szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: rzeszów
Czy ktoś mógłby rozwiązać to zadanie, z góry dziękuję.
Niech A będzie zbiorem tych wszystkich punktów odcinka [0 \1] , dla których istnieją rozwinięcia dziesiętne niezawierające cyfry 7. Wykazać, że zbiór A ma miarę Lebesgue'a zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 15186
Lokalizacja: Cieszyn
Przypomnij sobie jak dowodzimy tego, że zbiór Cantora ma miarę zero. To zbiór "Cantoropodobny" (neologizm mojego autorstwa).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: rzeszów
niestety ale nie miałam miary lebesgue'a a musze to zadanie rozwiązać.
Może potrafisz mi to wyjaśnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 15186
Lokalizacja: Cieszyn
No to jeśli nie miałaś jeszcze miary Lebesgue'a, jak możesz rozwiązywać o niej zadania? Nie rozumiem tego, co napisałaś. Ale i tak dam wskazówkę.

Liczby, które na pierwszym miejscu po przecinku nie zawierają siódemki leżą w zbiorze \left[0,0.7\right]\cup[0.8,1]. (umowa: 0.7=0.6(9). Z tych dwóch przedziałów wyrzucamy liczby, które na drugim miejscu po przecinku nie mają siódemki. Jakie to przedziały? Itd.

Teraz należy policzyć sumę długości przedziałów, które wyrzucaliśmy. Odejmując ją od jedynki dostaniemy miarę naszego zbioru.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: rzeszów
doszłam do momentu ze usuwam w n-tym kroku {9}^{n-1} przedziałów otwartych no i właśnie ze względy że nie wiem o co chodzi z ta miara nie jestem w stanie tego dalej zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 21:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 15186
Lokalizacja: Cieszyn
Musisz policzyć sumę długości wszystkich przedziałów, które wyrzucasz. Na pierwszym kroku, drugim, trzecim, ...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: rzeszów
czyli jezeli zalozymy ze zb A jest to miara odcinków których nie wyrzucilam to dlaczego m(A)=0 a miara odcinków które wyrzucilam jest równa 1. tylko dlaczego?? z jakiego wzoru?? z jakiej definicji czy własnosci??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 22:09 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 15186
Lokalizacja: Cieszyn
Suma długości wyrzuconych odcinków wynosi jeden i to wykaż. Jest to suma pewnego szeregu geometrycznego. A to, że miara właściwego zbioru wynosi wobec tego zero, wynika z własności miary Lebesgue'a. Jeśli nie znasz tego pojęcia, nie mogę wypowiadać się na bardziej skomplikowanym poziomie.

Możesz to sobie tak wyobrazić: miara sumy dwóch mierzalnych zbiorów rozłącznych jest sumą miar tych zbiorów. A zatem, skoro suma przedziałów wyrzuconych i suma przedziałów nie wyrzuconych są zbiorami rozłącznymi sumującymi się do [0,1], a miara jednego ze zbiorów wynosi jeden, to miara drugiego musi wynosić zero. Inną kwestią jest pokazanie mierzalności obu zbiorów. Ale to wynika z tego, że oba są borelowskie (słyszałaś to pojecie?)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lut 2012, o 22:27 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: rzeszów
dzieki za udzieloną pomoc bardzo to doceniam i napewno twoje wskazówki duzo mi pomogły :) miłego wieczoru :wink:

-- 29 lut 2012, o 21:57 --

Przepraszam że nie pisałam zwrotów grzecznościowych z dużej litery.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2014, o 16:09 
Użytkownik

Posty: 1026
Przepraszam, że odświeżam stary już temat, ale chciałbym się spytać czy w drugim kroku usuwamy przedziały postaci:

(0.i7,0.i8) dla i \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,8,9\right\} ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Miara Lebesgue'a - zadanie 17  kaziolo  1
 miara Lebesgue'a - zadanie 18  irga01  5
 Miara Lebesgue'a - zadanie 16  KaSia222  14
 Miara Lebesgue'a - zadanie 6  Ola964  5
 miara Lebesgue'a - zadanie 4  Blanka24  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com