szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 22:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:17 
Gość Specjalny

Posty: 2938
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:12 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:20 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:59 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:17 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:24 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:15 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór przeliczalny i nieprzeliczalny, iloczyn kartezjański
Mam pytanie, wiem, że iloczyn kartezjański zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego jest zawsze zbiorem nieprzeliczalnym, ale czy jest ktoś w stanie przedstawić mi dowód tego??...
 asia_07_08  4
 Iloczyn sumy rodziny zbiorów
Znajdz \bigcap_{k=0}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} A_n gdzie ciag zbiorów A_n: n \in Njest okreslony: A_n = \left\{ m \in N: \exists k \in N km...
 aiki93  2
 Dowód z iloczynem kartezjańskim - zadanie 2
Witam, chciałem się dowiedzieć czy rozwiązując dowód dobrze rozumuję i czy to ma tak być: Dowód: A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) Moje ro...
 kam51  9
 Iloczyn kartezjański
Witam. Mam takie zadanie: (A \times B)(C \times D) = ? Nie za bardzo wiem w ogóle jak się za ten przykład zabrać. Proszę o pomoc. Muszę napisać jakiemu wyrażeniu to jest równe i udowodnić to....
 kociol878  4
 Suma i iloczyn zbioru - zadanie 4
@JK Przyznaję że z pięć razy zmieniałem uproszczoną postać tych zbiorów i okazuje się że najzgrabniejsza wg. mnie też jest felerna. Skoro ten zapis \left\{ x \in R : 0 \le x \le 0 \right\} jest poprawny to dlaczego zap...
 witek3  10
 Iloczyn kartezjański - zadanie 21
Mam pokazać, że (A\times B)\cap C =(A\cap B)\times (B\cap C) i nie wiem czy moje rozwiązanie jest poprawne weźmy (x,y)\in ((A\times B)\cap C) Z...
 madaf007  12
 Zas. indukcji matematycznej, dowód na podstawie zad. maks.
Proszę o sprawdzenie poprawności dowodu zasady indukcji matematycznej w oparciu o zasadę maksimum. Niech będzie dane zdanie P(n) spełniające warunki: \begin{cases} P(0) \ (*)\\ \fora...
 tranto  1
 Dowód na nieprzeliczalność
Udowodnij, że odcinek (0;1) nie jest przeliczalny....
 gosia19  1
 Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru - dowód
To jest strasznie dziwaczny sposób zapisania czegoś, co powinno zostać zapisane słownie w dwóch linijkach. Dla mnie to bardzo sztuczna próba stworzenia "formalnego dowodu", zapisywanego przy pomoc...
 trd  15
 Wyznaczyć iloczyn
Witam, mam takie dwa zadania do zrobienia. Treść do obu zdań to : "Wyznaczyć"( nie wystarczy strzelić, aczkolwiek można strzelić i później to udowodnić:D) Zadanie 1) \bigcap\limits_{n\in N} \big((-1)^{n} + \frac{1...
 matti90  9
 Iloczyn kartezjański + przeliczalność
Witam! Potrzebuję rozwiązania poniższego zadania (byłabym wdzięczna, gdyby to było pełne jego rozwiązanie wraz z uzasadnieniem (nie tylko podpowiedzi jak je zrobić)) ...
 Calineczka94  1
 Iloczyn kartezjański, Zilustruj w układzie współrzędnych
Mam dane i znam odpowiedź, ale nie wiem z kąt to wyliczone. Proszę o pomoc Zilustruj w układzie współrzędnych A= <2,4> B= (1,3> Pozdrawiam Natalia...
 Natalia.21  2
 dowód continuum
Udowodnić i wyprowadzić wzór na kontinuum z użyciem \aleph_0 \mathfrak{c}=2 ^{\aleph_0} z góry dziękuję ...
 MikolajB  6
 równość iloczyn kartezjański
Witam, jak robi się tego typu zadania: sprawdź czy zachodzi równość (A \cup B) \times C=(A \times C) \cup (B \times C)...
 Nesquik  1
 obraz i przeciwobraz 3, dowód
Niech f: X \rightarrow Y oraz A \subseteq X i B \subseteq Y. a) Jeśli injekcja to A = f^{-1}]. b) Jeśli funkcja "na" ...
 nne  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com