szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Zbadać zbieżność szeregu z kryterium porównawczego. - zadanie 4
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{1+ \frac{1}{n} } }...
 ugabuga333  7
 która metoda do zbieżności tego szeregu?
Nie mogę sobie poradzić z tym przykładem: \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{(n+4)^n}{\sqrt{n^n}} czy użyć kryt. Cauchyego, czy d'Alemberta?...
 doolloress  4
 Badanie zbieżności szeregu - zadanie 25
Mam wielką prośbę dziś na egzaminie dostałem takie zadanie. Źle je zrobiłem. Na ustnym za 2 dni pewnie dostanę to samo do wyjaśnienia i omówienia więc proszę o pomoc. Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{3...
 piqll  17
 Promień zbieżności - zadanie 7
Obliczyć promień zbieżności: \(-1) ^{n} * \frac{x ^{2n} }{2 ^{n+1} }...
 alicior  2
 jakie zastosowac kryterium
Zbadaj zbieżność szeregu: a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n \sqrt{n+1} } } jakie kryterium najlepiej zastosować ?...
 17inferno  14
 Kryterium ilorazowe vs porównawcze
Witam, to znów ja z pytaniem o kryteria zbieżności. Jak należy wykazać, że kryterium ilorazowe jest słabsze od kryterium porównawczego ?...
 Miroslav  6
 Wyznacz przedziały zbieżności (obszar zbieżności)
Nie wiem co Pani na to poradzić....
 AnQua  11
 Badanie zbieżności szeregu - zadanie 12
Szereg wygląda następująco: \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{n^{2n}}{2n!} Obliczam stosując kryterium d`Alamberta: a_{n} = \frac{n^{2n}}{2n!} a_{n+1} = \frac{(n+1)^{2(n+...
 szymonber  1
 całka z kryterium porównawczego
Witam! Nie bardzo wiem jak sprawdzić zbieżność całki: \int_{1}^{+ \infty} \frac{e^{3x}}{e^{4x} - 5} z kryterium porównawczego. Ogólnie wiem, że znak funkcji to +. Ale nie udaje mi się znaleźć ograniczenia górnego, żeby f...
 kkk  3
 Używając kryterium porównawczego zbadać zbieżność
\sum_{n=1}^{ \infty } \tg \frac{1}{3^{n}} \sum_{n=1}^{ \infty } \sin ^{\frac{5}{4}} \frac{\pi}{n} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}} w zasadzie n...
 silvaran  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com