Nierówność z trzema zmiennymi

kp1311

$x,y,z>0$
Udowodnij że:
$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \ge \frac{3}{2}$

W zbiorze zadań zadań jest napisane że można ją udowodnić wieloma sposobami, ja nie mogę znaleźć nawet jednego. Kombinowałem coś z zależnościami pomiędzy średnimi ale do niczego ciekawego nie doszedłem.

Matematyka.pl

smigol

x+y=a
x+z=b
y+z=c
a dalej średnie.

mol_ksiazkowy · **Posty:** 3707 **Lokalizacja:** Kraków **Pomógł:** 536

Drugi sposób to wykorzystac Jensena dla f wypukłej
$f(x)=\frac{x}{a+b+c -x}$
na przedziale (0, a+b+c)

kp1311

Wyszło

Mam rozumieć że w przypadku n zmiennych postępuje analogicznie?
Jestem jednak ciekaw jak wyglądają inne sposoby rozwiązania tej nierówności, w końcu autor wspomina że jest ich dużo...

smigol

poszukaj w internecie: nierówność Nesbitta.

kp1311

Mam problem z tym Jensenem, konkretnie z wagami, najwygodniej byłoby gdyby wszystkie były równe 1, jednak z definicji suma tych wag ma wynosić 1.

Zordon

no to weź wagi $\frac{1}{3}$

Piotr Rutkowski

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=207221
Jest tu z 20 różnych dowodów. Mam nadzieję, że to Cię zadowoli :wink:

Pozdrawiam

kp1311

Ok spróbuje, mam jednak pytanie czy te wagi koniecznie muszą się sumować do 1?
W zbiorze zadań przy tej nierówności nie ma żadnego zapisku mówiącego o tym że wagi muszą się sumować do czegokolwiek, wstawiając ,,wagi": 1,1,1,1, nierówność jest dowodzona niemal natychmiastowo.

Piotr Rutkowski

kp1311 napisał(a):

Ok spróbuje, mam jednak pytanie czy te wagi koniecznie muszą się sumować do 1?
W zbiorze zadań przy tej nierówności nie ma żadnego zapisku mówiącego o tym że wagi muszą się sumować do czegokolwiek, wstawiając ,,wagi": 1,1,1,1, nierówność jest dowodzona niemal natychmiastowo.

Może przepisz dokładnie co jest tam napisane (na razie niewiele rozumiem z tego co napisałeś), bo wagi z reguły powinny się sumować do jedynki...

kp1311

Rzeczywiście powinienem użyć innego słowa.
Napisane jest tak:
,,Dla funkcji wklęsłej na przedziale (a,b), spełniona jest nierówność:
$\sum_{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i}) \le (\sum_{i=1}^{n}p_{i}) f( \frac{ \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i} }{ \sum_{i=1}^{n}p_{i} } )$
Dla funkcji wypukłych nierówność jest w drugą stronę".

W poprzednim poście mówiąc wagi miałem na myśli liczby $p_{i}$ .

Zordon

Kontrprzykład do powyższego jest taki: $\sqrt{ \cdot }$ to funkcja wklęsła.
$p_1=p_2=1$
$x_1=1$ , $x_2=4$

Piotr Rutkowski

Wybacz wścibstwo, ale co to jest za książka?
Będę wiedział czego NIE polecać swoim uczniom :wink:

Zordon

Pewnie miało być tak:
$\frac{\sum_{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum_{i=1}^{n}p_{i} } \le f( \frac{ \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i} }{ \sum_{i=1}^{n}p_{i} } )$

Ale ani to ładne ani czytelne...

kp1311

Eugeniusz Śmietana ,,500 matematycznych zadań i problemów dla uzdolnionej młodzieży".

-- 10 mar 2010, o 19:29 --

Tak Zordon masz racje, pominąłem tą jedną rzecz przy przepisywaniu, przepraszam za wprowadzanie was w błąd

Piotr Rutkowski

Odpowiadając na Twoje pytanie: wagami nie są $p_{i}$ tylko $\frac{p_{i}}{\sum_{i=1}^{n}p_{i}}$

kp1311

Nie mam więcej pytań, dziękuje wszystkim.

xanowron

Jedna jeszcze sprawa: trzymaj się z daleka od tej książki, jest w niej masa błędów (dlatego oddałem ją nauczycielce która dała ją chyba Tobie jeżeli dobrze Cie kojarzę

)

kp1311

Dobrze mnie kojarzysz

też znalazłem w nim kilka błędów ale postanowiłem że mimo jakoś przebije się przez zbiór, chociaż kilka razy już miałem ochotę go oddać...

Więcej niż połowa zadań jest dla mnie zbyt trudna, ponadto denerwujące jest to że większość rozwiązań zaczyna się od: ,,zauważmy że..." Ale nigdy nie pisze jak zwykły śmiertelnik może wpaść na takie coś.

Dumel

Cytuj:

denerwujące jest to że większość rozwiązań zaczyna się od: ,,zauważmy że..." Ale nigdy nie pisze jak zwykły śmiertelnik może wpaść na takie coś.

tak jest chyba w każdym zbiorze olimpijskim ;-)

jak chcesz się podowiadywać jak do czegoś takiego dojść to szukaj w innych źródłach lub wyczekaj - to samo przyjdzie jeśli będziesz systematycznie pracował

badmor · **Posty:** 87 **Lokalizacja:** Z Nienacka **Pomógł:** 2

xanowron napisał(a):

Jedna jeszcze sprawa: trzymaj się z daleka od tej książki, jest w niej masa błędów (dlatego oddałem ją nauczycielce która dała ją chyba Tobie jeżeli dobrze Cie kojarzę

)

Potwierdzam, z daleka od tej książki !!!

Matematyka.pl

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Dział	Autor	Odpowiedzi
Wykazać nierówność dla trzech liczb dodatnich.	Kółko matematyczne	Kamil_dobry	12
Nierówność - pytanie	Kółko matematyczne	danioto	3
Nierówność - zadanie 128	Kółko matematyczne	limes123	10
Nierówność i stała C	Kółko matematyczne	mol_ksiazkowy	4
Liczby na okręgu, iloczyny, nierówność	Kółko matematyczne	patry93	2
Udowodnić nierówność	Kółko matematyczne	neworder	4
Nierówność - czy zachodzi?	Kółko matematyczne	Desmondo	5
Nierownosc dla przestrzeni ,wykaz ze:	Kółko matematyczne	mol_ksiazkowy	1
Nierówność dla rzeczywistych	Kółko matematyczne	kluczyk	10
Nierówność - zadanie 108	Kółko matematyczne	bosa_Nike	2
Jeszcze ciekawsza nierówność funkcyjna	Kółko matematyczne	Swistak	6
Łatwa nierówność funkcyjna	Kółko matematyczne	Burii	3
Udowodnij nierówność z 3ma niewiadomymi	Kółko matematyczne	Zlodiej	14
Nierówność cykliczna - zadanie 3	Kółko matematyczne	max	2
Urocza nierówność, wykaż	Kółko matematyczne	mol_ksiazkowy	3
Turbobanalne równanie funkcyjne i ultratrywialna nierówność	Kółko matematyczne	adamm	2
Nierównosc z Kourliandtchika!	Kółko matematyczne	mol_ksiazkowy	7
Pewna nierownosc w bryle	Kółko matematyczne	liu	3
Nierówność Karamaty, dowód	Kółko matematyczne	patry93	2
nierówność podłogi - zadanie 2	Kółko matematyczne	robin5hood	3
Nierówność podłogi	Kółko matematyczne	robin5hood	1
ciekawa równość i nierówność	Kółko matematyczne	adamm	10
wykazać nierówność w trójkącie	Kółko matematyczne	mmarcinek	1
Wykazać nierówność, gdy f.kwadratowa nie ma m.zerowych	Kółko matematyczne	addmir	4
tez nierównosc z analizy	Kółko matematyczne	darek20	7
Nierówność z liczbą wymierną.	Kółko matematyczne	Brycho	5
Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.	Kółko matematyczne	smigol	4
Udowodnij nierówność:	Kółko matematyczne	martin1990	7
Harda nierówność, zawody indywidualne, Zwadroń 2011 - zadanie 4	Kółko matematyczne	Swistak	3
Nierówność z mantysą	Kółko matematyczne	Piotr Rutkowski	2

Nierówność z trzema zmiennymi

Kto przegląda Forum