[ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Oszacuj błąd przybliżenia funkcji sin x wielomianem \frac{x^{3}}{6} na przedziale [\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]. Podaj uzasadnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Ma być tak:

Oszacuj błąd przybliżenia funkcji \sin x wielomianem x-\frac{x^{3}}{6} na przedziale [-\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]

Oszacowanie: \frac{1}{120\cdot 10^5}=8.33\cdot 10^{-8}

Wskazówka: napisz wzór Maclaurina dla sinusa, zapisz resztę zależną nie od czwartej, jak sugerowałaby logika, ale od piątej pochodnej, a następnie oszacuj tę resztę w zadanym przedziale.

Pytanie: czemu właściwe jest napisanie reszty zależnej od piątej pochodnej? Oczywiście jest to wniosek z przeprowadzonych rozważań, ja odpowiedź znam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Czym jest ta "reszta"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Tu nie miejsce na wykład, doczytaj w podręczniku lub w notatkach i zrób zadanie wg mojej wskazówki. Odpowiedź podałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 09:45 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: 50 cm od monitora :)
Hmmm, jeśli dobrze rozumiem...
f(x) = f(0) +  \frac{f'(0)}{1!} (x-0) + \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2 + \frac{f'''(0)}{3!} (x-0)^3 + \frac{f''''(0)}{4!} (x-0)^4

f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = - sin(x)
f''''(x) = - cos(x)
f''''(x) = sin(x)

f(x) = 0 + x + 0 +  \frac{-x^3}{6} + \textbf{0}
Czwarty stopień wielomianu się zeruje, stąd liczymy resztę od piątej pochodnej.
Czyli:
Reszta w postaci Lagrange'a:
r_4 (0,x - w) =  \frac{f^{n+1}(\zeta)}{(n+1)!} (x - w)^{n+1}
r_4 (0,x) = \frac{cos(\zeta)}{5!} x^5
Nie rozumiem podstawienia jakie tu zaszło. Jednak patrząc na twój wynik jaki podał szw1710 mogę stwierdzić, że cos(\zeta) został zastąpiony przez 1, a pod x^5 zostało podstawione \frac{1}{10}. Nie rozumiem też czym jest zmienna w we wzorze Taylora oraz w reszcie Lagrange'a. Za w przyjąłem 0, bo tak było w innym przykładzie :)
Proszę o wyjaśnienie dlaczego takie podstawienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 16:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze mówisz, k1jek. Liczba w to punkt, w którym pisze się wzór Taylora, więc dla w=0 mamy wzór Maclaurina. A z tymi podstawieniami: przeciez resztę trzeba oszacować, więc cosinus jest ograniczony przez 1, a x przez 0.1 (mówię tu o modułach i module reszty), więc dobrze zrobiłeś. Może warto więc było podać odpowiedź :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2010, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 91
Lokalizacja: Polska
Wszystko rozumiem oprócz oszacowania reszty. Skąd wiadomo, że cosx jest ograniczony przez 1, a samo x przez 0,1? Czemu oba nie są ograniczone przez 0,1?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja błędu
Dana jest funkcja: y=f(x) w postaci dyskretnej (-1,1) (0,1) (2,0) znaleźć wartość 1 pochodnej funkcji w pkt o współrzędnych x=0 za pomoca lokalnej aproksymacji MWLS stopnia 1. Rozwią...
 aniluayp  0
 ocena błędu metodą różniczki zupełnej
witam, chcialbym aby ktoś mi wytłumaczył jak zabrać sie (rozpisać wzór) za ocene błędu takiego wzoru: r= \frac{\left( c_{k} m_{k}+ c_{w} m_{w} \right)\left( t_{2}- t_{1} \right) }{ m_{p} }- c_{w}\left( t_{w}-...
 yetiq  1
 Dyskusja błędu metodą różniczkową.
Potrzebna jest mi pomoc przy rozwiązaniu tego zadania "Pierwsza zasada termodynamiki" z chemii informatycznej. Co prawda całość zadania już policzyłem jednak nie potrafię liczyć błędów pomiaru (ani tą , ani żadną inną metodą- nie pytajcie ...
 cichociemny  5
 szacowanie reszty wzór Taylora
Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f(x)= \sqrt{x} e punkcie x_{0}= 27 i za pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość \sqrt{26}[/tex:3krbhoc...
 asia1234  0
 Wykaż że można skorzystać z przybliżenia
Wykaż, że dla x dostatecznie bliskich x_{o}=o można skorzystać z przybliżenia ln_{(1+x)} ...
 kketrab  3
 Określanie błędu względnego przy wykorzystaniu różniczki.
Witam! Mam problem z pewnym zadaniem i z racji tego, że jestem nowym użytkownikiem, nie wiedziałem w jakim dziale powinienem zadać pytanie, dlatego zadam je tutaj. Znaleźć przyrost wartości funkcji f(x)=x ^{2} od...
 ciasteczqo11  2
 obliczanie przybliżenia wartości funkcji w punkcie
f(x+x_0) x=1 x_0=-0.01...
 muri  2
 Różniczka funkcji. Wzór na obliczanie przybliżenia
Skąd się wziął wzór na obliczanie przybliżenia tj. f(x+\Delta x) \approx f(x)+f'(x) \Delta x...
 Brzezin  3
 Pewna metoda iteracyjna. Szacowanie błędu.
Mam problem ze zrozumieniem metody y _{n+1} = y _{n}( 2 - x \cdot y _{n}) dla funkcji y = \frac{1}{x}. Jak liczę jakąś funkcje np. dla x = 5 to wychodz...
 boxtick  0
 obliczanie błedu ciężaru właściwego metoda różniczki zupełne
mam taki wzór: d= \frac{d_w \cdot m_1}{m_3-m_2} d_w to gęstość wody gdyby ktoś mógł mi powiedzieć w jaki sposob obliczyć metodą różniczki zupełnej błąd tego ciężaru byłabym po stokroć wdzięcz...
 soshy  1
 szacowanie warosci pierwiastka z e (pochodna) oraz monotonic
2 zadanka z którymi mam problem 1. Obliczyć przybliżoną wartość \sqrt{e} korzystając z zależności f(x+h) \approx f(x) + f'(x) \cdot h (robiłem inne przykłady dla np...
 hubala3  24
 różniczka zupełna -oblicznie błedu
Witam wszystkich bardzo serdecznie! A więc: mam obliczyć błąd metodą różniczki zupełnej pomiaru długości fali. Korzystam ze wzoru: \Delta\lambda=|\frac{\partial\lambda}{\partial\varepsilon}|\Delta\varepsilon+|\frac{\partial\lambda}{\...
 bozena125  0
 Liczenie Błędu - Róźniczka zupełna
Witam! Mój problem dotyczy obliczenia błędu na zajęcia z fizyki za pomocą różniczki zupełnej. Nigdy jeszcze nie miałem żadnej styczności z różniczkami ani pochodnymi. Wzór z którego obliczyłem wartość "główną" to: W = [(...
 Mattic  1
 Nie mogę znaleść błędu w moim obliczeniu f"(x)
Miałem do rozwiązania zadanie z logarytem i jego zbiorem rozwiązań. Policzyłem pierwszą pochodna: f'(x)= { \log \left(3x\right) \over 2 \sqrt{...
 Yeti  2
 Wzór Taylora, Maclaurina i szacowanie błędu przyblliżenia
Hej wszystkim ;) Mam problem z 3 zadaniami. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc w ich rozwiązaniu. 1) Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange'a dla f(x)= \sqrt{x}, gdzie x_{0}=1 i [tex:2...
 Isabell_  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com