szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 22:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:17 
Gość Specjalny

Posty: 2938
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:12 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:20 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:59 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:17 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:24 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:15 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma, iloczyn, dopełnieni zbiorów
Proszę o pomoc w takim oto zadanku. Nie pamiętam tego dobrze i prosiłbym o rozwiązanie takich trzech przypadków w celu przypomnienia. Resztę sobie poradzę sam : ) A=<1;+ \infty ) B=(- \infty ;-5&...
 C@rn@ge  4
 dowód zawierania relacji
Witam!! Mam problem z następującym zadaniem: Niech T,R,S będą relacjami w zbiorze X. Udowodnij, że zachodzi wzór: (R\circ T)\backslash(S\circ T)\subset(R\b...
 xanthes  0
 Twierdzenie Heinego- Borela - dowód przykładu
Treść zadania jest następująca: Wykazać, że z dowolnego pokrycia zbioru {0} \cup {\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N} przedziałami otwartymi można wybrać skończone podpokrycie. Proszę o sprawdzenie i poprawienie mojego rozumowa...
 johnny1591  3
 Dowód różnicy symetrycznej zbioru
Jak udowodnić różnicę symetryczną zbioru? A + B = (A \cup B) - (A \cap B)...
 menrva  5
 Nieskończony iloczyn i suma
Witajcie! Mam do Was bardzo pilną prośbę. Dzisiejszy egzamin z ELiTMu poszedł mi gorzej niż się spodziewałem (zabrakło mi 0,5pkt. do zaliczenia...) i jutro będę o te pół punktu dopytany. Niestety, nie wiem nawet jakie mogłem popełnić błędy, dlatego l...
 Browning0  0
 zbiory iloczyn kartezjanski
Witam mam do pokazania 2 równości czy są prawdziwe czy tez nie. Proszę o sprawdzenie 1) A \cap \left( B \times C\right)=\left( A \cap B\r...
 nowik1991  7
 wyznaczyć sumę i iloczyn
czy dla A_{n}= \bigcup_{n \in N}A_{n}= ? i \bigcap_{n \in N}A_{n}={1}?...
 chucherko  5
 Uogólniona suma i iloczyn rodziny zbiorów
Hej Bardzo proszę o pomoc przy tym zadaniu. Dla I=R należy wyznaczyć uogólnioną sumę i różnicę rodzin zbiorów. A _{i} = \left\{ x:x=\sin\left( ...
 irracjonalistka  1
 blędny dowód
Twierdzenie że jesli relacja jest symetryczna i przechodnia to jest zwrotna nie jest prawdziwe. Więc gdzie jest błąd w "dowodzie"? R-relacja z symetrii aRb \Rightarrow bRa z przechod...
 inny  5
 Iloczyn kartezjański...
Niech X=\lbrace 0,1,2 \rbrace i Y=\lbrace 0,2,3\rbrace. Ile elementów ma zbiór: X \times Y \cap Y \times X ? Wychodzi mi że 4 el. ale pewności nigdy za wiele......
 ŚwIeRsZcZ  1
 Własność inkluzji - dowód
Czy własność inkuzji : (A B)\wedge(C ...
 19Radek88  2
 zbiory dobrze uporządkowane, dowód
Witam. Mam problem z poniższym dowodem. \le _{s} := \le _{1} \cup \le _{2} \cup X \times Y gdzie (X, \le _{1}) i (Y, \le _{2}) są częśc...
 kluczyk10  5
 Iloczyn Kartezjański - zadanie 40
Nie mogę sobie poradzić z zadaniami z tego działu a potrzebuje je szybko rozwiązać czy mógł by kto rozwiązać to jedno, może reszta mi pójdzie łatwiej jak będę miał przykład. Wyznaczyć zbiór G \cup H, G \cap H, G\setminus H, H\setminus...
 major18  3
 Iloczyn kartezjański - zadanie 31
Wykazać że dla dowolnych zbiorów A,B,C prawdziwa jest równość: A\times(B \cap C)=(A \times B) \cup (A \times C)...
 myther  5
 Kres górny - dowód..
Witam wszystkich Niby proste zadanie, a nie wiem jak sie za nie zabrać :/ A={ 2^z : z należy do całkowitych } Zbadać czy podany zbiór ma kres górny i dolny i udow...
 dudi_pl  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com