szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sie 2010, o 18:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
Liczenie asymptot funkcji


Teorię można znaleźć pod tym linkiem:

80977.htm

Przykład 1


f(x)=  \frac{x ^{2}+1  }{x}

(1) Zaczynamy od dziedziny:

x \neq 0 i tylko w tym punkcie szukamy asymptoty pionowej

\lim_{x \to 0 ^{+} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{+} }  \right] =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{-} }  \right] =- \infty

Zatem funkcja f posiada asymptotę pionową daną wzorem x=0

(2) Badamy co się dzieje gdy x \rightarrow    ^{+}  _{-} \infty

\lim_{x \to + \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to + \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to + \infty  } x+  \frac{1}{x} =[+ \infty  +0]= + \infty

\lim_{x \to - \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to - \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to - \infty  } x+  \frac{1}{x} =[- \infty  +0]= - \infty

Brak asymptot poziomych ( Gdyby istniały to zamiast nieskończoności by wyszły liczby )

(3) Szukamy asymptot ukośnych korzystając ze znanych wzorów:

Cytuj:

a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)


a=  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x} \cdot  \frac{1}{x} =  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x ^{2} }=...

Dzielimy licznik i mianownik przez x ^{2}

...=\lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{x ^{2} }   }{1 }= 1

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} - x= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} -   \frac{x ^{2} }{x} =\lim_{x\to +\infty}   \frac{1}{x}=0

Asymptota ukośna to: y=ax+b
czyli u nas:

y=x

Przykład 2


f(x)=   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }

(1) Dziedzina : R - \{ 0 \}

\lim_{x \to 0 ^{+} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{+} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{+} \Rightarrow  t \rightarrow  + \infty

... =  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= H=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{( e^{t})' }{(t)'}=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{  e^{t}  }{1}= \lim_{t \to + \infty   }  e^{t}  =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{-} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{-} \Rightarrow  t \rightarrow  - \infty


... =  \lim_{t \to - \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= [ \frac{0}{- \infty } ]= 0

Asymptota pionowa prawostronna : x=0

(2) Asymptoty poziome:

\lim_{x \to + \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ + \infty  \cdot  e ^{0}]= [ + \infty  \cdot  1]=+\infty

\lim_{x \to - \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ - \infty  \cdot  e ^{0}]= [ - \infty  \cdot  1]=-\infty

Brak asymptot poziomych

(3) Asymptoty ukośne

a= \lim_{x \to + \infty  }   \frac{ x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }}{x}= \lim_{x \to + \infty  }        e   ^{ \frac{1}{x} }=e ^{0}=1

b= \lim_{x \to + \infty  }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } -x  =  \lim_{x \to + \infty  } x(   e   ^{ \frac{1}{x} }- 1)=...

Podstawienie t= \frac{1}{x}

...= \lim_{x \to  0 ^{+}  }  \frac{ e^{t} -1}{t}=1

Korzystamy z tego, że:

Cytuj:
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1


Asymptota ukośna :

y=x+1

Przykład 3


f(x)= \frac{e^x+1}{e^{x}-1}

(1) Dziedzina:

e^{x}-1 \neq  0  \Rightarrow  x \neq  0

\lim_{ x \to 0 ^{+}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{+} } \right]=+ \infty

\lim_{ x \to 0 ^{-}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{-} } \right]=- \infty

Asymptota pionowa x=0

(2)

\lim_{x \to + \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =...

Dzielimy licznik i mianownik przez e^{x}

...= \lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{e^{x}} }{1-  \frac{1}{e^{x}} } =  \frac{1+0}{1-0} =1

Można też to zrobić tak:

Ukryta treść:    


\lim_{x \to - \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =  \frac{0+1}{0-1}=-1

2 asymptoty poziome

y=1

y=-1

(3)

a=\lim_{x \to + \infty }  \frac{1}{x} + \frac{ 2}{x(e^{x}-1)}= 0+ 0=0

Czyli :

b=\lim_{x \to + \infty } f(x)  -  a \cdot x= \lim_{x \to + \infty } f(x)  -  0 \cdot x=\lim_{x \to + \infty } f(x)

I tutaj wracamy do przypadku (2)

Widać, że asymptota pozioma to szczególny przypadek asymptoty ukośnej (a=0)


cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW



Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania  bolo  0
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych- hesjan równy zero  miodzio1988  0
 Sprzężenie-liczenie granic  miodzio1988  0
 Obliczanie pochodnych kierunkowych funkcji  Lbubsazob  0
 Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych  Lbubsazob  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com