szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 02:23 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Wykazać, że warunek ograniczoności pochodnej implikuje ciągłość oraz spełnienie warunku Lipschitza dla funkcji dwóch zmiennych.

Nie wiem czy w ogóle istnieje coś takiego jak twierdzenie Lagrange'a dla funkcji wielu zmiennych, ale jeśli tak to niech \theta \in (x_1,x_2). Wtedy mamy:

|F(x_2,t)-F(x_1,t)| = | \frac{ \partial F}{ \partial x} (\theta ,t)  \cdot (x_2-x_1)|  \le L|x_2-x_1| gdzie L jest ogranicza naszą pochodną. Czy to jest poprawnie rozwiązane? Jak pokazać, że z ograniczoności pochodnej wynika ciągłość?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 03:03 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
0\le|F(x_2,t)-F(x_1,t)| \le L|x_2-x_1|\\
\lim_{x_1\to x_2}L|x_2-x_1|=0\Rightarrow \lim_{x_1\to x_2}|F(x_2,t)-F(x_1,t)|=0
czyli funkcja jest ciągła
Góra
PostNapisane: 9 mar 2012, o 12:15 
Użytkownik
|F(x,t)-F(u,v)| =|F(x,t) -F(x,v)|+|F(x,v)-F(u,v)| i teraz twierdzenie Lagrange'a zastosuj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
octahedron rozumiem twój rachunek, ale nie wiem dlaczego z niego miałaby wynikać ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
Funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w nim granicę równą wartości: \lim_{x_1\to x_2}f(x_1,t)=f(x_2,t) \Rightarrow \lim_{x_1\to x_2}f(x_1,t)-f(x_2,t)=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Ok, rozumiem. Tylko jeszcze pytanie, jak uzasadnić opuszczenie modułu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli coś zdąża do zera, to moduł tego czegoś też.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Mam jeszcze jedno pytanie, bo w treści zadania chcieli aby pokazać warunek lipschitza i ciągłość dla funkcji dwóch zmiennych. A ja to wszystko robiłem tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej, traktując drugą jak zwykły parametr. Czy to na pewno jest dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
A w sumie o jaką pochodną chodzi? Cząstkową czy mocną?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Niestety nie wiem. Ale o pochodnych mocnych nigdy nic nie słyszałem, więc przypuszczam, że chodzi raczej o cząstkowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
Czyli zakładamy, że funkcja ma ograniczone pochodne cząstkowe. Dla dwóch zmiennych odpowiednikiem tw. Lagrange'a jest taka równość:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)+F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\\x_1<c<x_2,\, t_1<d<t_2

I teraz jeśli x_1\to x_2 i t_1\to t_2, to F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\to 0 i F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\to 0, więc F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)\to 0, czyli F(x_1,t_1)\to F(x_2,t_2)

więc funkcja jest ciągła, ponadto

|F(x_2,t)-F(x_1,t)|=|F_x(c,t)(x_2-x_1)|\le \sup|F_x(x,t)|\cdot|x_2-x_1|\\|F(x,t_2)-F(x,t_1)|=|F_x(x,d)(t_2-t_1)|\le \sup|F_t(x,t)|\cdot|t_2-t_1|

czyli spełnia też warunek Lipschitza względem obu zmiennych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:00 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Cytuj:
Czyli zakładamy, że funkcja ma ograniczone pochodne cząstkowe. Dla dwóch zmiennych odpowiednikiem tw. Lagrange'a jest taka równość:
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)+F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\\x_1<c<x_2,\, t_1<d<t_2


Wszystko jest jasne poza tą pierwszą równością. Skąd się ona wzięła?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 1558
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
octahedron, używaj entera, łatwiej wtedy się czyta... ;)


Cytuj:
Wszystko jest jasne poza tą pierwszą równością. Skąd się ona wzięła?

W zasadzie dla wielu zmiennych nie ma dokładnego analogonu twierdzenia Lagrange'a. Te, które są podobne, wydaja się być jednak trochę słabsze. Skąd się równość wzięła sam chętnie zobaczę ;)

Weźmy sobie jakieś punkty x,\ y oraz odpowiednio pewne przyrosty h,\ k. Mamy:

\left| f(x+h,y+k)-f(x,y)\right| =\left| f(x+h,y+k)-f(x,y+k)+f(x,y+k)-f(x,y)\right|  \le \\ \left| f(x+h,y+k)-f(x,y+k)\right|  + \left| f(x,y+k)-f(x,y)\right| =\\ \\ \left| \frac{ \partial f(x+uh,y+k)}{ \partial x}h\right|  +  \left| \frac{ \partial f(x,y+vk)}{ \partial y}k\right|  , \quad 0<u,v<1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)(t_2-t_1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:42 
Użytkownik

Posty: 1558
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
octahedron napisał(a):
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)

Zapomniałeś o przyrostach.

Faktycznie, jeśli założy się najpierw, że któreś współrzędne są większe da się z nierówności zrobić równość bez większej straty ogólności...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
Fakt, uciekły mi gdzieś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
octahedron napisał(a):
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)(t_2-t_1)


Tutaj już możemy zastosować tw. Lagrangea bo mamy funkcję stałą ze wzgledu na drugą zmienną, tak?

PS

Zatem moje rozwiązanie w pierwszym poście jest złe czyż nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:32 
Użytkownik

Posty: 1558
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Cytuj:
Tutaj już możemy zastosować tw. Lagrangea bo mamy funkcję stałą ze wzgledu na drugą zmienną, tak?

Tak.

Cytuj:
Zatem moje rozwiązanie w pierwszym poście jest złe czyż nie?

Trudno powiedzieć, dopóki nie dasz dokładnego polecenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:39 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Cóż, polecenie przepisałem słowo w słowo z listy zadań od wykładowcy, ale to już nie pierwsza taka nieścisłość. Właściwie na czym polega brak dokładności? Chodzi o to, że nie wiemy które pochodne są ograniczone (obie, czy może tylko po x lub tylko po y?)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:54 
Użytkownik

Posty: 1558
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Prawdopodobnie chodzi o to, że pełna pochodna jest ograniczona, choć trudno mi się wypowiadać nie wiedząc co macie na wykładach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:56 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
a co to jest pełna pochodna? Nigdy z takim pojęciem sie nie spotkałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 02:12 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
To takie uogólnienie, zamiast jednej pochodnej f' mamy taki wektor pochodnych: [F_x,F_t] itd., tylko że samo istnienie pochodnych cząstkowych nie wystarcza, by funkcja miała pełną pochodną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 1558
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Cytuj:
mamy taki wektor pochodnych


To w takim razie czym wg Ciebie różni się pochodna od gradientu ? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 3481
Lokalizacja: Wrocław
Definicję mocnej pochodnej można łatwo znaleźć, nie będę jej przepisywał. Pochodna ta jest pewnym liniowym przekształceniem i dla funkcji zmiennej rzeczywistej gradient jest macierzą tego przekształcenia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie elastyczności funkcji.  Anonymous  1
 Anal. wektorowa, teoria funkcji zesp.,krzywe powierzchniowe.  Anonymous  1
 Rodzina funkcji.  Anonymous  0
 Analityczne wyznaczanie wzoru funkcji odwrotnej.  Anonymous  3
 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera.  Anonymous  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com