szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:30 
Moderator

Posty: 14732
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4383
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 6000
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica ciągu z liczbą e - zadanie 14
Oblicz granicę ciągu a_n= \left( \frac{5n+2}{5n+4}\right) ^{5n-5}...
 qaz  9
 liczba podniesiona do nieskonczonosci?
to zamiesc swoje rozwiazanie. Poszukamy RAZEM bledu;]...
 nymph  18
 Granica z liczbą e - zadanie 15
Baaardzo proszę o pomoc Obliczyć: \lim_{ n\to \infty } ( 1 - \frac{4}{n^2} ) ^2^-^3^n Pozdrawiam!...
 tirrlirilri  1
 Granice ciągu z liczbą e
JAK TO ROZWIĄZAĆ POMOCY 1) ( \frac{n ^{2}+2 }{ n^{2} })^{n}= 2) 2n- \sqrt{4n^{2}-n }=...
 pele12345  3
 Obliczyć limes sumy
\lim_{n \to } ( \frac{1}{2}+ \frac{3}{2 ^{2}}+ \frac{5}{2 ^{3}}+...+ \frac{2n-1}{2 ^{n} })...
 zdzichukowalski  1
 liczba eulera - zadanie 3
Wiedząc że \lim_{n \to \infty }(1+a _{n}) ^{ \frac{1}{ a_{n} } }=e, o ile \lim_{n \to \infty } a_{n}=0 i a _{n} \neq 0 dla n \in N _{+}[/...
 darkMagic  1
 Z LICZBA E GRANICA
u_{n} = ( 1- \frac{1}{ n^{2} } ) ^{n} Zrobilem takie przksztalcenie : \lim_{ n\to } (( 1...
 Kylu  1
 Zbieżność szeregów. Liczba e.
Mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadankami. Chorowałem ostatnio i mam trochę zaległości i zupełnie nie wiem jak to stwory rozwiązać, a na jutro muszę mieć. ...
 k1jek  0
 zadanie z liczbą e
Wskazać większą z liczb (\frac{2008}{2007})^{2007} oraz ( \frac{2009}{2008} )^{2008} Odpowiedź uzasadnić...
 crimlee  4
 znajdź granicę ciągu (liczba e) - trudne
oblicz granicę: u_{n}= (\frac{n^{2} + 2 }{2n^{2} + 1} )^{n^{2} }...
 dżi-unit  5
 Liczba Eulera - dowód
Tak szukam w internecie i nie mogę znaleźć (jeśli przeoczyłem coś oczywistego, to przepraszam) dowodu, że: \lim_{ x\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ a_{n} } \right) ^{a _{n} }=e gdy a_{n} \right...
 gabrysb1995  4
 Granica z liczbą e - zadanie 10
\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-e^{n}}{2} \lim_{n \to \infty }\frac{ln(2^{-n}-n^{-e})}{2} Jeszcze coś takiego.Da sie to policzyć. Troche kosmicznie wygląda \lim_{n \t...
 TSTS  12
 Liczba zmian znaku w ciągu współczynników
Mam problem z zapisem rozwiązania następującego, prostego do sprawdzenia twierdzenia: Jeżeli ciąg a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} ma C zmian znaku, to ciąg a_{0}, a_{1}-a_{0}, \ldots, a_{n}-a_{n-1}[/tex:2813owv...
 tofik89  0
 liczba e - zadanie 13
ok, czyli w odp jest błąd, dzięki...
 je?op  9
 Problem z ciągiem z liczbą e
Przykład: an= (1-\frac{4}{n}) ^{-n+3} przy n->nieskonczonosci liczyłam tak ale nie wyszło...(wynik w kazdym razie to e ^{4}) an= (1+\frac{4}{ \frac{-n}{4} ...
 marta1995  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com