szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 22:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie polega na tym, aby wykazać, że jeśli A \times B \subseteq C \times D, to albo A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D.

Zacząłem tak:

Niech x \in A oraz y \in B.

(x,y) \in A \times B \rightarrow (x,y) \in C \times D
czyli z definicji:

(x \in A \wedge y \in B \rightarrow x \in C \wedge y \in D)

teraz korzystam z tautologii: (p \rightarrow q )\leftrightarrow (\neg p \vee q)


\leftrightarrow \neg(x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee \neg y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in D)
\leftrightarrow ( \neg x \in A \vee  \neg y \in B \vee x \in C) \wedge ( \neg x \in A \vee \neg y \in B \vee y \in D)

W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??

@edit
sam nie wiem - czy mogę teraz po prostu po znaku implikacji napisać, że:
( \neg x \in A \vee  x \in C) \wedge (  \neg y \in B \vee y \in D)?
Bo teraz to mógłbym zwinąć do A \subseteq C \wedge B \subseteq D

Pozdrawiam.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:17 
Gość Specjalny

Posty: 2939
Lokalizacja: Wrocław
porucznik napisał(a):
W jaki sposób mogę się teraz pozbyć z nawiasów odpowiednio \neg y \in B oraz \neg x \in A??


sam napisałeś ;)

porucznik napisał(a):
Niech x \in A oraz y \in B.


czyli tamto wyżej to fałsz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Zakręciłem się na pięcie :D Dzięki Tomek.

Gwoli ścisłości, żeby zakończyć dowód, należy napisać, że w szczególności:

\emptyset \times B = \emptyset \subseteq C \times D

oraz

A \times \emptyset = \emptyset \subseteq C \times D

dlatego z założenia wynika, że A = \emptyset, lub B = \emptyset, lub A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D?

Btw. zacząłem przeglądać listy kilka chwil temu ^^ Za nic w świecie nie potrafię zapisywać zdań za pomocą kwantyfikatorów etc. Zapewne lada chwila będę szukał pomocy w innym temacie ^^

Pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:12 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
Twój dowód jest niezbyt szczęśliwy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak powinno się go przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:20 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
To kwestia pewnej elegancji dowodu - mnie nie podobają się dowody, gdzie zamiast toku rozumowania jest formalne przekształcanie założeń.

Można różnie, ja bym chyba robił nie wprost. Przypuszczam nie wprost, że A\neq\emptyset i B\neq\emptyset oraz że A \not\subseteq C lub B \not\subseteq D. Bez zmniejszenia ogólności mogę przyjąć, że A \not\subseteq C (bo przypadek B \not\subseteq D jest w pełni analogiczny). Mogę zatem znaleźć takie x\in A, że x\notin C. Ponieważ B\neq\emptyset, więc istnieje b\in B. Wtedy (x,b)\in A\times B, czyli z założenia wnioskuję, że (x,b)\in C\times D. Ale to w szczególności oznacza, że x\in C, sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście dowód ładniejszy, choć sam bym raczej na to nie wpadł. Jeśli chodzi o czystą poprawność tego mojego suchego dowodu, to czy wszystko jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 01:59 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 213
Lokalizacja: Wrocław
Ok, dziękuję.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
A gdyby w treści powyższego zadania stało zdanie: "Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa? Jeśli nie podaj przykład." Co powinniśmy zrobić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:17 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnić, że jest prawdziwa.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
i można to udowadniać analogicznie tak jak Pan to zrobił nie wprost??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:24 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
W tę stronę zdecydowanie lepiej wprost.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Www
ok, dziękuję;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2011, o 14:15 
Moderator

Posty: 16019
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie podoba mi się fragment ze zbiorami pustymi, myślę, że trzeba inaczej je wkomponować. Właśnie dlatego zrobiłem dowód nie wprost, by nie myśleć o tym późną porą.

Mówiłem, że w nocy słabo się myśli. A wiedziałem, że te zbioru puste mi tam nie pasują...

Zauważ, że teza

A = \emptyset, albo B = \emptyset, albo A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

jest równoważna

A \subseteq C oraz jednocześnie B \subseteq D

bo jeśli A = \emptyset, to również A \subseteq C i to samo z B.

Zatem równie dobrze można zrobić dowód wprost, szybciej i ładniej niż nie wprost:

Ustalmy dowolne a\in A i b\in B. Wtedy (a,b)\in A\times B, czyli z założenia (a,b)\in C\times D. To oznacza, że a\in C i b\in D, zatem z def. zawierania mamy A \subseteq C i B \subseteq D, co należało dowieść.

Spostrzeżenie to sprawia, że Twój początkowy dowód jest w pełni poprawny i jedyne, co można mu zarzucić to brak elegancji.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyć sumę i iloczyn
czy dla A_{n}= \bigcup_{n \in N}A_{n}= ? i \bigcap_{n \in N}A_{n}={1}?...
 chucherko  5
 blędny dowód
Twierdzenie że jesli relacja jest symetryczna i przechodnia to jest zwrotna nie jest prawdziwe. Więc gdzie jest błąd w "dowodzie"? R-relacja z symetrii aRb \Rightarrow bRa z przechod...
 inny  5
 Dowód, relacje
Udowodnic, ze jesli r  \subseteq r i s  \subseteq s to r \cdot s = r' \cdot  s'....
 matinf  10
 supremum, kres górny, dowód - zadanie 2
tak, przepraszam. nie zauważyłam małego druczku , że ostatnia równość dla A,B \subset ...
 asia1317  6
 Iloczyn kartezjański zbiorów - zadanie 4
Dla A=\left\{ x: \left(x \le -2 \right) \vee \left( 1<y \le 2\right) \right\}, B=\left\{ y: 1<y \le 2\right\} wyznaczyc interpretacje geometryczna B \times A. Dla teg...
 paulina223  4
 dowód pytanie
Jeżeli to, co napisałem, nazywasz monotonicznością sumy, to tak. JK...
 tukanik  9
 uogólniony iloczyn i suma - zadanie 3
Znaleźć \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n oraz \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_n gdy A_n=\left\{ x \in R: -\frac{1}{n} \le x < \frac{1}{n} \right\} próbuję tak [tex:3vbp...
 Czeczot  2
 Dowód spójności.
Witam, nigdy nie widziałem dowodu spójności na żadnym porządku dlatego chciałbym sprawdzić czy mój dowód jest dobry, bo wydaje się on strasznie krótki i łatwy. Porządek ( \mathbb{R}, \le) czyli mamy definicję: ...
 nwnuinr  1
 dowód własności zbiorów - zadanie 2
pokazać, że \Leftrightarrow A=B z prawej do lewej to nie ma co pisać, ale coś nie może wyjść w drugą stronę...
 MikolajB  3
 Dowód zawierania się sumy części wspólnych w cz. wsp. sumy
Cześć! Próbuję udowodnić następujące wyrażenie: \bigcap_t F_t \cup \bigcap_t G_t = \bigcap_{t, s} ( F_t \cup G_s ) \subset \bigcap_t ( F_t \cup G_t ) Dowód \bigcap_t F_t \cup \bigcap_t G_t...
 trd  2
 Iloczyn kartezjański dwóch okręgów
Podaj co powstaje z iloczynu kartezjańskiego dwóch okręgów....
 V3n0m  3
 Iloczyn kartezjański, dowód
Witam, mam problem z udowodnieniem właściwości: A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) Próbuję w taki sposób: Niech <x, y> \in A \times (B - C)[/tex:2...
 Linxaddict  2
 Uogólniona suma i iloczyn z wartością bezwzględną
Witam , mam takie zadanie i nie do końca rozumiem jak się za nie zabrać . Mam policzyć uogólnioną sumę i uogólniony iloczyn. \bigcup_{}^{}A_{t} =?\\ \bigcap_{}^{} A_{t} =? dla t \in \NN gdy ...
 Pawimis  1
 Suma i iloczyn zbiorów indeksowanych - weryfikacja
Znaleźć \bigcup_{t\in T} A_{t} i \bigcap_{t\in T} A_{t} dla określonej poniżej indeksowanej rodziny zbiorów (\left A_{t}\right), t\in T: T=\...
 Ravion  7
 Iloczyn kartezjański - zadanie 53
Witam, czy możecie mi powiedzieć czy poniższe zdania są poprawne? Iloczyn kartezjański: a) nie jest operacją przemienną b) jest operacją łączną c) jest operacją rozdzielną względem sumowania Dziękuję. ...
 btanreb  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com