szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2006, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
Taj jak wyżej czy może mi ktoś pomóc jak się rozwiązuje układ równań metodą macierzową o wymiarze 3x3 a X=A-1*B (-1 powinno być w indeksie górnym ale coś mi nie wyszło smile.gif)
Prosze o pomoc ponieważ nigdzie nie mogę tego znależć a jutro mam sprawdzian
może mi ktoś wytłumaczy to na przykładzie, albo da odpowiedniego linka
pozdrowienia
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 gru 2006, o 14:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 45
Lokalizacja: Opole
a jaki masz przykład zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2006, o 23:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 448
Lokalizacja: 0-71
Rozumiem, że chodzi o metodę macierzy odwrotnej?

Może wytłumaczę na przykładzie.

Załóżmy, że masz układ równań:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=5\\2x+2y+z=3\\3x+2y+z=1\end{array}

Współczynniki przy niewiadomych możesz zapisać w postaci macierzowej:

A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right]

Układ równań w postaci macierzowej, zgodnie ze wzorem który podałeś, czyli X=A^{-1}B ma postać:


\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{ccc}5\\3\\1\end{array}\right]

Żeby rozwiązać układ, musisz znaleźć macierz odwrotną do macierzy A. Jest z tym trochę obliczeń.
Wzór ogólny jest taki:
A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left[\begin{array}{ccc}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{array}\right]^{T}

Będzie Ci do tego potrzebny wyznacznik macierzy A oraz współczynniki D_{ij}.

Wyznacznik:
\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right| = -1

Te współczynniki D wylicza się poprzez obliczanie wyznaczników powstałych poprzez skreślenie poszczególnych wierszy i kolumn macierzy A i pomnożenie ich przez -1 podniesione do potęgi i+j (gdzie i to numer skreślonego wiersza, j to numer skreślonej kolumny). Czyli np. D11 to wyznacznik powstały przez skreślenie 1 kolumny i 1 wiersza pomnożony przez -1 do potęgi 1+1.

Czyli:
D_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{ccc}2&1\\2&1\end{array}\right| = 0 \\
D_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}2&1\\3&1\end{array}\right| = 1 \\
D_{13} = -2 \\
D_{21} = 1\\
D_{22} = -2\\
D_{23} = 1\\
D_{31} = -1 \\
D_{32} = 1\\
D_{33} = 0\\


No to podstawiając do wzoru który dałem wyżej:
A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left[\begin{array}{ccc}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{array}\right]^{T}

A^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}0&1&-2\\1&-2&1\\-1&1&0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-1&2&-1\\2&-1&-0\end{array}\right]

Masz już macierz odwrotną, więc możesz podstawiać do wzoru X=A^{-1}B.

\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-1&2&-1\\2&-1&-0\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}5\\3\\1\end{array}\right]

Teraz wystarczy tylko pomnożyć macierze i masz wynik:

\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=0\\z=7\end{array}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 00:48 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
ok, wielkie dzięki
a czy by mi ktoś pomógł z teorią Kroneckera Capelliego
Oj chyba zaczynam to łapać (może dam sobie rade sam)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 01:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 448
Lokalizacja: 0-71
No dużo do rozumienia tutaj nie ma. :)

Układ równań liniowych postaci AX=B ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej (czyli macierz główna uzupełniona o jeszcze jedną kolumnę - kolumnę wyrazów wolnych). Czyli: rzA = rz[A|B].
Ponadto jeśli:
rzA \neq rz[A|B], to układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny)
rzA = rz[A|B]=n, to układ ma dokładnie 1 rozwiązanie (układ oznaczony)
rzA = rz[A|B]=r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów (układ nieoznaczony). Przez n oznaczamy liczbę niewiadomych, a r to rząd macierzy rozszerzonej.

Potrzebujesz jakiegoś przykładu, żeby to załapać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
w sumienie nie jest to trudne
tylko czy może mi ktoś jeszcze powiedzieć kiedy się stosuje którą metodę
wyznaczników (chyba się jej nie stosuje kiedy w=0)
macierzy odwrotnej (a tą zawsze można zastosować?)
Kroneckera Capelliego - (tutaj chyba można ją stosować jak w=0)
napiszcie czy dobrze myślę
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 15:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 448
Lokalizacja: 0-71
Zazwyczaj metoda jest zadana i stosuje się tą, którą kazali zastosować :D

Metodę wyznaczników stosuje się dla układów Cramera, czyli tylko wtedy gdy wyznacznik jest różny od zera. Metodę macierzy odwrotnej można zastosować też do układów Cramera, ale jest żmudna i ja jej nie lubię. Najłatwiej układy rozwiązuje się (moim zdaniem) poprzez eliminację Gaussa, polegającej na doprowadzeniu macierzy do postaci z jedynkami na przekątnej i zerami na pozostałych pozycjach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
A kiedy się stosuje metode Kroneckera Capelliego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 15:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 448
Lokalizacja: 0-71
Przyjęta metoda zależy tylko od Ciebie.

Ja używam Gaussa, bo jakoś wydaje mi się prostsza.
W każdym razie jedyne warunki rozwiązalności układu to:
:arrow: det(A)≠0. (twierdzenie Cramera)
:arrow: rzA = rzB (twierdzenie Kroneckera-Capelliego)

(A - macierz główna, B - macierz rozszerzona o kolumnę wyrazów wolnych)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
A czy ktoś by umiał rozwiązać to równanie metodą Kroneckera Capelliego
robiłem je metodą wyznaczników i macierzy odwrotnej ale tą metodą nie potrafie zrobić:

2x-y+z=1
y-2z=2
x+2y=5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 21:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 448
Lokalizacja: 0-71
To jest tak, że twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala na określenie ile układ ma rozwiązań. Obliczając rząd macierzy głównej A oraz macierzy rozszerzonej [A|B], możesz ustalić czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. Ale chcąc znaleźć to rozwiązanie, musisz i tak skorzystać np. z metody Gauss'a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 22:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 875
Lokalizacja: far away
a po za tym po co ci to. Są inne bardziej skuteczne środki których się używa. A metoda Kroneckera-Capellego jest bo po prostu musi być.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2006, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: rewtretr
wiem
tylko że ja jutro mam kolokwium i napewno będzie twierdzenie Kroneckera Capelliego
To ile według was ten układ ma rozwiązań (pokażcie jak to obliczyliście tą metodą)

[ Dodano: 2 Grudzień 2006, 23:57 ]
2x-y+z=1
y-2z=2
x+2y=5

czy dobrze obliczyłem że w(r)=u(r)=3
czyli układ ma tylko jedno rozwiązanie?
ponieważ r=n

[ Dodano: 3 Grudzień 2006, 17:32 ]
Wielkie dzięki panowie
Dostałem 4
tylko 4 bo nie do końca załapałem twierdzenie Kroneckera-Capellego
ale teraz już wiem o co w nim chodzi
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 macierz-układ równań  Anonymous  2
 macierze  Anonymous  1
 macierze - zadanie 2  Anonymous  2
 Macierze - zadanie 3  Anonymous  1
 Rozwiązanie ukł. równań z wykorzystaniem macierzy  orion  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com