szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:17 
Gość Specjalny

Posty: 2937
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:12 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:20 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:59 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:17 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:24 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 15:15 
Moderator

Posty: 14605
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zawieranie się zbiorow i iloczyn kartezjański - zadanie 2
Bardzo proszę o pomoc w wykazaniu poniższej implikacji \Rightarrow ...
 dorothy901  1
 dowód twierdzenia Knastera-Tarskiego
Jest to punkt najmniejszy/największy względem relacji porządku na kracie....
 matematyka464  9
 Dowód z iloczynem kartezjańskim - zadanie 2
Witam, chciałem się dowiedzieć czy rozwiązując dowód dobrze rozumuję i czy to ma tak być: Dowód: A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) Moje ro...
 kam51  9
 Dowód na nieprzeliczalność
Udowodnij, że odcinek (0;1) nie jest przeliczalny....
 gosia19  1
 Iloczyn kartezjański + przeliczalność
Witam! Potrzebuję rozwiązania poniższego zadania (byłabym wdzięczna, gdyby to było pełne jego rozwiązanie wraz z uzasadnieniem (nie tylko podpowiedzi jak je zrobić)) ...
 Calineczka94  1
 supremum zbioru-dowód
Wykazać, że sup\{x\inQ:x>0 \wedge x^{2}<2\}= \sqrt{2} sup\{x\inQ:x>0 \wedge x^{2}<2\}= \sqrt{2} \Leftrightarrow sup(0; \sqrt{2})= \sqrt{2} Założenie nie wprost[tex:1bg4l...
 Falwick  3
 dowód LKZ przez indukcję pozaskończoną
Witam! Czy ktoś potrafi mi wytlumaczyć dowód Lematu Kuratowskiego Zorna przez indukcję pozaskończoną? Został juz tu podany link do strony www (wikipedia) gdzie jest szkic dowodu, ja jednak potrzbuje pełny dowód, a te podane w książkach nie potrafie ...
 krisiiiii  4
 dowód, pytanie - zadanie 2
Cześć Mamy zadanie: Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów zachodzi równość: \bigcup \bigcup \bigcup (P(X) \times P(Y) ) = X \cup Y...
 tukanik  2
 iloczyn kartezjański - zadanie 7
przedstaw w układzie współrzędnych iloczyn kartezjański zbiorów A i B, gdzie: A={x R: |2x^2 -5x + 6|\geq 9} B={x ...
 Matka Chrzestna  0
 Kres górny - dowód..
Witam wszystkich Niby proste zadanie, a nie wiem jak sie za nie zabrać :/ A={ 2^z : z należy do całkowitych } Zbadać czy podany zbiór ma kres górny i dolny i udow...
 dudi_pl  1
 Iloczyn uogólniony. Równość.
Należy udowodnić (zaprzeczyć) dla dowolnej niepustej rodziny Z następującą równość: \bigcap \{ \{a\} \times A | a \in A \wedge A \in Z \} = \bigcap \{A \times \{a\} | a \in A \wedge A \in Z \} Z definicji iloczynu...
 bemekw  10
 własnosci iloczynu kartezjanskiego- dowod
udowodnic: 1) A (B \backslash C)=(a ...
 ta_paula  1
 dowod dzialnia na zbiorach
witam bardzo prosze o pomoc w tym przykladzie, bo nijak mi wychodzi: A\setminus (B \setminus C)=( A \setminus B) \cup (A \cap C)...
 dawhyp  4
 0+0+0+...+0=0 dowód
prosze o dowód ze granica przy n dazacym do nieskończ. sumy zer równa jest 0 oraz 0+0+0+...+0=0 z góry dziekuje za pooooomoooooc...
 sylwia1983  3
 Funkcja bijekcjyjna - dowód
Witam Jak udowodnić twierdzenie:P(A)={\lbrace0,1\rbrace}^{A}, gdzie "=" oznacza "istnieje bijekcja". Dodam, że: {\lbrace0,1\rbrace}^{A}={\lbrace f:A\to \lbrace0,1\rbrace \rbrace[...
 punksxp  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com