szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2009, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Łódź
Klasa licząca 30 uczniów otrzymała na sprawdzianie oceny 2,3,4,5. Suma otrzymanych ocen wynosiła 93, przy czym trójek było więcej niż piątek i mniej niż czwórek. Natomiast liczba czwórek była podzielna przez 10, a liczba piątek była parzysta. Ile było poszczególnych ocen?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2009, o 12:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8636
Lokalizacja: Gdańsk
Mamy układ równań:
\begin{cases} a+b+c+d=30 \\ 2a+3b+4c+5d=93\\ a,b,c,d \ge 0 \end{cases}
gdzie:
a- ilość dwój
b- ilość trój
c- ilość czwór
d-ilość piątek

Wiemy, że:
Cytuj:
trójek było (...) mniej niż czwórek

czyli: c>0, bo gdyby c=0 (liczba czwórek wynosiłaby 0), to l. trójek byłaby ujemna.
oraz:
Cytuj:
liczba czwórek była podzielna przez 10

Zatem 10 dzieli c.
Stąd wnioskujemy, że c=10 (bo gdyby wynosiło więcej to układ byłby sprzeczny).

Podstawiając do układu mamy:
\begin{cases} a+b+10+d=30 \\ 2a+3b+40+5d=93\\ a,b,c,d \ge 0 \end{cases} \equiv \begin{cases} a+b+d=20 \\ 2a+3b+5d=53\\ a,b,c,d \ge 0 \end{cases}
Od 2. równania odejmujemy dwukrotność pierwszego:
\begin{cases} a+b+d=20 \\ b+3d=13\\ a,b,c,d \ge 0 \end{cases}
Z 2. równości mamy:
d= \frac{13-b}{3}
wiemy jeszcze, że d jest parzyste (jest podzielne przez 2), czyli:
\frac{d}{2}= \frac{13-b}{6} \in \mathbb{N}
stąd od razu widzimy, że aby podzielność zachodziła mamy możliwości:
b=1 \quad  \vee \quad b=7 \quad  \vee \quad b=13
ostatnią możliwość odrzucamy, bo podane jest, że:
Cytuj:
przy czym trójek było więcej niż piątek i mniej niż czwórek.

a ustaliliśmy, że c=10.

d= \frac{13-b}{3}, zatem:
\begin{cases} b=1 \\ d=4 \end{cases} \quad  \vee \quad  \begin{cases} b=7 \\ d=2 \end{cases}
Teraz wracamy do układu:
\begin{cases} a+b+d=20 \\ b=1 \\ d=4  \end{cases} \quad  \vee \quad \begin{cases} a+b+d=20 \\ b=7 \\ d=2  \end{cases}
I otrzymujemy (zestawiając wszystkie wyniki):
\begin{cases} a=15 \\ b=1 \\ c=10 \\ d=4  \end{cases} \quad  \vee \quad \begin{cases} a=11 \\ b=7 \\ c=10 \\ d=2  \end{cases}
Aha, ale trójek było więcej niż piątek czyli jeden z układów odpada (można było wcześniej to zauważyć, ale, że nie mam papieru pod ręką, to mi się nie udało :P ) i otrzymujemy wynik:
\begin{cases} a=11 \\ b=7 \\ c=10 \\ d=2  \end{cases}


Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Spójność oceny - obliczenia  Compiler  0
 Oceny uczniów  wiking126p  1
 Prędkość, droga, czas ; jakie oceny  suchyy3006  2
 Oceny.  manhatan  1
 Oceny (a,b,c,d)  kyzior  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com