szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14238
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4355
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5918
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba liczb pierwszych- ciągi
Ciag okreslony jest w nastepujacy sposob n-ty wyraz ciagu (an) jest rowny LIczbie Liczb pierwszych nie wiekszych od n: a)podaj trzynasty wyraz ciagu (an) bktore wyrazy ciagu (an) sa rowne 4 c)sporzadz wykres...
 mr.x  5
 Granica z liczba e - zadanie 5
Moglby ktos przedstawic sposob rozwiazywania takich granic, np mam takie dwie: e_{n}= (\frac{n-7}{n}) ^{n-1} e_{n}=( \frac{n^{3}+3}{n^{3}})^{3n^{3}} I mam cos takiego jeszc...
 Marcin_Garbacz  7
 Uzasadnij, że każda liczba całkowita jest wyrazem ciągu...
Ciąg (a _{n}) jest określony wzorami a _{1} = A, a _{2} = 2A, a _{n+1} = 2a _{n} - a _{n-1}, gdzie A jest daną liczbą całkowitą większa od 0. Uzasadnij, że każda liczba całkowita więk...
 NagashTheBlack  3
 Granica ciąglu z liczbą e
ponieważ nie rozdzielasz tego, tylko liczysz granicę wykładnika..i ta granica wynosi: -3...
 jezarek  14
 Granica ciągu z liczbą do n
Witam, Mam mały dylemat matematyczny. Otóż ćwiczeniowiec pokazał nam granicę: \lim_{ n\to \infty } \left^{10n}, gdzie dziewiątek jest n. Wdg niego ta granica to: \lim_{ n\to \infty } \le...
 jakotako  4
 granica z liczbą e
47. a_{n} = (1-\frac{2}{n})^{n-4} tak niestety nie można: e^{2n-8} próbowałem też tak: \frac{(1-\frac{2}{n})^n}{(1-\frac{2}{n})^4} granica ...
 kawafis44  6
 Wyznacz granicę ( liczba e )
Witam, mam takie zadanie i nie za bardzo wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.: \lim_{ n\to \infty }( \frac{2n-3}{2n+1} ) ^{n-1} Z góry dziękuję....
 Ketler  4
 Liczba e - dowód
Uzasadnić, że \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2}=e Z czego to powinienem udowodnić?...
 figiel91  1
 granica ciągu z liczbą e. - zadanie 2
Lbubsazob, dzięki, zaczynam kumać o to chodzi ...
 smolik  11
 Granica ciągu(liczba e)
Nie jest to błąd Jest... Tutaj 152288.htm są 3 dowody....
 xxsmyqxx  3
 Granica ciągów z liczbą Eulera.
Może mi ktoś wyjaśnić na czym to polega.. ? Plus mam takie coś do policzenia a jestem z tego kompletnie zielona.. * \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n} * \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{2n+...
 nana69  3
 liczba eulera - zadanie 8
Wykaż, że ciąg {\left( 1+ \frac{1}{n}\right) }^n jest ograniczony od góry i rosnący. Mam narzucone udowodnienie tego za pomocą indukcji matematycznej, ale mi nie wychodzi. -- 19 mar 2012, o 22:48 -- Doszedłem d...
 smmileey  0
 granice, liczba e - zadanie 2
Witam. Mam problem z pewną granicą. Bardzo proszę o pomoc:) \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2}+2 }{ 2n^{2}+1 }\right) ^{n^{2}} Wiem, że jest to związane z liczbą e...
 deltoro  2
 liczba eulera - zadanie 4
Wiedząc że \lim_{n \to \infty }(1+a _{n}) ^{ \frac{1}{ a_{n} } }=e o ile \lim_{n \to \infty } a_{n}=0 i a _{n} \neq 0 dla n \in N _{+}[/tex...
 darkMagic  1
 zbieznosc szeregu z liczba e
hej, nie wiem czemu mi ten przykład nie wychodzi ;/ będę wdzięczny za wskazanie błędu \sum_{}^{} \left( \frac{n-1}{n+1} \right) ^{2n}\\ \frac{n-1}{n+1} = 1 + \frac{-2}{n+1} \\ \lim_{n \to \infty }\left[ \left( 1 + \fr...
 Ser Cubus  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com