[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14208
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4355
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5892
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz granicę ( liczba e )
Witam, mam takie zadanie i nie za bardzo wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.: \lim_{ n\to \infty }( \frac{2n-3}{2n+1} ) ^{n-1} Z góry dziękuję....
 Ketler  4
 Równanie. Liczba Eulera.
Czy równanie: 2 ^{{\ln x}^{2}} = e ma rozwiązanie \ge e ?...
 maciej91  1
 Szkic dowodu liczba e
Witam mam taki problem. Chodzi o zadanie z egzaminu brzmi ono tak: "Ogólny szkic dowodu że ciąg \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} jest zbieżny do liczby e. Wiem jak przeprowadzić dowód, ten znalazłem chodzi...
 jemdzem2razy  7
 Wzór na granice z liczba e.
Robiąc kilka zadań, zauważyłem że granice które dążą do e ^{x}, można liczyć bez najmniejszego problemu używając magicznego wzoru, do którego doszedłem. \lim_{n \to \infty }\left( 1 + \frac{a}{W(...
 Shusheiri  13
 Uzasadnij, że każda liczba całkowita jest wyrazem ciągu...
Ciąg (a _{n}) jest określony wzorami a _{1} = A, a _{2} = 2A, a _{n+1} = 2a _{n} - a _{n-1}, gdzie A jest daną liczbą całkowitą większa od 0. Uzasadnij, że każda liczba całkowita więk...
 NagashTheBlack  3
 ciąg z liczbą e #2 - zadanie 2
Mógłby ktoś sprawdzić czy jest ok: \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n^{2}-3n-1}{n^{2}+n+1}\right)^{4n+2}=e^{-16} taki mi wynik wyszedł może ktoś potwierdzić czy dobry wynik mi wyszedł? wystarczy tak lub nie...
 shakurx  1
 Granica ciągu - liczba e
a) \lim_{n \to\infty }\left( 1+ \frac{n+1}{n} \right) ^n b) \lim_{n \to\infty }\left( 2- \frac{n+1}{n+2} \right) ^{2n} c) \lim_{n \to\infty }\left( 1- \frac{3...
 Sissy  11
 Granice ciągu z liczbą e - zadanie 2
Szukam po książkach, ale coś nie umiem znaleźć sposobu rozwiązania takiego zadania: Opierając się na twierdzeniu o granicy ciągu monotonicznego (liczba e), obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: u_{n}=(1-\frac{1}{n^2})^{n^2...
 lays  12
 Granica ciągu [liczba e]
\lim_{n \to \infty } (1- \frac{3}{n} )^{n} \lim_{n \to \infty } (1+(- \frac{3}{n} ))^{n} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{- \frac{n}{3} })^{n*&...
 Mecio  1
 granica ciąg, liczba elera
Witam jak się zabrać do tego ciągu \left( \frac{n^2 +6}{n^2} \right) ^{n ^{2} } prszę o wskazówki...
 hunter5556  7
 sprawdzenie przykładu z granicy ciągu, liczba e
\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{5}{9n}) ^{4n} = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{-5}{9n}) ^{4n} = \lim_{n\to\infty} ^{ \frac{-5}{9n} \cdot 4n } = \lim_{n\to\infty} e ^{ \fra...
 tarantii  1
 Liczba e, granica ciągu nieskończonego
1. \lim_{ n\to\infty } (1- \frac{1}{n ^{2} } ) ^{n} 2. \lim_{ n\to\infty } (1- \frac{3}{n} ) ^{n} 3. \lim_{ n\to\infty } (1- \frac{4}{n} ) ^{-n+3}[/t...
 Shekerama  4
 Granica ciągu - liczba Eulera
Mam coś takiego i nie wiem czy dobrze rozwiązuję, bo niestety nie posiadam rozwiązań do przykładów \lim_{ n\to \infty } (1+ \fr...
 szymek  14
 Zbieżność szeregu z silnią i liczbą e
Jak w temacie, należy zbadać zbieżność poniższego szeregu: \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n}}{e^{n}n!} Znam jeden względnie elementarny sposób, ale zastanawiam się czy nie można prościej. Zastosowanie wzoru...
 max  2
 Granica ciągu z liczbą do n
Witam, Mam mały dylemat matematyczny. Otóż ćwiczeniowiec pokazał nam granicę: \lim_{ n\to \infty } \left^{10n}, gdzie dziewiątek jest n. Wdg niego ta granica to: \lim_{ n\to \infty } \le...
 jakotako  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com