szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:30 
Moderator

Posty: 15921
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4522
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 6284
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica ciagu. liczba Eulera
Witam, mam do obliczenia granicę takiego ciągu (n dązy do niesk.) \lim_{n\to \infty}\left(1+ \frac{2}{n}\right) ^{2n+5} proszę o mała podpowiedź ...
 Zen  1
 Liczba e - zadanie 18
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania, nie wiem jak doprowadzić to wyrażenie do postaci z liczbą e. Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a _{n}=\left( \frac{n ^{2}+2 }{2n^{2}+1} \right) ^{n^{2}}...
 dorota1993  5
 Liczba zmian znaku w ciągu współczynników
Mam problem z zapisem rozwiązania następującego, prostego do sprawdzenia twierdzenia: Jeżeli ciąg a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} ma C zmian znaku, to ciąg a_{0}, a_{1}-a_{0}, \ldots, a_{n}-a_{n-1}[/tex:2813owv...
 tofik89  0
 liczba e - zadanie 13
ok, czyli w odp jest błąd, dzięki...
 je?op  9
 Problem z ciągiem z liczbą e
Przykład: an= (1-\frac{4}{n}) ^{-n+3} przy n->nieskonczonosci liczyłam tak ale nie wyszło...(wynik w kazdym razie to e ^{4}) an= (1+\frac{4}{ \frac{-n}{4} ...
 marta1995  3
 Granica dziwnego ciągu z liczbą e.
\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{5}{3n+2}\right)^{7n} Niech ktoś rozwiąże mi to zadanie bo kompletnie niewiem jak sie za to wziąć.-- 12 kwi 2011, o 21:57 --Musze je mieć na jutro. Pliis...
 immortalbart  5
 Liczba liczb pierwszych- ciągi
Ciag okreslony jest w nastepujacy sposob n-ty wyraz ciagu (an) jest rowny LIczbie Liczb pierwszych nie wiekszych od n: a)podaj trzynasty wyraz ciagu (an) bktore wyrazy ciagu (an) sa rowne 4 c)sporzadz wykres...
 mr.x  5
 Trudna granica ciągu z liczbą e
Zadanie: Obliczyc granice ciagu \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{r^{2}}{2n^{2}}\right)^{n} W odpowiedziach wynik to \ e^{ \frac{-r^{2}}{2}} ktos moze ma jakis pomysl jak dojsc do te...
 Ale  3
 Granica ciągu liczba e
Jak obliczyć taką granicę ciągu: \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{5}{n} \right) ^{n} Obliczałem podobne przykłady ale gdy w liczniku była 1 wtedy po odpowiednim dopasowaniu potęg...
 Giks  16
 liczba e - zadanie 14
u _{n} = \left( \frac{n ^{2} +2}{2n ^{2}+1 } \right) ^{n ^{2} } robiłam tak: \left( 1+ \frac{-n ^{2}+1 }{2n ^{2}+1 } \right) ^{n ^{2} } = \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n ^{2} +1}{-n ^...
 pacia1620  3
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 4
Dostałem na egzaminie takie zadanie. Proszę o pomoc w rozwiązaniu go oraz lekkim wytłumaczeniu. \lim_{ n\to \infty }= \left( \frac{(2n ^2+1)}{2n ^2+3}\right) ^{n} Z góry dziękuję za pomoc....
 Pyton121  5
 granice ciągów z liczbą e oraz i
\lim_{n\to\infty} ft(1+\frac{1}{n}\right)^{3n} oraz \lim_{n\to\infty} ...
 piterkop  2
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 13
Witam. Jestem nowy więc witam wszystkich ! Nie wiem jak zabrać się do tego przykładu. Wiem że wynik ma dać e^{(-1/2)}[/tex:2t6b4...
 gercioh  3
 Granica z liczbą e, stosowanie wzoru
Czy mając: \lim_{ n \to \infty } \frac{e^{\ln( \sqrt{\ln n} )}-1}{ \frac{1}{n} }, mogę zapisać, że jeśli \ln(\sqrt{\ln n} ) \rightarrow 0 i \frac{1}{n} \...
 krystian8207  8
 Granica ciągu z liczbą "e"
\left( \frac{ n^{2} +2}{ 2n^{2} +1} \right) ^{n ^{2} } Polecenie to obliczyć granicę tego ciągu, wiem że trzeba wykorzystać związek, iż: \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e[...
 rymek94  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com