szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 14568
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przestrzenie topologiczne - zadanie 2
Dowieść, że jeżeli X_{0}\subset X, X_{0}\neq \o, oraz \langle X, \tau \rangle jest przestrzenią topologiczną, to otoczeniami punktu x_{0}\in X_{0} w topologii indu...
 sympatia17  1
 Pokazać, że metryki wyznaczają te same zbiory otwarte
Jak pokazać, że metryki d=(x,y) i d_{1}=\min \{d(x,y),1 \} wyznaczają te same zbiory otwarte?...
 anilahcim  0
 zbiory G delta i F sigma
Pokazać, że w przestrzeni X: 1. Każdy zbiór otwarty jest typu F_{\sigma} 2. Każdy zbiór domknięty jest typu G_{\delta} Nie bardzo wiem jak się za to zabrać....
 moniac91  5
 Zbiory spójne - zadanie 5
Które z tych zbiorów są spójne? a) b) \{1,2,3,4\} c) \cup\{2\} d) e) [0,\...
 Drzewo18  6
 Zbiory nigdziegęste
Proszę o pomoc w wskazaniu zbioru do zadania. Treść zadania: Podać przykład zbioru A takiego, że zbiory postaci A \setminus int A czy też cl(A) \setminus A nie są nigdziegęste. jeśl...
 kkoc  1
 Przestrzenie metryczne - zbiory otwarte i domknięte
Jezeli kazdy zbiór otwarty przestrzeni metrycznej jest domkniety, to przestrzen ta jest dyskretna. Udowodnic, ze w przestrzeni metrycznej kazdy zbiór jest domkniety lub otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzen ta zawiera co najwyzej jeden punkt ni...
 macieq44  1
 Przestrzenie metryczne, strzałka, spójność
Rozstrzygnąć prawdziwość poniższych stwierdzeń wraz z uzasadnieniem: 1. Z każdego pokrycia płaszczyzny euklidesowej \mathbb{R}^{2} zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie przeliczalne. 2. Niech (X, d&...
 psikus  1
 zbiory spójne z metryką euklidesową.
d. a nie ma znaczenia to, że zbiór liczb wymiernych ma moc alef zero? a co z f i g?...
 asia1317  38
 Zbiory gęste i brzegowe
Witam , jestem tu pierwszy raz , więc z góry przepraszam jeśli coś zrobię nie tak. Potrzebuję pomocy w takich zagadnieniach: 1. Czy domknięcie zbioru gęstego też jest gęste? Podać dowód lub przyklad 2.Udowodnić, że przekrój zbiorów gęstych nie jest g...
 Asiok  4
 zbióry domkniete lub otwarte
C\left( \left \right) funkcje ciągłe mamy matryke: d_{sup}\left( f,g\right)=max\left{ \left| f\left( x\right)-g\left( x\right) \right|:x \in \left \ri...
 paulaxxl  1
 Przestrzenie metryczne - zadanie 4
Do rzeczy. Nie wiem jak mam rozumieć zapis d(x,y)=\max_{1\leq k \leq n}|x_k-y_k| i czym to się dokładnie różni od metryki \rho (x,y)=\sum_{k=1}^{n}|x_k-y_k|?...
 Kris-0  7
 zbiory domkniete, otwarte
A-domknięty, B-otwarty Zbadac jakie są zbiory:A \setminus B,B \setminus A, A \cup B,A \cap...
 Anka20  4
 Zbiory zwarte, spójne - 6 dowodów
1) Jeśli A_{1} A_{2} \subset X są zwarte to A_{1}\cup A_{2} też. 2) (X,d) zwarta i [tex:1oska8i...
 natalia.gl  4
 przestrzenie homeomorficzne - zadanie 2
Do wszystkich ludzi dobrej woli!!! Pilnie poszukiwane rozwiązania poniższych zadań.Za wszelką pomoc będę dozgonnie wdzięczna. Zad.1.Wykaż. że topologi...
 uamka  1
 zbiory wypukłe - zadanie 2
Witam. Dowolny podzbiór C przestrzeni R ^{n} jest spójny. Poda mi ktos przyklad podzbioru R ^{2}, który jest spójny ale nie jest wypukły? Szybko ...
 elodymek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com