szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 16022
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4540
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 6349
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica ciągu z liczba e (sprawdzenie)
\lim_{n\to } ft(1-\frac{4}{n}\right)^{-n+3}=\left&...
 luke877  8
 Zbieżność szeregu z silnią i liczbą e
Jak w temacie, należy zbadać zbieżność poniższego szeregu: \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n}}{e^{n}n!} Znam jeden względnie elementarny sposób, ale zastanawiam się czy nie można prościej. Zastosowanie wzoru...
 max  2
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 6
Mam kłopot z policzeniem granicy tego ciągu: \lim_{n \to \infty } = \left( \frac{2 \sqrt{n}-1 }{2 \sqrt{n}- \sqrt{3} } \right) ^{2 \sqrt{n}-7 }...
 ecetince  3
 Granica z liczbą e - zadanie 15
Baaardzo proszę o pomoc Obliczyć: \lim_{ n\to \infty } ( 1 - \frac{4}{n^2} ) ^2^-^3^n Pozdrawiam!...
 tirrlirilri  1
 granica z liczbą e i ciąg geometryczny
Jeszcze dwa małe zadanka: 1)Oblicz granicę (\frac{n+2}{n-1})^{n+1} 2)Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg geometryczny.Suma tych liczb wynosi 26 a suma odwrotności 0,7(2).Podaj te liczby. Co do drugiego mam pytanie ...
 tmegg  4
 liczba eulera - zadanie 3
Wiedząc że \lim_{n \to \infty }(1+a _{n}) ^{ \frac{1}{ a_{n} } }=e, o ile \lim_{n \to \infty } a_{n}=0 i a _{n} \neq 0 dla n \in N _{+}[/...
 darkMagic  1
 granica, liczba e?
\lim_{n\rightarrow \infty }(1- \frac{1}{n^2})^{2n} \lim_{n\rightarrow \infty }^2=e^2 czy można tak to zrobić, czy raczej źle?...
 Charles90  17
 Granice ciagow, liczba e
Witam, a)a_n=\sqrt{n+2^{n}} b)a_n=\frac{3\sqrt{(n)^{2}} \cdot sin(n!)}{n+1} c)a_n=(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+5})^\frac{n}{2} d)[tex:w9ta7hjj...
 Stary  3
 Zbieżność szeregów. Liczba e.
Mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadankami. Chorowałem ostatnio i mam trochę zaległości i zupełnie nie wiem jak to stwory rozwiązać, a na jutro muszę mieć. ...
 k1jek  0
 granica ciagu. liczba Eulera
Witam, mam do obliczenia granicę takiego ciągu (n dązy do niesk.) \lim_{n\to \infty}\left(1+ \frac{2}{n}\right) ^{2n+5} proszę o mała podpowiedź ...
 Zen  1
 Liczba zmian znaku w ciągu współczynników
Mam problem z zapisem rozwiązania następującego, prostego do sprawdzenia twierdzenia: Jeżeli ciąg a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} ma C zmian znaku, to ciąg a_{0}, a_{1}-a_{0}, \ldots, a_{n}-a_{n-1}[/tex:2813owv...
 tofik89  0
 Liczba e - zadanie 18
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania, nie wiem jak doprowadzić to wyrażenie do postaci z liczbą e. Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a _{n}=\left( \frac{n ^{2}+2 }{2n^{2}+1} \right) ^{n^{2}}...
 dorota1993  5
 liczba e - zadanie 13
ok, czyli w odp jest błąd, dzięki...
 je?op  9
 Problem z ciągiem z liczbą e
Przykład: an= (1-\frac{4}{n}) ^{-n+3} przy n->nieskonczonosci liczyłam tak ale nie wyszło...(wynik w kazdym razie to e ^{4}) an= (1+\frac{4}{ \frac{-n}{4} ...
 marta1995  3
 Granica dziwnego ciągu z liczbą e.
\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{5}{3n+2}\right)^{7n} Niech ktoś rozwiąże mi to zadanie bo kompletnie niewiem jak sie za to wziąć.-- 12 kwi 2011, o 21:57 --Musze je mieć na jutro. Pliis...
 immortalbart  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com