Strona główna Forum » Matematyka - królowa nauk » Rozwiązania zadań

Zobacz tematy bez odpowiedzi | Zobacz aktywne tematy

Regulamin działu

UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.

Liczenie asymptot funkcji

Moderator: scyth

Strona 1 z 1

[ Posty: 1 ]

Drukuj

Poprzedni | Następny

Autor

Wiadomość

miodzio1988 Online

Tytuł: Liczenie asymptot funkcji

Napisane: 15 sie 2010, o 17:21

Posty: 30345
Lokalizacja: Ostrołęka
Wiek: 24
Pomógł: 2795
Pomoc poza forum: Tak

Liczenie asymptot funkcji

Teorię można znaleźć pod tym linkiem:

80977.htm

Przykład 1

$f(x)= \frac{x ^{2}+1 }{x}$

$(1)$ Zaczynamy od dziedziny:

$x \neq 0$ i tylko w tym punkcie szukamy asymptoty pionowej

$\lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2}+1 }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{+} } \right] =+ \infty$

$\lim_{x \to 0 ^{-} } \frac{x ^{2}+1 }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{-} } \right] =- \infty$

Zatem funkcja $f$ posiada asymptotę pionową daną wzorem $x=0$

$(2)$ Badamy co się dzieje gdy $x \rightarrow ^{+} _{-} \infty$

$\lim_{x \to + \infty } f(x)= \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} = \lim_{x \to + \infty } x+ \frac{1}{x} =[+ \infty +0]= + \infty$

$\lim_{x \to - \infty } f(x)= \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} = \lim_{x \to - \infty } x+ \frac{1}{x} =[- \infty +0]= - \infty$

Brak asymptot poziomych ( Gdyby istniały to zamiast nieskończoności by wyszły liczby )

$(3)$ Szukamy asymptot ukośnych korzystając ze znanych wzorów:

Cytuj:

$a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$

$b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)$

$a= \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x} \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{2}+1 }{x ^{2} }=...$

Dzielimy licznik i mianownik przez $x ^{2}$

$...=\lim_{x \to + \infty } \frac{1+ \frac{1}{x ^{2} } }{1 }= 1$

$b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1 }{x} - x= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1 }{x} - \frac{x ^{2} }{x} =\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0$

Asymptota ukośna to: $y=ax+b$
czyli u nas:

$y=x$

Przykład 2

$f(x)= x \cdot e ^{ \frac{1}{x} }$

$(1)$ Dziedzina : $R - \{ 0 \}$

$\lim_{x \to 0 ^{+} }f(x)= \lim_{x \to 0 ^{+} } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =...$

Podstawienie:

$t= \frac{1}{x}$

$x \rightarrow 0 ^{+} \Rightarrow t \rightarrow + \infty$

$... = \lim_{t \to + \infty } \frac{ e^{t} }{t}= H= \lim_{t \to + \infty } \frac{( e^{t})' }{(t)'}= \lim_{t \to + \infty } \frac{ e^{t} }{1}= \lim_{t \to + \infty } e^{t} =+ \infty$

$\lim_{x \to 0 ^{-} }f(x)= \lim_{x \to 0 ^{-} } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =...$

Podstawienie:

$t= \frac{1}{x}$

$x \rightarrow 0 ^{-} \Rightarrow t \rightarrow - \infty$

$... = \lim_{t \to - \infty } \frac{ e^{t} }{t}= [ \frac{0}{- \infty } ]= 0$

Asymptota pionowa prawostronna : $x=0$

$(2)$ Asymptoty poziome:

$\lim_{x \to + \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =[ + \infty \cdot e ^{0}]= [ + \infty \cdot 1]=+\infty$

$\lim_{x \to - \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } =[ - \infty \cdot e ^{0}]= [ - \infty \cdot 1]=-\infty$

Brak asymptot poziomych

$(3)$ Asymptoty ukośne

$a= \lim_{x \to + \infty } \frac{ x \cdot e ^{ \frac{1}{x} }}{x}= \lim_{x \to + \infty } e ^{ \frac{1}{x} }=e ^{0}=1$

$b= \lim_{x \to + \infty } x \cdot e ^{ \frac{1}{x} } -x = \lim_{x \to + \infty } x( e ^{ \frac{1}{x} }- 1)=...$

Podstawienie $t= \frac{1}{x}$

$...= \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{ e^{t} -1}{t}=1$

Korzystamy z tego, że:

Cytuj:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

Asymptota ukośna :

$y=x+1$

Przykład 3

$f(x)= \frac{e^x+1}{e^{x}-1}$

$(1)$ Dziedzina:

$e^{x}-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

$\lim_{ x \to 0 ^{+} } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[ \frac{2}{0 ^{+} } \right]=+ \infty$

$\lim_{ x \to 0 ^{-} } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[ \frac{2}{0 ^{-} } \right]=- \infty$

Asymptota pionowa $x=0$

$(2)$

$\lim_{x \to + \infty } \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =...$

Dzielimy licznik i mianownik przez $e^{x}$

$...= \lim_{x \to + \infty } \frac{1+ \frac{1}{e^{x}} }{1- \frac{1}{e^{x}} } = \frac{1+0}{1-0} =1$

Można też to zrobić tak:

Ukryta treść:

$\lim_{x \to - \infty } \frac{e^x+1}{e^{x}-1} = \frac{0+1}{0-1}=-1$

2 asymptoty poziome

$y=1$

$y=-1$

$(3)$

$a=\lim_{x \to + \infty } \frac{1}{x} + \frac{ 2}{x(e^{x}-1)}= 0+ 0=0$

Czyli :

$b=\lim_{x \to + \infty } f(x) - a \cdot x= \lim_{x \to + \infty } f(x) - 0 \cdot x=\lim_{x \to + \infty } f(x)$

I tutaj wracamy do przypadku $(2)$

Widać, że asymptota pozioma to szczególny przypadek asymptoty ukośnej ( $a=0$ )

cdn

Wszelkie uwagi proszę kierować na PW

Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )

_________________
Szeryf forum matematyka.pl
Przyznany order pomocnika 22 czerwca 2012
Korepetycje, rozwiązywanie zadań: 6401380
mail: miodzio1988@wp.pl

Ostatnio edytowano 17 sie 2010, o 20:01 przez Althorion, łącznie edytowano 1 raz

Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.

Góra

Matematyka.pl

	Strona 1 z 1	[ Posty: 1 ]

Strona główna Forum » Matematyka - królowa nauk » Rozwiązania zadań

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Dział	Autor	Odpowiedzi
Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania	Rozwiązania zadań	bolo	0
Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych- hesjan równy zero	Rozwiązania zadań	miodzio1988	0
Sprzężenie-liczenie granic	Rozwiązania zadań	miodzio1988	0
Obliczanie pochodnych kierunkowych funkcji	Rozwiązania zadań	Lbubsazob	0
Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych	Rozwiązania zadań	Lbubsazob	0
Zastosowanie różniczki funkcji do obliczania przybliżeń	Rozwiązania zadań	Lbubsazob	0
Przebieg zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku - zadanie 2	Rozwiązania zadań	Chromosom	0
Wyprowadzenie rozw. w szereg Maclaurina wybranych funkcji	Rozwiązania zadań	luka52	0
Definicja i własności funkcji wykładniczej	Funkcje logarytmiczne i wykładnicze	Anonymous	1
(2 zadania) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąt	Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne	Anonymous	1
pochodna funkcji	Rachunek różniczkowy	Anonymous	1
Znajdź x dla którego wartość funkcji jest liczbą całk	Funkcje wielomianowe	Anonymous	6
Przebieg zmiennosci funkcji	Rachunek różniczkowy	Anonymous	3
Określ dziedzine i narysuj wykres funkcji	Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne	Anonymous	4
Granice funkcji.	Granica funkcji	Anonymous	6
pochodna funkcji w punkcie	Rachunek różniczkowy	Anonymous	5
Pochodna funkcji - zadanie 2	Rachunek różniczkowy	Anonymous	7
Iterowanie funkcji.	Rachunek różniczkowy	Anonymous	3
Szukam zadan z pochodnej funkcji...	Rachunek różniczkowy	Anonymous	3
Badanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.	Funkcje logarytmiczne i wykładnicze	Anonymous	1
Badanie monotoniczności funkcji.	Funkcje logarytmiczne i wykładnicze	Anonymous	4
Badanie elastyczności funkcji.	Analiza wyższa i funkcjonalna	Anonymous	1
pochodna funkcji - zadanie 3	Rachunek różniczkowy	Anonymous	1
Pochodna funkcji w punkcie - zadanie 2	Rachunek różniczkowy	Anonymous	7
Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?	Własności i granice ciągów. Szeregi liczbowe	kej.ef	12
Rozciąganie funkcji y = 3*tg(x)	Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne	Anonymous	2
Anal. wektorowa, teoria funkcji zesp.,krzywe powierzchniowe.	Analiza wyższa i funkcjonalna	Anonymous	1
Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek	Granica funkcji	Ptolemeusz	9
Granice funkcji wielu zmiennych	Granica funkcji	malgosia	1
Miejsce zerowe funkcji	Funkcje liniowe	Anonymous	2

Kto przegląda Forum

Użytkownicy przeglądający to Forum: Brak zalogowanych użytkowników i 0 gości

Nie możesz rozpoczynać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz edytować swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz dodawać załączników

Skocz do:

Astronomia.pl program tv Grudziądz , Tunezja last minute - zarezerwuj na wycieczka.pl Lalka streszczenie Wypracowania z polskiego

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]