szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 kwi 2010, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 318
Lokalizacja: Poznań
kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 120
Znajdź miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 kwi 2010, o 18:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4573
Lokalizacja: Gdańsk
Obrazek
zielony trójkąt - zawiera kąt dwuścienny
czerwony trójkąt - zawiera kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
2a - krawędź podstawy
h - wysokość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
w - wysokość przekroju
k - krawędź boczna

1) Wysokość w przekroju dzieli ten trójkąt na 2 trójkąty o kącie 60^{\circ}, więc bok przekroju ma długość 2w. Z Pitagorasa liczymy, ile wynosi ten najkrótszy odcinek w zielonym przekroju:
w^2+x^2= \left( 2w\right)^2  \Rightarrow x=w \sqrt{3}
Ten odcinek to jednocześnie połowa przekątnej podstawy, więc:
w \sqrt{3}=a \sqrt{2}  \Rightarrow w= \frac{a \sqrt{6} }{3}

2) Pole ściany bocznej można wyrazić a\cdot h lub w\cdot k. Wiadomo, że:
a\cdot h= \frac{a \sqrt{6} }{3}\cdot k \\
a \sqrt{6}k=3a\cdot h  \Rightarrow h= \frac{ \sqrt{6} }{3}k

3) Teraz wyznaczmy a w zależności od k, patrząc na połowę ściany bocznej.
a^2+h^2=k^2 \\
a^2+ \left( \frac{ \sqrt{6} }{3} k \right)^2=k^2  \Rightarrow a= \frac{ \sqrt{3} }{3}k

4) Teraz zajmiemy się przekrojem osiowym ostrosłupa, żeby wyznaczyć H (znów z Pitagorasa):
a^2+H^2=h^2 \\
 \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}  k\right) ^2+H^2= \left(  \frac{ \sqrt{6} }{3}k \right)^2 \\
H= \frac{ \sqrt{3} }{3}k

5) Mając H i h, możemy wyznaczyć sinus kąta.
sin\alpha= \frac{H}{h} \\
 \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{3}k }{ \frac{ \sqrt{6} }{3}k }= \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6} = \frac{ \sqrt{18} }{6} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kat dwuscienny  greey10  0
 kąt dwuścienny - zadanie 8  ziommus  1
 kąt dwuścienny - zadanie 2  lofi  1
 kat dwuscienny - zadanie 3  0516  0
 kat dwuścienny  karrina  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com