szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:51 
Użytkownik
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:54 
Moderator

Posty: 15945
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Opisz zbiory zwarte w przestrzeni
Prosiłbym o sprawdzenie rozumowania w zadaniu, gdzie należy opisać zbiory zwarte w przestrzeni \mathbb R z metryką "mur". Wiadomo, że zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest zupełny i całkowicie ogranicz...
 porucznik  5
 Przestrzenie metryczne. - zadanie 3
a co to znaczy 'śladem' zbioru? to są one otwarte czy nie?...
 alicjaa21  103
 Przestrzenie metryczne - zadanie 2
Próbuję pojąć przestrzenie metryczne. Proszę o pomoc w następującym zadaniu, chodzi mi o zupełne wytłumaczenie jak takie zadania się robi: (X,d) jest przestrzenią metryczną Pokazać, że \sqrt{d}[/tex...
 methadone  1
 zbiory otwarte - zadanie 4
Uzasadnić że zbiór otwarty U przecina zbiór Q wtw gdy U przecina domknięcie zbioru Q...
 Lipek17  1
 Zbiory otwarte czy domkniete??
Czy zboory sa otwarte czy domkniete: 1. A=Q\N, X=R 2. A=NW (niewymierne), X=R 3. A=N\cap (\frac{1}{n})}, X=R 4. A=(Q\cap)\times(Q\cap ...
 maris21  1
 zbiory przestrzeni metrycznej
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Czy może mi ktoś wyjaśnić dlaczego cały zbiór X jest otwarty? Wiem że to wynika z definicji zbioru otwartego ale nie widzę jak. Wiem że zbiór pusty jest otwarty. Dopełnieniem zbioru pustego powinien być cały...
 fuzzgun  42
 Domknięte zbiory
Podać przykład na prostej rzeczywistej i pokazać że suma algebraiczna dwóch zbiorów domkniętych nie jest zbiorem domkniętym. Pilnie potrzebuje rozwiązania , jeśli umiesz rozwiąż krok po kroku może zrozumiem!...
 natalia1991  3
 Zbiory typu F-sigma
A jaki masz problem? (Podpowiedź - indukcja)...
 daniel_03  9
 zbiory w przestrzeni zwartej
Niech X będzie przestrzenią metryczną zwartą, oraz niech A \neq B \subset X zbiory spójne. Pokaż że istnieja zbiory domkniete P, Q \subset X takie że i) [tex:1...
 darek20  8
 Przestrzenie zwarte, r-sieci.
Niech K będzie zwartą przestrzenią o ośrodku (p. zwarta jest ośrodkowa) A. Udowodnić, że \forall_{r > 0} \exists_{S \subset A, \overline{\overline{S}} < \infty} K \subset ...
 _Mithrandir  4
 Przestrzenie ośrodkowe - zadanie 3
Pokazać,że jeśli (X,d) ośrodkowe i Y \subsetX podprzest. to Y ośrodkowe...
 DDDanonek  1
 Zbiory borelowskie - zadanie 9
Jaka jest metryka wyznaczona przez topologię np. na prostej rzeczywistej. Gdzie za zbiory otwarte przyjmujemy wszystkie zbiory borelowskie....
 krzeslo789  13
 zbiory w metryce rzeka, gwiaździste...
Niech A_n= \left\{ (x,y): y=nx ; y \in \right\} B= \left\{ 0\right\} \times Zbadać domkniętość ,ograniczoność, zwartość,zupełność,spójność i lokalną spójność zbioru [tex...
 dream94  11
 przestrzenie zupełne, normy równoważne
witam niedługo egzamin, a ja mam problem z kilkoma rzeczami... 1. dowód na to, że przestrzeń ciągów zbieżnych do zera c0 jest zupełna 2. dowód na to, że w przestrze...
 mamba87  2
 zbiory otwarte i domknięte - zadanie 4
A dałoby sie przefstawić schemat rozwiązania tego zadania krok po kroku? Dla przykłady rozwiązać jeden z podpunktów? Bardzo bym prosił....
 Bison  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com