szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 12
Zadanie:
Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci NIE siądą obok siebie?


Mam też rozwiązanie, które wg mnie jest błędne. Proszę o korektę.


Osoby do posadzenia przy stole:

10 chłopców
10 dziewczynek
20 osób razem

Zatem:
\left|\Omega\right|= 20!

Rozwiązanie:
P(A)=  \frac{10!\times10!\times2}{20!}

Wyjaśnienie rozumowania:
W mianowniku wszystkie możliwe kombinacje "siedzenia" wszystkich osób, czyli 20!, a w liczniku:
- pierwsze 10! (kombinacje jednej płci między sobą np. samych dziewczynek)
- kolejne 10! (kombinacje drugiej płci między sobą)
- wszystko mnożymy przez 2 (możemy zaczynać od chłopca lub dziewczynki).

I wszystko byłoby wspaniale, gdyby nie fakt, że wydaje mi się, że nie uwzględniono w tej odpowiedzi stołu okrągłego, tylko np, rząd, czy ciąg, taki, że "ostatnia" osoba, nie sąsiaduje z "pierwszą"

Wg mnie odpowiedź powinna być taka (ale proszę o sprawdzenie):

Rozwiązanie:
P(A)=  \frac{10!\times10!\div 19}{20!}

Rozumiem to tak, że owszem każda płeć w obrębie przydzielonych im miejsc może sadzać tam dowolnego swojego przedstawiciela, 10!\times10!, ale po uwzględnieniu faktu, że stół jest okrągły zauważam, że każda konfiguracja powtarza się 19 razy, (przesuwamy wszystkich na raz o jedno miejsce, kolejne i tak aż do pozycji wyjściowej)

Z góry dziękuję.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
Rozwiązanie pierwsze moim zdaniem jest prawidłowe. Zauważ, że jeśli Ty przesuniesz wszystkich o 'dwa miejsca', to ten wariant też się znajduje w tych, które już zdążyliśmy policzyć. Czyli liczysz te warianty dwukrotnie przez mnożenie wszystkiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 21:05 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 4300
Lokalizacja: Nowa Ruda
Można uznać bez straty ogólności (w końcu okrągły stół), że "ja" siedzę zawsze na miejscu 1.
Jednak zmieni się cały model.
|\Omega|=19!\\
|A|=9!\cdot 10!
Natomiast prawdopodobieństwo:
P(A)=\frac{9!\cdot 10!}{19!}=\frac{10!\cdot 10!\cdot 2}{20!}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 4611
Lokalizacja: Racibórz
grimsailor napisał(a):
...ale po uwzględnieniu faktu, że stół jest okrągły zauważam, że każda konfiguracja powtarza się 19 razy, (przesuwamy wszystkich na raz o jedno miejsce, kolejne i tak aż do pozycji wyjściowej)

Z góry dziękuję.
To rozumowanie jest "prawie" poprawne, tzn. każda konfiguracja powtarza się, ale nie 19 tylko 20 razy (konfiguracja wyjściowa + 19 przesunięć) czyli przy nierozróżnialnych miejscach wszystkich możliwości posadzenia tych osób przy stole będzie \frac{20!}{20}.
Analogicznie dla posadzenia na przemian chłopca i dziewczynki będzie \frac{2 \cdot 10! \cdot 10!}{20} możliwości.
Jak widzisz ta 20-krotnie mniejsza ilość możliwości posadzenia osób przy okrągłym stole (w porównaniu z ustawieniem w szeregu) dotyczy zarówno zbioru Omega jak i zbioru A, czyli tak naprawdę nie zmienia samego p-stwa (choć w obydwu przypadkach jest rozpatrywany inny model)

Skoro jednak miejsca są nierozróżnialne(*), to liczy się nie kto gdzie siedzi ale jakich ma sąsiadów. Dlatego model i rozwiązanie podane przez pyzola odpowiada dokładnie treści zadania. Rozpatrywanie wzajemnego położenia możemy przecież zawsze zacząć od wybranej osoby (którą pyzol nazwał "ja") i wóczas mamy do rozsadzenia względem niej 19 pozostałych osób albo dowolnie (czyli 19! możliwości) albo na przemian chłopca i dziewczynkę(czyli 9! \cdot 10! możliwości).

(*) nie wiem dlaczego w zadaniach z p-stwa synonimem nierozróżnialności miejsc jest akurat okrągły stół (w praktyce rozróżniamy przecież miejsca przy takim stole) choć moim zdaniem znacznie lepsza byłaby np. karuzela :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 prawdopodobieństwo + równanie trygonometryczne
Ze zbioru rozwiązań równania: 2sin2x+ctgx=4cosx dlaX należącego do przedziału losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby Π/2...
 hakermatrix  2
 Talia kart, prawdopodobieństwo otrzymania pików
Chyba ,źle ,bo twój model liczy na to ,że piki dla pierwszego gracza wylosowane będą jako pierwsze,a tak być nie musi. 1.Zauważ że moc(\Omega)={13 \choose 52} \cdot {13 \choose 39} {13 \choose 26...
 k144  1
 Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3
Ze zbioru x\in N x<6 \wedge x \ge \frac{1}{x} losujemy kolejno bez zwracania diwe liczby i tworzymy z nich liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wysolosowanych liczb. Oblicz prawdopodobieństwo,...
 choko  1
 Kobiety i mężczyźni, prawdopodobienstwo wylosowania śr wyksz
Przedsiębiorstwo zatrudnia 40% kobiet i 60% mężczyzn. Wśród ogółu zatrudnionych znajduje się 50% osób z wykształceniem średnim a odsetek kobiet z wykształceniem średnim wynosi30%. - zdarzenie A: zatrudniona osoba jest kobietą, - B: ma średnie wykszta...
 panzam  9
 Prawdopodobieństwo warunkowe!!
Cześc, mam takie zadanie i problem z nim związany. Spośród liczb 1,2,3...9 losujemy kolejno bez zwracania dwie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga z wylosowanych liczb bedzie podzielna przez 4, jeśli wiadomo, że pierwsza z wylosowanych liczb jes...
 robert179  1
 Prawdopodobieństwo utworzenia ciągu rosnącego
Ze zbioru \lbrace 1,2,3...2005\rbrace losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb, tworząc z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to ciąg rosnący....
 dreakn  1
 prawdopodobieństwo (znaleźć sumę)
właśnie szukałam i niewiele mogę powiedzieć;p w tym problem.-- 19 wrz 2010, o 11:57 --pewnie że wtedy P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B). tak?...
 ziarenko  8
 prawdopodobienstwo wystąpienia wady
W pojemniku znajduje się 200 wybrakowanych części. 60 sztuk odrzucono z powodu wystapienia wady A, 40 sztuz z powodu wady B, a pozostałe z powodu wady C. każda część ma tylko jedną wadę. oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo z tego pojemni...
 nao  1
 prawdopodobieństwo znaczki
pomozcie zrobic zadanie zad. W kolekcji znaczków Darka aż 80 % stanowiąznaczki polskie. Znaczki nieostęplowane stanowią 75% wszystkich znaczków , a znaczki polskie lub nieostęplowane to 90 % kolekcji.Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wyb...
 lampid  0
 Prawdopodobienstwo warunkowe - zadanie 2
Abiturien przystepuje do egzaminu skladajacego sie z czesci pisemnej i ustnej.Warunkiem przystapienia do czesci ustnej jest pozytywne zaliczenie czesci pisemnej.Jakie jest prawdopodobienstwo zdania egzaminu, jesli pr. zaliczenia czesci pisemnej wynos...
 atam  3
 Z 2009 liczb oblicz prawdopodobieństwo wylosowania..
.. liczb podzielnych przez 3 lub przez 7. Pierwszym etapem zadania jest określenie przestrzeni: 1. \Omega= \Omega=w_{1} 2. Opis zdarzeni...
 józef92  5
 Dobrać stałą tak aby ciąg określał prawdopodobieństwo
Niech \Omega = \{ \omega_n : n = 1,2,3 \dots \} F = 2^{\Omega }. Weźmy ciąg c3^{-n}, n = 1,2,3,\dots Dobrać stałą c, tak aby ciąg p_n określał prawdopodobieństwo P...
 De Moon  1
 Prawdopodobieństwo..Dane są ..
1.Dane są dwa zdarzenia A,B \subset \Omegadla którychP(A')> \frac{2}{3}, P(B')> \frac{3}{4} i P(A \cap B) \ge \frac{1}{6}. Wykaż, że P&...
 karol2859  1
 bakteria -prawdopodobienstwo
1. Po uplywie 12h bakteria moze zgniac, przezyc lub podzielic sie na dwie z prawdopodobienstwami odpowiednio \frac{1}{12} \frac{1}{6} \frac{3}{4}. Na poczatku byla...
 see-you  1
 Jakie jest prawdopodobieństwo , że ktoś powiedział prawdę
A powiedział , że B powiedział, że C skłamał. Jakie jest prawdopodobieństwo , że C istotnie skłamał, jeżeli każdy z tej trójki mówi prawdę w \frac{2}{3} przypadków....
 natalia2007  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com