szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2011, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: asdas
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c zachodzi nierówność:
1.(a \ge 0  \wedge b \ge 0)  \Rightarrow  \frac{a+b}{2}  \ge  \sqrt{ab}
Kompletnie tego nie rozumiem. Nie kumam jak ma wyglądać ten dowód. Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie dlaczego wynik dowodzi tej nierówności.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2011, o 19:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 449
Lokalizacja: Szastarka
Obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosisz stronami do kwadratu, następnie mnożysz stronami przez 4, przenosisz wszystko na jedną stronę + redukcja wyrazów podobnych. Zwijasz wyrażenie ze wzoru skróconego mnożenia i praktycznie zakończony dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2011, o 19:53 
Moderator

Posty: 16235
Lokalizacja: Wrocław
Nie od rzeczy byłoby zauważenie, że wszystkie powyższe przejścia są równoważne.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2011, o 13:40 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: asdas
Mógłby mi ktoś zapisać to normalnie? i wytłumaczyć czy dowód to po prostu przekształcona nierówność z 0 po 1 stronie i ukazana w najprostszej postaci?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2011, o 17:43 
Korepetytor

Posty: 1782
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}  \Leftrightarrow  a+b \ge  2\sqrt{ab}  \Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b \ge 0  \Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \ge 0

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a wobec równoważności przejść, które dokonaliśmy, dowód jest zakończony.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 działania na liczbach rzeczywistych  Anonymous  1
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa  Tomasz B  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com