szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 sie 2010, o 18:21 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 33416
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
Liczenie asymptot funkcji


Teorię można znaleźć pod tym linkiem:

80977.htm

Przykład 1


f(x)=  \frac{x ^{2}+1  }{x}

(1) Zaczynamy od dziedziny:

x \neq 0 i tylko w tym punkcie szukamy asymptoty pionowej

\lim_{x \to 0 ^{+} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{+} }  \right] =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{-} }  \right] =- \infty

Zatem funkcja f posiada asymptotę pionową daną wzorem x=0

(2) Badamy co się dzieje gdy x \rightarrow    ^{+}  _{-} \infty

\lim_{x \to + \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to + \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to + \infty  } x+  \frac{1}{x} =[+ \infty  +0]= + \infty

\lim_{x \to - \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to - \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to - \infty  } x+  \frac{1}{x} =[- \infty  +0]= - \infty

Brak asymptot poziomych ( Gdyby istniały to zamiast nieskończoności by wyszły liczby )

(3) Szukamy asymptot ukośnych korzystając ze znanych wzorów:

Cytuj:

a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)


a=  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x} \cdot  \frac{1}{x} =  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x ^{2} }=...

Dzielimy licznik i mianownik przez x ^{2}

...=\lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{x ^{2} }   }{1 }= 1

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} - x= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} -   \frac{x ^{2} }{x} =\lim_{x\to +\infty}   \frac{1}{x}=0

Asymptota ukośna to: y=ax+b
czyli u nas:

y=x

Przykład 2


f(x)=   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }

(1) Dziedzina : R - \{ 0 \}

\lim_{x \to 0 ^{+} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{+} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{+} \Rightarrow  t \rightarrow  + \infty

... =  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= H=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{( e^{t})' }{(t)'}=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{  e^{t}  }{1}= \lim_{t \to + \infty   }  e^{t}  =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{-} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{-} \Rightarrow  t \rightarrow  - \infty


... =  \lim_{t \to - \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= [ \frac{0}{- \infty } ]= 0

Asymptota pionowa prawostronna : x=0

(2) Asymptoty poziome:

\lim_{x \to + \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ + \infty  \cdot  e ^{0}]= [ + \infty  \cdot  1]=+\infty

\lim_{x \to - \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ - \infty  \cdot  e ^{0}]= [ - \infty  \cdot  1]=-\infty

Brak asymptot poziomych

(3) Asymptoty ukośne

a= \lim_{x \to + \infty  }   \frac{ x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }}{x}= \lim_{x \to + \infty  }        e   ^{ \frac{1}{x} }=e ^{0}=1

b= \lim_{x \to + \infty  }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } -x  =  \lim_{x \to + \infty  } x(   e   ^{ \frac{1}{x} }- 1)=...

Podstawienie t= \frac{1}{x}

...= \lim_{x \to  0 ^{+}  }  \frac{ e^{t} -1}{t}=1

Korzystamy z tego, że:

Cytuj:
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1


Asymptota ukośna :

y=x+1

Przykład 3


f(x)= \frac{e^x+1}{e^{x}-1}

(1) Dziedzina:

e^{x}-1 \neq  0  \Rightarrow  x \neq  0

\lim_{ x \to 0 ^{+}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{+} } \right]=+ \infty

\lim_{ x \to 0 ^{-}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{-} } \right]=- \infty

Asymptota pionowa x=0

(2)

\lim_{x \to + \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =...

Dzielimy licznik i mianownik przez e^{x}

...= \lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{e^{x}} }{1-  \frac{1}{e^{x}} } =  \frac{1+0}{1-0} =1

Można też to zrobić tak:

Ukryta treść:    


\lim_{x \to - \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =  \frac{0+1}{0-1}=-1

2 asymptoty poziome

y=1

y=-1

(3)

a=\lim_{x \to + \infty }  \frac{1}{x} + \frac{ 2}{x(e^{x}-1)}= 0+ 0=0

Czyli :

b=\lim_{x \to + \infty } f(x)  -  a \cdot x= \lim_{x \to + \infty } f(x)  -  0 \cdot x=\lim_{x \to + \infty } f(x)

I tutaj wracamy do przypadku (2)

Widać, że asymptota pozioma to szczególny przypadek asymptoty ukośnej (a=0)


cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW



Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania
Przykładowe zadanie z wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x,y)=x^{3}+3xy^{...
 bolo  0
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych- hesjan równy zero
Co robić gdy hesjan jest równy zero ? Często się zdarza, że dana osoba nie wie co zrobić, gdy hesjan ( czyli, przy ekstremum funkcji dwóch zmiennych, wy...
 miodzio1988  0
 Sprzężenie-liczenie granic
Sprzężenie Często w liczeniu granic pojawia się sugestia: Pomnóż przez sprzężenie Chodzi o skorzystanie z tego wzoru:...
 miodzio1988  0
 Obliczanie pochodnych kierunkowych funkcji
OBLICZANIE POCHODNYCH KIERUNKOWYCH FUNKCJI Pochodną kierunkową funkcji f w kierunku...
 Lbubsazob  0
 Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych
OBLICZANIE POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH FUNKCJI ZŁOŻONYCH Jeśli F(t)=f\left( x(t),y&...
 Lbubsazob  0
 Zastosowanie różniczki funkcji do obliczania przybliżeń
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZANIA PRZYBLIŻONYCH WARTOŚCI WYRAŻEŃ Będziemy stosować wzór: [tex:2u0jgvv...
 Lbubsazob  0
 Przebieg zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku - zadanie 2
Badanie przebiegu zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku W niniejszym temacie zostaną przedstawione krok po kroku przykładowe rozwiązania zadań z ...
 Chromosom  0
 Wyprowadzenie rozw. w szereg Maclaurina wybranych funkcji
Szeregi Maclaurina wybranych funkcji Spis treści 1. [url=http&...
 luka52  0
 Definicja i własności funkcji wykładniczej
Zdefiniuj funkcję wykładniczą i podaj jej własności....
 Anonymous  1
 (2 zadania) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąt
1.Wiedząc że cos(A)=-1/4 i A jest kątem II ćwiartki oblicz pozostałe funkcje kąta A. 2.Wiedzac że tg(A)=2/3 i jest kątem III ćwiartki oblicz pozostałe funkcje kąta A....
 Anonymous  1
 pochodna funkcji
Witam Czy ktos moze mi podac jak bedzie wygladac pochodna funkcji x-ln(x)-2=0 Potrzebne mi to jest do oblicznia równania metoda Newtona gdzie punkt startowy wynosi 4 albo 6. Metoda Bisekcji ladnie sie rozwiazuje. Pozdrawiam,...
 Anonymous  1
 Znajdź x dla którego wartość funkcji jest liczbą całk
Dane jest następujące wyrażenie: k(x) = \frac{2x^3 + 5x^2 +4}{2x+1} Znajdź takie x, dla którego k należy do zbioru liczb całkowitych. Ma ktoś może jaki...
 Anonymous  6
 Przebieg zmiennosci funkcji
Licze przebieg zmiennosci funkcji f(x)=(x^2+1)^4 I jestem na liczeniu pkt.przeciecia: f(x)=0 wyszlo x^8+2x^6+2x^5+2x^4+2x^3+4x^2+1=0 Jak to policzyc?...
 Anonymous  3
 Określ dziedzine i narysuj wykres funkcji
Wie moze ktos jak okreslic dziedzine i narysowac wykres funkcji y=|cosx|/cosx (to jest ulamek)...
 Anonymous  4
 Granice funkcji.
Jak obliczyc granice funkcji f(x)=pierwiastek(x^4+x^2-6) - x^2 , gdy x dazy do + i do - nieskonczonosci! Z gory dzieki!...
 Anonymous  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com