szukanie zaawansowane





Regulamin działu


UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.



Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 sie 2010, o 17:21 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 30345
Lokalizacja: Ostrołęka
Wiek: 24
Pomógł: 2795
Pomoc poza forum: Tak
Liczenie asymptot funkcji


Teorię można znaleźć pod tym linkiem:

80977.htm

Przykład 1


f(x)=  \frac{x ^{2}+1  }{x}

(1) Zaczynamy od dziedziny:

x \neq 0 i tylko w tym punkcie szukamy asymptoty pionowej

\lim_{x \to 0 ^{+} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{+} }  \right] =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }  \frac{x ^{2}+1  }{x}=\left[ \frac{1}{0 ^{-} }  \right] =- \infty

Zatem funkcja f posiada asymptotę pionową daną wzorem x=0

(2) Badamy co się dzieje gdy x \rightarrow    ^{+}  _{-} \infty

\lim_{x \to + \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to + \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to + \infty  } x+  \frac{1}{x} =[+ \infty  +0]= + \infty

\lim_{x \to - \infty  }  f(x)=  \lim_{x \to - \infty  } \frac{x ^{2}+1  }{x} =  \lim_{x \to - \infty  } x+  \frac{1}{x} =[- \infty  +0]= - \infty

Brak asymptot poziomych ( Gdyby istniały to zamiast nieskończoności by wyszły liczby )

(3) Szukamy asymptot ukośnych korzystając ze znanych wzorów:

Cytuj:

a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)


a=  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x} \cdot  \frac{1}{x} =  \lim_{x \to + \infty  }  \frac{x ^{2}+1  }{x ^{2} }=...

Dzielimy licznik i mianownik przez x ^{2}

...=\lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{x ^{2} }   }{1 }= 1

b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} - x= \lim_{x\to +\infty} \frac{x ^{2}+1  }{x} -   \frac{x ^{2} }{x} =\lim_{x\to +\infty}   \frac{1}{x}=0

Asymptota ukośna to: y=ax+b
czyli u nas:

y=x

Przykład 2


f(x)=   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }

(1) Dziedzina : R - \{ 0 \}

\lim_{x \to 0 ^{+} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{+} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{+} \Rightarrow  t \rightarrow  + \infty

... =  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= H=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{( e^{t})' }{(t)'}=  \lim_{t \to + \infty   }  \frac{  e^{t}  }{1}= \lim_{t \to + \infty   }  e^{t}  =+ \infty

\lim_{x \to 0 ^{-} }f(x)=  \lim_{x \to 0 ^{-} }  x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =...

Podstawienie:

t= \frac{1}{x}

x \rightarrow  0 ^{-} \Rightarrow  t \rightarrow  - \infty


... =  \lim_{t \to - \infty   }  \frac{ e^{t} }{t}= [ \frac{0}{- \infty } ]= 0

Asymptota pionowa prawostronna : x=0

(2) Asymptoty poziome:

\lim_{x \to + \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ + \infty  \cdot  e ^{0}]= [ + \infty  \cdot  1]=+\infty

\lim_{x \to - \infty   }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } =[ - \infty  \cdot  e ^{0}]= [ - \infty  \cdot  1]=-\infty

Brak asymptot poziomych

(3) Asymptoty ukośne

a= \lim_{x \to + \infty  }   \frac{ x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} }}{x}= \lim_{x \to + \infty  }        e   ^{ \frac{1}{x} }=e ^{0}=1

b= \lim_{x \to + \infty  }   x  \cdot  e   ^{ \frac{1}{x} } -x  =  \lim_{x \to + \infty  } x(   e   ^{ \frac{1}{x} }- 1)=...

Podstawienie t= \frac{1}{x}

...= \lim_{x \to  0 ^{+}  }  \frac{ e^{t} -1}{t}=1

Korzystamy z tego, że:

Cytuj:
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1


Asymptota ukośna :

y=x+1

Przykład 3


f(x)= \frac{e^x+1}{e^{x}-1}

(1) Dziedzina:

e^{x}-1 \neq  0  \Rightarrow  x \neq  0

\lim_{ x \to 0 ^{+}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{+} } \right]=+ \infty

\lim_{ x \to 0 ^{-}  } \frac{e^x+1}{e^{x}-1}= \left[  \frac{2}{0 ^{-} } \right]=- \infty

Asymptota pionowa x=0

(2)

\lim_{x \to + \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =...

Dzielimy licznik i mianownik przez e^{x}

...= \lim_{x \to + \infty  }  \frac{1+  \frac{1}{e^{x}} }{1-  \frac{1}{e^{x}} } =  \frac{1+0}{1-0} =1

Można też to zrobić tak:

Ukryta treść:    


\lim_{x \to - \infty  }  \frac{e^x+1}{e^{x}-1} =  \frac{0+1}{0-1}=-1

2 asymptoty poziome

y=1

y=-1

(3)

a=\lim_{x \to + \infty }  \frac{1}{x} + \frac{ 2}{x(e^{x}-1)}= 0+ 0=0

Czyli :

b=\lim_{x \to + \infty } f(x)  -  a \cdot x= \lim_{x \to + \infty } f(x)  -  0 \cdot x=\lim_{x \to + \infty } f(x)

I tutaj wracamy do przypadku (2)

Widać, że asymptota pozioma to szczególny przypadek asymptoty ukośnej (a=0)


cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW



Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )

_________________
Szeryf forum matematyka.pl
Przyznany order pomocnika 22 czerwca 2012
Korepetycje, rozwiązywanie zadań: 6401380
mail: miodzio1988@wp.pl


Ostatnio edytowano 17 sie 2010, o 20:01 przez Althorion, łącznie edytowano 1 raz
Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.


Góra
 Zobacz profil   6401380
 
Polecam
Wyświetl posty nie starsze niż:  Sortuj wg  
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Dział   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych - przykładowe zadania  Rozwiązania zadań  bolo  0
 Ekstrema lok. funkcji dwóch zmiennych- hesjan równy zero  Rozwiązania zadań  miodzio1988  0
 Sprzężenie-liczenie granic  Rozwiązania zadań  miodzio1988  0
 Obliczanie pochodnych kierunkowych funkcji  Rozwiązania zadań  Lbubsazob  0
 Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych  Rozwiązania zadań  Lbubsazob  0
 Zastosowanie różniczki funkcji do obliczania przybliżeń  Rozwiązania zadań  Lbubsazob  0
 Przebieg zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku - zadanie 2  Rozwiązania zadań  Chromosom  0
 Wyprowadzenie rozw. w szereg Maclaurina wybranych funkcji  Rozwiązania zadań  luka52  0
 Definicja i własności funkcji wykładniczej  Funkcje logarytmiczne i wykładnicze  Anonymous  1
 (2 zadania) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąt  Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne  Anonymous  1
 pochodna funkcji  Rachunek różniczkowy  Anonymous  1
 Znajdź x dla którego wartość funkcji jest liczbą całk  Funkcje wielomianowe  Anonymous  6
 Przebieg zmiennosci funkcji  Rachunek różniczkowy  Anonymous  3
 Określ dziedzine i narysuj wykres funkcji  Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne  Anonymous  4
 Granice funkcji.  Granica funkcji  Anonymous  6
 pochodna funkcji w punkcie  Rachunek różniczkowy  Anonymous  5
 Pochodna funkcji - zadanie 2  Rachunek różniczkowy  Anonymous  7
 Iterowanie funkcji.  Rachunek różniczkowy  Anonymous  3
 Szukam zadan z pochodnej funkcji...  Rachunek różniczkowy  Anonymous  3
 Badanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.  Funkcje logarytmiczne i wykładnicze  Anonymous  1
 Badanie monotoniczności funkcji.  Funkcje logarytmiczne i wykładnicze  Anonymous  4
 Badanie elastyczności funkcji.  Analiza wyższa i funkcjonalna  Anonymous  1
 pochodna funkcji - zadanie 3  Rachunek różniczkowy  Anonymous  1
 Pochodna funkcji w punkcie - zadanie 2  Rachunek różniczkowy  Anonymous  7
 Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?  Własności i granice ciągów. Szeregi liczbowe  kej.ef  12
 Rozciąganie funkcji y = 3*tg(x)  Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne  Anonymous  2
 Anal. wektorowa, teoria funkcji zesp.,krzywe powierzchniowe.  Analiza wyższa i funkcjonalna  Anonymous  1
 Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek  Granica funkcji  Ptolemeusz  9
 Granice funkcji wielu zmiennych  Granica funkcji  malgosia  1
 Miejsce zerowe funkcji  Funkcje liniowe  Anonymous  2

Kto przegląda Forum

Użytkownicy przeglądający to Forum: Brak zalogowanych użytkowników i 0 gości


Nie możesz rozpoczynać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz edytować swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz dodawać załączników

Szukaj:
Skocz do:  
Astronomia.pl program tv Grudziądz , Tunezja last minute - zarezerwuj na wycieczka.pl Lalka streszczenie Wypracowania z polskiego
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Netstel Software