[ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 12
Zadanie:
Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci NIE siądą obok siebie?


Mam też rozwiązanie, które wg mnie jest błędne. Proszę o korektę.


Osoby do posadzenia przy stole:

10 chłopców
10 dziewczynek
20 osób razem

Zatem:
\left|\Omega\right|= 20!

Rozwiązanie:
P(A)=  \frac{10!\times10!\times2}{20!}

Wyjaśnienie rozumowania:
W mianowniku wszystkie możliwe kombinacje "siedzenia" wszystkich osób, czyli 20!, a w liczniku:
- pierwsze 10! (kombinacje jednej płci między sobą np. samych dziewczynek)
- kolejne 10! (kombinacje drugiej płci między sobą)
- wszystko mnożymy przez 2 (możemy zaczynać od chłopca lub dziewczynki).

I wszystko byłoby wspaniale, gdyby nie fakt, że wydaje mi się, że nie uwzględniono w tej odpowiedzi stołu okrągłego, tylko np, rząd, czy ciąg, taki, że "ostatnia" osoba, nie sąsiaduje z "pierwszą"

Wg mnie odpowiedź powinna być taka (ale proszę o sprawdzenie):

Rozwiązanie:
P(A)=  \frac{10!\times10!\div 19}{20!}

Rozumiem to tak, że owszem każda płeć w obrębie przydzielonych im miejsc może sadzać tam dowolnego swojego przedstawiciela, 10!\times10!, ale po uwzględnieniu faktu, że stół jest okrągły zauważam, że każda konfiguracja powtarza się 19 razy, (przesuwamy wszystkich na raz o jedno miejsce, kolejne i tak aż do pozycji wyjściowej)

Z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
Rozwiązanie pierwsze moim zdaniem jest prawidłowe. Zauważ, że jeśli Ty przesuniesz wszystkich o 'dwa miejsca', to ten wariant też się znajduje w tych, które już zdążyliśmy policzyć. Czyli liczysz te warianty dwukrotnie przez mnożenie wszystkiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2011, o 21:05 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 4065
Lokalizacja: Nowa Ruda
Można uznać bez straty ogólności (w końcu okrągły stół), że "ja" siedzę zawsze na miejscu 1.
Jednak zmieni się cały model.
|\Omega|=19!\\
|A|=9!\cdot 10!
Natomiast prawdopodobieństwo:
P(A)=\frac{9!\cdot 10!}{19!}=\frac{10!\cdot 10!\cdot 2}{20!}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 4598
Lokalizacja: Racibórz
grimsailor napisał(a):
...ale po uwzględnieniu faktu, że stół jest okrągły zauważam, że każda konfiguracja powtarza się 19 razy, (przesuwamy wszystkich na raz o jedno miejsce, kolejne i tak aż do pozycji wyjściowej)

Z góry dziękuję.
To rozumowanie jest "prawie" poprawne, tzn. każda konfiguracja powtarza się, ale nie 19 tylko 20 razy (konfiguracja wyjściowa + 19 przesunięć) czyli przy nierozróżnialnych miejscach wszystkich możliwości posadzenia tych osób przy stole będzie \frac{20!}{20}.
Analogicznie dla posadzenia na przemian chłopca i dziewczynki będzie \frac{2 \cdot 10! \cdot 10!}{20} możliwości.
Jak widzisz ta 20-krotnie mniejsza ilość możliwości posadzenia osób przy okrągłym stole (w porównaniu z ustawieniem w szeregu) dotyczy zarówno zbioru Omega jak i zbioru A, czyli tak naprawdę nie zmienia samego p-stwa (choć w obydwu przypadkach jest rozpatrywany inny model)

Skoro jednak miejsca są nierozróżnialne(*), to liczy się nie kto gdzie siedzi ale jakich ma sąsiadów. Dlatego model i rozwiązanie podane przez pyzola odpowiada dokładnie treści zadania. Rozpatrywanie wzajemnego położenia możemy przecież zawsze zacząć od wybranej osoby (którą pyzol nazwał "ja") i wóczas mamy do rozsadzenia względem niej 19 pozostałych osób albo dowolnie (czyli 19! możliwości) albo na przemian chłopca i dziewczynkę(czyli 9! \cdot 10! możliwości).

(*) nie wiem dlaczego w zadaniach z p-stwa synonimem nierozróżnialności miejsc jest akurat okrągły stół (w praktyce rozróżniamy przecież miejsca przy takim stole) choć moim zdaniem znacznie lepsza byłaby np. karuzela :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prawdopodobieństwo nieprzyjścia do pracy
W pewnym przedsiębiorstwie w dziale płac pracuje 6 kobiet. Prawdopodobieństwo nieprzyjścia do pracy każdej wynosi 0,09. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie osoby są w pracy, b) dwie osoby mają zwolnienie, c) więcej niż 3 osoby mają zwolnien...
 nina90  1
 prawdopodobieństwo uszkodzenia...
Prawdopodobieństwo uszkodzenia podzespołu w ciągu czasu T jest równe 1/5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród 20 podzespołów w czasie T uszkodzeniu ulegnie a) 5, b) co najwyżej 2, c) co najmniej jeden podzespół. Z góry dziękuję za odpowiedź....
 titazez11  1
 Prawdopodobienstwo i wielokąt
Wielokąt wypukły ma n wierzchołków, spośród których losujemy jednocześnie 2 . Jakie musi być n , aby prawdopodobieństwo , że wylosowane wierzchołki wyznaczą przekątną tego wielokąta było równe 0,9 ? Prosze jezeli mozna o dokladny tok rozumowania...
 dwukwiat15  2
 Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia tomów obok siebie
Witam! Przeszukałam kompedium, forum i mimo, iż znalazłam jakieś podobne zadanie, to odpowiedź nie była dla mnie jasna, więc napiszę z czym mam problem: Zad.1. Liczby 1, 2, 3, …, n zostały ustawione przypadkowo. Jakie jest prawdopodobie...
 Fatina  8
 Prawdopodobieństwo - rozklad dwumianowy
1.Wśród wyrobów na nowej maszynie występuje 20% sztuk wadliwych. W losowaniu niezależnym wylosowano 100 sztuk wyprodukowanych na tej maszynie. Obliczyć EX i D^2 X wiedząc, ze zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, także obliczyć prawdopodobieństwo, że...
 Sauron  1
 Urna, prawdopodobieństwo losowania dokładnie 3 razy
W urnie znajduje się 5 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 5. Losujemy bez zwracania kolejno kule tak długo, aż suma numerów przekroczy 7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy losować 3 razy? ---> czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć dokładnie?...
 mathematik18  6
 Znajdź przedział ufności/ jakie jest prawdopodobieństwo
Czy ktoś potrafi rozwiązać jakieś z tych zadań? : 1. Zmierzono wzrost pewnej liczby studentów i otrzymano średni wynik 178. Zakładając, że wzrost studentów jest zmienna losową o rozkładzie N(m,15) wyznaczyć minimalną liczność próby, jaką należy pobra...
 misza400  1
 Prawdopodobieństwo działania urządzenia w czasie,wektor
Witam, prosiłbym o pomoc z takimi zadaniami. Urządzenie składa się z n połączonych równolegle elementów, przy czym każdy element ma czas życia każdego z urządzeń ma rozkład wykładniczy o średniej \lambda. 1) Jaki jest roz...
 rbt  0
 losowanie drużyn, prawdopodobieństwo
Do mistrzostw Europy w piłce nożnej kwalifikuje się 16 drużyn. Oznaczmy je symbolami: D_1,D_2,D_3,...,D_{16}. Komisja UEFA rozdziela j...
 AiDi  2
 Prawdopodobieństwo wykiełkowania ziaren
Poproszę o sprawdzenie czy moje rozwiązanie jest poprawne: "Prawdopodobieństwo że ziarno kukurydzy wykiełkuje jest równe 0,9. Dla celów doświadczalnych wybrano 10 ziaren. Oblicz prawdopodobieństwo, że wykiełkuje co najmniej 8 ziaren." Pro...
 artias007  6
 Wyznaczyć prawdopodobieństwo zmiennej losowej X
Zmienna losowa ma gęstość prawdopodobieństwa zadaną wzorem: f(x) = \begin{cases} 0 \ dla \ x < 1 \\ \frac{4}{x ^{5}\ dla \ x \ge 1} \end{cases} Wyznaczyć P(0 < X < 2)[/tex:28hg...
 matematykapl  1
 Punkty na kwadracie i prawdopodobienstwo
WITAM! Kolejne trudne jak dla mnie zadanie: Dany jest kwadrat ACEG o polu 1. Ze zbioru wierzcholkow kwadratu i srodkow jego bokow losujemy 3 punkty.Oblicz prawdopodobienstwo, ze: a) wylosowane punkty wyznacza trojkat b) wylosowane punkty wyznacza tro...
 soku11  7
 Prawdopodobieństwo wystąpienia serii
Witam. Na rachunku prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej dostaliśmy takie zadania. 1) Mamy 2 zbiory. W pierwszym znajduje się M jedynek, w drugim N zer, przy czym M != N. Pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo że wystąpi określona liczba seri...
 ramz  0
 Książki na półce(prawdopodobieństwo)
Książki ponumerowane od 1 do 20 zostały przypadkowo ułożone na jednej półce. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że książki o numerach: a) 1 i 2 b)1,2 i 3 pojawiły się w sąsiedztwie. Czy ktoś może wie jak zrobić takie zadanko?...
 koala  2
 prawdopodobienstwo "wykaż że"
Mam takie zadanko Wykaż, że jeżeli A,B \subset \Omega oraz P(A)=\frac{1}{4} i P(B)=\frac{1}{3}, to \frac{1}{3} \leqslant [tex:3ns6me...
 naxior  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com