szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 30 paź 2004, o 16:57 
Użytkownik
Udowodnić metodą indukcji matematycznej prawdziwość nierownosci:

(1+n)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2\; dla\;  n\geq 1,  x\geq 0

...

Po obliczeniach doszedłem do:

1 + (n+1)x + (nx^2)\geq 1 + (n+1)x + \frac{(n+1)n}{2}x^2

i co dalej...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2004, o 22:27 
Gość Specjalny

Posty: 534
Lokalizacja: Warszawa
W pierwszej linijce jest chyba błąd, bo nierówność Bernoulliego, to:

(1+x)^n \geq 1+nx

Czyli chcemy dowieść nierówności:

(1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2

Dla 1 i 2 wychodzi. Załóżmy więc, że jest to prawda dla pewnego n. Chcemy teraz dowieść, że:

(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Z założenia:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Wystarczy, że pokażesz:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2
Góra
Offline
PostNapisane: 4 lis 2004, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 38
Nie bardzo kumam skąd to się wzięło:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Bo jak robie tak jak tą zwykłą nierówność to mi wychodzi:

1+(n+1)x+nx^2\geq1+(n+1)x+\frac{(n+1)n}{2}x^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2005, o 20:59 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
jackass,

Jak nie wiesz ską to się wzięło ? Masz do udowodnienia nierówność:

(1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2

Dowód indukcyjny. (Zresztą wydaje mi się, że Reksio to już wyraźnie przedstawił).

I krok:
Sprawdzamy, dla n=2. Zachodzi.

II krok:
Zakładamy, że nierówność zachodzi dla każdego k\,\in\, N

Założenia (to co wiemy, że jest prawdą):

(1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2

Teza (to co należy wykazać, że jest prawdą):

(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}\cdot x^2

Dowód:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2)

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2), bo (1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2, zatem (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2)

A dalej to już jest w poście Reksia ... Nie wiem, co tu jest niezrozumiałe...


[Edit]PS. Wiem, że to było dawno i nieprawda, ale innym się może przydać :) ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2005, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
rozwin sobie bracie (1+x)^n w szereg maclaurina i po klopocie :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: braku inwencji
Mam wrażenie, że nie każdy to potrafi 8-) i nie wiem, w czym by to pomogło ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\alpha(\alpha-1)/2 x^2+...
w tym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: braku inwencji
Przecież nie znasz \alpha, to skąd wiesz, która ma tutaj być pochodna? P.S. Wszystko gra :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2+f'''(0)/3! x^3.....
no to
f(x)=(x+1)^n
f'(x)=n(x+1)^{n-1}
f''(x)=n(n-1)(x+1)^{n-2}
itd...

stad (x+1)^n=1+nx+n(n-1)/2x^2+....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2005, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: aaaaaa
Reksio napisał(a):

(1+x)^n \geq 1+nx

Czyli chcemy dowieść nierówności:

(1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2

Dla 1 i 2 wychodzi. Załóżmy więc, że jest to prawda dla pewnego n. Chcemy teraz dowieść, że:

(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Z założenia:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Wystarczy, że pokażesz:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Nie rozumiem skad wziela sie ostatnia linijka, bardzo prosze o wyjasnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2008, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Poznań
Również próbuję udowodnić indukcyjnie powyższą nierówność, doszedłem do takiej postaci:
Dowód tezy indukcyjnej:
Cytuj:
L=(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n  \geqslant  (1+x)[1+nx+\frac{1}{2}n(n-1)x^2]=
1+nx+\frac{1}{2}n^2x^2-\frac{1}{2}nx^2+x+nx^2+\frac{1}{2}n^2x^3-\frac{1}{2}nx^3=
1+(n+1)x+n(\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}+1)x^2+\frac{1}{2}n(n-1)x^3=
1+(n+1)x+\frac{1}{2}n(n+1)x^2+\frac{1}{2}n(n-1)x^3= ?


Pierwsze trzy składniki są takie jak chciałem uzyskać, ale z resztą nie wiem co zrobić. Czy w ogóle póki co idę dobrą drogą?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij nierówność. O co chodzi z ograniczaniem czynników?  tomiskym  3
 Udowodnić nierówność. - zadanie 2  Drelson  16
 Udowodnij uogólnioną nierówność Bernoulliego  wiecznie_pytajacy  2
 Nierówność indukcyjna - zadanie 4  menus20  2
 Udowodnić nierówność Bernoulliego - zadanie 2  martoX  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com