[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Zbiory spójne.
PostNapisane: 8 sty 2010, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 114
Które z poniższych zbiorów są spójne z metryką euklidesową lub z metryką "rzeka"?

1.\mathbb{R} \times \mathbb{Q}  \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{R}
2.\mathbb{R} \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q})  \cup (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times \mathbb{R}
3.\mathbb{Q} \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q})  \cup (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times \mathbb{Q}
4.(\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \times (\mathbb{R}  \backslash \mathbb{Q}) \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}
?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiory spójne.
PostNapisane: 28 maja 2010, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 239
Lokalizacja: Wejherowo
---

-- 30 maja 2010, o 10:49 --

Napiszę może co w tej sprawie udało m się zaobserwować.

Niech Z\subset X. Gdy zbiór Z nie jest spójny w X, to istnieją niepuste, rozłączne zbiory U_1,V_1 otwarte w Z takie, że U_1\cup V_1=Z.

Wtedy U_1=U\cap Z, V_1=V\cap Z dla pewnych zbiorów U, V otwartych w X. Stąd
U\cap V\cap Z=\emptyset oraz Z\subset U\cap V.

W ogólnym przypadku zbiory U, V nie muszą być rozłączne, ale gdy Z jest zbiorem gęstym, to takie są, bo zbiór gęsty przecina każdy niepusty zbiór otwarty.

Jeśli dodatkowo X jest przestrzenią spójną, to U\cup V\neq X, bo w przeciwnym razie mielibyśmy rozkład zbioru X na dwa niepuste, otwarte i rozłączne zbiory.

Teraz jedynie napiszę, że X=\mathbb R^2, a za Z można przyjąć każdy ze zbiorów z zadania

-- 30 maja 2010, o 10:54 --

knrt napisał(a):
W ogólnym przypadku zbiory U, V nie muszą być rozłączne, ale gdy Z jest zbiorem gęstym, to takie są, bo zbiór gęsty przecina każdy niepusty zbiór otwarty.


Myślę o iloczynie U\cap V. To ten zbiór miałby przecinać zbiór gęsty Z

-- 30 maja 2010, o 11:06 --

Iloczyn kartezjański przestrzeni spójnych jest przestrzenią spóną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te przestrzenie są spójne stąd żadne ze składników sum nie są spójne, bo zbiory Q, \mathbb R\setminus Q nie są spójne. Ale tu mamy sumy zbiorów niespójnych i te już mogą być spójne.

-- 30 maja 2010, o 11:09 --

knrt napisał(a):
---
Ale tu mamy sumy zbiorów niespójnych i te już mogą być spójne.


Powinienem napisać sumy zbiorów, które mogą być niespójne, bo nie wiem czy są spójne, czy nie.

-- 30 maja 2010, o 19:46 --

E=\mathbb R \times\mathbb Q jest niespójny, bo zbiory A=\mathbb R\times(-\infty,\pi),B=\mathbb R\times(\pi,\infty) są niepuste otwarte rozłączne i takie, że (E\cap A)\cup (E\cap B)=E
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory regularnie otwarte.
Potrzebuje informacji o zbiorze regularnie otwartym. Jeżeli ktos zna źródło w ktorym mozna te informacje znaleźć to prosiłbym o podanie. Z góry dziekuje...
 tobii  2
 Ciągłość, a zbiory rozgraniczone
Niech A i B będa rozgraniczone, tzn. cl(A) \cap B = \emptyset = A \cap cl(B). Funkcja f jest ciągła na A i B. Udowodni...
 aleph  0
 Przestrzen metryczna, zbiory otwarte, ciagi podstawowe...
Na zbiorze \mathbb{Z} rozważmy metrykę określoną wzorem d(k,l)=|2^k-2^l|. a) Jakie zbiory są otwarte w (\mathbb{Z},d)? b) Jakie ciągi są podstawowe...
 tometomek91  9
 Zbiory otwarto-domknięte w przestrzeni metrzycznej
Podać przykład nietrywialnego zbioru otwarto-domkniętego w przestrzeni metrycznej, ale w przestrzeni różnej od przestrzeni dyskretnej. Proszę o pomoc....
 malgosia150188  1
 Prz. spójna, zbiory rozgraniczone
Pokazac, ze: Jesli A,B-otwarte, to: A,B-rozgraniczone wtedy i tylko wtedy, gdy A,B-rozłączne. Z lewej do prawej to oczywiste, Ale jak pokazac z prawej do lewej?...
 lenkaja  1
 Zbiory zupełne.
Mam problem z zadaniem i prosze o pomoc!! Udowodnij że: 1. Domknięte podzbiory zbiorów zupełnych są zupełne. 2. Każdy zbiór zupełny jest zbiorem domkniętym. 3. W przestrzeni Hilberta, niepusty podzbiór jest zupełny wtedy i tylko wtedy jeśli jest do...
 ladybird  1
 Przestrzeń koskończona i zbiory otwarto-domknięte
Może ktoś byłby w stanie rozwiązać to zadanie? Niech X będzie przestrzenią z topologią koskończoną. W zależności od mocy X znaleźć wszystkie zbiory otwarto-domkni...
 evelina  1
 Zbiory otawrte w dwóch metrykach.
Cześć. Mam pewien problem z zadaniem: Udowodnić, że podzbiór A \subseteq \mathbb{R} ^{n} jest otwarty w \mathbb{R} ^{n} z metryką miejską wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwrty w ...
 Freddy Eliot  3
 Przestrzenie ciągów liczbowych. Zbiory gęste
Jak pokazać, że l^1 jest zbiorem gęstym w przestrzeni l^2? Ogólnie, że l^p jest gęsty w l^{p+1}?...
 knrt  2
 Zbiory otwarte w różnych metrykach.
Czy istnieje zbiór \emptyset \neq A \neq R^{2} a) otwarty w metryce rzeki, domknięty w metryce euklidesowej b) domknięty w metryce rzeki, otwarty w metryce euklidesowej c) otwarty i domknięty w metryce rzeki ?...
 iwoona  2
 Zbiory otwarte/domknięte w R^2
Który z podanych zbiorów jest otwarty (O), a który domknięty (D)? wszędzie (x,y)\in R^2: a) x>0 b) x\ge 0 c) 1<x^2+y^2\le 4[/tex:5nnifa...
 Drzewo18  2
 zbiory gęste
Niech X będzie przestrzenią metryczną, bez punktów izolowanych. Pokaż , że istnieje A \subseteq X takie, że A i dopełnienie A są zbior...
 darek20  3
 Metryki, zbiory domknięte
Witam! Proszę o sprawdzenie moich odpowiedzi do następującego zadania Rozpatrzmy płaszczyznę z metryką rzeka oraz rodzinę jej podzbiorów A_n={(x,y):(x-1-\frac{1}{n})^2+y^2=(\frac{1}{n})^2. Proszę...
 miedzian  5
 Zbiory brzegowe i rozgraniczone
Muszę udowdnić następujące równanie. Fr(A \cup B) = Fr(A) \cup Fr(B). Gdzie Fr(A) to brzeg zbioru, czyli Fr(A)=cl(A)/int&#4...
 gosiaczek18  3
 Zbiory spójne - zadanie 6
Który ze zbiorów \mathbb{Q}^2, (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})^2 jest spójny na płaszczyźnie \mathbb{R}^2? A jeśli któryś z nich jest, to dlaczego?...
 Miroslav  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com