szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 16129
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory zwarte, spójne - 6 dowodów
1) Jeśli A_{1} A_{2} \subset X są zwarte to A_{1}\cup A_{2} też. 2) (X,d) zwarta i [tex:1oska8i...
 natalia.gl  4
 Zbiory brzegowe i rozgraniczone
Muszę udowdnić następujące równanie. Fr(A \cup B) = Fr(A) \cup Fr(B). Gdzie Fr(A) to brzeg zbioru, czyli Fr(A)=cl(A)/int&#4...
 gosiaczek18  3
 Domknięte zbiory
Podać przykład na prostej rzeczywistej i pokazać że suma algebraiczna dwóch zbiorów domkniętych nie jest zbiorem domkniętym. Pilnie potrzebuje rozwiązania , jeśli umiesz rozwiąż krok po kroku może zrozumiem!...
 natalia1991  3
 Zbiory borelowskie - zadanie 9
Jaka jest metryka wyznaczona przez topologię np. na prostej rzeczywistej. Gdzie za zbiory otwarte przyjmujemy wszystkie zbiory borelowskie....
 krzeslo789  13
 Przestrzen metryczna, zbiory otwarte, ciagi podstawowe...
Na zbiorze \mathbb{Z} rozważmy metrykę określoną wzorem d(k,l)=|2^k-2^l|. a) Jakie zbiory są otwarte w (\mathbb{Z},d)? b) Jakie ciągi są podstawowe...
 tometomek91  9
 zbiory w metryce rzeka, gwiaździste...
Niech A_n= \left\{ (x,y): y=nx ; y \in \right\} B= \left\{ 0\right\} \times Zbadać domkniętość ,ograniczoność, zwartość,zupełność,spójność i lokalną spójność zbioru [tex...
 dream94  11
 Przestrzenie zerowymiarowe
Dlaczego przestrzeń Cantora 2^{n} jest przestrzenią zerowymiarową? Może ktoś to udowodnić?...
 grape  17
 Przestrzenie zupełne i metryzowalne w sposób zupełny
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić kiedy przestrzeń jest metryzowalna w sposób zupełny? Czy to jest jednoznaczne z tym że ta przestrzeń jest zupełna? W odniesieniu do poprzedniego zadania: czemu \mathbb{N} jest metryzowalna w s...
 onmyway  6
 Jak wykazać, że te przestrzenie nie są homeomorficzne...
Jak wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest homeomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych? Tak samo, jak wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych (wszystko z metryką euklidesową) nie jest homeomorficzny (lub jest?) ze zbiorem liczb naturalnych?...
 pretyysimple  3
 Przestrzenie unormowane - zadanie 3
Kurde. Nie wiem co robie źle, ale mi nie wychodzi :/ możesz to rozpisać krok po kroku? Błagam......
 klimas7  10
 Przestrzenie metryczne - sprawdzenie równoważności
Mam problem ze sprawdzeniem, czy podana równość jest prawidłowa: Int(cl(D))=cl(Int(D)) Bardzo proszę o pomoc, myślę nad tym już parę dni......
 lady_fraktal  4
 przestrzenie homeomorficzne - zadanie 3
Nie potrafię tego pokazać. Dlaczego jedna składowa nie może przejść na więcej składowych? Przekształcenie ma być ciągłą bijekcją, dlaczego wtedy by nie było? Weźmy przekształcenie ciągłe przestr...
 anilahcim  6
 zbiory otwarte domkniete i Fr
Witam! Czy ktoś mógłby mii pomóc z tym zadaniem? Znaleźć Cl(A), Int(A) i Fr(A) A= \left\{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{m} \right) ; n,m \in \m...
 karolinaef  4
 Przestrzenie zupełne.
Jak udowodnić, że \mathbb{R}^2 z metryką kolejową jest przestrzenią zupełną, wiedząc, że \mathbb{R} jest przestrzenią zupełną?...
 _Mithrandir  4
 Zbiory domknięte - zadanie 6
Czy suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych musi być zbiorem domkniętym??...
 justynaela  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com