szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:17 
Gość Specjalny

Posty: 2936
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:12 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:20 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:59 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:17 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:24 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 15:15 
Moderator

Posty: 14240
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Injekcja, bijekcja. Prosty dowód.
Niech f: X \rightarrow Y będzie injekcją. Pokazać, że f': X \rightarrow rng(f) zadana wzorem f'(x) = f(x) jest bijekcją. Sam fakt...
 nne  11
 Dowód na nieprzeliczalność
Udowodnij, że odcinek (0;1) nie jest przeliczalny....
 gosia19  1
 Dowod licznosci zbioru
Metoda przekątniowa, 235224.htm. JK...
 trooperos  2
 Suma i iloczyn ziorów
Niech A_{n,m}=\left(\left(1- \frac{tg\left( \frac{\pi}{2(n+1)} \right)}{ \frac{1}{n+1} } \right), 4 + e +e^2 + e^3 + ... + e^m\right) Oblicz \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=...
 darek20  1
 iloczyn kartezjański - zadanie 7
przedstaw w układzie współrzędnych iloczyn kartezjański zbiorów A i B, gdzie: A={x R: |2x^2 -5x + 6|\geq 9} B={x ...
 Matka Chrzestna  0
 Uogólniona suma i iloczyn z wartością bezwzględną
Witam , mam takie zadanie i nie do końca rozumiem jak się za nie zabrać . Mam policzyć uogólnioną sumę i uogólniony iloczyn. \bigcup_{}^{}A_{t} =?\\ \bigcap_{}^{} A_{t} =? dla t \in \NN gdy ...
 Pawimis  1
 Dowód z iloczynem kartezjańskim
Niech A \neq \emptyset \neq B oraz (A \times B) \cup (B \times A)=C \times D Wykazać, że A=B=C=D Łatwo wykazać, że C=D=A \cup B[/tex...
 Astat  1
 Twierdzenie Cantora - alternatywny dowód
Witam wszystkich! Jest takie twierdzenie: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cantora Jeśli dobrze zrozumiałem, to trzeba udowodnić, że x < 2^{x} dla liczb naturalnych. Na ...
 CppMaster  9
 własnosci iloczynu kartezjanskiego- dowod
udowodnic: 1) A (B \backslash C)=(a ...
 ta_paula  1
 równoliczność oraz iloczyn kartezjański
Niech |A \times C| \le |B \times D| Czy |A| \le |B|, i czy |C| \le |D| ? Odpowiedź uzasadnij....
 lorak  1
 wyznaczyć sumę i iloczyn rodziny zbiorów
Dana jest rodzina zbiorów A_{n} n\in N, gdzie A_{n} = dla n\in N. Wyznaczyć : \bigcup_{n\in N} ...
 natalia.gl  6
 Dowód na ograniczoność zbioru.
Cześć wszystkim, przerabiam właśnie zbiory ograniczone i nie ogarniam paru rzeczy. Jest tutaj taki dowód na to, że zbiór B= \left\{ \frac{p}{q} : p,q \in \NN \right\} nie jest ograniczony z góry: przyjęto, że [tex:17uph63...
 baobab  3
 Inkluzja, dowód własności
Witam, mam taki problem, gdyż chciałem udowodnić, że \left \Rightarrow \left[ \left( A \cap C\right) \subseteq \left( B \cap D\right&#...
 piotr1325  17
 Suma zbiorów i Iloczyn zbiorów
Witam, ostatnio na lekcji mielismy podane przy sumie zbiorów i iloczynach zbiorów po 3 wzory, ale nie wiem na czym polegają ostatnie. Dlatego prosiłabym o małe przybliżenie tego. Przy sumie zbiorów ostatni był wzór taki: x \not \in A ...
 lamsi  1
 Funkcja bijekcjyjna - dowód
Witam Jak udowodnić twierdzenie:P(A)={\lbrace0,1\rbrace}^{A}, gdzie "=" oznacza "istnieje bijekcja". Dodam, że: {\lbrace0,1\rbrace}^{A}={\lbrace f:A\to \lbrace0,1\rbrace \rbrace[...
 punksxp  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com