szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2009, o 00:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4621
Lokalizacja: Wrocław
W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}
Niech a_n i b_n będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \lim_{ n\to  \infty }a_n=a oraz \lim_{ n\to  \infty }b_n=b. Wtedy zachodzą poniższe równości:
\lim_{n  \to  \infty } (a_n+b_n)=a+b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n-b_n)=a-b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b
\lim_{n  \to  \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}
\lim_{n  \to  \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}
Jeśli a_n jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu b_n są ograniczone (to znaczy, istnieje stała M, taka że \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M) to:
\lim_{ n\to  \infty }a_n \cdot b_n=0.

\mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}
Niech a_n, b_n, c_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówności: a_n \le b_n \le c_n. Ponadto załóżmy, że granice ciągów a_n i c_n istnieją i są równe g. Wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n=g.

\mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}
Niech a_n, b_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówność: a_n \le b_n. Ponadto załóżmy, że \lim_{n\to  \infty } a_n= \infty, wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n= \infty.

\mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}
Jeśli a_n jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) a_n jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu a_n są ograniczone od góry,
to ciąg a_n jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\mbox{TW. 6}
Niech ciąg a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1,
(2) \lim_{n \to  \infty }  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1.
Wtedy \lim_{ n\to  \infty }a_n=0.

\mbox{TW. 7 (Stolza)}
Niech dany będzie ciąg a_n \rightarrow  \infty oraz dowolny ciąg b_n. Wtedy, jeśli: \lim_{ n\to  \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A, to:
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{b_n}{a_n}=A. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}
Niech a_n będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \lim_{ n\to  \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e. Gdzie e \approx 2.71828 jest liczbą Eulera.

\mbox{TW. 9}
Jeśli funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła w punkcie a, a ciąg a_n jest zbieżny do a, to: \lim_{ n\to  \infty }g(a_n)=g(a).

\mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}
\mbox{(1) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n}=0
\mbox{(2) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0
\mbox{(2') } \lim_{ n\to  \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0
\mbox{(3) } \lim_{ n\to  \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1
\mbox{(3') } \lim_{ n\to  \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1
\mbox{(4) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0
\mbox{(5) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{n} =1
\mbox{(6) } \lim_{ n\to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n  =e

\mbox{TW. 11}
Załóżmy, że ciąg a_n o niezerowych wyrazach spełnia: \lim_{n \to  \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g, wtedy \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}
Ukryta treść:    


\mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}
Ukryta treść:    



\mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}
Ukryta treść:    


\mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}
Ukryta treść:    


\mbox{5. }a_n= \left(  \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3
Ukryta treść:    


\mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}
Ukryta treść:    


\mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n
Ukryta treść:    



\mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n
Ukryta treść:    


\mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}
Ukryta treść:    



\mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}
Ukryta treść:    



\mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n} dla q>1, k>0
Ukryta treść:    



\mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!} dla dowolnego c>0
Ukryta treść:    



\mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}
Ukryta treść:    




\mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}
Ukryta treść:    



\mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}
Ukryta treść:    



\mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }
Ukryta treść:    



\mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n}  }
Ukryta treść:    



\mbox{20. }a_n= \left(  \frac{n+5}{n} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{21. }a_n= \left(  \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n}  \right)^n
Ukryta treść:    




\mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)
Ukryta treść:    



\mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}
Ukryta treść:    



\mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}
Ukryta treść:    



\mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)
Ukryta treść:    



\mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{28. }a_n=  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
Ukryta treść:    


\mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}
Ukryta treść:    


\mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}
Ukryta treść:    





Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granice 3 ciągów
1 Proszę o wskazanie, gdzie mam błąd. \lim_{n \to \infty } &#40;1- \frac{3}{n} &#41; ^{n} = \lim_{ n\to \infty } ^{-3} = e^{-3} 2 \lim_{n \to \infty } &#...
 Przemas O'Black  12
 granice ciągów - zadanie 39
problem z granicą tych ciągów 1) a_n = \frac{\log n^2 }{10n^2 +6n} 2)a_n = \frac{&#40;-1&#41;^n}{ n^2 +1} z góry więlkie dzięki za pomoc Zapoznaj się...
 lucas1851  0
 Zastosowanie ciągów
Zysk firmy w pierwszym miesiącu był równy 3000 zł, a w każdym następnym miesiącu zysk był wyższy o 10% w stosunku do zysku z poprzedniego miesiąca. Wartość zysku firmy w n-tym miesiącu opisuje wzór: a) 3000 + 0,1n b) [t...
 Kaef  1
 zbieżność ciągów - zadanie 8
Dzięki. ...
 BlueSky  4
 znajdź granicę ciągów
1. lim_{n\to\infty} \left&#40; \frac{2n+5}{4n-1} \right&#41; ^{2n+1} 2. lim_{n\to\infty} \left&#40;\frac{n ^{2}+1 }{n ^{2}+2 } \right&#41; ^{n+3} 3. lim_{n\to\infty} \left&...
 claudyncia  4
 Twierdzenie o arytmetyce granic
Proszę o pomoc w tych przykładach: Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oblicz granice ciągów: 1. a_{n} = \sqrt{2n-1} - \sqrt{n+7} 2. a_{n} = \frac{3 \cdot 2^{2n+1}-8 }{ 4^{n-1}+3 }[/tex:2iwc...
 nikola012  2
 Granice ciągów - zadanie 70
Witam Mam kilka granic do obliczenia 1. a_{n}=\frac{100^{n}}{n!} Tutaj kompletnie nie wiem jak sie do tego zabrac (nie wiem jak to rozpisac, a wiadomo ze wynik wyjdzie +nieskonczonosc) 2. a_{n}=\frac{&#40...
 makshh  0
 korzystajac z tw o granicach niewlaciwych ciagow oblicz
Dla \varepsilon&gt;0 nierówność \frac{1-&#40;n+1&#41;!}{n!+2} &lt; - \varepsilon jest równoważna z 1-&#40;n+1&#41;! &lt; - \varepsilon \left&#40; n!+2 \right&#41;[/tex:1e412gj...
 regis2405  3
 obliczyc granice ciągów - zadanie 2
Polecenie jak w temacie:D a&#41;a_{n}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{&#40;n-1&#41;*n} b&#41; a_{n}=&#40;\frac{n+3}{n}&#41;^{n^2+2n} po obliczeniach doszedłem do ...
 dyzzio  4
 Obliczyć granice ciągów - zadanie 20
kolos z matmy 1. obliczamy granice ciągów a. \lim_{n \to \infty}\left&#40; \frac{n+3}{n+1} \right&#41; ^{n} b. \lim_{ n\to \infty } \frac{5n^2-3n+2 }{1- n^2 } c. \l...
 Pawelko963  1
 Obliczyc granice ciagow - zadanie 4
an= \frac{2n-&#40;4n+1&#41;&#40;3-2n&#41;+47}{7+&#40;4-5n&#41; ^{2} +7n} an= \frac {5n+3}{5n-7} ^{2} Prosze o pomoc w rozwiazaniu tych ciagów...
 hastone  4
 sposoby opisywanie ciągów
1) Które wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a _{n}= \frac{n ^{2}-12n+20 }{3n-14}, n \in N _{+} są mniejsze od zera? 2) Które wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a _{n}= \frac{n ^{3}-n ^{2}-100n+100 }{2n+5}, n \in N ...
 mateps6  1
 monotonicznosc ciagow - zadanie 15
obliczyc monotonicznosc ciagu 3^{\frac14}...
 Agat56  5
 Granice ciągów - zadanie 50
zastanów się, który składnik sumy najszybciej rośnie...
 pc  12
 Wyznaczyć granicę ciągów owyrazach ogólnych a_n
Witam Bardzo prosze o rozwiazanie tych przykładów z rozpisaniem. Dziękuje. a_n=\sqrt{3^n+6^n+2^n} a_n=\sqrt{1+4^n+n^2} a_n=\sqrt{n-2} ...
 TSTS  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com