szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 14608
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4383
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5988
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba e - zadanie 5
Mam takie pytanie: Wiadomo, że \lim_{ n\to } (1+ \frac{1}{n}) ^{n}=e. Ale skąd wiadomo, że rozwinięcie liczby [tex:m8...
 szymek12  4
 Granica ciągu z liczbą e - zadanie 7
Bardzo proszę o pomoc w wyznaczeniu poniższych granic. \lim_{n\to\infty} \left( \frac{-n ^{2}+3}{n^{2}+1}\right)^{2n ^{3}+n-3} \lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{6}{2n+3} \right)^{7n^{2}+2}...
 wiktor2093  1
 granica ciągu - liczba e - zadanie 3
\lim_{x \to \infty } \left( \frac{3n+2}{3n-1} \right) ^{2n-3}...
 askas  2
 Granice ciągu z liczbą e oraz tw. o 2 i 3 ciagach
Witam Proszę o bliższe wytłumaczenie jak rozwiązać takie przykłady jeśli jest więcej sposobów to też na kilka: z definicji liczby e: \lim_{ x\to ...
 marcel333  4
 granice, liczba e
\lim_{ n\to } (\frac{n}{n+1})^n=\lim_{ n\to ...
 mat1989  14
 liczba do nieskonczonosci
witam, mam pytanie nie mam pojecia skad wiem ze dana liczba dąży do nieskończonosci a jaka do zera przy szacowaniu?? moze na jakims przykładzie ktos wytlumaczy...
 kattka21  1
 cięg z liczbą e
mam takie zadanie : \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-5n+6}{n^2 +n-5}\right)^{6n-3}=e wiem że ma wyjść e^{-30}...
 shakurx  5
 granica ciągu (liczba e)
Mogł by ktoś sprawdzic czy podana przeze mnie odpowiedź jest poprawna \lim_{n\to\infty}(\frac{5n-7}{5n+2})^{3n+2}\rightarrow e ^{\frac{-27}{5} }...
 panczito  2
 Granica ciągu(liczba e)
Nie jest to błąd Jest... Tutaj 152288.htm są 3 dowody....
 xxsmyqxx  3
 3 granice z liczbą "e"
Mam trzy granice do policzenia tym razem z liczbą e. Nie mam pojęcia jak do tego się zabrać chociaż wiem że to raczej podstawy są. Ale obiecuję poprawę:) ( 1+ \frac {3}{n})^n (\frac{n+2}{n}&#41...
 GreyLiar  1
 granica ciągu, liczba e, ciąg Fibonacciego
witam, mam problem z wyznaczeniem granicy ciągu (a_{n}) ^{ \infty }_{n=1} gdzie wyraz ogólny zadany jest wzorem: 1)a _{n}= ( 1- \frac{1}{n ^{2} } ) ^{2n-1} 2) [tex:2xozrd9f...
 bajdia  7
 granica sprawdzenie liczba e
Na zajęciach liczyliśmy taki przykład \lim_{ x \to \infty} \left( \frac{2n+4}{2n-7} \right)^{5n} podnosząc do potęgi osobno licznik i mianownik. Wyszło \frac{e^{10}}{e^{ \frac{35}{2}}}...
 Zo?za  2
 liczba eulera - zadanie 8
Wykaż, że ciąg {\left( 1+ \frac{1}{n}\right) }^n jest ograniczony od góry i rosnący. Mam narzucone udowodnienie tego za pomocą indukcji matematycznej, ale mi nie wychodzi. -- 19 mar 2012, o 22:48 -- Doszedłem d...
 smmileey  0
 liczba e - zadanie 4
Mam problem z taka granica: \left(\frac{5n+2}{5n+1}\right)^{15n} Wynikiem jest e^{3} Za nic nie moge do tego dojsc......
 tomcio_x  2
 zbieznosc szeregu z liczba e
hej, nie wiem czemu mi ten przykład nie wychodzi ;/ będę wdzięczny za wskazanie błędu \sum_{}^{} \left( \frac{n-1}{n+1} \right) ^{2n}\\ \frac{n-1}{n+1} = 1 + \frac{-2}{n+1} \\ \lim_{n \to \infty }\left[ \left( 1 + \fr...
 Ser Cubus  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com