szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 15:21 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: podkarpackie
Monotoniczność funkcji kwadratowej

Witam,
w różnych przypadkach (stary podręcznik, internetowe strony, nauczycielka matematyki na lekcji) spotykam się z różnym zapisem, dlatego proszę o wyjaśnienie czy przy określaniu przedziałów monotoniczności mamy przy \frac{ -b}{2a}pisać przedział domknięty czy otwarty?

Np., czy prawidłowe jest rozwiązanie takiego przykładu: f(x) = 2x^2 + 8x -10:
funkcja maleje dla x \in (- \infty ; -2]
funkcja rośnie dla x \in [-2; + \infty )

Wg mnie przy liczbie -2 powinien być otwarty, ponieważ w tym punkcie funkcja ani nie rośnie ani nie maleje przecież, powiedziałabym że w tym punkcie jest stała.

Proszę o wyjaśnienie dlaczego często ten przedział jest jednak domknięty i jaki w końcu powinien być: otwarty czy domknięty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 275
Lokalizacja: Gliwice
Ja na lekcjach miałem żeby zostawiać otwarte (x, y)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 15:31 
Moderator

Posty: 10157
Lokalizacja: Gliwice
Z definicji monotoniczności wynika, że takie rozwiązanie jest poprawne. Spróbuj wpisać w wyszukiwarce wyrażenie maksymalne przedziały monotoniczności, wyniki powinny być zadowalające.
Cytuj:
ponieważ w tym punkcie funkcja ani nie rośnie ani nie maleje przecież, powiedziałabym że w tym punkcie jest stała.

definicja monotoniczności funkcji odnosi się do dwóch punktów
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 15:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Styczna do wierzchołka paraboli jest pozioma, więc f'(x_o)=0
funkcja rośnie f'(x)>0
funkcja maleje f'(x)<0
Wniosek stąd taki że przedziały otwarte

Ten problem zauważyłem na poziomie gimnazjalnym, gdzie odczytuje sie przedziały monotoniczności z wykresu
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 16:08 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: podkarpackie
Dziękuję wszystkim za odpowiedzi.
Poczytałam o tych tajemniczych "maksymalnych przedziałach monotoniczności" i przy okazji dowiedziałam się, że nadal do dziś nie ma "decyzji" w tej sprawie, podobnie jak w tej czy zero zaliczać do liczb naturalnych czy nie.
Jednak kiedy w treści zadania pojawi się sformułowanie podaj "maksymalne przedziały monotoniczności", to wówczas już wiem, że należy podać domknięte.

Moje pytanie pojawiło się głównie w związku z egzaminem maturalnym.

Podczas poszukiwania informacji na temat "maksymalnych przedziałów monotoniczności" natrafiłam na forum, na którym ktoś sugerował, żeby (dla bezpieczeństwa) kierować się schematem oceniania stosowanym przez CKE. Tak więc oto w kryteriach oceniania matury z 2011r. http://bip.cke.edu.pl/bip_download.php?id=2274rzeczywiście jest o tym mowa (przy zad. nr 26). Wg CKE obie formy (przedział otwarty lub domknięty) są poprawne.

No to już wszystko wiemy. :)

Jeszcze raz dziękuję za pomoc.

-- 11 lip 2011, o 17:32 --

Jeśli chodzi o uwagę Chromosoma odnośnie symboli używanych do zapisu przedziału domkniętego
Cytuj:
symbole <, > służą do zapisywania relacji porządku liniowego, nie przedziału domkniętego


Nie chcę się sprzeczać, w każdym razie ja się spotkałam z nawiasem ostrym LUB nawiasem kwadratowym.

Jakby nie było, to w kryteriach oceniania (chociażby w zad. właśnie 26), do których link podałam powyżej, CKE stosuje nawiasy takie, jakich ja użyłam na początku, czyli ostre, więc to chyba nie był błąd.

Dziękuję za pomoc odnośnie maksymalnych przedziałów monotoniczności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 19:42 
Moderator

Posty: 10157
Lokalizacja: Gliwice
Inkwizytor, powinieneś jeszcze uwzględnić fakt, że jeśli w danym przedziale pochodna jest tego samego znaku (załóżmy dodatniego), przy czym ma skończenie wiele miejsc zerowych, to funkcja jest w tym przedziale monotoniczna. Przykładem może być funkcja f(x)=x^3, która jest stale rosnąca w swojej dziedzinie naturalnej, pomimo że pochodna ma miejsce zerowe. Z tego samego faktu wynika, że w przypadku funkcji kwadratowej obecność odosobnionego miejsca zerowego pochodnej w przedziale domkniętym (na krańcu tego przedziału) nie wiąże się z tym, że funkcja nie jest w tym przedziale rosnąca. Z definicji monotoniczności łatwo jest zresztą uzyskać taki wynik.

Nie wgłębiałem się w nieporozumienia związane z przedziałami, niemniej jednak bardziej zgodna z definicją wydaje się być wersja z przedziałami domkniętymi. Chętnie natomiast zapoznam się z argumentami stojącymi za stosowaniem przedziałów otwartych - możesz podać odnośnik.

Przedział domknięty istotnie można oznaczać przez nawiasy nazwane przez Ciebie ostrymi, ale nie jako <, >, tylko jako \left\langle, \right\rangle. Wydaje mi się jednak że łatwiej jest zastosować nawiasy kwadratowe, na ogół zalecam więc taki zapis.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 20:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Chromosom oczywiście stosowałem wielki skrót myślowy, by pokazac o co mi chodzi. Liczyłem na domyślność w tej kwestii. Wszak nie chodziło o pisanie wstepu do analizy matematycznej. ;)
Poza tym odnosiłem się konkretnie tylko do funkcji kwadratowej, bo tego tyczyło się pytanie Fatiny.
Dla mnie decyzja CKE o uznawaniu obu wersji odp jest kolejną porażką reformy edukacyjnej. Wyrzucono pochodne z programu nauczania i "aby nie wprowadzać zamieszania dla świętego spokoju uznajmy to za obojętne." Taka niejednoznaczność jest wg. mnie bardzo niematematyczna i pachnie trochę amatorszczyzną, bylejakością. To nie kwestia umownej symboliki typu: czy nawias domknięty zapiszemy jako "[" , "<".

Cytuj:
Chętnie natomiast zapoznam się z argumentami stojącymi za stosowaniem przedziałów otwartych - możesz podać odnośnik

Przecież cała część analizy matematycznej związana z ciągłością i różniczkowalnością funkcji opiera się na przedziałach obustronnie otwartych x \in (a,b)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 20:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 8612
Lokalizacja: Częstochowa
Pod koniec liceum liceum nauczycielka zwracała uwagę, że gdy proszą w poleceniu o podane maksymalnych przedziałów monotoniczności, to wtedy należy nawiasy domykać. W przeciwnym wypadku bez większego znaczenia.
Chociaż przez pierwsze 2 lata była tendencja, że jak się w jednym przedziale nawias domyka, to w drugim się otwiera, czyli np.:
funkcja maleje dla x \in (- \infty ; -2]
funkcja rośnie dla x \in (-2; + \infty )


Generalnie to rzecz umowna, na którą należy jedynie zwracać uwagę w przypadku pisania matury (i to pewnie nie zawsze jest różnicowane).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 20370
Lokalizacja: piaski
Jeszcze raz - bo już w jakimś wątku było.

,,Maksymalne" wprowadzono tylko dlatego aby uczeń nie podał jakiegoś kawałka przedziału w którym funkcja jest np rosnąca.
Na polecenie ,,podaj przedział w którym funkcja rośnie" - dał by odpowiedź (1;2) (i miałby ok) pomimo, że rosłaby dla (1;3).

Na maturze było ,,o maksymalnej długości" zatem wersje z domykaniem czy nie były ok.

Co do kwadratowej (i innych też), to są trzy rodzaje poleceń :
1) podaj maksymalny przedział gdzie funkcja rośnie (tu bym domykał);

2) podaj przedziały (i nie ma tu znaczenia czy maksymalne) monotoniczności (tu bym nie domykał);

3) podaj przedział o maksymalnej długości gdzie funkcja rośnie (mamy dowolność).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przedział funkcji
Witam ! Mam problem z zadaniem, byłbym wdzięczny, gdyby ktoś pomógl mi je rozwiązać Zadanie Druga współrzędna punktu M=(x,y), należącego do wykresu funkcji danej ...
 damiann16  1
 Wyznacz wzor f. mając przedział rosnący i 2 punkty wykrykres
Funkcja y=ax ^{2} +bx+c &#40;a \neq 0&#41; jest równa &#40; -\infty;2&gt;, a do jej wykresu należą punkty A&#40;0,-1&#41; i B&#40;3,2&#41;[/tex:gwun...
 spajder111  5
 zbió wartości oraz przedziały monotoniczności
Wyznacz zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji f. f&#40;x&#41; = x ^{2} - 15 czy mógłby mi ktoś krok po kroku objaśnić jak rozwiązać ten przykład?...
 deathrider  3
 Zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności
Znajdź współrzędne wierzchołka tej paraboli....
 krS1995i  10
 przedzialy monotonicznosci - zadanie 4
Wyznacz przedzialy monotonicznosci funkcji a) f&#40;x&#41;= 3x^{2} b) f&#40;x&#41;= &#40;x-1&#41;^{2} -3...
 benq201  2
 przedział opłacalnośći z równania
koszt całkowity K w pewnym przedsiębiorstwie w czasi jednego dnia określa wzór W&#40;x&#41;= 0,2x^{2} +7x+60, gdzie x oznacza liczbę wyprodukowanych jednostek towaru. Cena sprzedaży wynosi 15 zł za jednostkę towaru. a). ...
 asiunia909  1
 Przedział wykresu funkcji
Witam zwracam się z pytaniem do Państwa odnośnie przedziału wykresu funkcji. Napotkałam zadanie w którym należało rozwiązać nierówność kwadratową, przy czym obliczyć miejsca zerowe oraz naszkicować wykres. Obliczenia wykonałam prawidłowo ale ku mojem...
 czarna1229  2
 Wyznaczyc przedzialy monotonicznosci funkcji
A) f&#40;x&#41;=x^{2}+4x+6 B)f&#40;x&#41;=x^{2}-10x+25 C)f&#40;x&#41;=5x^{2}+3x...
 suzzy  3
 Oblicz b i c trójmianu, znając jego przedział gdy jest >0
Oblicz b i c trójmianuy=x^{2}+ax+b, wiedząc że rozwiązaniem nierówności x^{2}+ax+b&gt;0 jest przedział (-3,4)...
 Cato  1
 zbiorem wartości jest przedział
funkcja liniowa f&#40;x&#41;= -3&#40;x-2&#41;^{2} +4 jest przedział: a&#41;&#40;-\infty, 2&gt; \\ b&#41;&lt;2, \infty&#41; \\ c&#41; &#40;-\infty, 4&gt; \\ d&#41;&lt;4, \infty&#41; która odpo...
 qapsel  5
 Przedział monotoniczności funkcji kwadratowej.
W mojej szkole tydzień temu w środę była pisana próbna matura podstawowa z matematyki. Oczywiście większych problemów i wątpliwości sprawiać nie powinna, a jednak nie obyło się bez tego. Oto jedno z zadań (piszę je z pamięci): W jakim przedziale fu...
 alchemik  3
 Przedziały monotoniczności - zadanie 10
Mam daną funkcję f&#40;x&#41;=-3&#40;x+3&#41;&#40;x-2&#41; I mam poda przedziały monotoniczności tej funkcji. Jedyne co potrafię to znaleźć miejsca zerowe tj. 2 i -3. Ale niestety nie potrafię policzyć pochodnej, czy ...
 pokerstar45  1
 Parametr i przedział.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \quad x ^{2}+2mx-2m+3=0 ma dwa różne pierwiastki należace do przedziału&#40;-2,0&#41;...
 marcinek16marcin  8
 Równanie z parametrem miejsca zerowe przedział
Witam Czy gdzieś w poniższym popełniam jakieś błędy bo coś nie wychodzi... Dla jakich wartości parametru m funkcja y=x^2-3mx+5+m^2 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału &lt;-1;7&gt;[/tex:3dpyoj9...
 michary91  3
 wskaż f.kwadratową której zbiorem wartości jest przedział
wskaż f.kwadratową której zbiorem wartości jest przedział ( -\infty;3&gt;. A) f&#40;x&#41;=-&#40;x-2&#41; ^{2}+3 B) f&#40;x&#41;=&#40;2-x&#41; ^{2}+3 C) [tex:3b6q...
 michal91d  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com