[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14201
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4355
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5862
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granice liczba ujemna do n-tej
Potrzebuję pomocy w obliczeniu granic, w których podnosimy do potęgi n-tej liczbę ujemną... Czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak poradzić sobie z tym minusem? \lim_{x\to\infty} \frac{(-0,9) ^{n}}{3n+5} [tex:1msjeq...
 night_shift  5
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 5
Proszę o pomoc w obliczeniu granicy ciągu: \lim_{n \to \infty } \left( \frac{4+n}{2+n} \right) ^{5n+1}...
 ecetince  3
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 6
Mam kłopot z policzeniem granicy tego ciągu: \lim_{n \to \infty } = \left( \frac{2 \sqrt{n}-1 }{2 \sqrt{n}- \sqrt{3} } \right) ^{2 \sqrt{n}-7 }...
 ecetince  3
 granica ciągu i liczba e
W tym pierwszym jest chyba błąd, bo z plusem to granicą jest oczywiście nieskończoność. W drugim: \lim_{n\to\infty}\left= \lim_{n\to\infty}\l...
 mailosz512  7
 Wykazać że liczba jest podzielnikiem danego ciągu
A jaka jest zależność pomiędzy nimi : a _{0}=0 a _{1}=5 a_{2}=25 a_{3}=75 a_{4}=125 a_{5}=375 a_{6}=625 Ja niestety żadnej nie widzę, już pomijając to że są nieparzyste i zadanie jest chyba źle sformułowane. Ale ...
 Danio084  6
 Granice ciagow, liczba e
Witam, a)a_n=\sqrt{n+2^{n}} b)a_n=\frac{3\sqrt{(n)^{2}} \cdot sin(n!)}{n+1} c)a_n=(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+5})^\frac{n}{2} d)[tex:w9ta7hjj...
 Stary  3
 Granica ciągu z liczbą e.
Mam do obliczenia granicę ciągu: (1- \frac{3}{n} )^{n}. Wychodzi mi e ^{-3}, a w odp jest e ^{-1/3}. Mógłby ktoś napisać szkic rozwiązania?...
 Lolek271  5
 extrema z wartością "e" limes z sinusami - zadanie 2
kolokwium z analizy, wiele w necie jest natomiast jeżeli chodzi o przykłady w limesach z sinusami czy w extremach z wartością "e" nie potrafie tego zrobić, tak naprawdę przydałoby się rozwiązanie do wszystkich tych zadań zad 1 a) [tex:38s...
 xardaspol  2
 Wyznacz granicę ( liczba e )
Witam, mam takie zadanie i nie za bardzo wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.: \lim_{ n\to \infty }( \frac{2n-3}{2n+1} ) ^{n-1} Z góry dziękuję....
 Ketler  4
 granica z liczbą e i ciąg geometryczny
Jeszcze dwa małe zadanka: 1)Oblicz granicę (\frac{n+2}{n-1})^{n+1} 2)Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg geometryczny.Suma tych liczb wynosi 26 a suma odwrotności 0,7(2).Podaj te liczby. Co do drugiego mam pytanie ...
 tmegg  4
 Granica ciąglu z liczbą e
ponieważ nie rozdzielasz tego, tylko liczysz granicę wykładnika..i ta granica wynosi: -3...
 jezarek  14
 Liczba e - dowód
Uzasadnić, że \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2}=e Z czego to powinienem udowodnić?...
 figiel91  1
 granica ciągu z liczbą e. - zadanie 2
Lbubsazob, dzięki, zaczynam kumać o to chodzi ...
 smolik  11
 Uzasadnij, że każda liczba całkowita jest wyrazem ciągu...
Ciąg (a _{n}) jest określony wzorami a _{1} = A, a _{2} = 2A, a _{n+1} = 2a _{n} - a _{n-1}, gdzie A jest daną liczbą całkowitą większa od 0. Uzasadnij, że każda liczba całkowita więk...
 NagashTheBlack  3
 Zbieżność szeregu z silnią i liczbą e
Jak w temacie, należy zbadać zbieżność poniższego szeregu: \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n}}{e^{n}n!} Znam jeden względnie elementarny sposób, ale zastanawiam się czy nie można prościej. Zastosowanie wzoru...
 max  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com