szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2009, o 00:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4621
Lokalizacja: Wrocław
W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}
Niech a_n i b_n będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \lim_{ n\to  \infty }a_n=a oraz \lim_{ n\to  \infty }b_n=b. Wtedy zachodzą poniższe równości:
\lim_{n  \to  \infty } (a_n+b_n)=a+b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n-b_n)=a-b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b
\lim_{n  \to  \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}
\lim_{n  \to  \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}
Jeśli a_n jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu b_n są ograniczone (to znaczy, istnieje stała M, taka że \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M) to:
\lim_{ n\to  \infty }a_n \cdot b_n=0.

\mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}
Niech a_n, b_n, c_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówności: a_n \le b_n \le c_n. Ponadto załóżmy, że granice ciągów a_n i c_n istnieją i są równe g. Wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n=g.

\mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}
Niech a_n, b_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówność: a_n \le b_n. Ponadto załóżmy, że \lim_{n\to  \infty } a_n= \infty, wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n= \infty.

\mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}
Jeśli a_n jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) a_n jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu a_n są ograniczone od góry,
to ciąg a_n jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\mbox{TW. 6}
Niech ciąg a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1,
(2) \lim_{n \to  \infty }  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1.
Wtedy \lim_{ n\to  \infty }a_n=0.

\mbox{TW. 7 (Stolza)}
Niech dany będzie ciąg a_n \rightarrow  \infty oraz dowolny ciąg b_n. Wtedy, jeśli: \lim_{ n\to  \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A, to:
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{b_n}{a_n}=A. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}
Niech a_n będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \lim_{ n\to  \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e. Gdzie e \approx 2.71828 jest liczbą Eulera.

\mbox{TW. 9}
Jeśli funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła w punkcie a, a ciąg a_n jest zbieżny do a, to: \lim_{ n\to  \infty }g(a_n)=g(a).

\mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}
\mbox{(1) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n}=0
\mbox{(2) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0
\mbox{(2') } \lim_{ n\to  \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0
\mbox{(3) } \lim_{ n\to  \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1
\mbox{(3') } \lim_{ n\to  \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1
\mbox{(4) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0
\mbox{(5) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{n} =1
\mbox{(6) } \lim_{ n\to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n  =e

\mbox{TW. 11}
Załóżmy, że ciąg a_n o niezerowych wyrazach spełnia: \lim_{n \to  \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g, wtedy \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}
Ukryta treść:    


\mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}
Ukryta treść:    



\mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}
Ukryta treść:    


\mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}
Ukryta treść:    


\mbox{5. }a_n= \left(  \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3
Ukryta treść:    


\mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}
Ukryta treść:    


\mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n
Ukryta treść:    



\mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n
Ukryta treść:    


\mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}
Ukryta treść:    



\mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}
Ukryta treść:    



\mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n} dla q>1, k>0
Ukryta treść:    



\mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!} dla dowolnego c>0
Ukryta treść:    



\mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}
Ukryta treść:    




\mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}
Ukryta treść:    



\mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}
Ukryta treść:    



\mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }
Ukryta treść:    



\mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n}  }
Ukryta treść:    



\mbox{20. }a_n= \left(  \frac{n+5}{n} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{21. }a_n= \left(  \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n}  \right)^n
Ukryta treść:    




\mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)
Ukryta treść:    



\mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}
Ukryta treść:    



\mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}
Ukryta treść:    



\mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)
Ukryta treść:    



\mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{28. }a_n=  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
Ukryta treść:    


\mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}
Ukryta treść:    


\mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}
Ukryta treść:    





Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć punkty skupienia ciągów
znaleźć punkty skupienia: \sqrt{2^{n}+&#40;-3&#41;^{n}} oraz \sqrt{3^{n}+&#40;-2&#41;&#41;^{n}} w tym przypadku należy pewnie standardowo wyłączyć 3 przed pierwiastek... hmm ale co z...
 Mateman  5
 Granice ciągów rekurencyjnych
Witam, Pomyślmy teoretycznie o liczeniu granicy ciągu rekurencyjnego. np. a_1 = 5 a_{n+1} = \frac{1}{2} &#40;a_n + \frac{5}{a_n}&#41; I teraz pewnie każdy powie, napisz: g = \f...
 matinf  6
 Obliczyc granice ciągów - zadanie 3
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ n^{2} +3n}cosn...
 alo91  1
 Granice ciągów kilka przykładów
z1. Oblicz granicę ciągów. a) a _{n} = \frac{1+2+2 ^{2}+...+2 ^{n} }{2 ^{n} } b) b _{n} = \frac{n!&#40;n+1&#41;!}{&#40;n-1&#41;!&#40;n+2&#41;!} c) c _{n} = \frac{]{n+...
 Eqauzm  1
 Granice ciągów (badanie zbieżności)
Zadanie - zbadać zbieżność ciągu (podać granicę) 1. b_{n}= \sqrt{ n^{2} + 2n } - n 2. c_{n}= \sqrt{ \frac{ &#40;-1&#41;^{n} }{n} + 3n } 3. d_{n}= \sqrt{ \frac{2}{ 3^{...
 MXPX  21
 2 granice ciągów - zadanie 3
1.Podziel licznik i mianownik przez 4^n 2. Ta granica to x \rightarrow ? ...
 TheMateusz  3
 Zadania z granic..
Witam, bardzo prosze o pomoc przy zadaniach poniżej, kompletnie nie wiem jak sie za nie zabrac.. 1.\lim_{n \to \infty } &#40; \frac{2n+3}{2n+1} &#41; ^{n+3} 2.\lim_{n \to \infty } \sqrt{ \pi ^{n} +e ...
 larryxz  3
 Granice ciągów - zadanie 194
C_{n}= \frac{- n^{3}+1 }{2n+5} = \frac{- n^{3}&#40;1+ \frac{1}{ n^{3} } &#41; }{-n ^{3}&#40; \frac{2n}{-n^{3} }+ \frac{5}{-n ^{3} }&#41; } = \frac{1}{0} = - \infty Czy te obliczenia są dobrze? I dlaczego ma wyjść [tex...
 LoQ  3
 oblicz granice ciagów-sprawdzenie
Prosze o sprawdzenie moich obliczen: 1) \lim_{n \to \infty } =3^{-n}&#40;2^{n}+&#40;-2&#41;^{n}&#41;=\lim_{n \to \infty } \frac{2 ^{2} }{3 ^{n} } + \frac{&#40;-2&#41; ^{n} }{ 3^{n} } =\lim_{n \to \infty } \frac{2 ^{2} }{3 ^{n} } -\...
 kojak  1
 7 granic ciągów do rozwiązania
Witam serdecznie. Rozwiązując przykłady z granic ciągów natrafiłem na 5 takich, których nie wiem porostu jak rozwiązać. Proszę i szybką pomoc i pozdrawiam mądrzejsze głowy. Oto te przyklady: Obliczyc granice ciągów o wyrazie ogólnym ...
 Jackas  3
 granica ciągów-twierdzenie 3 ciągów
Witam, mam takie zadanie \lim_{n \to \infty } \frac{ 4^{n} +1}{ 5^{n} } \arctg n Mam pytanie czy a_{n} ma być ograniczone 0 \le a _{n} \le \frac{ \pi }{2} czy ...
 ewka0009  1
 Twierdzenie o trzech ciągach i znajdowanie granic
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice: 1. \lim_{n \to \infty} \frac{ }{n} 2. \lim_{n \to \infty} \frac{2 ^{n} sin&#40;n&#41;}{3 ^{n}+1} 3. \li...
 Tomek_Z  2
 Granice ciągów - zadanie 178
Witam mam problem z paroma granicami: a) \lim_{n\to\infty}\arccot \frac{1}{\sqrt{2n^{2}+1}-\sqrt{2n^{2}-1}} Pomnożyłem to przez sprzężenie mianownika i otrzymałem po uproszczeniach: \lim_{n\to\infty}\ar...
 Iskath  3
 granice ciagow - zadanie 14
obliczyc granice ciagow: \lim_{n \to \infty } \sqrt{2} \sqrt{2}... \sqrt{2} \lim_{n\to \infty } \left&#40; \frac{1}{ n^{2}}+ \frac{2}{ n^{2}}+...+\frac{n-1}{ n^{2}} \right&#41;...
 >>someone<<  6
 Granice ciągów - zadanie 72
Podajcie jakieś całe rozwiązania z odpowiednimi zapisami, najlepiej dobre . Chce sprawdzić czy to wreszcie pojęłam a_{n}= \sqrt{ 100^{2}- \left&#4...
 foxtrot49  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com