szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Oszacuj błąd przybliżenia funkcji sin x wielomianem \frac{x^{3}}{6} na przedziale [\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]. Podaj uzasadnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13044
Lokalizacja: Cieszyn
Ma być tak:

Oszacuj błąd przybliżenia funkcji \sin x wielomianem x-\frac{x^{3}}{6} na przedziale [-\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]

Oszacowanie: \frac{1}{120\cdot 10^5}=8.33\cdot 10^{-8}

Wskazówka: napisz wzór Maclaurina dla sinusa, zapisz resztę zależną nie od czwartej, jak sugerowałaby logika, ale od piątej pochodnej, a następnie oszacuj tę resztę w zadanym przedziale.

Pytanie: czemu właściwe jest napisanie reszty zależnej od piątej pochodnej? Oczywiście jest to wniosek z przeprowadzonych rozważań, ja odpowiedź znam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Czym jest ta "reszta"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2010, o 21:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13044
Lokalizacja: Cieszyn
Tu nie miejsce na wykład, doczytaj w podręczniku lub w notatkach i zrób zadanie wg mojej wskazówki. Odpowiedź podałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 09:45 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: 50 cm od monitora :)
Hmmm, jeśli dobrze rozumiem...
f(x) = f(0) +  \frac{f'(0)}{1!} (x-0) + \frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2 + \frac{f'''(0)}{3!} (x-0)^3 + \frac{f''''(0)}{4!} (x-0)^4

f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = - sin(x)
f''''(x) = - cos(x)
f''''(x) = sin(x)

f(x) = 0 + x + 0 +  \frac{-x^3}{6} + \textbf{0}
Czwarty stopień wielomianu się zeruje, stąd liczymy resztę od piątej pochodnej.
Czyli:
Reszta w postaci Lagrange'a:
r_4 (0,x - w) =  \frac{f^{n+1}(\zeta)}{(n+1)!} (x - w)^{n+1}
r_4 (0,x) = \frac{cos(\zeta)}{5!} x^5
Nie rozumiem podstawienia jakie tu zaszło. Jednak patrząc na twój wynik jaki podał szw1710 mogę stwierdzić, że cos(\zeta) został zastąpiony przez 1, a pod x^5 zostało podstawione \frac{1}{10}. Nie rozumiem też czym jest zmienna w we wzorze Taylora oraz w reszcie Lagrange'a. Za w przyjąłem 0, bo tak było w innym przykładzie :)
Proszę o wyjaśnienie dlaczego takie podstawienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 16:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13044
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze mówisz, k1jek. Liczba w to punkt, w którym pisze się wzór Taylora, więc dla w=0 mamy wzór Maclaurina. A z tymi podstawieniami: przeciez resztę trzeba oszacować, więc cosinus jest ograniczony przez 1, a x przez 0.1 (mówię tu o modułach i module reszty), więc dobrze zrobiłeś. Może warto więc było podać odpowiedź :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2010, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 91
Lokalizacja: Polska
Wszystko rozumiem oprócz oszacowania reszty. Skąd wiadomo, że cosx jest ograniczony przez 1, a samo x przez 0,1? Czemu oba nie są ograniczone przez 0,1?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zamiana błędu względnego na bezwzględny
Witam. Mam zadanie: Wykonano pomiar przyśpieszenie ziemskiego wg następującej funkcji: g= \frac{4 \pi ^{2} l }{ T^{2} } oraz l=1,80m \Rightarrow BW(l) = 5,6 \cdot 10^{-3} T=2,69s \Rightarr...
 talbot  6
 Wzór Tylora, szacowanie reszty
Otóż mam oszacować błąd dla \sqrt{9,2} i n=4. Rozumiem, że wtedy reszta będzie z pochodną czwartego rzędu (tutaj mam dylemat, bo spotkałem się z dwoma zapisami rozwinięcia, z resztą n-tego i n+1-go stopnia). Przyjmuję [t...
 Asentinn  2
 przeprowadzić dyskusje błędu metodą różniczki zupełnej
Witam, potrzebuje pomocy z obliczeniem błędu metodą różniczki zupełnej. \lambda= \frac{c \cdot \sin \alpha _{k} }{k} c = 0,00005m, a k to rząd widma i jes...
 kesnall  1
 dowód przybliżenia tgx~x dla małych x?
jak wykazać przybliżenia tgx \approx x i e^x \approx 1+x dla małych kątów przy pomocy różniczki?...
 rafalafar  3
 Szacowanie błędu w rozwinięciu funkcji tgx
Mam za zadanie rozwinąć funkcję \tan x do rzędu o\left( x^3\right) Wychodzi: \tan x=x+ \frac{x^3}{6}+o\left( x^3\right) Muszę jeszcze policzyć [t...
 rafalpw  0
 uzasadnic wzor przyblizenia
uzasadnic wzor przyblizenia i oszacowac błąd bezwzględny przyblizenia dla 0 \le x \le 1 \sqrt{1+x} \approx 1+ \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} nie wiem zupełnie jak robi sie tego pytu zadania......
 siatka  7
 Oszacuj dokładność przybliżenia wzoru.
Masz oszacować resztę tego rozwinięcia. Reszta moze byc w postaci Lagrange'a...
 malzon  4
 Obliczenie błędu pomiaru metodą różniczki - co z logarytmem?
Witajcie, Na laboratoriach z fizyki (studia) wykonywałem pewne ćwiczenie do którego muszę obliczyć błąd pomiaru. Oczywiście potrafię to zrobić, zarówno metodą różniczki zupełnej, jak i różniczki logarytmicznej. W tym przypadku mam jednak problem, gd...
 dimeral  1
 twierdzenia Cauchyego - szacowanie
1. Stosując tw. Cauchyego pokaż, że dla dowolnego x \in R | x^{n}-1| \le n \cdot |x-1| \cdot |x|^{n-1} \\ \\ F(X)= x^{n} -1 \\ \\ F'(x)= n \cdot x^{n-1} \\ \\ x=1 ; F(1)=0 \\ ...
 monti  0
 obliczanie błędu metodą różniczki zupełnej - zadanie 2
Witam. Mam problem ze sprawozdaniem z fizyki. Mam obliczyć błędy dla kilku różnych obliczeń dotyczących pomiaru gęstości- z samą metodą jak na razie nie mam problemów- rozumiem jak ona działa, umiem liczyć pochodne ale napotkałem na następujący dyle...
 rvsmed  4
 Dokładność przybliżenia, n-ta pochodna
Trochę mnie zadanie zbiło z tropu. Myślę że idę w dobrym kierunku, ale paru rzeczy nie jestem pewien. Treść zadania: Z jaką dokładnością wzór e^{x} \approx 1+x+ \frac{x^{2}}{2!}+ \ldots + \frac{x^{n}}{n!} przybliża wa...
 Browning0  0
 Błąd bezwzględny przybliżenia
Proszę o pomoc w rozwiązania krok po kroku zadania: Oszacować błąd bezwzględny przybliżenia liczby \sin (0.05) liczbą 0.05-\frac{(0.05)^{3}}{3!}+\frac{(0.05)^{5}}{5!}...
 Kozak939  5
 oszacować błąd bezwzględny przybliżenia
sinx \approx x- \frac{x^3}{6} , \left| x\right| \le 0,5 jak to się robi?...
 rafalafar  3
 Dokładność przybliżenia - Maclaurin
Mam podać dokładność podanego wzoru na wskazanym przedziale: \cosh x \approx 1+\frac{x^2}{2} \left|x \right| \le 0.1 Doszedłem do tego, że dokładnością będzie R_{4}(c)...
 Wojput  3
 wzór Taylora - szacowanie wartości i błędu
Wzór Taylora to wielomian plus reszta, która jest właśnie błędem oszacowania funkcji przez ten wielomian. Trzeba więc oszacować wartość tej reszty na zadanym przedziale....
 borsux  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com