Długość krzywej - funkcja parametryczna

iii

Witam!

Mam podaną funkcję parametryczną opisaną rówaniami:

$\begin{cases} x(\varphi)=\frac{1}{\varphi}\cos{\varphi} \\ y(\varphi)=\frac{1}{\varphi}\sin{\varphi} \end{cases}$

Moje pytanie jest następujące: czy mozna obiczyć długość postałej krzywej na odcinku $(0, a>$ gdzie $a>0$ ?

Jeżeli da radę, to czy długość tej krzywej będzie wyrażała się wzorem $L=\int_{0}^{a} {\sqrt{(x'(\varphi))^2+(y'(\varphi))^2} \mbox{d}\varphi }$ ?

Proszę o jakąś podpowiedź

Pozdrawiam!

Matematyka.pl

luka52

Tu jest taki problem, że dla żadnego $a$ ta całka nie jest zbieżna.

iii

Czyli nie da rady nic z tym zrobić? A co jeżeli będę musiał znaleźć długość tej krzywej na jakimś "normalnym" odcinku <a,b>? Wtedy po przekształceniach otrzymuję całkę $\int_{a}^{b}{\frac{ \mbox{d}\varphi}{\varphi}}$ , czy tak?

luka52

No nie, funkcja podcałkowa inaczej wygląda...

iii

$\int {\sqrt{(x'(\varphi))^2+(y'(\varphi))^2} \mbox{d}\varphi }=\int{\sqrt{((\frac{1}{\varphi}\cos{\varphi})')^2+((\frac{1}{\varphi}\sin{\varphi})')^2}}\mbox{d}\varphi=$
$=\int{\sqrt{(\frac{-\varphi \sin{\varphi}-\cos{\varphi}}{\varphi^2})^2+(\frac{\varphi \cos{\varphi}-\sin{\varphi}}{\varphi^2})^2}}\mbox{d}\varphi=$
$=\int{\sqrt{\frac{\varphi^2\sin^2{\varphi}+2\varphi\sin{\varphi}\cos{\varphi}+\cos^2{\varphi}}{\varphi^4}+\frac{\varphi^2\cos^2{\varphi}-2\varphi\sin{\varphi}\cos{\varphi}+\sin^2{\varphi}}{\varphi^4}}}\mbox{d}\varphi=$
$=\int{\sqrt{\frac{\varphi^2}{\varphi^4}}}\mbox{d}\varphi=\int{\frac{\varphi}{\varphi^2}}\mbox{d}\varphi=\int{\frac{1}{\varphi}}\mbox{d}\varphi=\ln{|\varphi|}+C$

Gdzie jest błąd w takim razie?

luka52

Ostatnia linijka powinna wyglądać tak: $\int \sqrt{\frac{\varphi^2 + 1}{\varphi^4}} \; \mbox d \varphi = \ldots$ .

iii

A faktycznie, głupi błąd :/

Edycja: Mam pomysł na podstawienie:D

$\varphi=\tg{t}$
$d\varphi=\frac{dt}{\cos^2{t}}$

$\int{\sqrt{\frac{\varphi^2+1}{\varphi^4}}}d\varphi=\int{\frac{\sqrt{\varphi^2+1}}{\varphi^2}}d\varphi=\int{\frac{\sqrt{\tg^2{t}+1}}{\tg^2{t}\cdot\cos^2{t}}}dt=\int{\frac{\sqrt{\frac{\sin^2{t}+\cos^2{t}}{\cos^2{t}}}}{\sin^2{t}}}dt=\int{\frac{dt}{\sin^2{t}\cos{t}}}=...$

I dalej z podstawienia uniwersalnego otrzymujemy funkcję wymierną, później rozkład na ułamki proste i całka gotowa. Czy tak?

luka52

Np. tym sposobem :arrow:

33970.htm

Matematyka.pl

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Dział	Autor	Odpowiedzi
Długość sinusa	Rachunek całkowy	Anonymous	4
obliczanie długości łuku krzywej	Rachunek całkowy	Undre	5
funkcja gornej granicy calkowania	Rachunek całkowy	fishman4	4
całka po krzywej	Rachunek całkowy	majdo	2
Funkcja niecałkowalna	Rachunek całkowy	magdan20	3
calka wartosc bezwzgledna,. funkcja signum	Rachunek całkowy	bisz	1
funkcja gornej granicy calkowania - zadanie 2	Rachunek całkowy	amdfanatyk	2
długość łuku	Rachunek całkowy	amator	1
Pomoc z całką oznaczoną - funkcja wymierna	Rachunek całkowy	gsmphone	12
Obliczyc długość łuku...	Rachunek całkowy	=	2
całka z funkcją trygonometryczną	Rachunek całkowy	paula1566	3
Długość łuku - zadanie 2	Rachunek całkowy	rafdar	3
Calka po krzywej z zastosowaniem Greena	Rachunek całkowy	idie	4
Całka / funkcja odwrotna	Rachunek całkowy	zoxx	3
długość łuku - zadanie 3	Rachunek całkowy	StraY	2
Calka z funkcją niewymierną	Rachunek całkowy	Barca	5
długość łuku - zadanie 4	Rachunek całkowy	rObO87	1
funkcja pierwotna	Rachunek całkowy	calebr	3
Długość łuku - zadanie 5	Rachunek całkowy	behemot	1
Długość łuku krzywej	Rachunek całkowy	xweb	4
Długość krzywej	Rachunek całkowy	Misiek767	1
Obj. bryly powstalej z obrotu krzywej zadanej parametrycznie	Rachunek całkowy	mcichy	0
Obliczenie Całki skierowanej po krzywej K.	Rachunek całkowy	Markus19	1
Długość łuku - zadanie 6	Rachunek całkowy	majkrosoft	1
długość łuku - zadanie 7	Rachunek całkowy	crown23	2
Długośc łuku elipsy	Rachunek całkowy	przemk20	2
całka z funkcją złożoną sin(lnx) przez części	Rachunek całkowy	Fijy	2
długość łuku - zadanie 27	Rachunek całkowy	andrzej_kk	2
Znaleźć długość krzywej	Rachunek całkowy	baraja	4
długość krzywej i pole obszaru	Rachunek całkowy	kerim	1

Długość krzywej - funkcja parametryczna

Kto przegląda Forum