szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Czworokąty
PostNapisane: 6 paź 2006, o 22:57 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Zajmujemy się tylko czworokątami wypukłymi

Podstawowe pojęcia

Czworokątem nazywamy figurę płaską będącą wielokątem o czterech bokach. Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta jest równa 360o
Wysokością czworokąta nazywamy odcinek wychodzący z jednego z wierzchołków czworokąta i opadający na przeciwległą podstawę (lub jej przedłużenie). Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy. Każdy czworokąt posiada 4 wysokości niekoniecznie różne i niekoniecznie zawierające się w tym czworokącie.
Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki.
Okręgiem wpisanym w czworokącie nazywamy okrąg należący do środka czworokąta do którego wszystkie boki czworokąta są styczne (bok jest styczny do okregu kiedy mają 1 punkt wspólny, wtedy odcinek łączący punkt wspólny i środek okręgu jest prostopadły do boku czworokąta). Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe.
Okręgiem opisanym na czworokącie nazywamy okrąg do którego należą wszystkie wierzchołki czworokąta. Czworokąt można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.

Rodzaje i podstawowe własności poszczególnych czworokątów:

* kwadrat - wszystkie boki są równej długości. Przekątne są równej długości i przecinają się pod kątem 90o. Każdy kwadrat jest też prostokątem. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe 90o.
* prostokąt - posiada dwie pary boków równoległych. Przekątne są równej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Każdy prostokąt jest równoległobokiem.
* romb - posiada dwie pary boków równoległych. Wszystkie boki są równej długości. Przekątne przecinają się pod kątem prostym. Tzw. kopnięty kwadrat. Każdy romb jest równoległobokiem.
* równoległobok - posiada dwie pary boków równoległych. Długości przeciwległych boków oraz miary przeciwległych kątów są równe. Sumy miar przyległych do tego samego boku kątów są równe 180 o. Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na połowy. Tzw. kopnięty prostokąt.
* deltoid - wyglądem przypomina latawiec. Przekątne przecinają się pod kątem prostym. Posiada 2 pary boków równej długości, które sąsiadują ze sobą.
* trapez - wyróżniamy szczególne rodzaje trapezów. Główną cechą jest to, że posiada on dwie podstawy równoległe do siebie. Suma miar kątów przyległych do każdego z ramion jest równa 180 o. Odcinek x łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość wynosi x=\frac{a+b}{2}.
- równoramienny - jak sama nazwa wskazuje - ramiona są równej długości.
- prostokątny - co najmniej jeden z kątów pomiędzy podstawą, a ramieniem jest prosty. Każdy kwadrat, czy też prostokąt jest trapezem prostokątnym.

Wzory dotyczące czworokątów

Dowolny czworokąt

Pole: \frac{d_1\cdot d_2\cdot \sin{\omega}}{2}
Obwód: Obw.=a+b+c+d
Tożsamość: a^2+b^2+c^2+d^2=d_1^2+d_2^2+4x^2

Kwadrat

Pole: P=a^2=\frac{1}{2}d^2=4r^2=2R^2
Obwód: Obw.=4a
Długość przekątnej: d=a\sqrt{2}
Promień okręgu opisanego: R=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}a\sqrt{2}
Promień okręgu wpisanego: r=\frac{1}{2}a

Prostokąt

Pole: P=a\cdot b
Obwód: Obw.=2a+2b
Długość przekątnej: d=\sqrt{a^2+b^2}

Romb

Pole: P=ah=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=2ar=a^2\cdot \sin{\alpha}
Obwód: Obw.=4a

Równoległobok

Pole: P=ah=ab\sin{\alpha}
Obwód: Obw.=2a+2b

Deltoid

Pole: P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}
Obwód: Obw.=2a+2b

Trapez

Pole: P=\frac{(a+b)h}{2}
Obwód: Obw.=a+b+c+d

Twierdzenia

Twierdzenie Ptolemeusza

W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równa się sumie iloczynów długości boków przeciwległych:

AC\cdot BD=AB \cdot CD+BC\cdot AD

Twierdzenie Bretschneidera

W dowolnym czworokącie o bokach a, b, c, d i przekątnych m, n oraz sumie kątów przy wierzchołkach A i C \normal(\alpha+\beta) zachodzi równość:

m^2\cdot n^2=a^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2-2abcd\cdot\cos{(\alpha+\beta)}

Nierówności dotyczące czworokątów

Nierówność Ptolemeusza

Dla czworokątów, które nie dają się wpisać w okrąg, iloczyn długości przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynów długości boków przeciwległych:

AC\cdot BD



Oznaczenia

a, b, c, d - długości boków czworokąta
r, R - promienie okręgów wpisanego, opisanego
x - długość odcinka łączącego środki przekątnych
d1, d2 - przekątne czworokąta
\small \omega - kąt pomiędzy przekątnymi
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Czworokąty
PostNapisane: 27 lut 2009, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 520
Lokalizacja: Warszawa
Pomyślałem sobie że można jeszcze dopisać parę wzorów na pole czworokąta dowolnego:
P=\frac{1}{4}(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})tg\Delta=\frac{1}{4} \sqrt{4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos^{2}\frac{\alpha+\gamma}{2}}, gdzie a,b,c,d to długości boków, sto połowa obwodu, d_{1}, d_{2},długości przekątnych, \Delta to kąt między przekątnymi, a \alpha, \gamma to przeciwległe kąty między bokami.

Czworokąt na którym można opisać okrąg
\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^{\circ}

P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}(wzór Brahmagupty)

d_{1}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}} oraz d_{2}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(bc+ad)}{ab+cd}}

R=\frac{1}{4S}\sqrt{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}

Czworokąt opisany na okręgu:
r=\frac{P}{s}

Czworokąt bicentryczny(można opisać i wpisać okrąg jednocześnie):
\frac{1}{(R+p)^{2}}+\frac{1}{(R-p)^{2}}=\frac{1}{r^{2}} gdzie p to odległość między środkami okręgów

P=\sqrt{abcd}=rp

R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{abcd}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czworokąty - zadanie 7  wera123  2
 Czworokąty - zadanie 2  noniewiem  9
 czworokąty - zadanie 6  freezee  1
 Czworokąty - zadanie 5  Pela  0
 czworokąty - zadanie 3  Paulina152006  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com