szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 22:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:17 
Gość Specjalny

Posty: 2938
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:12 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:20 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:59 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:17 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:24 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:15 
Moderator

Posty: 15247
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 uogólniony iloczyn i suma - zadanie 3
Znaleźć \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n oraz \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_n gdy A_n=\left\{ x \in R: -\frac{1}{n} \le x < \frac{1}{n} \right\} próbuję tak [tex:3vbp...
 Czeczot  2
 iloczyn zbiorów
Nie wiedziałem gdzie to zadanie napisać... Dla niepustych zbiorów liczb rzeczywistych dodatnich A,B rozważmy zbiór A B = { z:z = x ...
 Omi  0
 Zbiory, iloczyn kartezjański
Teraz dobrze. JK...
 mowMIandrzej  8
 uogólniona suma i iloczyn, przykład z egzaminu
zad 1 a niech A_{n} =\left\{ \left( x,y\right) \in\RR^{2} : |y|<n \cdot |x| \right\} Oblicz \bigcup_{n \ge 1} A_{n} Zad 1 b Niech A_{n} = \left\{ \left( x,y\ri...
 KlaudiaMaria  9
 dowód implikacji
Udowodnij, że dla wszystkich zbiorów A, B i C prawdziwa jest implikacja: (A \subset B) \wedge (C \subset D) \Rightarrow (A \cap C) \subset (B \cap D) próbowałem przekształcić lewą stronę:...
 NiesubordynowanaMysz  1
 Suma oraz iloczyn zbioru.
Znajdz iloczyn zbioru A_{t}, okreslonego: A_{t} = {x R: x ^{2} + (2-t)x - 2t= 0} Moje pytanie dotyczy ...
 Nati071188  1
 Dowód - zbiory
Mam problem z dowodem takiegoż wyrażenia: A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)...
 tomich  1
 Iloczyn kartezjański w złożeniu funkcji - zadanie 2
Witajcie, Nie mam za grosz pojęcia jak wykonać dla podanych niżej funkcji te działania: f,g : \mathbb N \rightarrow \mathbb N f(n) = n^{2} i g(n) = n + 2[/tex:2...
 Karolek1  2
 dowód z funkcji - zadanie 2
Pokaż, że dla dowolnej f: f(A) \subseteq B \iff A \subseteq f^{-1}(B). Pokażmy najpierw \Rightarrow Ponieważ mamy wykazać zawieranie, załóżmy, że [...
 matematyka464  1
 dowód własności zbiorów - zadanie 2
pokazać, że \Leftrightarrow A=B z prawej do lewej to nie ma co pisać, ale coś nie może wyjść w drugą stronę...
 MikolajB  3
 Uogólniona suma i iloczyn zbiorów - zadanie 2
Witam, mam olbrzymi problem ponieważ przygotowując się do kolokwium okazało się że prowadzący przeoczył jeden nieprzerabiany przez moją grupę materiał dotyczący mianowicie uogólnionej sumy i iloczynu zbiorów. Ten punkt mamy opracować sami, a ja prze...
 revange123  0
 Dowód dla dowolnych zbiorów
Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A_{1},A_{2}, ... , A_{n}, ... : \bigcup_{ n=1 }^{\infty} A _{n} = \bigcup_{n=1 }^{\infty } B _{n} gdzie B _{1}=A _{1}, ... , B _{n}=A _{n} ...
 kolnierz  2
 relacje zlozone, dowod inkluzji
Witam! Mam problem z pewnym zadaniem. Mianowicie: Niech R_{i} \subseteq X\times X dla i \in I oraz S\subseteq X\times Y będą relacjami. Pokazać, że zachodzi inkluz...
 kjurek  3
 suma mnogościowa - dowód
nie wiem jak książka bo mam kserówke więc jak zadanie jest takie banalne to jak je rozwiązać?...
 FEMO  7
 Suma skończenie wielu zbiorów skończonych-dowód
Mam problem z udowodnieniem twierdzenia. Mianowicie: Suma skończenie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym. Z góry dziękuję za pomoc...
 mazia  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com