[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14201
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4355
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5866
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica z liczbą e.
Proszę o pomoc w policzeniu takiej granicy: u_{n}= \left( \frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1}\right)^{n^{2}} Odpowiedź jest e^{\frac{3}{2} ale nie wiem jak do tego dojść Dzięki ...
 vesenka  2
 Granica ciągu - liczba e?
Witam. Mam takie zadanie: a_{n}=\left(1- \frac{3}{n^{2} }\right)^{n^{2} } I za cholerę nie wiem jak to rozgryźć. Cały czas próbuję wydobyć skądś tę liczbę e, ale ta trójka i n do kwadratu psują mi koncepcję...
 Alighieri  4
 liczba e - zadanie 3
Oblicz granicę ciągu: a. an=(\frac{n}{n+3})^{n} ....
 Monikaa  1
 Granica ciągu z liczbą Eulera
\lim_{x\to\infty}(\frac{ e^{ \frac{1}{n}+1 } }{2})^n...
 Wojtas456  1
 granica, liczba e?
\lim_{n\rightarrow \infty }(1- \frac{1}{n^2})^{2n} \lim_{n\rightarrow \infty }^2=e^2 czy można tak to zrobić, czy raczej źle?...
 Charles90  17
 ciągi liczba e
\lim_{ \to \infty } =(1- \frac{1}{n ^{2} }) ^{n} \left ^{ \frac{n}{n ^{2} } } =(e ^{-1})[/tex:1eau...
 lubierachowac  2
 Wykaż, że liczba g jest granicą ciągu - zadanie 29
Załóżmy, że ciąg a_{n} jest zbieżny do liczby g, a szereg dodatnich b_{1}+b_{2}+... rozbieżny. Wykaż, że: \lim_{n\to\infty}\frac{a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}}{b_{1}+...+b_{n}}=g[/...
 kielon89  2
 znajdź granicę ciągu (liczba e) - trudne
oblicz granicę: u_{n}= (\frac{n^{2} + 2 }{2n^{2} + 1} )^{n^{2} }...
 dżi-unit  5
 Granica z liczbą e - zadanie 10
\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-e^{n}}{2} \lim_{n \to \infty }\frac{ln(2^{-n}-n^{-e})}{2} Jeszcze coś takiego.Da sie to policzyć. Troche kosmicznie wygląda \lim_{n \t...
 TSTS  12
 Granica z liczbą e
Witam. Mam pewien problem z dwoma granicami, a mianowicie e_n = \left( \frac{n+3}{n} \right)^{n+2} teraz odwracam ułamek: = \left( \frac{1}{\frac{n}{n+3}} \right)^{n+2} Dalej ...
 matinf  8
 Tw. o 3 ciągach, sinusy, liczba e itp.
Mam kilka zadań i proszę o sprawdzenie: 1. \lim_{x\to\infty} (\frac{n ^{2}+n+1 }{n ^{2}-n+1}) ^{-n ^{3} +2 = \lim_{x\to\infty} (1+ \frac{2}{n}) ^{-2n ^{2}\cdot \frac{n}{2}+2 }= e ^{-2n ^{2...
 Natasha  1
 Granica ciąglu z liczbą e
ponieważ nie rozdzielasz tego, tylko liczysz granicę wykładnika..i ta granica wynosi: -3...
 jezarek  14
 granice, liczba e - zadanie 2
Witam. Mam problem z pewną granicą. Bardzo proszę o pomoc:) \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2}+2 }{ 2n^{2}+1 }\right) ^{n^{2}} Wiem, że jest to związane z liczbą e...
 deltoro  2
 Liczba e - dowód
Uzasadnić, że \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2}=e Z czego to powinienem udowodnić?...
 figiel91  1
 liczba eulera - zadanie 4
Wiedząc że \lim_{n \to \infty }(1+a _{n}) ^{ \frac{1}{ a_{n} } }=e o ile \lim_{n \to \infty } a_{n}=0 i a _{n} \neq 0 dla n \in N _{+}[/tex...
 darkMagic  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com