Zadanie z instrukcją

1.znajdz wszystkie funckje f: R→ R dla ktorych zachowdzi rownosc xf(x) - f(1-x) = 2

podstawiam pod x - (1-x) (tak kazali w instrukcji

tworze uklad rownan i obliczam traktujac f(x) i f(1-x) jako niewaidome

otrzymalam zaleznosc

f(1-x)=f(x) po pdostawieniu f(x)= 2/x-1 jednak nie jest to poprawna odpowiedz. Co zrobiam zle? Licze juz kktorys raz i wciaz ta sama odpowiedz. Czy jest ona poprawna?

2 i przy okazji funkcja f kazdej liczbie calkowitej dodatniej przyporzadkowuje liczbe jej dzielnikow naturalnych

Jaka wlasnosc maja te liczby n dla ktorych f(n) jest liczba nieparzysta?
Te liczby to np 4, 9, 16 - ale nie potrafie znalesc zadnej ich wspolnej wlasnosci...

2) te liczby to kwadraty liczb 4=2*2, 9=3*3, 16=4*4, ...

xf(x)-f(1-x)=2
I żeby stworzyć drugie równanie, to faktycznie wstawiamy 1-x za x.



(możemy podzielić, bo )

Nie wiem, dlaczego miałoby nie wyjść. Prześledźmy:
xf(x) - f(1-x) = 2, wstawiamy za x, 1-x i mamy drugie równanie:
(1-x)f(1-x) - f(x) = 2. Podstawmy dla wygody f(x) = a i f(1-x) = b i rozwiążmy układ równań:
ax - b = 2
-a +(1-x)b = 2
Zastosujmy metodę wyznaczników:

Zauważmy, że wyznacznik główny jest zawsze ujemny, dla każdego iksa, więc układ ma zawsze parę rozwiązań, danych przez:


Sprawdźmy nasze wypociny, jeśli f(x) mamy dane, wstawmy za iks 1-x i przekonajmy się, czy dostaniemy naszą zmienną b:

Czyli to by się zgadzało. Pozostaje sprawdzić równanie funkcyjne, wstawmy i sprawdźmy, czy lewa jest równa prawej:

Czyli jak najbardziej wszystko jest w porządku.