szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2010, o 02:38 
Korepetytor

Posty: 1782
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Jak udowodnić w sposób elementarny, że \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}  <  \sqrt[3]{24}?

Przy dowodzeniu takich nierówności, gdzie pierwiastek jest kwadratowy, to nie ma problemu, ale przy trzeciego stopnia (lub stopni różnych) nie mam pomysłu.

Mogę sobie zdefiniować funkcję f(x)=x ^{ \frac{1}{3}} wklęsłą na dodatnich i wtedy mam z Jensena f(2) + f(4) < 2f( \frac{2 + 4}{2} ) =  2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{24} tyle, że zbyt elementarne to chyba nie jest.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2010, o 06:51 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: Grupa lokalna
Ja tam się nie znam, ale zrobiłbym to tak:

2^{ \frac{1}{3} }+4^{ \frac{1}{3} }=24^{ \frac{1}{3} }\\
2^{ \frac{1}{3} }+4^{ \frac{1}{3} }=2  \cdot 3^{ \frac{1}{3} } \\
2^{ -\frac{2}{3} }+2^{ -\frac{1}{3} }=  3^{ \frac{1}{3} }
Dochodzimy do postaci:
\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[2]{3}} < \sqrt[3]{3}
Co jest oczywiste bo te pierwiastki są większe od jedynki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie pierwszego stopnia.  _rois_  8
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Włączanie niewiadomej pod pierwiastek 3 stopnia  the moon  3
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Uproszczenie wyrazenia z pierwiastkami  drypy  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com