b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b
\lim_{n  \to  \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}
\lim_{n  \to  \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}
Jeśli a_n jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu b_n są ograniczone (to znaczy, istnieje stała M, taka że \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M) to:
\lim_{ n\to  \infty }a_n \cdot b_n=0.

\mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}
Niech a_n, b_n, c_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówności: a_n \le b_n \le c_n. Ponadto załóżmy, że granice ciągów a_n i c_n istnieją i są równe g. Wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n=g.

\mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}
Niech a_n, b_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówność: a_n \le b_n. Ponadto załóżmy, że \lim_{n\to  \infty } a_n= \infty, wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n= \infty.

\mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}
Jeśli a_n jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) a_n jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu a_n są ograniczone od góry,
to ciąg a_n jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\mbox{TW. 6}
Niech ciąg a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1,
(2) \lim_{n \to  \infty }  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1.
Wtedy \lim_{ n\to  \infty }a_n=0.

\mbox{TW. 7 (Stolza)}
Niech dany będzie ciąg a_n \rightarrow  \infty oraz dowolny ciąg b_n. Wtedy, jeśli: \lim_{ n\to  \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A, to:
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{b_n}{a_n}=A. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}
Niech a_n będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \lim_{ n\to  \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e. Gdzie e \approx 2.71828 jest liczbą Eulera.

\mbox{TW. 9}
Jeśli funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła w punkcie a, a ciąg a_n jest zbieżny do a, to: \lim_{ n\to  \infty }g(a_n)=g(a).

\mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}
\mbox{(1) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n}=0
\mbox{(2) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0
\mbox{(2') } \lim_{ n\to  \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0
\mbox{(3) } \lim_{ n\to  \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1
\mbox{(3') } \lim_{ n\to  \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1
\mbox{(4) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0
\mbox{(5) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{n} =1
\mbox{(6) } \lim_{ n\to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n  =e

\mbox{TW. 11}
Załóżmy, że ciąg a_n o niezerowych wyrazach spełnia: \lim_{n \to  \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g, wtedy \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}
Ukryta treść:    


\mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}
Ukryta treść:    



\mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}
Ukryta treść:    


\mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}
Ukryta treść:    


\mbox{5. }a_n= \left(  \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3
Ukryta treść:    


\mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}
Ukryta treść:    


\mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n
Ukryta treść:    



\mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n
Ukryta treść:    


\mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}
Ukryta treść:    



\mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}
Ukryta treść:    



\mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n} dla q>1, k>0
Ukryta treść:    



\mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!} dla dowolnego c>0
Ukryta treść:    



\mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}
Ukryta treść:    




\mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}
Ukryta treść:    



\mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}
Ukryta treść:    



\mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }
Ukryta treść:    



\mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n}  }
Ukryta treść:    



\mbox{20. }a_n= \left(  \frac{n+5}{n} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{21. }a_n= \left(  \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n}  \right)^n
Ukryta treść:    




\mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)
Ukryta treść:    



\mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}
Ukryta treść:    



\mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}
Ukryta treść:    



\mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)
Ukryta treść:    



\mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{28. }a_n=  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
Ukryta treść:    


\mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}
Ukryta treść:    


\mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}
Ukryta treść:    





Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 GRANICA CIĄGÓW kilka zadań
a). \lim_{ \to }\frac{ n^{3}-2n ^{2}-1}{-4n ^{3}-n+2} b). \lim_{ \to }\frac{&#40;n+1&#41; ^{5}+&#40;n+2&#41;^{5}+...+&#40;n+100&#41;^{5}}{n^{5}}[/te...
 monik-a4  2
 Kolejne granice ciągów...
Witam wszystkich, mam problem z następującymi granicami: 1. ( (n�+2)/(2n�+1) )^(n�) 2. Jak zabrać się do czegoś takiego : &#8730;(n + &#8730;n) - &#8730;(n - &#8730;n) Z góry dzieki za pomoc...
 Bober02  1
 granice ciągów - zadanie 108
Właśnie rozwiązuję przykłady z granic i do tej pory natrafiłem na te dwa, do których nie wiem jak podejść a_{n}= \frac{ \sqrt{ n^{2} +1} }{n} oraz a_{n}= \frac{3}{n} - \frac{10}{ \sqrt{n} }[/tex:3e7x...
 glab  6
 zbieznosc i granice ciagow
Zad 1. Znajdz ponizsze granice. Zastosuj twierdzenie o dwoch ciagach. a) \lim_{ n \to \infty } \frac{1-n ^{2} }{n-sin n} Zad 2. Uzasadnij zbieznosc ciagu. Zastosuj tw. o ciagu monotonicznym i ograniczonym. a) [tex:tzl5g...
 annoo  1
 granica ciągów - zadanie 10
\ \lim_{n\to\infty} \left \sqrt{n ^{4}+3n^{2}+2 } - \sqrt{n ^ {4} - n{2} \ = \lim_{ n\to \infty} \frac{n ^{4} +3n ^{2} +2 - n ^{4}-n ^{2} }{ \sqrt{n ^{4}+3n ^{2} +2} + \sqrt{n ^{4} -n ^{2} } } }[/tex:3i...
 czarnaja  7
 granice ciągów - zadanie 19
Witam, Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi jak rozwiązywać poniższe zadania? Prosiłabym o w miarę dokładne tłumaczenie, a nie tylko wynik:D próbowałam już rozwiązać je sama, ale niestety bezskutecznie... \lim_{n \to ...
 antalek  1
 granice ciągów - zadanie 83
do obliczenia taka granica: mysle ze to tw o 3 ciagach, ale nie jestem pewna co do całości 1. \sqrt{1+ 2 ^{n} + 3 ^{n+2} } a co do tej nie mam pomysłu... 2. \left&#40; 3 ^{n+1} + 2 ^{2n + 3} \right&#41...
 purblanca  7
 obliczyc granice ciągów.
WItam, musze obliczycz takie granice znam wzory ale nie umiem ich zastosowac moze ktos. a ja dojde do tego jak to ma byc? 1 ^{2} +2 ^{2}+...+n ^{2} = \frac{n&#40;n+1&#41; &#40;2n+1&#41;}{6} 1 ^{3}+2 ^{3}+.....
 darphus  2
 Zbadać monotoniczność następujących ciągów o wyrazach ogólny
a_{n}=\frac{1+2+3+...+n}{n^{2}}-\frac{n-1}{n} b_{n}=\frac{2}{\sqrt{n+3}} c_{n}[/tex:10b7me4...
 mn860618  2
 granice ciagów - zadanie 3
a_{n}=&#40;\frac{2n}{2n+3}&#41;^{-5n} a_{n}=&#40;\frac{2n+1}{2n+3}&#41;^{-5n} b_{n}=\sqrt&#40;\frac{2}{\prod}&#41;^{n}+&#40;\frac{2}{e}&#41;^{n} [tex:1coer9a...
 praptaszynka  5
 Obliczanie granic ciągów. - zadanie 3
....No to jeszcze raz... Za 3 Dni mam koło a nie pojmuję o co chodzi w tych przykładach , gdzie wychodzi 'e' z czymś tam... Proszę o sposób rozwiazania krok po krok...
 Anonymous  15
 Granice ciagów - zadanie 5
a_{n}= \frac{3+6+9+...+3n}{2 n^{2}+1 } Na kolokwium wyciągnąłem n przed nawias ale okazało sie ze to źle jest. Z góry dziękuje za pomoc. Później jeszcze kilka dodam....
 poczekaj  1
 Granice ciągów - zadanie 12
Wyznaczyć granice podanych ciągów: 1) \sqrt{n}&#40;ln&#40;n+2&#41;-ln n&#41; 2) \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \ldots ...
 Szczech  3
 Monotoniczność i granice ciągów, zbieżność szeregów
Witam jestem nowym użytkownikiem forum i chciałbym się przywitać z Wami i poprosić o pomoc . Czy mógłby mi ktoś rozwiązać te zadania za nie długo mam egzamin i babka powiedziała nam że zadania będą bardzo podobne , więc chciałbym mieć jakieś poprawni...
 Dawid327  2
 Granice ciągów - zadanie 34
Mam dwie prośby: 1. Czy może ktoś obliczyć tą granicę i bardzo bym prosił o rozpisanie tego: \lim_{ n\to } ...
 pawel.l89  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com