szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 02:23 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Wykazać, że warunek ograniczoności pochodnej implikuje ciągłość oraz spełnienie warunku Lipschitza dla funkcji dwóch zmiennych.

Nie wiem czy w ogóle istnieje coś takiego jak twierdzenie Lagrange'a dla funkcji wielu zmiennych, ale jeśli tak to niech \theta \in (x_1,x_2). Wtedy mamy:

|F(x_2,t)-F(x_1,t)| = | \frac{ \partial F}{ \partial x} (\theta ,t)  \cdot (x_2-x_1)|  \le L|x_2-x_1| gdzie L jest ogranicza naszą pochodną. Czy to jest poprawnie rozwiązane? Jak pokazać, że z ograniczoności pochodnej wynika ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 03:03 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
0\le|F(x_2,t)-F(x_1,t)| \le L|x_2-x_1|\\
\lim_{x_1\to x_2}L|x_2-x_1|=0\Rightarrow \lim_{x_1\to x_2}|F(x_2,t)-F(x_1,t)|=0
czyli funkcja jest ciągła
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 1392
Lokalizacja: Warszawa
|F(x,t)-F(u,v)| =|F(x,t) -F(x,v)|+|F(x,v)-F(u,v)| i teraz twierdzenie Lagrange'a zastosuj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
octahedron rozumiem twój rachunek, ale nie wiem dlaczego z niego miałaby wynikać ciągłość?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w nim granicę równą wartości: \lim_{x_1\to x_2}f(x_1,t)=f(x_2,t) \Rightarrow \lim_{x_1\to x_2}f(x_1,t)-f(x_2,t)=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Ok, rozumiem. Tylko jeszcze pytanie, jak uzasadnić opuszczenie modułu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli coś zdąża do zera, to moduł tego czegoś też.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Mam jeszcze jedno pytanie, bo w treści zadania chcieli aby pokazać warunek lipschitza i ciągłość dla funkcji dwóch zmiennych. A ja to wszystko robiłem tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej, traktując drugą jak zwykły parametr. Czy to na pewno jest dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
A w sumie o jaką pochodną chodzi? Cząstkową czy mocną?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Niestety nie wiem. Ale o pochodnych mocnych nigdy nic nie słyszałem, więc przypuszczam, że chodzi raczej o cząstkowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2012, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Czyli zakładamy, że funkcja ma ograniczone pochodne cząstkowe. Dla dwóch zmiennych odpowiednikiem tw. Lagrange'a jest taka równość:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)+F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\\x_1<c<x_2,\, t_1<d<t_2

I teraz jeśli x_1\to x_2 i t_1\to t_2, to F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\to 0 i F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\to 0, więc F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)\to 0, czyli F(x_1,t_1)\to F(x_2,t_2)

więc funkcja jest ciągła, ponadto

|F(x_2,t)-F(x_1,t)|=|F_x(c,t)(x_2-x_1)|\le \sup|F_x(x,t)|\cdot|x_2-x_1|\\|F(x,t_2)-F(x,t_1)|=|F_x(x,d)(t_2-t_1)|\le \sup|F_t(x,t)|\cdot|t_2-t_1|

czyli spełnia też warunek Lipschitza względem obu zmiennych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:00 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Cytuj:
Czyli zakładamy, że funkcja ma ograniczone pochodne cząstkowe. Dla dwóch zmiennych odpowiednikiem tw. Lagrange'a jest taka równość:
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)+F_t(x_1,d)(t_2-t_1)\\x_1<c<x_2,\, t_1<d<t_2


Wszystko jest jasne poza tą pierwszą równością. Skąd się ona wzięła?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 1325
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
octahedron, używaj entera, łatwiej wtedy się czyta... ;)


Cytuj:
Wszystko jest jasne poza tą pierwszą równością. Skąd się ona wzięła?

W zasadzie dla wielu zmiennych nie ma dokładnego analogonu twierdzenia Lagrange'a. Te, które są podobne, wydaja się być jednak trochę słabsze. Skąd się równość wzięła sam chętnie zobaczę ;)

Weźmy sobie jakieś punkty x,\ y oraz odpowiednio pewne przyrosty h,\ k. Mamy:

\left| f(x+h,y+k)-f(x,y)\right| =\left| f(x+h,y+k)-f(x,y+k)+f(x,y+k)-f(x,y)\right|  \le \\ \left| f(x+h,y+k)-f(x,y+k)\right|  + \left| f(x,y+k)-f(x,y)\right| =\\ \\ \left| \frac{ \partial f(x+uh,y+k)}{ \partial x}h\right|  +  \left| \frac{ \partial f(x,y+vk)}{ \partial y}k\right|  , \quad 0<u,v<1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)(t_2-t_1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:42 
Użytkownik

Posty: 1325
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
octahedron napisał(a):
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)

Zapomniałeś o przyrostach.

Faktycznie, jeśli założy się najpierw, że któreś współrzędne są większe da się z nierówności zrobić równość bez większej straty ogólności...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Fakt, uciekły mi gdzieś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
octahedron napisał(a):
F(x_2,t_2)-F(x_1,t_1)=F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)+F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)

i teraz stosujemy tw.Lagrange'a:

F(x_2,t_2)-F(x_1,t_2)=F_x(c,t_2)(x_2-x_1)\\
F(x_1,t_2)-F(x_1,t_1)=F_t(x_1,d)(t_2-t_1)


Tutaj już możemy zastosować tw. Lagrangea bo mamy funkcję stałą ze wzgledu na drugą zmienną, tak?

PS

Zatem moje rozwiązanie w pierwszym poście jest złe czyż nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:32 
Użytkownik

Posty: 1325
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Cytuj:
Tutaj już możemy zastosować tw. Lagrangea bo mamy funkcję stałą ze wzgledu na drugą zmienną, tak?

Tak.

Cytuj:
Zatem moje rozwiązanie w pierwszym poście jest złe czyż nie?

Trudno powiedzieć, dopóki nie dasz dokładnego polecenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:39 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
Cóż, polecenie przepisałem słowo w słowo z listy zadań od wykładowcy, ale to już nie pierwsza taka nieścisłość. Właściwie na czym polega brak dokładności? Chodzi o to, że nie wiemy które pochodne są ograniczone (obie, czy może tylko po x lub tylko po y?)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:54 
Użytkownik

Posty: 1325
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Prawdopodobnie chodzi o to, że pełna pochodna jest ograniczona, choć trudno mi się wypowiadać nie wiedząc co macie na wykładach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 01:56 
Użytkownik

Posty: 359
Lokalizacja: ZG
a co to jest pełna pochodna? Nigdy z takim pojęciem sie nie spotkałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 02:12 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
To takie uogólnienie, zamiast jednej pochodnej f' mamy taki wektor pochodnych: [F_x,F_t] itd., tylko że samo istnienie pochodnych cząstkowych nie wystarcza, by funkcja miała pełną pochodną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 1325
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Cytuj:
mamy taki wektor pochodnych


To w takim razie czym wg Ciebie różni się pochodna od gradientu ? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2012, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Definicję mocnej pochodnej można łatwo znaleźć, nie będę jej przepisywał. Pochodna ta jest pewnym liniowym przekształceniem i dla funkcji zmiennej rzeczywistej gradient jest macierzą tego przekształcenia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie elastyczności funkcji.
mam takie zadanie ze musze zbadac elastycznosc f-cji. moze po prostu przebieg?...
 Anonymous  1
 Anal. wektorowa, teoria funkcji zesp.,krzywe powierzchniowe.
We wrześniu mam egzamin z różniczek (2 semestr na Uniwerku Wrocławskim). Jeżeli ktoś zna jakieś namiary na skrypty, podręczniki itp. dostępne w sieci i dotyczące: -ogólnej teorii ciągłości -ogólnej teorii różniczkowania -geometrii różniczkowej krzywy...
 Anonymous  1
 Rodzina funkcji.
MAM PROBLEM Z TYM ZAD. BO WOGÓLE NIE WIEM O CO TU CHODZI. PROSZE POMOC. F oznacza rodzinę funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na przestrzeni X. Przez p(F) oznaczmy pierścień generowany przez rodzinę F , zaś przez ----- P(F) domknięcie...
 Anonymous  0
 Analityczne wyznaczanie wzoru funkcji odwrotnej.
Musze wyznaczyc analityczny wzor na funkcje odwrotna do podanego wielomianu (oczywsicie w przedzialach miedzy ekstremami lokalnymi) g(x)=x(x-1)(x-1/2) Moj prowadzacy od zajec powiedzial ze jest to wykonalne analitycznie ale nie potrafie nigdzie znale...
 Anonymous  2
 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera.
Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję: f&#40;x&#41;=2e^{3x}, x\in Dzięki za wskazówki...
 Anonymous  9
 sumowalność i ciągłość funkcji
Mam problem z zadankiem. Może ktoś coś podpowie?! : Niech funkcja f: ->R będzie sumowalna i ciągła w c należącym do . Pokazać, że pochodną całki f w c jest f(c). Dzięki...
 jexa  0
 punkt osobliwy odosobniony funkcji
Czy ktoś mógłby podpowiedzieć jak należy zabrać się do tego typu zadań: &quot;znajdź punkty osobliwe odosobnione funkcji oraz obliczyc residua funkcji f(z) w tych punktach&quot; f&#40;z&#41;=\frac{z+5}{&#40;z-3&#41;^{2}&#40;z^{2}+1&#41...
 piter71  2
 Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych
Witam, mam pytanie o to jak bada się różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych. Ja robię to tak: - Wyznaczam obszar ciaglosci funkcji - Licze pochodne cząstkowe funkcji i patrzę w jakim obszarze są ciągłe - obszar w ktorym funkcja jest ciagla i ma ...
 rzezbi  2
 zbadać ekstremum funkcji ... przy warunku ...
Witam, mam takie zadanie: Zbadać ekstremum funkcji z = x^2 - y^2 przy warunku x^2 + y^2 - 1 = 0 i wcale nie chcę abyście mi to tu rozwiązali bo właśnie rozwiązanie mam tylko go nie rozumiem :/ Zadanie to wraz z rozwiązaniem jest na tej stronie : ...
 rzezbi  5
 Dziedzina funkcji wielu zmiennych
Hej, licze sobei dziedziny funkcji wielu zmiennych, chciałem zapytać czy zawsze trzeba liczyc ze względu na x i y razem? Nie da sie osobno? Np. w zadaniu: f(x,y) = ln&#91;(x^2+y^2-1)(4-x^2-y^2)&#93; mam 2 kola ...
 neo.priv  1
 Funkcje dwoch zmiennych
nie radze sobie wogole z tym zadaniem :-/ Dla funkcji f(x,y)=|x-y| zbadaj: 1. ciaglosc funkcji w D 2. istnienie i ciaglosc pochodnych 1 rzedu 3. istnienie rozniczki zupelnej 4. dla jakich zbiorow nalezacych do dziedziny funk...
 Gnomek  0
 [analiza]znaleść ekstrema funkcji u przy danych warunkach
znaleść ekstrema funkcji u przy danych warunkach u= x+y+2z , x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 [Tego posta poprawiłem. Proszę, zapoznaj się z [url=http&#58;//www&#46;matematyka&#...
 anita1  2
 Monotonicznośc funkcji
siema , mam pewien problem z monotonicznoscią funkcji nie wiem jak sie za to wogóle zabrać , ostanio nie było mnei na fakach z maty ( złamana noga ) przychodze sobie...
 Xadd  1
 pochodna funkcji zlozonej
chodzi mi o ostateczna postac pochodnej funkcji: (lnx)^(lntgx)...
 Anonymous  2
 Przekształcenie funkcji y = SQRT(2x+1)
mam problem nie wiem jak przekształcic funkcje tak abym mogła ja wstawic do deriva: jak probowałam to wyciagłam z niej (2x+1)^(1/2) ale jakies bzdury mi wychodza na wykresie. bede wdzieczna za pomoc. y = \sqrt{&#40;2x+1&#41;}[/tex:1n...
 Tygryska_Anna  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com