szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 19
Czy ktoś wie jak rozwiązać tą całkę wymierną? Nie mam pojęcia jak rozłożyć mianownik na czynniki...

\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x^{3}+16x }dx
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:41 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4676
Lokalizacja: Poznań
Wyłącz x przed nawias.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 19
nom tak wyłączyłam ale co to mi da?

\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x\left(  x^{2}+16 \right)  }dx
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:49 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 4676
Lokalizacja: Poznań
I teraz rozłóż na ułamki proste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5824
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
2x^2+x+16=x^2+x+x^2+16

i teraz skróć
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 23:53 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3564
Lokalizacja: Lancaster
\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x^{3}+16x }dx=\int\frac{2 x^{2}+16 }{ x^{3}+16x }dx+\int\frac{x}{ x^{3}+16x }dx=\ln|x^3+16x|+\int\frac{1 }{ (x^{2}+16) }=\ln|x^3+16x|+\frac{1}{16}\int\frac{1 }{((\tfrac{x}{4})^{2}+1) }dx

Następnie do tej drugiej całki proponuję podstawienie \tfrac{x}{4}=\mbox{sinh}\,t.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 19
\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x^{3}+16x }dx


nom dobra rozłożyłam policzyłam i nie wiem czy wyszło tak jak powinno?;)

=ln\left|x\right|+  \frac{1}{4}arctg \frac{x}{4} + \frac{1}{2} ln\left| x^{2}+16  \right|+C

Spektralny podsunął mi myśl:
\int_{}^{}  \frac{2 x^{2}+16 }{x ^{3}+16x }dx+ \int_{}^{}  \frac{x}{x ^{3}+16x }dx

i pierwsza z pochodnej czyli ln a drugą skrócić x i podstawienie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 00:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5824
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
Spektralny, zgubiłeś współczynnik przed logarytmem i w ogóle jakoś dziwnie rozbiłeś na sumę całek

\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x\left(  x^{2}+16 \right)  }dx\\
=\int{\frac{x^2+x+x^2+16}{x\left( x^2+16\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{x+1}{x^2+16}  \mbox{d}x }+\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x} }\\
=\frac{1}{2}\ln{\left| x^2+16\right| }+\frac{1}{16}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left(  \frac{x}{4} \right)^2+1 }}+\ln{\left| x\right| }\\
=\frac{1}{2}\ln{\left| x^2+16\right| }+ \frac{1}{4}\arctan{\left(  \frac{x}{4} \right) }+\ln{\left| x\right| }+C

Wynik powinien być dobry
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 00:19 
Użytkownik

Posty: 19
Oook dzięki:) widzę że zgadza się z moim wynikiem:) zobaczy się jurto na egzaminie...

Pozdrawiam;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 00:20 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3564
Lokalizacja: Lancaster
Używłem powszechnie znanej techniki "kopiuj-wklej". W drugiej całce oczywiście powinno być x w liczniku co widać w następnym przejściu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 01:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5824
Lokalizacja: 53.02'N 18.37'E
Spektralny, a więc chciałeś rozbić w ten sposób

\int_{}^{} \frac{2 x^{2}+x+16 }{ x^{3}+16x }dx=\int{\frac{3x^2+16}{x^3+16x} \mbox{d}x }+\int{\frac{1-x}{x^2+16} \mbox{d}x }\\

Tylko po co podstawienie hiperboliczne pchać jak wychodzi arcus tangens
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka  Anonymous  1
 Całka z 1+4y^2  uczeń777  1
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 całka i pochodna  Tom100  1
 Całka przez podstawianie - zadanie 3  SowaX  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com