szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:30 
Moderator

Posty: 15248
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4434
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 6140
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg z liczbą e #2 - zadanie 2
Mógłby ktoś sprawdzić czy jest ok: \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n^{2}-3n-1}{n^{2}+n+1}\right)^{4n+2}=e^{-16} taki mi wynik wyszedł może ktoś potwierdzić czy dobry wynik mi wyszedł? wystarczy tak lub nie...
 shakurx  1
 granica z liczbą e
47. a_{n} = (1-\frac{2}{n})^{n-4} tak niestety nie można: e^{2n-8} próbowałem też tak: \frac{(1-\frac{2}{n})^n}{(1-\frac{2}{n})^4} granica ...
 kawafis44  6
 Granica ciągu - liczba e
a) \lim_{n \to\infty }\left( 1+ \frac{n+1}{n} \right) ^n b) \lim_{n \to\infty }\left( 2- \frac{n+1}{n+2} \right) ^{2n} c) \lim_{n \to\infty }\left( 1- \frac{3...
 Sissy  11
 Liczba liczb pierwszych- ciągi
Ciag okreslony jest w nastepujacy sposob n-ty wyraz ciagu (an) jest rowny LIczbie Liczb pierwszych nie wiekszych od n: a)podaj trzynasty wyraz ciagu (an) bktore wyrazy ciagu (an) sa rowne 4 c)sporzadz wykres...
 mr.x  5
 liczba e - zadanie 3
Oblicz granicę ciągu: a. an=(\frac{n}{n+3})^{n} ....
 Monikaa  1
 Równanie. Liczba Eulera.
Czy równanie: 2 ^{{\ln x}^{2}} = e ma rozwiązanie \ge e ?...
 maciej91  1
 Szkic dowodu liczba e
Witam mam taki problem. Chodzi o zadanie z egzaminu brzmi ono tak: "Ogólny szkic dowodu że ciąg \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} jest zbieżny do liczby e. Wiem jak przeprowadzić dowód, ten znalazłem chodzi...
 jemdzem2razy  7
 Wzór na granice z liczba e.
Robiąc kilka zadań, zauważyłem że granice które dążą do e ^{x}, można liczyć bez najmniejszego problemu używając magicznego wzoru, do którego doszedłem. \lim_{n \to \infty }\left( 1 + \frac{a}{W(...
 Shusheiri  13
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 15
Jak policzyć taką granicę? \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} Wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru na granicę z liczbą e. Problem w tym, że nie potrafię dobrać odpowiedniego przekształcenia. ...
 Poszukujaca  5
 Granica ciągu z liczbą do n
Witam, Mam mały dylemat matematyczny. Otóż ćwiczeniowiec pokazał nam granicę: \lim_{ n\to \infty } \left^{10n}, gdzie dziewiątek jest n. Wdg niego ta granica to: \lim_{ n\to \infty } \le...
 jakotako  4
 Liczba e.
Proszę o pomoc w tym zadaniu: \lim_{n\to\infty}\left Próbowałam jakoś to poprzekształcać, ale wychodziły jakieś głupo...
 Natasha  5
 granica ciągu z liczbą zespoloną
proszę o objaśnienie przykładu: \lim_{n \to \infty } \frac{ i^{n} }{n} wiem, że i^{n} się jakoś rozbija na jakieś możliwości, że n= i \cup -1 \cup -i \cup 1[/tex:2m6e...
 FantaZy  3
 Granice ciągu z liczbą e - zadanie 2
Szukam po książkach, ale coś nie umiem znaleźć sposobu rozwiązania takiego zadania: Opierając się na twierdzeniu o granicy ciągu monotonicznego (liczba e), obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: u_{n}=(1-\frac{1}{n^2})^{n^2...
 lays  12
 Granica ciągu [liczba e]
\lim_{n \to \infty } (1- \frac{3}{n} )^{n} \lim_{n \to \infty } (1+(- \frac{3}{n} ))^{n} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{- \frac{n}{3} })^{n*&...
 Mecio  1
 granica ciąg, liczba elera
Witam jak się zabrać do tego ciągu \left( \frac{n^2 +6}{n^2} \right) ^{n ^{2} } prszę o wskazówki...
 hunter5556  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com