szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2011, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 124
Lokalizacja: Sosnowiec
Znalazlem wzor na pole dowolnego czworokata. I jest to \frac{ef}{2}sin \alpha ef to przekatna a alfa to kat miedzy nimi.

Ale mam pytanie skad sie wziol ten wzor ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 625
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Przekątne dzielą czworokąt na 4 trójkąty. Przy obliczaniu pola trójkąta korzysta się ze wzoru

\frac{1}{2}  \cdot bok  \cdot  bok  \cdot sinus kąta między bokami

oraz z zależności trygonometrycznej \sin( \alpha ) = \sin(180 stopni -  \alpha)

Dodajemy 4 pola i powinno wyjść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2011, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 124
Lokalizacja: Sosnowiec
OK dziekuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2012, o 00:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mógłby to ktos udowodnić? Albo z grubsza przynajmniej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2012, o 10:55 
Korepetytor

Posty: 1798
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Jakiś rysunek by się przydał:

\begin{document}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(7.56,7.82)(14,13.34)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(7.56,7.82)(14,13.34)
\psline(8,10)(9.64,12.96)
\psline(9.64,12.96)(13.62,11.6)
\psline(13.62,11.6)(10,8)
\psline(10,8)(8,10)
\psline(9.64,12.96)(10,8)
\psline(8,10)(13.62,11.6)
\pscustom[linecolor=white]{\parametricplot{-2.8642332857979262}{-1.49834273070631}{0.6*cos(t)+9.82|0.6*sin(t)+10.52}\lineto(9.82,10.52)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{-2.8642332857979262}{-1.49834273070631}{0.5*cos(t)+9.82|0.5*sin(t)+10.52}\lineto(9.82,10.52)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](8,10)
\rput[bl](7.76,10.16){$A$}
\psdots[dotstyle=*](9.64,12.96)
\rput[bl](9.72,13.08){$B$}
\psdots[dotstyle=*](13.62,11.6)
\rput[bl](13.7,11.72){$C$}
\psdots[dotstyle=*](10,8)
\rput[bl](10.2,7.9){$D$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.82,10.52)
\rput[bl](9.9,10.64){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](9.54,10.14){\white{$\alpha_1$}}
\rput[bl](9.58,10.18){$\alpha$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{document}

Pole całego czworokąta to P=P_1+P_2+P_3+P_4, gdzie P_1,P_2,P_3,P_4 to pola odpowiednio trójkątów DEA, AEB, BEC, CED. Liczymy te pola: P_1 = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot ED \cdot \sin \alpha, P_2 = \frac{1}{2} \cdot EA \cdot EB \cdot \sin (180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2} \cdot AE \cdot EB \cdot \sin \alpha, P_3 =  \frac{1}{2} \cdot EB \cdot EC \cdot \sin \alpha, P_4 =  \frac{1}{2} \cdot EC \cdot ED \cdot \sin (180^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot ED \cdot \sin \alpha.

Popatrzmy teraz, że:

P_1+P_2=\frac{1}{2} \cdot EA \cdot ED \cdot \sin \alpha+\frac{1}{2} \cdot EA \cdot EB \cdot \sin \alpha=\frac{1}{2}EA(ED+EB)\sin \alpha = \frac{1}{2}EA \cdot BD \sin \alpha.

Podobnie P_1+P_2=\frac{1}{2}EC \cdot  BD \sin \alpha.

Czyli:

P=\frac{1}{2}BD\left(EC+EA \right) \sin \alpha = \frac{1}{2}BD \cdot AC \sin \alpha, a to właśnie chcieliśmy udowodnić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz obwód rombu mając dane pole i stosunek przekątnyc  Anonymous  4
 Wzór na pole sześciokąta foremnego  Anonymous  1
 Oblicz pole trapezu  no_lan  1
 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg  Anonymous  8
 Oblicz pole rombu mając dany obwód i różnice dł. prze  Anonymous  13
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com