szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14287
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4359
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5945
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu związana z liczbą e. - zadanie 129
Witam, Czy byłby ktoś tak uprzejmy i pomógł mi w obliczeniu granicy tej funkcji? \lim_{n \to \infty } \left( 1- \frac{2}{n+3} \right) ^{n} Ponadto wynik należy zinterpretować geometrycznie. Jak najprościej p...
 piotrpot  13
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 10
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tej granicy, nie mam pojęcia jak sobie z nią poradzić. \lim_{x\to\infty} \sqrt{ \left( \frac{5}{2}\right) ^{n} + e^{n} } Z góry dziękuję za wszelką pomoc!...
 carrrpediem  2
 Podciąg ciągu A modulo liczba m
Cześć, próbuję znaleźć pewien algorytm do programu na informatykę, jednakże nie wiem jak się za to zabrać, polecenie brzmi: "Twoim zadaniem jest obliczenie liczby najdłuższych rosnących podciągów ciągu A modulo liczba m". Nie wiem jak inte...
 calmosc  1
 granica ciągu - liczba e - zadanie 2
Witam! Proszę o pomoc przy rozwiązaniu granicy w poniższym przykładzie - nie jestem pewien czy poprawnie liczę. A więc: \lim_{ n\to \infty}\left( \frac{n-1}{n+3} \right) ^{2n+1} =\lim_{ n\to \infty}\left( \frac{n+3-4}{n+...
 adamus_91  1
 granica ciągu,liczba Eulera,tw o 3 ciągach
Witam, nie jestem do końca pewna, a wiem że ktoś mi tutaj odpowie obliczając granicę ciągu, twierdzenie o liczbie Eulera wykorzystuje tylko wtedy, gdy w potędze wyst...
 seele  2
 granica ciagu, ;liczba e
Witam Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi tak krok po kroku, jak rozwiązuję się zadania z liczbą e. Skąd dokładnie co się bierzę. Myśle, że taki post przyda sie nie tylk...
 izunka__  5
 Uzasadnij, że każda liczba całkowita jest wyrazem ciągu...
Ciąg (a _{n}) jest określony wzorami a _{1} = A, a _{2} = 2A, a _{n+1} = 2a _{n} - a _{n-1}, gdzie A jest daną liczbą całkowitą większa od 0. Uzasadnij, że każda liczba całkowita więk...
 NagashTheBlack  3
 Granica z sinusem i liczba e
Witam, mam problem z następującą granicą: \lim_{n\to\infty} \left(1+sin\frac{5}{n}\right)^{n} Nie mam pojęcia jak przekształcić sin\frac{5}{n} na \frac{1}{n}[/tex:11kox...
 Karamazi  1
 Wyznacz granicę ( liczba e )
Witam, mam takie zadanie i nie za bardzo wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.: \lim_{ n\to \infty }( \frac{2n-3}{2n+1} ) ^{n-1} Z góry dziękuję....
 Ketler  4
 Wytlumaczenie 1 granicy- liczba Eulera
\lim_{ n\to \infty }( \frac{n+3}{n+2})^{n+1} = e moglby mi ktoś to wytłumaczyć dlaczego "e" ?...
 mixiu  3
 ktora liczba jest wieksza? ciag z liczba e
witam. moim zadaniem jest oszacowac ktora liczba z dwoch podanych nizej jest wieksza i dlaczego: \left( \frac{2008}{2007} \right) ^{2007} czy \left( \frac{2009}{2008} \right) ^{2008}[/...
 >>someone<<  12
 Granica z liczbą e
Witam. Mam pewien problem z dwoma granicami, a mianowicie e_n = \left&#40; \frac{n+3}{n} \right&#41;^{n+2} teraz odwracam ułamek: = \left&#40; \frac{1}{\frac{n}{n+3}} \right&#41;^{n+2} Dalej ...
 matinf  8
 Czy liczba x jest wyrazem podanego ciągu?
Czy liczba x jest wyrazem podanego ciągu ()? Jeśli tak, to którym? a_{n}=n^2-7n,x=12...
 kasia86i  1
 Granica ciągu, liczba Eulera.
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym e _{n} e _{n} = &#40; \frac{n}{n+1} &#41; ^{n+1} e _{n} = &#40;1- \frac{2}{n}&#41; ^{-n}...
 vedxen  1
 Dowod na granicę z liczbą e
\lim_{x\to\infty}&#40;1+\frac{1}{n}&#41;^{n}=e Jesli moge prosic to chcialbym dowodzik na to ,ale jesli juz ktos sie bedzie bral do tego to niech to zrobi porzadnie z wyjasnieniem chociaz szczatkowym(zakladamy ze sie pol...
 Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com