szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: xxx
\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+\frac{3}{n^{2}+3}+...\frac{n}{n^{2}+n})

Ja to zrobiłem jak ciąg geometryczny- z wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego- wyszło mi jedna dróga, chyba dobry wynik ale nie wiem, czy tak można???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Warszawa
Granica to 0, bo granica każdego ze składników jest równa zero... I to nie jest ciąg geometryczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Reaper - a z czego wyciągnąłeś wniosek o ciągu geometrycznym?
Czesio - popatrz na taki przykład :\lim_{ n \to \infty} ( 1+ \frac{1}{n})^n. Czyli składniki to (1+ \frac{1}{n}) . Granica każdego składnika jest równa 1, a przecież granica tego wyrażenia nie jest równa 1, bo \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n})^n =e.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 82
Lokalizacja: Konstantynopol
Tristan - chyba
\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n bo to co napisales rozbiega do nieskończoności, jak zresztą i sam składnik (czy też raczej czynnik :P)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 959
Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
Tristan - już miałem pisać czy aby na pewno granicą tego "składnika", czyli u Ciebie czynnika raczej, jest aby na pewno równa 1 :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:49 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Warszawa
masz racje, mój błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 82
Lokalizacja: Konstantynopol
Spróbujmy może oszacować sumę;
każdy składnik szacujemy
\frac{k}{n^2+n}\leq\frac{k}{n^2+k}\leq\frac{k}{n^2}
oraz sumujemy dolne i górne ograniczenie:
\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+n} =  \frac{1}{n^2+n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2(n^2+n)}=\frac{1}{2}
\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k =\frac{n^2+n}{2n^2} \longrightarrow_{n \to \infty} \frac{1}{2}

a skoro oszacowanie dolne i górne zbiegają do 1/2 to i wyrażenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 17:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 299
Lokalizacja: wwa
moge dac podobny przykład:



\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}=\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+(n-1)}+\frac{n}{n^2+n})

niech a_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i},
zauważ, że \frac{n}{n^2+n} jest najmniejszym skladnikiem sumy,
utwórzmy więc podciąg a_{n}'=n(\frac{n}{n^2+n})=\frac{n^2}{n^2+n},
oraz drugi podciąga_{n}''=\frac{n^2}{n^2+1} który jest iloczynem n-razy największy składnik sumy a_n czyli \frac{n}{n^2+1}
zauważmy, że:

\forall_{n \in \mathbb{N^{+}}} \;\;\;a_{n}' \leq a_n \leq a_{n}''

i dalej :\lim_{n\to\infty}a_n'=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1

oraz: \lim_{n\to\infty}a_{n}''=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}=1

teraz na podstawie tw. o trzech ciągach mamy że \lim_{n\to\infty}a_n=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2006, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: xxx
dzięki za pomoc.
A wniosek o ciągu geometrycznym wyciągnąłem z desperacji.
Wynik znałem pon. zobaczyłem co wyjdzie, jak założe, że mianownik we wszystkich jest taki sam t.j. najmniejszy i wyszło jedna dróga, a później dla największego. Tyle, że pomyślałem, że to takie zgadywanie i musi być jakiś sposób ze wzorem który się ładnie skraca. Cieszy mnie, że nie byłem kompletnie odległy od prawidłowego rozwiązania.

Pozdrowienia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie granicy.  Anonymous  8
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=(3n + 1)/n^2  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com