[ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Pytania typu "prawa/fałsz". Wszystkie zbiory występujące w pytaniach są niepuste.

1. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową mającą nieskończenie wiele punktów oraz niech A będzie ośrodkiem w X. Wtedy istnieje ciąg (a_n) \subset A, który nie posiada granicy w X.

Na pewno w wielu przestrzeniach to będzie prawda, ale czy w każdej takiej przestrzeni będzie istnieć taki ciąg?

2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową i zupełną. Wtedy przestrzeń X jest zwarta.

Można tu wziąć jako kontrprzykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką? Bo taka przestrzeń jest ośrodkowa (ośrodek - zbiór liczb wymiernych) i zupełna, ale zwarta chyba nie, bo można wziąć ciąg określony a_n = n, który nie ma podciągu zbieżnego. Zgadza się?

3. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, mającą nieskończenie wiele punktów. Wówczas jeśli \mathcal{U} jest nieprzeliczalnym pokryciem otwartym przestrzeni X, to nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego.

Jak pokazać, że tak nie jest?

4. Niech (X,d) będzie spójną przestrzenią metryczną. Wówczas X może nie zawierać podzbioru zwartego.

Wydaje mi się, że zawsze taki podzbiór będzie istnieć, np. zbiór jednopunktowy, jedyny ciąg w takim zbiorze to ciąg stały i wszystkie jego podciągi są zbieżne, więc jest zwarty. Zgadza się czy robię jakiś błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 975
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. W każdej przestrzeni metrycznej X nawet skończonej (byleby tylko jej moc była większa lub równa dwa) istnieje ciąg, który nie posiada granicy. Istotnie, niech x,y\in X , x \neq y wystarczy wziąźć a_n =\begin{cases} x \mbox{ dla } n=2k \\ y \mbox{ dla }n=2k+1 \end{cases}

-- 14 cze 2011, o 14:53 --

3. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną zwartą to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 14:54 
Moderator

Posty: 13779
Lokalizacja: Wrocław
Ad 2. Możesz.

Ad 4. Zgadza się.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2011, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 585
Lokalizacja: Gdańsk
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiory nigdziegęste
Proszę o pomoc w wskazaniu zbioru do zadania. Treść zadania: Podać przykład zbioru A takiego, że zbiory postaci A \setminus int A czy też cl(A) \setminus A nie są nigdziegęste. jeśl...
 kkoc  1
 Przestrzenie metryczne - zbiory otwarte i domknięte
Jezeli kazdy zbiór otwarty przestrzeni metrycznej jest domkniety, to przestrzen ta jest dyskretna. Udowodnic, ze w przestrzeni metrycznej kazdy zbiór jest domkniety lub otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzen ta zawiera co najwyzej jeden punkt ni...
 macieq44  1
 Zbiory spójne (zadanka)
Witam! Mam problem z kilkoma zadaniami ze zbiorów spójnych. będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc. A o to treść zadań: 1. Która z liter napisu: ZBIORY SPÓJNE traktowana jako podzbiór płaszczyzny R^{2}[/tex:2a8gm...
 ezurawska  1
 Zbiory&wartosc bezwzgledna.
czesc! problem jest taki: "ocen wartosc logiczna zdan: 1. jezeli A\B = , to A=B 2. jezeli |a+|a||=0, to a=0" napiszcie jak mozecie z czego to wynika. wszelkie opisy mile widziane....
 Anonymous  1
 zbiory zwarte
czy suma dowolnych dwóch zbiorów zwartych jest zwarta?...
 aniolekkkkk  1
 Przestrzenie skończone
Zad.1 X=\{x_1,\dots,x_n\}\in T_1 \Leftrightarrow X = przestrzeń dyskretna W jedną stronę robię to tak: Jeżeli X=przestrzeń dyskretna, to \forall_{x\in X}\; \{x\}...
 przem_as  2
 przestrzenie topologiczne - zadanie 2
Dowieść, że jeżeli X_{0}\subset X, X_{0}\neq \o, oraz \langle X, \tau \rangle jest przestrzenią topologiczną, to otoczeniami punktu x_{0}\in X_{0} w topologii indu...
 sympatia17  1
 Pokazać, że metryki wyznaczają te same zbiory otwarte
Jak pokazać, że metryki d=(x,y) i d_{1}=\min \{d(x,y),1 \} wyznaczają te same zbiory otwarte?...
 anilahcim  0
 przestrzenie zupełne
1) kombinuj z \mathbb{R} i (0,1) 2) podobnie 3) spróbuj najpierw udowodnić dla iloczynu złożonego z 2 przestrzeni. Dowód w jedną stronę jest prosty, w drugą niewiele trudniejszy, musis...
 pelczyk1  13
 Zbiory zupełne.
Mam problem z zadaniem i prosze o pomoc!! Udowodnij że: 1. Domknięte podzbiory zbiorów zupełnych są zupełne. 2. Każdy zbiór zupełny jest zbiorem domkniętym. 3. W przestrzeni Hilberta, niepusty podzbiór jest zupełny wtedy i tylko wtedy jeśli jest do...
 ladybird  1
 zbiory G delta i F sigma
Pokazać, że w przestrzeni X: 1. Każdy zbiór otwarty jest typu F_{\sigma} 2. Każdy zbiór domknięty jest typu G_{\delta} Nie bardzo wiem jak się za to zabrać....
 moniac91  5
 przestrzenie normalne a pokrycia
Czy prawdziwe jest następujące twierdzenie. Jeśli X jest przestrzenią normalną to dla każdego pokrycia otwartego \{U_t\}_{t\in T} istnieje takie pokrycie domknięte \{V_t\}_{t\in T} przestrzeni...
 mmm849  1
 Zbiory spójne - zadanie 5
Które z tych zbiorów są spójne? a) b) \{1,2,3,4\} c) \cup\{2\} d) e) [0,\...
 Drzewo18  6
 Przestrzenie metryczne? - zadanie 2
K((2,1),5) mam narysować kulę o środku (2,1) i promieniu 5 w układzie współrzędnych, przy użyciu metryki centrum i metryki rzeka... Jeśli chodzi o metrykę centrum odłozylem r=5 od poczatku ukladu wspolrzednych i w III ćwiartce też 5 nie wiem czy w II...
 franek89  1
 zbiory otwarte i domknięte - zadanie 4
A dałoby sie przefstawić schemat rozwiązania tego zadania krok po kroku? Dla przykłady rozwiązać jeden z podpunktów? Bardzo bym prosił....
 Bison  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com