szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 14215
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiory domknięto-otwarte
Ile jest zbiorów domknięto-otwartych w X gdzie X=\cup ....
 lukabesoin  1
 przestrzenie homeomorficzne
Czy przestrzeń R i (a,b) z metryką naturalną są homeomorficzne? Uzasadnić....
 kocica  3
 Zbiory otwarte i domknięte - zadanie 6
B=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left Na końcu wychodzi \left a w książce \left....
 arezz  1
 Zbiory nigdziegęste. Wykazać...
Proszę o pomoc w wykazaniu, że: a) suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym b) iloczyn dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym....
 polcia_89  1
 przestrzenie zwarte
Jeżeli Y jest przestrzenią zwartą to przekształcenie f:X Y jest ciągłe wtedy i ...
 gdorota1  2
 przestrzenie metryczne - zadanie 13
Hej. Mam pytanie odnośnie przestrzeni typu l^{p}, l^{1}, l^{ \infty }. Co to za przestrzenie ? Gdzie mogę o nich poczytać?...
 Karolina93  3
 Czy przestrzenie są homeomorficzne?
Czy ((0,1), d_{e}),((0, \infty), d_{e}) są homeomorficzne? Jeśli tak, to jaką wskazać funkcję, a jeśli nie to dlaczego?...
 krzysiek852  3
 Zbiory spójne.
Które z poniższych zbiorów są spójne z metryką euklidesową lub z metryką "rzeka"? 1.\mathbb{R} \times \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{R} 2.\mathbb{R} \times (\mathbb{R} \backslash ...
 esserpmi  1
 zb. geste, brzegowe, nigdziegeste
Podać przykład zbiorów : - gestych -nigdziegestych -brzegowych w R ^{2} Znacie takie przykłady ? Pomożecie ? ;(...
 martynek  2
 Zbiory borelowskie na prostej
W ogólności zbiory borelowskie są to zbiory z \sigma-ciała generowanego przez topologię. Chciałbym pokazać równoważność ich definicji na prostej. Formalnie zapisując: \mathcal{B}_1 = \sigma(U, U \mbo...
 Emiel Regis  5
 Przestrzenie metryczne - zadanie 2
Próbuję pojąć przestrzenie metryczne. Proszę o pomoc w następującym zadaniu, chodzi mi o zupełne wytłumaczenie jak takie zadania się robi: (X,d) jest przestrzenią metryczną Pokazać, że \sqrt{d}[/tex...
 methadone  1
 zbiory spójne
Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są spójne i nie są rozłączne to ich suma jest spójna Nie korzystając z twierdzenia: o sumie zbiorów spójnych i domknięciu zbioru spójnego...
 DDDanonek  0
 Przestrzenie metryczne - pojęcia
Zbiór otwarty (podzbiór przestrzeni metrycznej (X, d)) - po prostu wycinek na układzie współrzędnych, tyle że z linią przerywaną na granicy To taki zbiór, który nie zawiera ani kawałka swojego brz...
 ivenius  5
 przestrzenie metryczne ,zwarte, ośodkowe
Hej przygotowuję się do egzaminu z topologii i nie wiem paru rzeczy i prosiłabym o pomoc a) podac przykład przestrzeni ośrodkowej ,która nie jest całkowicie ogran...
 wisienka63261  1
 zbiory otwarte i domknięte - zadanie 9
Ile jest zbiorów równocześnie otwartych i domkniętych na prostej rzeczywistej z metryką euklidesową?...
 nanali  13
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com