szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 14359
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory borelowskie - zadanie 9
Jaka jest metryka wyznaczona przez topologię np. na prostej rzeczywistej. Gdzie za zbiory otwarte przyjmujemy wszystkie zbiory borelowskie....
 krzeslo789  13
 Przestrzenie ośrodkowe - zadanie 2
Udowodnić, że iloczyn kartezjański przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową....
 szpilkaa  3
 Zbiory brzegowe
Jak wykazać czy zachodzą takie warunki? Jeśli A, B \subseteq X, i oba zbiory są brzegowe, to ich suma jest zbiorem brzegowym? Proszę o pomoc....
 Swider  4
 Przestrzenie zupełne i metryzowalne w sposób zupełny
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić kiedy przestrzeń jest metryzowalna w sposób zupełny? Czy to jest jednoznaczne z tym że ta przestrzeń jest zupełna? W odniesieniu do poprzedniego zadania: czemu \mathbb{N} jest metryzowalna w s...
 onmyway  6
 Które z poniższych przestrzeni są ośrodkowe
Które z poniższych przestrzeni są ośrodkowe? a) Prosta R b) Płaszczyzna R ^{2} c) Płaszczyzna z metryką kolejową d) Płaszczyzna z metryką rzeka e) Płaszczyzna z metryką 0-1...
 piotrek20008  1
 przestrzenie homeomorficzne - zadanie 3
Nie potrafię tego pokazać. Dlaczego jedna składowa nie może przejść na więcej składowych? Przekształcenie ma być ciągłą bijekcją, dlaczego wtedy by nie było? Weźmy przekształcenie ciągłe przestr...
 anilahcim  6
 Przestrzenie metryczne - zadanie 6
Cześć wszystkim, W poniedziałek mam poprawę kolokwium i niestety 3 zadań zamieszczonych poniżej całkowicie nie potrafię rozwiązać (nawet nie ma podobnych w spisie zadań z zajęć;/). Jakby ktoś potrafił to z góry dziękuję za rozwiązanie. 1) Ktora z n...
 sjr  6
 przestrzenie metryczne - zadanie 5
Będzie wystarczające, można ewentualnie dodać jeszcze z czego to wynika: wyrażenie jest sumą dwóch modułów. Przyjmują one oczywiście wartości nieujemne. Całe wyrażenie jest większe/równe zeru, przy czym równość zachodzi tylko...
 pelczyk1  10
 Zbiory domknięte - zadanie 6
Czy suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych musi być zbiorem domkniętym??...
 justynaela  12
 zbiory domknięte i otwarte
Mam za zadanie rozpatrzyć podane zbiory: 1) A = \left\{ x,y\right\} \subset \RR ^{2} 2) A = \left\{(n,n)\right\} ; n=1,2,...} \subset \RR ^{2} 3) A = \left\{ \frac{...
 kesi  7
 Przestrzenie metryczne, strzałka, spójność
Rozstrzygnąć prawdziwość poniższych stwierdzeń wraz z uzasadnieniem: 1. Z każdego pokrycia płaszczyzny euklidesowej \mathbb{R}^{2} zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie przeliczalne. 2. Niech (X, d&...
 psikus  1
 zbiory ograniczone - zadanie 2
Pokaż, że jeżeli zbiory A i B są ograniczone, to A \cup B też jest ograniczony....
 21mat  1
 Przestrzenie zwarte, punkt stały.
Niech K - zbiór zwarty, f : K \to K - funkcja ciągła taka, że d(f(x),f(y))<d(x,y) dla x \neq y. Nie...
 _Mithrandir  3
 Przestrzenie metryczne. - zadanie 3
a co to znaczy 'śladem' zbioru? to są one otwarte czy nie?...
 alicjaa21  103
 Przestrzenie metryczne - zadanie 4
Do rzeczy. Nie wiem jak mam rozumieć zapis d(x,y)=\max_{1\leq k \leq n}|x_k-y_k| i czym to się dokładnie różni od metryki \rho (x,y)=\sum_{k=1}^{n}|x_k-y_k|?...
 Kris-0  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com