[ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Oszacuj błąd przybliżenia funkcji sin x wielomianem \frac{x^{3}}{6} na przedziale [\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]. Podaj uzasadnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12955
Lokalizacja: Cieszyn
Ma być tak:

Oszacuj błąd przybliżenia funkcji \sin x wielomianem x-\frac{x^{3}}{6} na przedziale [-\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]

Oszacowanie: \frac{1}{120\cdot 10^5}=8.33\cdot 10^{-8}

Wskazówka: napisz wzór Maclaurina dla sinusa, zapisz resztę zależną nie od czwartej, jak sugerowałaby logika, ale od piątej pochodnej, a następnie oszacuj tę resztę w zadanym przedziale.

Pytanie: czemu właściwe jest napisanie reszty zależnej od piątej pochodnej? Oczywiście jest to wniosek z przeprowadzonych rozważań, ja odpowiedź znam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Czym jest ta "reszta"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12955
Lokalizacja: Cieszyn
Tu nie miejsce na wykład, doczytaj w podręczniku lub w notatkach i zrób zadanie wg mojej wskazówki. Odpowiedź podałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 09:45 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: 50 cm od monitora :)
Hmmm, jeśli dobrze rozumiem...
f(x) = f(0) +  \frac{f'(0)}{1!} (x-0) + \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2 + \frac{f'''(0)}{3!} (x-0)^3 + \frac{f''''(0)}{4!} (x-0)^4

f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = - sin(x)
f''''(x) = - cos(x)
f''''(x) = sin(x)

f(x) = 0 + x + 0 +  \frac{-x^3}{6} + \textbf{0}
Czwarty stopień wielomianu się zeruje, stąd liczymy resztę od piątej pochodnej.
Czyli:
Reszta w postaci Lagrange'a:
r_4 (0,x - w) =  \frac{f^{n+1}(\zeta)}{(n+1)!} (x - w)^{n+1}
r_4 (0,x) = \frac{cos(\zeta)}{5!} x^5
Nie rozumiem podstawienia jakie tu zaszło. Jednak patrząc na twój wynik jaki podał szw1710 mogę stwierdzić, że cos(\zeta) został zastąpiony przez 1, a pod x^5 zostało podstawione \frac{1}{10}. Nie rozumiem też czym jest zmienna w we wzorze Taylora oraz w reszcie Lagrange'a. Za w przyjąłem 0, bo tak było w innym przykładzie :)
Proszę o wyjaśnienie dlaczego takie podstawienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 16:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12955
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze mówisz, k1jek. Liczba w to punkt, w którym pisze się wzór Taylora, więc dla w=0 mamy wzór Maclaurina. A z tymi podstawieniami: przeciez resztę trzeba oszacować, więc cosinus jest ograniczony przez 1, a x przez 0.1 (mówię tu o modułach i module reszty), więc dobrze zrobiłeś. Może warto więc było podać odpowiedź :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2010, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 91
Lokalizacja: Polska
Wszystko rozumiem oprócz oszacowania reszty. Skąd wiadomo, że cosx jest ograniczony przez 1, a samo x przez 0,1? Czemu oba nie są ograniczone przez 0,1?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oszacować błąd bezwzględny przybliżenia
sinx \approx x- \frac{x^3}{6} , \left| x\right| \le 0,5 jak to się robi?...
 rafalafar  3
 Dokładność przybliżenia - Maclaurin
Mam podać dokładność podanego wzoru na wskazanym przedziale: \cosh x \approx 1+\frac{x^2}{2} \left|x \right| \le 0.1 Doszedłem do tego, że dokładnością będzie R_{4}(c)...
 Wojput  3
 wzór Taylora - szacowanie wartości i błędu
Wzór Taylora to wielomian plus reszta, która jest właśnie błędem oszacowania funkcji przez ten wielomian. Trzeba więc oszacować wartość tej reszty na zadanym przedziale....
 borsux  1
 szacowanie niepewnośc i
mam spory problem, na zajeciach z fizyki mamy do obliczenia niepewności pomiarowe z wykonanych cwiczen. wg wykladowcy powinnismy po liceum mies juz opanowane całki, rozniczki itp, niestety nikt nie mial tego w liceum. wiec mam cos takiego: [tex:of1...
 clavicula  3
 Szacowanie dokładności przybliżeń na wskazanych przedziałach
Oszacować dokładność przybliżeń na wskazanym przedziale: \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} , \left| x\right| \le 0,01 Nie mam pojęcia z czego to wyliczyć....
 micsmi  6
 Blad przyblizenia.
Bardzo proszę o pomoc Oszacuj błąd przybliżenia: \ln \left( x-1\right) \approx -x- \frac{ x ^{2} }{2} - \frac{ x^{3} }{3} , \left| x\right| ...
 xxxmadeleine  6
 obliczanie błędu metodą różniczki zupełnej - zadanie 2
Witam. Mam problem ze sprawozdaniem z fizyki. Mam obliczyć błędy dla kilku różnych obliczeń dotyczących pomiaru gęstości- z samą metodą jak na razie nie mam problemów- rozumiem jak ona działa, umiem liczyć pochodne ale napotkałem na następujący dyle...
 rvsmed  4
 Dokładność przybliżenia, n-ta pochodna
Trochę mnie zadanie zbiło z tropu. Myślę że idę w dobrym kierunku, ale paru rzeczy nie jestem pewien. Treść zadania: Z jaką dokładnością wzór e^{x} \approx 1+x+ \frac{x^{2}}{2!}+ \ldots + \frac{x^{n}}{n!} przybliża wa...
 Browning0  0
 Błąd bezwzględny przybliżenia
Proszę o pomoc w rozwiązania krok po kroku zadania: Oszacować błąd bezwzględny przybliżenia liczby \sin (0.05) liczbą 0.05-\frac{(0.05)^{3}}{3!}+\frac{(0.05)^{5}}{5!}...
 Kozak939  5
 Określanie błędu względnego przy wykorzystaniu różniczki.
Witam! Mam problem z pewnym zadaniem i z racji tego, że jestem nowym użytkownikiem, nie wiedziałem w jakim dziale powinienem zadać pytanie, dlatego zadam je tutaj. Znaleźć przyrost wartości funkcji f(x)=x ^{2} od...
 ciasteczqo11  2
 obliczanie przybliżenia wartości funkcji w punkcie
f(x+x_0) x=1 x_0=-0.01...
 muri  2
 Funkcja błędu
Dana jest funkcja: y=f(x) w postaci dyskretnej (-1,1) (0,1) (2,0) znaleźć wartość 1 pochodnej funkcji w pkt o współrzędnych x=0 za pomoca lokalnej aproksymacji MWLS stopnia 1. Rozwią...
 aniluayp  0
 ocena błędu metodą różniczki zupełnej
witam, chcialbym aby ktoś mi wytłumaczył jak zabrać sie (rozpisać wzór) za ocene błędu takiego wzoru: r= \frac{\left( c_{k} m_{k}+ c_{w} m_{w} \right)\left( t_{2}- t_{1} \right) }{ m_{p} }- c_{w}\left( t_{w}-...
 yetiq  1
 Dyskusja błędu metodą różniczkową.
Potrzebna jest mi pomoc przy rozwiązaniu tego zadania "Pierwsza zasada termodynamiki" z chemii informatycznej. Co prawda całość zadania już policzyłem jednak nie potrafię liczyć błędów pomiaru (ani tą , ani żadną inną metodą- nie pytajcie ...
 cichociemny  5
 szacowanie reszty wzór Taylora
Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f(x)= \sqrt{x} e punkcie x_{0}= 27 i za pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość \sqrt{26}[/tex:3krbhoc...
 asia1234  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com