[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Witam, za limes'em mam taką liczbę. Jak to rozwiązać ??
\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}= ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:30 
Moderator

Posty: 13781
Lokalizacja: Wrocław
Skrócić n

\frac {n( \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}})}{n( \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}})}=\frac { \sqrt {1 +\frac{6}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{5}{n^2}}}{ \sqrt {1 +\frac{3}{n^2}} +  \sqrt {1 +\frac{8}{n^2}}}

i przejść do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Mam być \frac {2}{2}=1 ale nie wiem skąd to się bierze :/ Mógłbyś wytłumaczyć skąd to 1 sie bierze ??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 18:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4337
Lokalizacja: Gdańsk
Zauważ, że każdy z tych pierwiastków możesz oszacować przez 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 118
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli w rozwiązaniu jeśli doprowadze do takiej postaci to zaokrąglam do całości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 23:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 5644
Lokalizacja: Wrocław
A skądże. Jak doprowadzisz do tej postaci, to krok po kroku korzystasz z solidnie dowiedzionych twierdzeń zwanych arytmetyką granic:

Twierdzenia:    


Wiemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^2} = 0

i \lim_{n \to \infty} 1 = 1

więc z równości (1) wynika, że

\lim_{n \to \infty} 1+\frac{6}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{5}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{3}{n^2} = 1+0=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} 1+\frac{8}{n^2} = 1+0=1

zaś z równości (4) dostajemy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} = \sqrt{1}=1 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = \sqrt{1}=1

i znów z (1) mamy

\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{6}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{5}{n^2}} = 1+1=2 \\ \\ 
\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{3}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{8}{n^2}} = 1+1=2

więc ostatecznie z (3) otrzymujemy

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n^2}}} = \frac{2}{2}=1

Oczywiście po zdobyciu wprawy, wszystkie te przejścia robisz naraz w ciągu paru sekund i od razu piszesz wynik. Masz jednak świadomość, że szczegółowe i formalne uzasadnienie wygląda jak powyżej. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Tajemnicza granica z liczbą Eulera
Mam problem ze zrozumieniem w jakich przypadkach jak powinno się postępować. np: \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n^2-n}{n^2+2} \right)^{2n}==\lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n^2+2-n-2}{n^2+2} ...
 Charles90  1
 Wykaż że liczba jest granicą ciągu
Udowodnij że liczba 1 jest granicą ciągu \frac{ n^{2}+ n-1 }{n^{2}- n+1} Nie jestem pewien czy robie to dobrze więc proszę o jakąś wskazówkę albo rozwiązanie Dodam że dowód z definicji ...
 SamWieszKto  4
 Pokaż, że liczba jest kresem dolnym zbioru.
hmm, żeby wykazać, że 0 jest kresem dolnym, wystarczy udowodnić, że 0 jest mniejsze (bądź równe) od każdego z wyrazów ciągu i że istnieje podciąg zbieżny do 0. Pierwsza część jest oczywista, w drugiej rozwazamy ciąg a_n=2^{(-1)^...
 Natasha  6
 granice ciągów - liczba e
Jak to obliczyć. Zależy mi najbardziej na 3, 6 i 7 przykładzie. Przy okazji. Znacie dobrą strone www z z wytłumaczeniem ciagow i granic \lim_{n \to \infty} (\frac{2n+1}{n-2})^n [tex...
 Tomo20  1
 Granica z liczba e - zadanie 4
\lim_{n\to } ft(\frac{n^2+2}{2n^2+1}\right)^{n^2}[...
 luke877  1
 Trudna granica z liczbą e
\lim_{n\to\infty}({\frac{\ n^2+2}{2n^2+1}})^{n^2}...
 Barca  20
 granice i liczba Eulera
jak obliczyć graniće takiego ciągu? gdyby w potędze było tylko n to byłoby prosto, ale z 3n nie umiem sobie poradzić.. \lim_{n \to } ( \frac...
 Dj Tiesto  3
 Granica ciągu, liczbą e
Witam, Moje rozwiązanie poniższego zadania nie zgadza się z rozwiązaniem z książki (W. Krysicki, L. Włodarski - "Analiza matematyczna w zadaniach" Warszawa 2008, zadanie nr. 2.70.) Znajdź granicę: \lim_{n \to \infty} \left&#...
 lokay  3
 liczba e - zadanie 8
\frac{1}{ (1+ \frac{1}{ n^{2}-1 }) ^{ \frac{n(n-1)}{2} } }...
 posoni  1
 Granica z liczbą e, stosowanie wzoru
Czy mając: \lim_{ n \to \infty } \frac{e^{\ln( \sqrt{\ln n} )}-1}{ \frac{1}{n} }, mogę zapisać, że jeśli \ln(\sqrt{\ln n} ) \rightarrow 0 i \frac{1}{n} \...
 krystian8207  8
 Liczba zmian znaku w ciągu współczynników
Mam problem z zapisem rozwiązania następującego, prostego do sprawdzenia twierdzenia: Jeżeli ciąg a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} ma C zmian znaku, to ciąg a_{0}, a_{1}-a_{0}, \ldots, a_{n}-a_{n-1}[/tex:2813owv...
 tofik89  0
 liczba e - zadanie 13
ok, czyli w odp jest błąd, dzięki...
 je?op  9
 Problem z ciągiem z liczbą e
Przykład: an= (1-\frac{4}{n}) ^{-n+3} przy n->nieskonczonosci liczyłam tak ale nie wyszło...(wynik w kazdym razie to e ^{4}) an= (1+\frac{4}{ \frac{-n}{4} ...
 marta1995  3
 Granica dziwnego ciągu z liczbą e.
\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{5}{3n+2}\right)^{7n} Niech ktoś rozwiąże mi to zadanie bo kompletnie niewiem jak sie za to wziąć.-- 12 kwi 2011, o 21:57 --Musze je mieć na jutro. Pliis...
 immortalbart  5
 liczba e - zadanie 3
Oblicz granicę ciągu: a. an=(\frac{n}{n+3})^{n} ....
 Monikaa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com