szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Zbiory spójne.
PostNapisane: 8 sty 2010, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 114
Które z poniższych zbiorów są spójne z metryką euklidesową lub z metryką "rzeka"?

1.\mathbb{R} \times \mathbb{Q}  \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{R}
2.\mathbb{R} \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q})  \cup (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times \mathbb{R}
3.\mathbb{Q} \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q})  \cup (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times \mathbb{Q}
4.(\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}
?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiory spójne.
PostNapisane: 28 maja 2010, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 239
Lokalizacja: Wejherowo
---

-- 30 maja 2010, o 10:49 --

Napiszę może co w tej sprawie udało m się zaobserwować.

Niech Z\subset X. Gdy zbiór Z nie jest spójny w X, to istnieją niepuste, rozłączne zbiory U_1,V_1 otwarte w Z takie, że U_1\cup V_1=Z.

Wtedy U_1=U\cap Z, V_1=V\cap Z dla pewnych zbiorów U, V otwartych w X. Stąd
U\cap V\cap Z=\emptyset oraz Z\subset U\cap V.

W ogólnym przypadku zbiory U, V nie muszą być rozłączne, ale gdy Z jest zbiorem gęstym, to takie są, bo zbiór gęsty przecina każdy niepusty zbiór otwarty.

Jeśli dodatkowo X jest przestrzenią spójną, to U\cup V\neq X, bo w przeciwnym razie mielibyśmy rozkład zbioru X na dwa niepuste, otwarte i rozłączne zbiory.

Teraz jedynie napiszę, że X=\mathbb R^2, a za Z można przyjąć każdy ze zbiorów z zadania

-- 30 maja 2010, o 10:54 --

knrt napisał(a):
W ogólnym przypadku zbiory U, V nie muszą być rozłączne, ale gdy Z jest zbiorem gęstym, to takie są, bo zbiór gęsty przecina każdy niepusty zbiór otwarty.


Myślę o iloczynie U\cap V. To ten zbiór miałby przecinać zbiór gęsty Z

-- 30 maja 2010, o 11:06 --

Iloczyn kartezjański przestrzeni spójnych jest przestrzenią spóną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te przestrzenie są spójne stąd żadne ze składników sum nie są spójne, bo zbiory Q, \mathbb R\setminus Q nie są spójne. Ale tu mamy sumy zbiorów niespójnych i te już mogą być spójne.

-- 30 maja 2010, o 11:09 --

knrt napisał(a):
---
Ale tu mamy sumy zbiorów niespójnych i te już mogą być spójne.


Powinienem napisać sumy zbiorów, które mogą być niespójne, bo nie wiem czy są spójne, czy nie.

-- 30 maja 2010, o 19:46 --

E=\mathbb R \times\mathbb Q jest niespójny, bo zbiory A=\mathbb R\times(-\infty,\pi),B=\mathbb R\times(\pi,\infty) są niepuste otwarte rozłączne i takie, że (E\cap A)\cup (E\cap B)=E
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory zwarte, spójne - 6 dowodów
1) Jeśli A_{1} A_{2} \subset X są zwarte to A_{1}\cup A_{2} też. 2) (X,d) zwarta i [tex:1oska8i...
 natalia.gl  4
 Zbiory zupełne.
Mam problem z zadaniem i prosze o pomoc!! Udowodnij że: 1. Domknięte podzbiory zbiorów zupełnych są zupełne. 2. Każdy zbiór zupełny jest zbiorem domkniętym. 3. W przestrzeni Hilberta, niepusty podzbiór jest zupełny wtedy i tylko wtedy jeśli jest do...
 ladybird  1
 zbiory wypukłe - zadanie 2
Witam. Dowolny podzbiór C przestrzeni R ^{n} jest spójny. Poda mi ktos przyklad podzbioru R ^{2}, który jest spójny ale nie jest wypukły? Szybko ...
 elodymek  1
 ciągłość zbiory rozłączne
Wskazać dla ustalonych f,g : X \rightarrow R ciągłych takich, że zbiory A=f ^{-1}(0), B=g ^{-1}(0) są rozłączną funkcją ciągłą h : X ...
 aniess85  1
 Zbiory regularnie otwarte.
Potrzebuje informacji o zbiorze regularnie otwartym. Jeżeli ktos zna źródło w ktorym mozna te informacje znaleźć to prosiłbym o podanie. Z góry dziekuje...
 tobii  2
 Przestrzenie zwarte i spójne - zadanie 6
Nie wiem jak zrobić to zadanie. Udowodnij, że produkt kartezjański dwóch metrycznych przestrzeni zwartych i spójnych jest przestrzenią zwartą i spójną....
 pavel232  1
 Zbiory spójne, brzegowe, zwarte, domknięte, otwarte...
Mam kilka takich pytań na które nie do końca wiem jak odpowiedzieć. 1. Czy w przestrzeni metrycznej zupełnej zbiór I kategorii jest zbiorem brzegowym? 2. Czy w metryce dyskretnej zbiór liczb wymiernych jest w sobie gęsty? 3. Czy w dowolnej [tex:3779...
 mariolka0303  5
 zbiory Zwarte - zadanie 2
Udowodnić, że a) \mathbb{R} ^{n} nie jest zwarty b) podzbiory otwarte (przedziały) w \mathbb{R} ^{1} nie są zwarte Dzięki...
 x88x  2
 Przestrzenie zwarte i spójne - zadanie 5
Wskazać przykład dwóch podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej odpowiednio bedącego oraz nie będącego zbiorem zwartym ( odpowiednio spójnym)...
 kasiczka15m  4
 Czy zbiory są oddalone
Czy zbiory są od siebie oddalone? A = \left\{ - \frac{1}{n}: n \in N \right\} B = \left \{1 - \frac{1}{n}: n \in N \right\} Czy słusznie myślę, że nie są? Do domknięcia A[/tex:...
 PannaTrefl  1
 Zbiory domknięto - otwarte - zadanie 2
Mam pytanie często udowadniając spójność zbioru npR robi się to nie wprost, czyli zakłada się istnienie takich rozłącznych, niepustych zbiorów, domkniętych, że A \cup B = R. Można nawet założy...
 plamaster  4
 zbiory otwarte domkniete i Fr
Witam! Czy ktoś mógłby mii pomóc z tym zadaniem? Znaleźć Cl(A), Int(A) i Fr(A) A= \left\{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{m} \right) ; n,m \in \m...
 karolinaef  4
 Zwartość, zbiory algebraiczne
Które z zbiorów są zwarte w R^{2} : 1. 2. ^{2} 3. \{ (0,0),(1,2),(3,4) \} 4. zbior opisa...
 wisienka63261  1
 zbiory domkniete - zadanie 5
Czy zdanie "W przestrzeni X, jeśli A \subset X jest w X domknięty i B \subset A, to B jest w [tex:2e...
 Bartek93klm  1
 przedziały i zbiory
Niech a,b \in \mathbb{R}, a<b. Zbadać, czy poniższe przedziały są zbiorami otwartymi/domkniętymi w przestrzeni \mathbb{R} z metryką naturalną: (a,b), <a,b), &#4...
 xyz5656  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com