szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:54 
Moderator

Posty: 15084
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy zbiory są oddalone
Czy zbiory są od siebie oddalone? A = \left\{ - \frac{1}{n}: n \in N \right\} B = \left \{1 - \frac{1}{n}: n \in N \right\} Czy słusznie myślę, że nie są? Do domknięcia A[/tex:...
 PannaTrefl  1
 zbiory zwarte lub spójne
Które ze zbiorów są zwarte , a które spójne ? 1)\\ 2)(\setminus\{0\}) \times \\ 3)\{(x,y):1 \le x ^{2}+y ^{2} \le 4 \} Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie....
 gawli  9
 Zbiory domknięte - zadanie 4
Kto może rozpisać mi krok po kroku jak dowieść, że skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym? Błagam o pomoc!...
 klimas7  6
 zbiory spójne, homeomorfizm
Bo nie jest domknięta, tak? Tak. A gdyby w X nie było punktu \{(0,0)\}, to dlaczego [tex...
 anilahcim  3
 Które z poniższych przestrzeni są ośrodkowe
Które z poniższych przestrzeni są ośrodkowe? a) Prosta R b) Płaszczyzna R ^{2} c) Płaszczyzna z metryką kolejową d) Płaszczyzna z metryką rzeka e) Płaszczyzna z metryką 0-1...
 piotrek20008  1
 Zbiory homeomorficzne.
Czy są homeomorficzne: a) \{ (x_1, x_2) : 1 \le x_1 < 2 , -1 < x_2 \le x_1 \} i b) \{1 \} \times i [-...
 _Mithrandir  4
 Zbiory rozgraniczone - zadanie 2
Prosze o pomoc Przedstawić przestrzeń (R \setminus Q) \cup Z jako sumę dwóch zbiorów rozgraniczonych w R[/te...
 Bartek93klm  1
 Przestrzenie metryczne. - zadanie 2
Próbuję zrozumieć samo pojęcie. Czy istnieje metryka maksimum w przestrzeni jednowymiarowej? Jeśli tak, to jak określić ją wzorem? d_m (x,y) = \max |x-y| = |x-y| = d_e ?...
 myszka9  3
 Homeomorficzność, zupełność, przestrzenie metryczne.
Żeby stwierdzić, że każda przestrzeń dyskretna jest zupełna, zastanów się, jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w tej przestrzeni. Zastanawiałem się nad tym i ...
 _Mithrandir  8
 Scharakteryzowac zbiory
Scharakteryzowac zbiory spójne w \QQ z metryka euklidesowa....
 Gogeta  3
 Przestrzenie metryczne, strzałka, spójność
Rozstrzygnąć prawdziwość poniższych stwierdzeń wraz z uzasadnieniem: 1. Z każdego pokrycia płaszczyzny euklidesowej \mathbb{R}^{2} zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie przeliczalne. 2. Niech (X, d&...
 psikus  1
 Przestrzenie spójne oraz zbiory rozgraniczone - zadanie 2
Prosilbym o pomoc w rozwiazaniu ponizszych zadanek zadanie pierwsze Podac przyklad przestrzeni spojnej dwupunktowej oraz spojnej przeliczalnej Zadanie drugie Udowodnic ze jesli zbiory A i B[/tex:2yj2...
 patus124  5
 Zbiory otwarte/domknięte w R^2
Który z podanych zbiorów jest otwarty (O), a który domknięty (D)? wszędzie (x,y)\in R^2: a) x>0 b) x\ge 0 c) 1<x^2+y^2\le 4[/tex:5nnifa...
 Drzewo18  2
 Przestrzenie metryczne - zadanie 4
Do rzeczy. Nie wiem jak mam rozumieć zapis d(x,y)=\max_{1\leq k \leq n}|x_k-y_k| i czym to się dokładnie różni od metryki \rho (x,y)=\sum_{k=1}^{n}|x_k-y_k|?...
 Kris-0  7
 Przestrzenie ośrodkowe.
Jak pokazać, że \mathbb{R}^2 z metryką euklidesową jest ośrodkowa? Mam to zrobić za pomocą faktu Fakt A \subset X jest gęsty \Leftrightarrow dla każdego niepusteg...
 _Mithrandir  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com