szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:17 
Gość Specjalny

Posty: 2937
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:12 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:20 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 02:59 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:17 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:24 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 15:15 
Moderator

Posty: 14357
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 iloczyn kartezjański - zadanie 43
Udowodnić równość (A \cup B) \times C=(A \times C) \cup (B \times C). Mam pokazać, że \forall_{x} (\ x \in (A \cup B) \times C \iff x \in (A \times C) \cup (B...
 zaklopotany93  4
 Iloczyn kartezjanski i suma przeliczalna zb. przeliczalnych
Cześć. Czy mógłby ktoś przedstwić lub podać linki do dowódów twierdzeń o iloczynie kartezjańskim i sumie przeliczalnej zbiorów przeliczalnych? Szukałem na forum, ale żadnych dowodów nie znalazłem. Z góry dziekuję za pomoc....
 willhelm  5
 Iloczyn kartezjański + przeliczalność
Witam! Potrzebuję rozwiązania poniższego zadania (byłabym wdzięczna, gdyby to było pełne jego rozwiązanie wraz z uzasadnieniem (nie tylko podpowiedzi jak je zrobić)) ...
 Calineczka94  1
 Jak wykonać dowód ?
Proszę o pomoc z dowodami: a)2^A \cup 2^B \subset 2^{A \cup B} b)2^A \cap 2^B \subset 2^{A \cap B} c)2^{A \cup B}\subset 2^A \cup 2^B d)2^{A \cap ...
 laser15  8
 kres górny, aksjomat ciągłości, dowód
zad1. Sprawdź że \inf \left\{ \frac{1}{x} : x>0 \right\} =0 zad2. Niech A,B \subseteq \RR Wykaż że jeśli A \subseteq B, to \inf B \le \inf A[/te...
 krzysztofkolumb  1
 Czy porządek kartezjański jest porządkiem liniowym?
Czy może ktoś przedstawić dowód, że: jeśli \le jest liniowym porzadkiem o polu A to zbiór <AxA, \le > (porządek kartezjański) też jest uporządkowany liniowo?...
 walczak  1
 Dowód relacji równoważności wtw gdy...
Czy złożenie relacji RS powinno wyglądać tak? \exists b \left\langle a,b\right\rangle \in S \wedge \left\langle b,c \right\rangle R...
 Matys015  23
 Uogólniona suma i iloczyn rodziny zbiorów - zadanie 3
Dla A_{t}=\left\{ x \in \mathbb{R}:y \le x\right\}, t \in \left\{ 0,1,2,...\right\} wyznaczyc \bigcup_{t \in T}^{}A_{t} oraz \bigcap_{t \in T}^{}A _...
 paulina223  4
 Złożenie relacji i dowód
Dobry wieczór Mam problem z dwoma zadaniami. 1) Złożenie relacji nie musi by...
 rutra  1
 Kres górny - dowód..
Witam wszystkich Niby proste zadanie, a nie wiem jak sie za nie zabrać :/ A={ 2^z : z należy do całkowitych } Zbadać czy podany zbiór ma kres górny i dolny i udow...
 dudi_pl  1
 Wyznacz sumę, iloczyn oraz różnice zbiorów
Nawet nie wiem gdzie to daje juz tu byłam i nie wiedziałam gdzie to wkleic, widziałam że ktos miał podobny problem... A ja jestem kompletna noga z matematyki.... Cholera... Pomocy (?) 1. A = ( 3 ; 7 > [tex:d1qiijs...
 kaori1102  4
 dowód - zbiory - zadanie 2
Dzięki ...
 ares41  2
 dowód zawierania relacji
Witam!! Mam problem z następującym zadaniem: Niech T,R,S będą relacjami w zbiorze X. Udowodnij, że zachodzi wzór: (R\circ T)\backslash(S\circ T)\subset(R\b...
 xanthes  0
 Twierdzenie Heinego-Borela - dowód
Pierwsze twierdzenie jest przypadkiem szczególnym drugiego. Odcinek jest pozdbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb{R} oraz jest ograniczony i domknięty. Jest zatem zwarty, więc z defin...
 johnny1591  1
 na płąszczyźnie zaznacz zbiór A iloczyn B
A=\{(x,y):x \in R \wedge y \in R \wedge \sqrt{3} * \left|x \right| + \left|y \right| \le 1} B=\{(x,y):x \in R \wedge y \in R \wedge x ^{2} +(y-1) ^{2} \le 1 Oblicz p...
 jucha92  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com