szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 sie 2011, o 12:06 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
Podać przykład zbioru mierzalnego A na prostej o następującej własności:
Dla dowolnego zbioru otwartego G\subset \mathbb{R}, l_1 (A \cap G)>0 \wedge l_1 (G \setminus A)>0.

Mierzalność rozumiemy w sensie Lebesgue'a a l_1 oznacza miarę Lebesgue'a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2011, o 21:30 
Moderator

Posty: 10180
Lokalizacja: Gliwice
Ponieważ (G\setminus A)\cup(G\cap A)=G, zachodzi l_1\bigl((G\setminus A)\cup(G\cap A)\bigr)=l_1(G). Ale (G\setminus A)\cap(G\cap A)=\emptyset, zatem powyższą równość można przepisać jako l_1(G\setminus A)+l_1(G\cap A)=l_1(G); łącząc tę równość z początkową tezą otrzymamy dwie równoważne tezy, z których będzie można korzystać w zależności od potrzeb: 0<l_1(G\cap A)<l_1(G) oraz 0<l_1(G\setminus A)<l_1(G).

Powyższy rezultat pozwala na uproszczenie tezy oraz wyciągnięcie pewnych wniosków. Gdyby kolejność kwantyfikatorów była inna, czyli należałoby dla dowolnie wybranego podzbioru otwartego \mathbb R znaleźć zbiór spełniający warunek zadania, rozwiązaniem byłaby niewielka modyfikacja zbioru Smitha-Volterra-Cantora; tutaj jednak mamy do czynienia z wyborem dowolnego przedziału dla wcześniej określonego zbioru A. Różnica jest podobna do tej pomiędzy pojęciami ciągłości i jednostajnej ciągłości. Możesz jednak spróbować zastanowić się nad uogólnieniami zbioru Cantora.

Wydaje się, że przykłady zbiorów spełniających warunki zadania można znaleźć wśród innych fraktali. Niech zbiór A składa się z fraktali w przedziałach [a,\,a+1],\ a\in\mathbb C; rozważmy przypadek przedziału [0,\,1]. Najpierw mamy odcinek jednostkowej długości, z którego usuwamy przedział, tak by otrzymać zbiór
A_1=[0,\,1]\setminus\left[\tfrac14,\,\tfrac34\right]
następnym krokiem jest usunięcie i dodanie kolejnych odcinków, tak by otrzymać zbiór
A_2=[0,\,1]\setminus\left\lbrace\left[\tfrac14,\,\tfrac34\right]\cup\left[\tfrac1{16},\,\tfrac3{16}\right]\cup\left[\tfrac{13}{16},\,\tfrac{15}{16}\right]\right\rbrace\cup\left[\tfrac5{16},\,\tfrac7{16}\right]
zasada tworzenia fraktala polega na dodawaniu kolejnych odcinków i wycinaniu innych, tak żeby miara Lebesgue'a była stała i wynosiła \tfrac12. Zbiór ten można interpretować jako fraktal stworzony z fraktali. Nie spotkałem się jednak z takim pojęciem i nie jestem pewien poprawności tego rozwiązania. Na pewno istnieją inne, bardziej trafne przykłady.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2011, o 21:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13955
Lokalizacja: Cieszyn
Chromosom, ale mi też chodziły po głowie zbiory typu Cantora, oczywiście ich suma przeliczalna. Można, o ile wiem, skonstruować zbiór Cantora miary dodatniej. Poprzesuwanie czegoś takiego na "kolejne" przedziały i wzięcie sumy mogłoby dać efekt. Twoja myśl wydaje mi się trafna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sie 2011, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Warszawa
To jest szkic, ale wierzę, że da się go przerobić na ścisłą konstrukcję. Z góry przepraszam za problemy z TeX-em, ale dopiero się uczę. W szczególności, w poradniku nie mogę znaleźć informacji na temat tego, jak stosować zapis zbiorów w rodzaju A = {x | x jest parzysty}.

Ponumeruj odcinki na prostej o końcach wymiernych - jest ich tylko przeliczalnie wiele.

Niech Z_0 = \emptyset. Niech Z_n = Z_{n-1} \cup A_n - B_n, gdzie A_n \ i \ B_n są pewnymi odcinkami rozłącznymi wybranymi z n-tego enumerowanego odcinka, miary co najwyżej \tfrac1{10}\max(|A_{n-1}|, |B_{n-1}|). (Jedna dziesiąta nie ma znaczenia, ważne, żeby miara wszystkich następnych A_i i B_i nie mogła wpłynąć istotnie na miarę A_n lub B_n).

Niech Z = \{ r | r \in Z_i \}.
Zauważmy, że dla i większego od pewnej wartości Z = \{ r | r\in Z_i\} z dokładnością do zbioru miary zero.
Jest nietrudne, że Z jest mierzalny, bo wszystkie Z_i są mierzalne.

Niech teraz G będzie otwarty. To zawiera pewien odcinek o końcach wymiernych, powiedzmy n-ty. To G \cap Z_n jest miary dodatniej większej niż miara A_n i G - Z_n jest miary dodatniej większej niż B_n. Ale teraz Z_n \diamond Z (różnica symetryczna) jest nie większe niż \sum_{n} |A_i|+|B_i| i tu nasza jedna dziesiąta pozwala ograniczyć tę sumę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2011, o 09:21 
Moderator

Posty: 10180
Lokalizacja: Gliwice
szw1710, właśnie, przesuwanie zbioru Cantora w coraz mniejsze obszary może dać efekt. Trzeba dobrać odpowiednie parametry, tak żeby miara nie dążyła do 0. Taki efekt można osiągnąć, biorąc coraz większe przedziały na prostej i następnie całość podzielić tak, żeby otrzymany zbiór zawierał się w przedziale [0,\,1]. Niech zatem najpierw będzie dany odcinek [0,\,1], nazwijmy go B_0. Jeśli - podobnie jak w zbiorze Cantora - będziemy usuwać coraz mniejsze fragmenty, miara będzie dążyć do 0, ale taki zbiór, zgodnie z wcześniejszym wnioskiem, nie będzie rozwiązaniem. Do zbioru powstałego przez wykonanie pierwszego kroku konstrukcji zbioru Cantora można jednak dodać kolejne odcinki: [-1,\,0] oraz [1,\,2] - zbiór powstały w ten sposób oznaczmy jako A_1. Będzie on sumą trzech zbiorów: dwóch C_0 w przedziałach [-1,\,0] i [1,\,2] oraz jednego C_1 w przedziale [0,\,1]. Po trzykrotnym pomniejszeniu otrzymanego zbioru będzie można go przesunąć tak, żeby zawierał się w przedziale [0,\,1].

Następny etap polega na dodaniu do otrzymanego zbioru kolejnych odcinków: [-4,\,-1] oraz [2,\,5] i wykonaniu kroków konstrukcji zbioru Cantora dla wcześniej istniejących C_0 oraz C_1. Mamy zatem sumę zbiorów: dwóch C_0 o długości 3, dwóch C_1 o długości 1 oraz jednego C_2 o długości 1.

Zbiór powstały w n-tym kroku będzie składać się z jednego zbioru C_n o długości 1 oraz dwóch zbiorów C_k,\ k\in\lbrace0,1,2,\,\ldots\,n-1\rbrace o długościach 3^{n-(k+1)}. Nie trzeba już znać położenia tych zbiorów, wystarczy fakt, że są one rozłączne oraz znajomość ich długości. Sumując długości, otrzymujemy
\sum\limits^{n-1}_{k=0}3^{n-(k+1)}
zatem długość zbióru należy podzielić przez tę wartość, żeby zawierał się w odcinku [0,\,1]. Miara tego zbioru - ze względu na rozłączność - będzie spełniać warunek

l_1(B_n)=\frac{l_1\left(C_n+2\sum^{n-1}_{k=0}C_k\right)}{\sum\limits^{n-1}_{k=0}3^{n-(k+1)}}=\frac{l_1(C_n)+2\sum\limits^{n-1}_{k=0}l_1(C_k)}{\sum\limits^{n-1}_{k=0}3^{n-(k+1)}}

Jeśli będzie zachodzić 0<\lim_{n\to\infty}l_1(B_n)=l_1(B)<1, zbiór otrzymany poprzez pokrycie zbiorami B prostej rzeczywistej będzie rozwiązaniem. Jeśli nie, powinno dać się tak zmodyfikować tę konstrukcję, żeby otrzymać odpowiedni rezultat.

Piotr Pstragowski, wygląda dobrze, jest znacznie krótsze niż powyższe. Ale niezbyt rozumiem ten fragment:
Piotr Pstragowski napisał(a):
Niech Z_0 = \emptyset. Niech Z_n = Z_{n-1} \cup A_n - B_n, gdzie A_n \ i \ B_n są pewnymi odcinkami rozłącznymi wybranymi z n-tego enumerowanego odcinka

w jaki sposób odbywa się wybór odcinka, jeśli Z_0 jest zbiorem pustym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2011, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Warszawa
Chromosom napisał(a):
Piotr Pstragowski, wygląda dobrze, jest znacznie krótsze niż powyższe. Ale niezbyt rozumiem ten fragment:
Piotr Pstragowski napisał(a):
Niech Z_0 = \emptyset. Niech Z_n = Z_{n-1} \cup A_n - B_n, gdzie A_n \ i \ B_n są pewnymi odcinkami rozłącznymi wybranymi z n-tego enumerowanego odcinka

w jaki sposób odbywa się wybór odcinka, jeśli Z_0 jest zbiorem pustym?


Rzeczywiście nie do końca jasno to napisałem. Na początku powinno być - ponumerujmy odcinki o końcach wymiernych: I_1, I_2, I_3.... I teraz "n-ty enumerowany odcinek" znaczy I_n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2011, o 19:11 
Moderator

Posty: 10180
Lokalizacja: Gliwice
Teraz już rozumiem. Podoba mi się Twoje rozwiązanie, osiągasz w znacznie krótszym czasie to, co ja próbowałem w dłuższym szkicu. Podany przeze mnie zbiór nie jest zresztą rozwiązaniem, co można stwierdzić choćby na podstawie, że zawiera zbiór C_0. Jednakże taka konstrukcja powinna - przy pewnej zmianie - również doprowadzić do wyniku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2011, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Warszawa
Zwrócę uwagę, że zdaję sobie sprawę, że edycja mojego posta była konieczna z uwagi na niepoprawny LaTeX, ale obecna "poprawiona" definicja zbioru Z nie jest rozwiązaniem, bo odczytałbym ją jako "r należące do Z_i dla pewnego i" - wtedy Z to po prostu suma A_i a taki zbiór jest otwarty modulo miara zero. Powinno być "r należące do Z_i dla nieskończenie wielu i".

(A ja już tego posta nie mogę edytować.)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sie 2011, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Oczywiście wystarczy rozwiązać zadanie na odcinku.

Niech f_n:[0,1]\to\mathbb{R} będzie ciągiem funkcji takich, że

f_n(x)=\frac{c_n(x)}n,

gdzie c_n(x) jest liczbą jedynek w rozwinięciu dwójkowym liczby x aż do n-tego miejsca po przecinku - dla liczb mających dwa rozinięcie decydujemy się na jedno z nich.

Funkcje są mierzalne, bo mają skończenie wiele punktów nieciągłości (właśnie w punktach mających dwa rozwinięcia).

Niech teraz

f(x)=\limsup_{n\to\infty}f_n(x).

Ta funkcja też jest mierzalna jako granica górna ciągu funkcji mierzalnych.

W końcu niech:

A=f^{-1}\left(\left[0,\frac 12\right)\right).

Czyli obrazując to nieco mniej ściśle A to zbiór takich liczb rzeczywistych, które asymptotycznie mają więcej zer niż jedynek w rozwinięciu dwójkowym.

Zauważmy, że jeśli x\in A, to 1-x\notin A, więc wystarczy wykazać, że A ma dodatnią miarę, albo, że zbiór f^{-1}\left(\left\{\frac 12\right \}\right) ma miarę mniejszą od 1 (no, chyba, że ma miarę 1, wtedy dowiadujemy się czegoś ciekawego o liczbach rzeczywistych).

EDT: Po pewnym namyśle potrafię pokazać, że zbiór liczb na odcinku mających jednoznaczne rozwinięcie dwójkowe i w których rozwinięciu dwójkowym zero występuje tak samo często, jak jedynka, ma miarę 1, co kładzie powyższy sposób rozwiązania zadania.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 sie 2011, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
Piotr Pstragowski, czy mógłbyś trochę dokładniej opisać swoją konstrukcję bo nie za bardzo rozumiem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 lis 2012, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
269631.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowodzenie twierdzeń o wektorach, prostej
Witam wszystkich. Mam pewien problem w sumie z banalnymi i oczywistymi rzeczami ale nie wiem jak je udowodnić, mianowicie: Jak udowodnić, że: jeśli wektor \vec{a} ma ten sam kierunek co \vec{b}[/tex:1h7sp...
 kamila1981  1
 Zbiór mierzalny w sensie Lebesque'a - zadanie 3
Jak udowodnić, że zbiór A=\{&#40;x,x&#41;:x\in\} jest mierzalny w sensie Lebesque'a i m_2&#40;A&#41;=0?...
 Drzewo18  1
 Zbiór punktów, sfera i kwadraty odległości
Niech stanie się zbiór punktów P_i=&#40;x_i,y_i,z_i&#41; takich, że \sum _{i=1}^{n}x_i=\sum _{i=1}^{n}y_i=\sum _{i=1}^{n}z_i=1 Znajdź taki punkt A=&#40;a,b,c&#41; ...
 gajatko  4
 zbiór domknięty - zadanie 8
Udowodnić, że w przestrzeni L^2&#40;0,1&#41; zbiór funkcji f spełniających warunek \int_{0}^{1}|f&#40;x&#41;|dx=1 jest zbiorem domkniętym....
 mariolkaa90  3
 odwzorowania nieoddalające a zbiór wypukły
Proszę o pomoc w zadaniu typu: czy zbiór punktów stałych dla odwzorowań nieoddalających musi być zbiorem wypukłym?...
 Alicjas91  10
 zbiór domknięty, otwarty, wypukły
Sprawdzić, czy zbiór A=\{&#40;x_n&#41;\in l^1: \sum_{n=1}^{\infty}x_n=1, \forall_{n\in\mathbb{N}} x_n\geq 0\} jest domknięty, otwarty i wypukły w l^1....
 Miroslav  4
 Czy ten zbiór jest otwarty?
Tak jak w temacie (proszę również o uzasadnienie): \left\{ f \in C\left : \bigwedge\limits_{ x\in \left} f&#40;x&#41; &gt; 0 \right\} in C...
 małgosia  1
 Znajdź największy zbiór którego równanie zadaje powierzchnie
Czy ktoś mógłby napisać algorytm rozwiązania takiego zadania ? Znaleźć największy zbiór otwarty O, dla którego poniższy zbiór jest powierzchnią &#40;x,y,z&#41; \in O, &#40;\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a^{2}&#41;+z^{2}=b^{2} , x+y=\sqrt{2}&#40;a...
 qchem12  1
 zbiór borelowski - zadanie 2
pokazac ze B\left&#40; R\right&#41; = \sigma\left&#40; \left\{ \left&#40; - \infty ,a\right&#41; :a \in R\right\} \right&#41;...
 dzikaafryka  1
 Zbiór mierzalny - zadanie 2
Nie ma czego pokazywać. Jest charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a mówiąca z grubsza, że zbiory mierzalne niewiele różnią się od otwartych. Tutaj to niewiele to bardzo mało, bo zbiór pusty ...
 Milman  3
 zbiór wypukły - zadanie 5
Pokaż, że zbiory wypukłe tworzą rodzinę monotoniczną w dowolnej przestrzeni liniowej nad \RR...
 21mat  3
 Otoczka wypukła i Zbiór wypukły
Czy zbiór punktów należących do otoczki wypukłej w n-wymiarowej przestrzeni jest tożsamy z ze zbiorem wypukłym?...
 jcubic  2
 Zbior zwarty.
Czy zbior a_n= \frac{1}{n+1} + &#40;-1&#41;^{n+1} M= \{ a_n| n\in N \} \cup \{ -1, 0, 1 \} jest zwarty?...
 Cbgirl  0
 Zbiór wartości sumy trzech ułamków.
Znajdź zbiór wartości następującej sumy: \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} Zadanie niepozorne, ale nastręczyło mi wielkich kłopotów :]...
 Arbooz  3
 jak narysować taki zbiór punktów?
Jak narysować zbiór punktów &#40;x,y,z&#41;\in R^{3} spełniających warunek: f&#40;x,y,z&#41; = &#40;e^{zx+y}&#41;&#40;1+xz&#41; nie zakładam pomyłki w obliczeniach (bo zbiór punktów, który mu...
 Jaccus  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com