szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2010, o 01:31 
Użytkownik

Posty: 131
Lokalizacja: Wrocław
Mam takie zadanko:


A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&-2\\-2&0&-1\end{array}\right]

a)Wyznaczyć wektor własny (lub liniowo niezależne wektory własne - w zależności od
sytuacji) odpowiadające wartości własnej \delta = 1. Jaki jest wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej =1 macierzy A?

b)Znaleźć pozostałe wartości własne macierzy A.

c)Czy macierz A jest diagonalizowalna? Odpowiedź uzasadnij.

Ad. a)
Na podstawie wzoru Ax-\delta x=0
A=\left[\begin{array}{ccc}x_1& & \\-2x_1&+x_2&-2x_3\\-2x_1& &-1x_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]

0=0
-2x_1-2x_3=0\\
-2x_1-2x_3=0
Zatem
x_1=-x_3
Więc wektor własny wynosi:
\left[\begin{array}{c}-x_3\\0\\x_3\end{array}\right]
Wymiar podprzestrzeni własnej wynosi 1 i jest postaci W_1=\{(-1,0,1)\}

Ad. b)

\delta_1=\delta_2=1\\
\delta_3=-1

Ad. c)Macierz jest diagonalizowalna, bo można ja sprowadzić do postaci przekątniowej, gdzie na jej przekątnej będą wartości własne.'

Czy to zadanie jest dobrze zrobione? I co oznacza "Wyznaczyć wektor własny (lub liniowo niezależne wektory własne - w zależności od sytuacji"? Jaka to mogłaby być sytuacja?
Proszę o pomoc:)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2010, o 01:55 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Gdańsk
nie za bardzo, od MAcierzy A odejmujesz wektor jednostkowy \lambda i liczysz z tego wyznacnzik. Zera wielomianu wyznacznika są wartościami własnymi...
det(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda&0&0\\
-2&1-\lambda&-2\\
-2&0&1-\lambda
\end{array}\right|=
z wyznacznika powyżej dostajesz wielomian. JAk już pisałem jego pierwiastkami są wartości własne, aby policzyćwektory własne liczysz trzy równania:
A-\lambda_i=0, i=1,2,3
i dostajesz 3 wektory własne, które stanowią bazę
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2010, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 131
Lokalizacja: Wrocław
mestali napisał(a):
nie za bardzo, od MAcierzy A odejmujesz wektor jednostkowy \lambda i liczysz z tego wyznacnzik. Zera wielomianu wyznacznika są wartościami własnymi...
det(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda&0&0\\
-2&1-\lambda&-2\\
-2&0&1-\lambda
\end{array}\right|=
z wyznacznika powyżej dostajesz wielomian. JAk już pisałem jego pierwiastkami są wartości własne, aby policzyćwektory własne liczysz trzy równania:
A-\lambda_i=0, i=1,2,3
i dostajesz 3 wektory własne, które stanowią bazę



No tak, ale w podpunkcie a) mamy podaną już jedną wartość własną i wynosi 1 i mamy podać jeden wektor własny. Więc do wyznaczenia wektora własnego przez daną wartość wystarczy Ax-\lambda x=0. W podpukcie b zastosowałem ten wzór i takie pierwiastki mi wyszły jakie podałem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wektory i wartości własne macierzy  radeon_231  3
 wektory i wartości własne macierzy - zadanie 3  matticzer  4
 Wektory i wartości własne macierzy - zadanie 4  transistor152  2
 norma macierzy  Anonymous  2
 postać diagonalna macierzy  przemo_c  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com