szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 16021
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory domknięto - otwarte - zadanie 2
Mam pytanie często udowadniając spójność zbioru npR robi się to nie wprost, czyli zakłada się istnienie takich rozłącznych, niepustych zbiorów, domkniętych, że A \cup B = R. Można nawet założy...
 plamaster  4
 Przestrzenie metryczne
Czy ktoś mógłby mi polecić jakieś pozycje książkowe na temat przestrzeni metrycznych, norm i wszystkiemu z tym związane?...
 prondzyn  6
 Zbiory brzegowe i rozgraniczone
Muszę udowdnić następujące równanie. Fr(A \cup B) = Fr(A) \cup Fr(B). Gdzie Fr(A) to brzeg zbioru, czyli Fr(A)=cl(A)/int&#4...
 gosiaczek18  3
 przestrzenie zupełne - zadanie 6
Przestrzeń metryczna jest zupełna, kiedy ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny. A więc nasz ciąg (x_{n}) też spełnia warunek Cauchy'ego, jest zbieżny i należy do F, więc po...
 une_fragile  14
 Zbiory zwarte - zadanie 3
Czy zbiory: a)A=\left\{ x,y\right\} \in R^{2}: \ x^{2} + y^{2}= 3^{2} b)B=\left\{ x,y\right\} \in R^{2}: \ x^{2} - y^{2}= 3^{2} są zwarte ? ograniczone? prośba o sprawdzenie: a) jest zwart...
 nyrewes85  4
 przestrzenie zwarte - zadanie 4
Niech f:(X,t_{X}) \rightarrow (Y,t_{Y}) będzie ciągłą suriekcją. Niech ponadto X będzie zwarta. Wykazać, że Y też jest zwarta....
 rafallf  1
 Przestrzenie lp, lq i zależności miedzy nimi.
Z izometrią dobrze, przykład też, choć można podać dużo bardziej prosty i musi być spełniony jeszcze jeden warunek bo tu zakładamy, że p\leq q a w jednym przypadku to będzie izometria. Liniowość... Jakie warunki musi speł...
 Varimatras  14
 Ciągi Cauchy'ego, przestrzenie zupełne i ośrodkowe
1. Wykazać, że odwzorowanie f(x)=x+\frac{1}{x} dla x \ge 1 i x \in R a) zmniejsza odległość; tzn |f(x)-f(y)|<|x-y|[/tex:2r...
 misia12345  0
 Zbiory spójne, brzegowe, zwarte, domknięte, otwarte...
Mam kilka takich pytań na które nie do końca wiem jak odpowiedzieć. 1. Czy w przestrzeni metrycznej zupełnej zbiór I kategorii jest zbiorem brzegowym? 2. Czy w metryce dyskretnej zbiór liczb wymiernych jest w sobie gęsty? 3. Czy w dowolnej [tex:3779...
 mariolka0303  5
 Przestrzenie metryczne- kula
\left\{ y \in R : d\left( y,0 \right) <1\right\}? A czym dokładnie jest ten zbiór? Bez abstrakcyjnej definicji, bez metryki....
 93Michu93  60
 Zbiory otwarte i domknięte - zadanie 8
Jak udowodnić, że suma dwóch zbiorów domkniętych w X jest zbiorem domkniętym w X, i że suma dwóch zbiorów otwartych w X jest zbiorem otwartym w X[/te...
 misia12345  2
 zbiory otwarte i domknięte, topologia indukowana
1.Które z podanych zbiorów sa otwarte w przestrzeni X= \left( 0,1 \right] z topologią indukowaną z prostej euklidesowej R. a) \left( 0,\frac{1}{2} \right) b) \left...
 kasiczka15m  8
 zbiory rozgraniczone
Ale ono jest prawdziwe dla przestrzeni zwartych. W zaledwie zupełnych istnieją przykłady, na przykład F_n = \left\{ \left( \frac{1}{2} \cos t, \frac{1}{2} \sin t \right) : t \in \left&#40...
 lustro2204  5
 Czy zbiory są oddalone
Czy zbiory są od siebie oddalone? A = \left\{ - \frac{1}{n}: n \in N \right\} B = \left \{1 - \frac{1}{n}: n \in N \right\} Czy słusznie myślę, że nie są? Do domknięcia A[/tex:...
 PannaTrefl  1
 Zbiory domknięte - zadanie 4
Kto może rozpisać mi krok po kroku jak dowieść, że skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym? Błagam o pomoc!...
 klimas7  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com