[ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 13795
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metryki, zbiory domknięte
Witam! Proszę o sprawdzenie moich odpowiedzi do następującego zadania Rozpatrzmy płaszczyznę z metryką rzeka oraz rodzinę jej podzbiorów A_n={(x,y):(x-1-\frac{1}{n})^2+y^2=(\frac{1}{n})^2. Proszę...
 miedzian  5
 Zbiory domknięte.
Załóżmy, że A jest domkniętym podzbiorem w X oraz F \subset A. Pokaż, że zbiór F jest domknięty w podprzestrzeni A[/tex:...
 _Mithrandir  3
 przestrzenie zupełne - zadanie 5
Niech (X,d_{X}), (Y,d_{Y}) beda przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Wykazać że przestrezń X \times Y z metryka d((x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}&#41...
 crazygirl  1
 wykazać że przestrzenie są homeomorficzne
Wykazać, że przestrzenie \mathbb{R} i (0, \infty ) z metryką naturalną są homeomorficzne....
 ania555  3
 metryki, przestrzenie metryczne
Zadanie brzmi: Odległość punktu x \in X od zbioru A \subset X w przestrzeni metrycznej (X,d) określamy wzorem d(x,A) = \inf_{y\in A...
 porucznik  2
 Przestrzenie metryczne - zadanie 8
Witam wszystkich! Mam większy problem z zadaniem z zakresu metryki. Szukałam pomocy na innych forach, nikt nie umiał mi pomóc. Mam nadzieję, że tutaj znajdzie się ktoś, kto zna się na metryce. Sprawdzić, że funkcje \rho_2[/tex:sbrxbwm...
 manuela  5
 Zbiory spójne, dowód twierdzenia
Witam, z racji, że jest to mój pierwszy post proszę o wyrozumiałość. Mam do udowodnienia twierdzenie: Niech A będzie zbiorem spójnym. Jeśli zbiór C spełnia inkluzje A \subseteq ...
 skasuj3  2
 przestrzenie metryczne,izometria
Niech (X,d_{X}) i (Y,d_{Y}) beda przestrzeniami metrycznymi f:X \rightarrow Y jest izometria gdy: \forall x,y \in X \ \ d_{Y}(f(x),f(y))...
 wiedzma  1
 przedziały i zbiory
Niech a,b \in \mathbb{R}, a<b. Zbadać, czy poniższe przedziały są zbiorami otwartymi/domkniętymi w przestrzeni \mathbb{R} z metryką naturalną: (a,b), <a,b), &#4...
 xyz5656  1
 zbiory gęste
Niech X będzie przestrzenią metryczną, bez punktów izolowanych. Pokaż , że istnieje A \subseteq X takie, że A i dopełnienie A są zbior...
 darek20  3
 zbiory gęste, brzegowe...
Podać pełną charakteryzację zbiorów gęstych (brzegowych, nigdziegęstych, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstych) w przestrzeni topologicznej dyskretnej (dopełnień skończonych). Znam dokładnie definicje tych zbiorów ale nie moge sobi...
 crazygirl  3
 Zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste...
Podać pełną charakteryzację zbiorów gęstych (brzegowych, nigdzie gęstych, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstych) w przestrzeni topologicznej antydyskretnej (z wyróżnionym punktem). Nie mogłam też nigdzie znaleźć definicji topologii...
 ewullla1991  4
 zbiory otwarte i domknięte
określić czy zbiory: a) b) (-\infty,3) c) (-\infty,\infty) są otwarte czy domknięte. Z góry dziękuję za pomoc ...
 qaz  10
 ciągłość zbiory rozłączne
Wskazać dla ustalonych f,g : X \rightarrow R ciągłych takich, że zbiory A=f ^{-1}(0), B=g ^{-1}(0) są rozłączną funkcją ciągłą h : X ...
 aniess85  1
 kiedy przestrzenie antydyskretna i dyskretna są zwarte?
kiedy przestrzenie antydyskretna i dyskretna są zwarte?...
 6mari9  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com