szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Poznań
Zadanie jak z tematu ale metodą całki.
Oblicz pole koła o danym promieniu R.

P.S. takie zadanie otrzymałem na kolokwium z działu całek. Proszę o pomoc.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 17:03 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
Całką pojedynczą czy podwójną masz to obliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Poznań
pewnie podwójną ale jeśli jest pojedyncza również to mógłbym prosić o 2 rozwiązania
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 17:33 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
No to się zdecyduj , bo 2 rozwiązania raczej Ci tylko namieszają ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 17:37 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Poznań
całką podwójną
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 17:55 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
Obszar całkowania D to okrąg x^{2} + y^{2} = R^{2}. Teraz jego pole wystarczy obliczyć w następujący sposób:

P = \iint_{D} dxdy
Przechodzimy na współrzędne biegunowe:

x = rcos\varphi
y = rsin\varphi
dxdy = rdrd\varphi
D: \begin{cases} R \ge r \ge 0 \\ 2 \pi  \ge \varphi \ge 0 \end{cases}

Podstawiając:

P = \iint_{D} dxdy = \iint_{D} rdrd\varphi = ...
Dalej zrób sam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Poznań
jak mam tą zależność x^2+y^2=R^2 to jak wpsiuje pod całkę to w postaci x^2+y^2-R^2 ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 19:05 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
Nie, ja Ci już "wpisałem" pod całkę. Tam było tylko dxdy, nic więcej. Teraz wystarczy tylko zamienić całkę podwójną na iloczyn całek pojedynczych. Zrób to.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 19:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5795
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
cosinus90, tak naprawdę to całką podwójną to liczysz objętość walca o wysokości
jednostkowej wartości liczbowe będą się zgadzać ale gdybyś chciał uwzględnić jednostki
to już nie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 19:23 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
mariuszm, oczywiście kolejny raz musisz dorzucić swoje trzy grosze , które niczego nie wnoszą do tematu... Wkurzasz tym ludzi ale nie będę tutaj załatwiać takich spraw.
Skoro moje rozumowanie jest błędne, to proszę bardzo - napisz poprawne rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 19:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5795
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
Do liczenia pola lepiej jest używać całek pojedynczych ponieważ
całkami podwójnymi liczysz objętość takie jest moje zdanie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 19:30 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
Człowieku, przeczytaj ostatniego posta użytkownika gustaf999 i przestań wypisywać bzdury. Oczywiście, że wolno obliczać pole obszaru za pomocą całki podwójnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 21:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5795
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
cosinus90, napisałem przecież że jest to objętość walca o wysokości
jednostkowej i że wartość liczbowa będzie się zgadzać ale gdy uwzględnić jednostki
to wyniki będą różne

cosinus90, czy metr kwadratowy jest równy metrowi sześciennemu

ponieważ jeśli uwzględnić jednostki to po użyciu całki podwójnej otrzymasz

\pi \cdot R^2m^{3}

a po użyciu całki pojedynczej otrzymasz

\pi \cdot R^2m^2

Napisał całką podwójną ponieważ to ty mu to zasugerowałeś


cosinus90, napisałem przecież że jest to objętość walca o wysokości
jednostkowej i że wartość liczbowa będzie się zgadzać ale gdy uwzględnić jednostki
to wyniki będą różne

cosinus90, czy metr kwadratowy jest równy metrowi sześciennemu

ponieważ jeśli uwzględnić jednostki to po użyciu całki podwójnej otrzymasz

\pi \cdot R^2m^{3}

a po użyciu całki pojedynczej otrzymasz

\pi \cdot R^2m^2

Napisał całką podwójną ponieważ to ty mu to zasugerowałeś


cosinus90 napisał(a):
mariuszm, oczywiście kolejny raz musisz dorzucić swoje trzy grosze , które niczego nie wnoszą do tematu... Wkurzasz tym ludzi ale nie będę tutaj załatwiać takich spraw.
Skoro moje rozumowanie jest błędne, to proszę bardzo - napisz poprawne rozwiązanie.


Proszę bardzo

x^2+y^2=R^2\\
y^2=R^2-x^2\\
y_{1}= \sqrt{R^2-x^2}\\
y_{2}=- \sqrt{R^2-x^2}

S= \int_{-R}^{R}{y_{1} \mbox{d}x }- \int_{-R}^{R} {y_{2} \mbox{d}x }=2\int{y_{1} \mbox{d}x }

S=2\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }


Powyższą całkę najlepiej obliczyć przez części

\int{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }=x \sqrt{R^2-x^2}+\int{ \frac{x^{2}}{ \sqrt{R^2-x^2} }  \mbox{d}x } \\

\int{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }=x \sqrt{R^2-x^2}-\left(  \int{ \frac{R^2-x^2}{ \sqrt{R^2-x^2} }  \mbox{d}x }-\int{ \frac{R^2}{ \sqrt{R^2-x^2} }  \mbox{d}x } \right)  \\
2\int{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }=x \sqrt{R^2-x^2}+ \int{ \frac{R^2}{ \sqrt{R^2-x^2} }  \mbox{d}x}\\
2\int{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }=x \sqrt{R^2-x^2}+ \int{ \frac{R^2 \cdot  \frac{1}{R} }{ \sqrt{1-\left(  \frac{x}{R} \right) ^2} }  \mbox{d}x}\\
2\int{ \sqrt{R^2-x^2}  \mbox{d}x }=x \sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin{\left(  \frac{x}{R} \right) }

S=x \sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin{\left(  \frac{x}{R} \right) }  \left|  \frac{}{} \right|_{-R}^{R} \\
= \frac{\pi}{2}R^2-\left( - \frac{\pi}{2}R^2 \right)=\pi \cdot R^2


Można jeszcze ten okrąg sparametryzować i wtedy obliczyć pole tyle
że nie jestem pewien czy się nie zmieni interpretacja geometryczna

Wiem że używają całki podwójnej do liczenia pola ale nie powinno się tego robić
ponieważ nie jest to zgodne z interpretacją geometryczną całki podwójnej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 21:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
mariuszm, nie pouczaj mnie bo ja o tym doskonale wiem. Zrozum w końcu, że alfą i omegą nie jesteś, i nie wcinaj się we wszystko co się da.

Skoro uważasz, że nie wolno obliczać pola koła za pomocą całki podwójnej, to idź się gdzieś doucz bo ja w tym momencie wysiadam.

Nie zasugerowałem mu tego :
Cytuj:
Całką pojedynczą czy podwójną masz to obliczyć?


a on odpowiedział :
Cytuj:
pewnie podwójną ale jeśli jest pojedyncza również to mógłbym prosić o 2 rozwiązania


i potem to potwierdził.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 22:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5795
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
cosinus90, to co jest interpretacją geometryczną całki podwójnej
objętość czy pole ?
Gdyby było w zadaniu oblicz objętość walca to zgoda wtedy powinno się
użyć całki podwójnej

Napisałem tobie wcześniej że liczysz objętość walca a nie pole koła
Wysokość tego walca jest jednostkowa i dlatego wartość liczbowa jest taka sama
Jednostki natomiast nie będą się zgadzać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 22:21 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4672
Lokalizacja: Poznań
mariuszm, nie czytasz tego co piszę.
Temat uważam za zamknięty, bo z Tobą się nie da rozmawiać jak z normalnym człowiekiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2010, o 23:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2511
Lokalizacja: Bytom
Dla wyjaśnienia: całka podwójna z jakiejś funkcji po zadanym obszarze to objętość bryły ograniczonej z góry przez tę funkcję oraz z "boków" przez obszar całkowania. Funkcją podcałkową jest funkcja tożsamościowo równa jedynce, więc w praktyce liczymy objętość walca. Co do jednostek zgadzać się nie będzie, ale wartość będzie ta sama. mariuszm ma rację, jednakże wynik będzie taki sam (co do wartości). Jak widać, całką pojedynczą też się da (o co sam cosinus90 prosiłeś). Trochę spokojniej, Panowie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Calki z:x^3-4x; x^3+1; pole obsaru ograniczonego wykresm  Anonymous  1
 Oblicz całkę - zadanie 26  klimek  1
 Oblicz całkę z e^|x|  automatyk  2
 potrzebna całka koła  Jaco  2
 Pole kuli  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com