szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 13:54 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory domkniete i otwarte w topologii euklidesowej
1.Które z podanych zbiorów są otwarte w topologii euklidesowej na płaszczyźnie? a) \times b)\lbrace (x,y):y \in \lbrace 1,2,3\rbrace ,x \in \rbrace c)...
 kasiczka15m  3
 Zbiory spójne.
Które z poniższych zbiorów są spójne z metryką euklidesową lub z metryką "rzeka"? 1.\mathbb{R} \times \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q} \times \mathbb{R} 2.\mathbb{R} \times (\mathbb{R} \backslash ...
 esserpmi  1
 Zbiory domknięte i brzegowe
Proszę o pomoc w zadaniu z topologii. Zadanie. a) Podaj przykład dwóch zbiorów brzegowych, których suma nie jest brzegowa. b) Udowodnij, że jeśli zbiór B jest brzegowy, a zbiór A jest brzegowy i domknięty, to zbiór A \cup B[/tex:3hywbx...
 kkoc  4
 Zbiory borelowskie na prostej
W ogólności zbiory borelowskie są to zbiory z \sigma-ciała generowanego przez topologię. Chciałbym pokazać równoważność ich definicji na prostej. Formalnie zapisując: \mathcal{B}_1 = \sigma(U, U \mbo...
 Emiel Regis  5
 Przestrzenie metryczne - zadanie 2
Próbuję pojąć przestrzenie metryczne. Proszę o pomoc w następującym zadaniu, chodzi mi o zupełne wytłumaczenie jak takie zadania się robi: (X,d) jest przestrzenią metryczną Pokazać, że \sqrt{d}[/tex...
 methadone  1
 zbiory spójne
Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są spójne i nie są rozłączne to ich suma jest spójna Nie korzystając z twierdzenia: o sumie zbiorów spójnych i domknięciu zbioru spójnego...
 DDDanonek  0
 Przestrzenie polskie, zbiory mizerne, ...
Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy mizernym (lub pierwszej kategorii) jeżeli jest on przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych (czyli o pustych wnętrzach domknięcia) w tej przestrzeni. Zbiór nazywamy komizernym jeżeli...
 Lewap  9
 zbiory otwarto-domknięte
361336.htm Czy wie ktoś jak zrobić to zadanie w \RR^2 ?...
 nanali  6
 zbiory domknięto-otwarte
Ile jest zbiorów domknięto-otwartych w X gdzie X=\cup ....
 lukabesoin  1
 przestrzenie homeomorficzne
Czy przestrzeń R i (a,b) z metryką naturalną są homeomorficzne? Uzasadnić....
 kocica  3
 Zbiory nigdziegęste. Wykazać...
Proszę o pomoc w wykazaniu, że: a) suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym b) iloczyn dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym....
 polcia_89  1
 przestrzenie zwarte
Jeżeli Y jest przestrzenią zwartą to przekształcenie f:X Y jest ciągłe wtedy i ...
 gdorota1  2
 przestrzenie zupełne - zadanie 7
Podać przykłady przestrzeni metrycznych (X,d_{1}),(X,d_{2}) takich, aby metryki d_{1},d_{2} były równoważne, przestrzeń (X,d_{1}) była zupe...
 kalik  2
 Czy zbiory są oddalone
Czy zbiory są od siebie oddalone? A = \left\{ - \frac{1}{n}: n \in N \right\} B = \left \{1 - \frac{1}{n}: n \in N \right\} Czy słusznie myślę, że nie są? Do domknięcia A[/tex:...
 PannaTrefl  1
 Zbiory domknięte - zadanie 4
Kto może rozpisać mi krok po kroku jak dowieść, że skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym? Błagam o pomoc!...
 klimas7  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com