[ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 30 paź 2004, o 16:57 
Użytkownik
Udowodnić metodą indukcji matematycznej prawdziwość nierownosci:

(1+n)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2\; dla\;  n\geq 1,  x\geq 0

...

Po obliczeniach doszedłem do:

1 + (n+1)x + (nx^2)\geq 1 + (n+1)x + \frac{(n+1)n}{2}x^2

i co dalej...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2004, o 22:27 
Gość Specjalny

Posty: 534
Lokalizacja: Warszawa
W pierwszej linijce jest chyba błąd, bo nierówność Bernoulliego, to:

(1+x)^n \geq 1+nx

Czyli chcemy dowieść nierówności:

(1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2

Dla 1 i 2 wychodzi. Załóżmy więc, że jest to prawda dla pewnego n. Chcemy teraz dowieść, że:

(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Z założenia:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Wystarczy, że pokażesz:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2
Góra
Offline
PostNapisane: 4 lis 2004, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 38
Nie bardzo kumam skąd to się wzięło:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Bo jak robie tak jak tą zwykłą nierówność to mi wychodzi:

1+(n+1)x+nx^2\geq1+(n+1)x+\frac{(n+1)n}{2}x^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2005, o 20:59 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
jackass,

Jak nie wiesz ską to się wzięło ? Masz do udowodnienia nierówność:

(1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2

Dowód indukcyjny. (Zresztą wydaje mi się, że Reksio to już wyraźnie przedstawił).

I krok:
Sprawdzamy, dla n=2. Zachodzi.

II krok:
Zakładamy, że nierówność zachodzi dla każdego k\,\in\, N

Założenia (to co wiemy, że jest prawdą):

(1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2

Teza (to co należy wykazać, że jest prawdą):

(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}\cdot x^2

Dowód:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2)

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2), bo (1+x)^n\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2, zatem (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2)

A dalej to już jest w poście Reksia ... Nie wiem, co tu jest niezrozumiałe...


[Edit]PS. Wiem, że to było dawno i nieprawda, ale innym się może przydać :) ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2005, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
rozwin sobie bracie (1+x)^n w szereg maclaurina i po klopocie :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: braku inwencji
Mam wrażenie, że nie każdy to potrafi 8-) i nie wiem, w czym by to pomogło ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\alpha(\alpha-1)/2 x^2+...
w tym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: braku inwencji
Przecież nie znasz \alpha, to skąd wiesz, która ma tutaj być pochodna? P.S. Wszystko gra :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2005, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 452
Lokalizacja: Timbuktu
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2+f'''(0)/3! x^3.....
no to
f(x)=(x+1)^n
f'(x)=n(x+1)^{n-1}
f''(x)=n(n-1)(x+1)^{n-2}
itd...

stad (x+1)^n=1+nx+n(n-1)/2x^2+....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2005, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: aaaaaa
Reksio napisał(a):

(1+x)^n \geq 1+nx

Czyli chcemy dowieść nierówności:

(1+x)^n \geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2

Dla 1 i 2 wychodzi. Załóżmy więc, że jest to prawda dla pewnego n. Chcemy teraz dowieść, że:

(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Z założenia:

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)

Wystarczy, że pokażesz:

(1+x)(1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2) \geq 1+(n+1)x+\frac{n(n+1)}{2}x^2

Nie rozumiem skad wziela sie ostatnia linijka, bardzo prosze o wyjasnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2008, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Poznań
Również próbuję udowodnić indukcyjnie powyższą nierówność, doszedłem do takiej postaci:
Dowód tezy indukcyjnej:
Cytuj:
L=(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n  \geqslant  (1+x)[1+nx+\frac{1}{2}n(n-1)x^2]=
1+nx+\frac{1}{2}n^2x^2-\frac{1}{2}nx^2+x+nx^2+\frac{1}{2}n^2x^3-\frac{1}{2}nx^3=
1+(n+1)x+n(\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}+1)x^2+\frac{1}{2}n(n-1)x^3=
1+(n+1)x+\frac{1}{2}n(n+1)x^2+\frac{1}{2}n(n-1)x^3= ?


Pierwsze trzy składniki są takie jak chciałem uzyskać, ale z resztą nie wiem co zrobić. Czy w ogóle póki co idę dobrą drogą?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna-nierówność
doznałem chyba ostatnio zaćmienia muzgu :? i nie pamiętam jak się przeprowadza dowód indujcyjny dala tego typu nierówności: 2^n > 2n+1 , dla n>=3 z góry dzięki za pomoc....
 Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?
Udowodnij indukcyjnie: n^{2} < 3^{n} Porsze o pomoc!!! PS. Mam prośbe o dokładne wytłumaczenie tego przypadku z rozpiską! I Sprawdzenie dla n=1 1...
 Kaszim  6
 nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometry
Witam jak udowodnić indukcyjnie, że średnia arytmetyczna dla dowolnej liczby elementow jest zawsze wieksza/rowna sredniej geometrycznej? z góry dziekuje ...
 ville-dor  2
 indukcja-wykazac nierownosc
5^{n - 1}\geq 2n^{2} + 1, n\geq 3 I sprawdzam dla n=3 II zalozenie 5^{k - 1}\geq 2k^{2} + 1 III teza 5^{k}\geq 2&#40;k+1&#41;^{2} + 1 no i oczywiscie w tym miej...
 panterman  4
 jak udowodnić tą nierówność
Mam kłopoty z takim zadaniem: Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n suma odwrotnośći pierwiastków kwadratowych z licz naturalnych od 1 do n jest nie mniejsza od pierwiastka kwadratowe...
 domel666  17
 Udowodnic nierownosc za pomoca indukcji matematycznej.
ma ktoś pomysł jak na podst indukcji matematycznej wykazać,że: 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>1(dla n>lub równego 1)...
 gaga  1
 indukcja i nierownosc
Korzystajac z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, ze kazda liczba naturalna n>=5 spelnia nierownosc 2^{n}> n^{2}+n-1...
 bartek1965  2
 Dowód indukcyjny - nierówność.
Cześć, Próbuję teraz dowieść, że dla każdego &#40;n \in N+&#41; \wedge &#40;x > -1&#41; zachodzi: &#40;1+x&#41;^{n} q 1 +...
 apacz  8
 udowodnij nierownosc!
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} > n gdzie n>1...
 siNister  2
 nierówność - zadanie 15
wykaż, że dla każdego n &#8805; 1 zachodzi nierówność: \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1 problem, nie czaje dowodu ktory mam , moglby mi ktos go w miare prosto wytłumaczyć, w dodatku mam nie...
 Mapedd  12
 Podwójna nierówność....
\frac{2}{3}n\sqrt{n} < \sqrt{1} + \sqrt{2} + ..... + \sqrt{n} < \frac{4n+3}{6}\sqrt{n}...
 mol_ksiazkowy  3
 Udowodnic nierownosc
n \in N_{+} &#40;\sqrt{3}-\sqrt{5}&#41;^{2n}>&#40;\sqrt{3}-\sqrt{5}&#41;^{2n+1}...
 webi  3
 Nierówność - zadanie 17
a może ktoś mi pomoże udowodnić taką nierówności: \large \frac{1}{2} \frac{3}{4} ...
 nazaria  5
 nietrywialna nierownosc
Czy jest ktos w stanie powiedziec mi dla jakich n N spelniony jest taki warunek: n! ...
 Aram  4
 Nierówność - zadanie 22
Czy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność 10n...
 Enter22  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com