szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2009, o 11:08 
Użytkownik

Posty: 200
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Równanie z warsztatów Staszica:
Wyznacz wszystkie funkcje f:R \rightarrow R spełniające dla dowolnych x,y \in R równanie:
xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)
Pzdr
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2009, o 15:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 526
Lokalizacja: Rzeszów
Moje soluszyn:

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2009, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 200
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
W sumie wrzuciłem to zadanie dlatego, że miałem duży problem z podsumowaniem wzorów funkcji, pomimo szybkiego, pięciominutowego rozwiązania - kluczowe jest tu oczywiście słowo "wszystkie", o którym ja zapomniałem i wychodziły mi sprzeczności xD.
Utknąłem ponownie, tym razem na innym zadaniu:
Znajdź wszystkie funkcje monotoniczne f:R \rightarrow R spełniające dla dowolnych x,y \in R równanie:
f(x)+f(y)=f(x+y)
Wpadłem na pomysł, jaka to może być postać funkcji
Ukryta treść:    
, ale nie wiem jak to udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2009, o 23:22 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Podpowiedź:
Zwykle równanie Cauchy'ego rozwiązuje się przy założeniu o ciągłości funkcji udowadniając wpierw dla liczb wymiernych, ale tu monotoniczność w zupełności wystarczy.
Udowodnij najpierw dla naturalnych f(x)=f(1)x, potem dla wymiernych (dowód z pewnością jest gdzieś na forum...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
każde z poniższych ograniczeń nałożonych na funkcję spełniającą f(x+y)=f(x)+f(y) implikuje jej liniowość:
1) ciągłość
2) ciągłość w jednym punkcie
3) monotoniczność
4) ograniczoność z góry na pewnym przedziale
5) to samo z dołu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 17:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 526
Lokalizacja: Rzeszów
Dumel, wiesz może czy robiąc zadanie na OMie, doprowadzę równanie funkcyjne do postaci takiej jak powyższa, mając któreśtam ograniczenie, mogę po prostu napisać "czyli funkcja jest liniowa" czy muszę to dowodzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
nie mam pojęcia. 1) i 3) są na tyle proste że lepiej te dowody poprostu znać
2), 4) i 5) raczej po podaniu źródła, tym bardziej że nie są to jakieś super znane własności. sam z resztą nie znam tych dowodów tylko wiem że tak jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 21:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
2) jest przecież natychmiastową konsekwencją 1), jeśli bowiem f jest ciągła w a, to dla dowolnego x i ciągu x_{n}\to x, mamy x_{n} - x + a\to a i z ciągłości f w a dostajemy f(x_{n} - x + a)\to f(a) a stąd f(x_{n})\to f(x).

Jeszcze można by było dodać:
6) Mierzalność w sensie Lebesgue'a,
chociaż raczej w ramach ciekawostki.
(zdziwiłbym się gdyby się to komuś przydało do zrobienia zadania z OM)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 200
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Dumel napisał(a):
każde z poniższych ograniczeń nałożonych na funkcję spełniającą f(x+y)=f(x)+f(y) implikuje jej liniowość:
1) ciągłość
2) ciągłość w jednym punkcie
3) monotoniczność
4) ograniczoność z góry na pewnym przedziale
5) to samo z dołu

Hmm... a mógłbyś przedstawić albo chociaż naświetlić, dlaczego, kiedy funkcja dana tu w treści jest monotoniczna, to jest liniowa?
Pzdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2009, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
nic trudnego, jak masz już wzór dla wymiernych to do niewymiernych przechodzisz tak:
(możemy sobie założyć że jest niemalejąca bo pomnożenie funkcji przez -1 nic nie zmienia)
weźmy sobie liczbę niewymierną x i dowolny rosnący ciąg liczb wymiernych q_n \to x i malejący Q_n \to x
z monotoniczności aq_i=f(q_i) \le f(x)  \le f(Q_j)=aQ_j
aq_i \to ax i aQ_j \to ax więc f(x)=ax
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2009, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 200
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Teraz już rozumiem, faktycznie nie jest to trudne :)
Pzdr
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Równania funkcyjne] Ciekawe równanie funkcyjne  pawelsuz  1
 [Równania funkcyjne] Ciekawe równanie funkcyjne - zadanie 3  jerzozwierz  4
 [Teoria liczb] Równanie w naturalnych z Pawłowskiego  Linka  7
 [Równania funkcyjne] Łatwy, ale ładny wietnam 2000  _el_doopa  8
 [Równania] Udowodnij równość. X OM. Cecha.  Zlodiej  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com