szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Zbadać zbieżność (kryterium porównawcze)
Czy dobrze rozumuję? \sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{2n-3}{(n^{2}+4n+3)^{2}} Jako majorantę zbieżną można wziąć szereg \frac{2n}{n^{3}}, który jest zbieżny (szereg harmoniczny) i większy...
 Jaca91  25
 Kryterium Kummera
Witam, mam pewne wątpliwości dotyczące kryterium Kummera, a mianowicie: określmy sobie ciąg Kummera: K_n = b_n \frac{a_n}{a_n_+_1} - b_n_+_1 i ciąg d'Alemberta D_n = \frac{a_n_+_1}{a_n} niech ...
 Miroslav  0
 Znajdź obszar zbieżności
Nie potrafię robić przykładów gdzie "n" jest w podstawie i wykładniku potęgi (jak poniżej) : \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4 ^{n} x ^{2n}}{n ^{3} } proszę więc o wytłumaczenie kolejnych kroków lub jakieś wskazówk...
 ruuudy16  2
 Promień zbieżności Szeregu - zadanie 10
Dlatego, że x _{0}-środek szeregu wynosi w naszym przypadku 0 \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{n!}{n^n}\left( x+0\right) ^{n+7} x \in \left(...
 marysiutka  6
 Zbieżność szereg - kryterium porównawcze. (2f)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n)}{n^{2}} Zgodnie z poleceniem mam zbadać zbieżność szeregu korzystając z kryterium porównawczego, ale jaki jest sens stosować to kryterium skoro widać, że: \lim_{n \t...
 hubertg  3
 zbadać zbieżności szeregów - zadanie 2
a)\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{n-1}{n+1} \right) ^{(n+1) \cdot n} b)\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{2} n \cdot \left( \frac{3}{5} \right) ^{n} \right)[/te...
 Ankaaa993  5
 zbieżności ciągów xn=(an,bn,cn)
Witam, mam problem z następującym zagadnieniem: Zbadać zbieżność ciągów i ewentualnie obliczyć ich granice: x_{n} = ( \frac{sin( \frac{n \pi }{2} )}{n} , \left( \frac{n+3}{n-7} \right) ^{n} )\\ x_{n} = &#40...
 Kowal1990  0
 zbieżność szeregu kryterium porównawcze - zadanie 2
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{n+1} } } Próbowałem ograniczać z góry jednak znalazłem tylko takie ograniczenie: \frac{1}{n ^{ \frac{3}{4} } } , a to przecież jest rozbieżne....
 johanneskate  5
 szeregi z kryterium całkowego i porównawczego
Bardzo proszę o pomoc w takich szeregach. \sum_{n=1}^{ \infty } n sin \frac{1}{n ^{2} } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{lnn}{n ^{2} }...
 bozena125  1
 Kryterium porównawcze - zadanie 29
Witam, czy ktoś przy pomocy kryterium porównawczego potrafi pokazać (ro)zbieżność ? 1.\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} e ^{ \frac{-1}{n} } 2. \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{n}-ln \frac{n+1}{n}...
 siabal  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com