szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2009, o 23:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4623
Lokalizacja: Wrocław
W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}
Niech a_n i b_n będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \lim_{ n\to  \infty }a_n=a oraz \lim_{ n\to  \infty }b_n=b. Wtedy zachodzą poniższe równości:
\lim_{n  \to  \infty } (a_n+b_n)=a+b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n-b_n)=a-b
\lim_{n  \to  \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b
\lim_{n  \to  \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}
\lim_{n  \to  \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}
Jeśli a_n jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu b_n są ograniczone (to znaczy, istnieje stała M, taka że \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M) to:
\lim_{ n\to  \infty }a_n \cdot b_n=0.

\mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}
Niech a_n, b_n, c_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówności: a_n \le b_n \le c_n. Ponadto załóżmy, że granice ciągów a_n i c_n istnieją i są równe g. Wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n=g.

\mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}
Niech a_n, b_n będą ciągami, które dla odpowiednio dużych n spełniają nierówność: a_n \le b_n. Ponadto załóżmy, że \lim_{n\to  \infty } a_n= \infty, wtedy również \lim_{n \to  \infty }b_n= \infty.

\mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}
Jeśli a_n jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) a_n jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu a_n są ograniczone od góry,
to ciąg a_n jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\mbox{TW. 6}
Niech ciąg a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1,
(2) \lim_{n \to  \infty }  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1.
Wtedy \lim_{ n\to  \infty }a_n=0.

\mbox{TW. 7 (Stolza)}
Niech dany będzie ciąg a_n \rightarrow  \infty oraz dowolny ciąg b_n. Wtedy, jeśli: \lim_{ n\to  \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A, to:
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{b_n}{a_n}=A. Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}
Niech a_n będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \lim_{ n\to  \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e. Gdzie e \approx 2.71828 jest liczbą Eulera.

\mbox{TW. 9}
Jeśli funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła w punkcie a, a ciąg a_n jest zbieżny do a, to: \lim_{ n\to  \infty }g(a_n)=g(a).

\mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}
\mbox{(1) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n}=0
\mbox{(2) } \lim_{ n\to  \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0
\mbox{(2') } \lim_{ n\to  \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0
\mbox{(3) } \lim_{ n\to  \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1
\mbox{(3') } \lim_{ n\to  \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1
\mbox{(4) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0
\mbox{(5) } \lim_{ n\to  \infty }  \sqrt[n]{n} =1
\mbox{(6) } \lim_{ n\to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n  =e

\mbox{TW. 11}
Załóżmy, że ciąg a_n o niezerowych wyrazach spełnia: \lim_{n \to  \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g, wtedy \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}
Ukryta treść:    


\mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}
Ukryta treść:    



\mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}
Ukryta treść:    


\mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}
Ukryta treść:    


\mbox{5. }a_n= \left(  \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3
Ukryta treść:    


\mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}
Ukryta treść:    


\mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n
Ukryta treść:    



\mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n
Ukryta treść:    


\mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}
Ukryta treść:    



\mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}
Ukryta treść:    



\mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n} dla q>1, k>0
Ukryta treść:    



\mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!} dla dowolnego c>0
Ukryta treść:    



\mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}
Ukryta treść:    




\mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}
Ukryta treść:    



\mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}
Ukryta treść:    



\mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }
Ukryta treść:    



\mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n}  }
Ukryta treść:    



\mbox{20. }a_n= \left(  \frac{n+5}{n} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{21. }a_n= \left(  \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Ukryta treść:    


\mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n}  \right)^n
Ukryta treść:    




\mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)
Ukryta treść:    



\mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}
Ukryta treść:    



\mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}
Ukryta treść:    



\mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)
Ukryta treść:    



\mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n
Ukryta treść:    


\mbox{28. }a_n=  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
Ukryta treść:    


\mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}
Ukryta treść:    


\mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}
Ukryta treść:    





Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Znaleść granice ciągów
\large \lim_{n +\infty}&#40;\frac{1+2n^3}{1+3n^3}&#41;^{2n^3+5} \large \lim_{n ...
 rubo  18
 granice ciągów - zadanie 11
Mam problem z takimi przykładami. Proszę o pomoc w obliczeniu granicy a) u_{n} = &#40;1- \frac {4}{n}&#41;^{-n+3} b) u_{n} = \sqrt {n+ \sqrt n} - \sqrt {n - \sqrt n} c) u_{n} = \...
 aina1000  3
 granice ciagow
oblicz granice: 11.7) a_{n} = \frac{1}\sqrt{n} arctg \frac{\sqrt{{3}}{n!}}}{5^{n}} 11.21) a_{n}= sin \sqrt{n+1} - sin \sqrt{n}...
 casusrad  1
 Granica za pomocą trzech ciągów
Oblicz granicę za pomocą twierdzenia o trzech ciągach: \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{sin\frac{1}{n}}...
 Calasilyar  7
 Granice ciągów - zadanie 5
a) a_n=\sqrt{3^{2n}-2^n +1} b) a_n=&#40;\frac{n^2 + 1}{n^2-3}&#41;^{\frac{n^2}{2} +1} c) a_n=\sqrt{n}&#40;\sqrt{n+2}-\sqrt{n}&#41; Wiadomo o co chodzi ...
 Marcin511  2
 Granice ciągów - zadanie 14
Jak obliczyć te granice: 1) x_{n + 1} = \frac{{x_n }}{4} - 2,x_1 = 5 2) x_{n + 1} = \frac{{ - x_n }}{3} - 2,x_1 = 5 3) x_{n + 1} = \sqrt {x_n } ,x_1 = a > 0...
 lalus_87  5
 granice ciągów - zadanie 23
Nie potrafię obliczyć takich granic: u_{n}=&#40;\frac {n^{2}+2}{2n^{2}+1}&#41;^{n}^{2} \\ \\ u_{n}=\sqrt {n^{10}-2n^{2}+2 } Wg odpowiedzi w drugim wychodzi 1 co mnie dość dziwi......
 revell  5
 Granice ciągów, zbieżność szeregów
Witam! To mój pierwszy temat na tym forum i zarazem początki maty z prawdziwego zdarzenia Mam problem z tymi zada...
 supermario82  8
 granice ciągów - zadanie 16
\lim_{n\to } sin&#40;\pi \sqrt{n^{2}+n}&#41; \lim_{n\to ...
 grzegorz87  6
 Przykłady granic
Prosiłbym o przykłady do obliczenia granic ciągu z pierwiastkami trzeciego stopnia ...
 Tys  3
 Obliczyć granicę ciągów - zadanie 2
a_{n}=n \sin&#40;\pi- \frac{\pi}{n} &#41; b _{n}= \frac{\sin \frac{4}{n ^{3} } }{tg \frac{3}{n ^{4} } }[/tex:307xtg...
 Asiuk  1
 monotonicznosc ciagow
mam problem z obliczeniem monotonicznosci An=n+1 / n+3 i drugi An= 2n / n+3 prosze mam zaliczenie z matmy a nie umie tego zrobic a_{n}= \frac{n+1}{n+3} a_{n}= \frac{2n}{n+3} kurde nie wiem jak sie robi te ulamki an= i tam jest...
 mateusz19875  8
 przykłady ciągów rosnących
Podaj przykład ciągów rosnących &#40;a_{n}&#41; i &#40;b_{n}&#41; takich, że ciąg &#40;c_{n}&#41; określony wzorem c_{n}=a_{n}\cdot b_{n}[/tex:3kt5q1...
 satek007  1
 Sumy ciągów - zadanie 2
Witam. mam ogromny kłopot z liczeniem podanych niżej sum. nigdy tego nie robiłem i nie wiem jak sie za to zabrac mimo przegladania roznych rozwiazanych przykladow. Potrzebuje szybko nabyc ta umiejetnosc bo jest mi potrzebna przy liczeniu prawdopodobi...
 daniel488  11
 Obliczanie granic ciągów.
Mam kolo za tydzien i nic nie wiem z ciagow mam takie 3 zadania 1.Wyznacz granice ciagu a)an=2+3+4+...+n/3n-1 b)an=sqrt(3n2)-n*sqrt(3) c)an=+3 Prosze niech mi ktos napisze co sie skad bierze albo jakies linki g...
 Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com