szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2007, o 23:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Zbieżność całki niewłaściwej I rodzaju- kryterium ilorazowe
Zbadaj zbieżność całki \int_{1}^{ \infty } \sin ^{2} \frac{1}{x} dx ?...
 Samlor  2
 zbadać zbieżność wybranych szeregów:
to pierwsze jest dobrze rozwiązane??...
 tomi140  5
 Szereg(kryterium ilorazowe)
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ n^{n} }{5^{n+1}n! } \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} }= \frac{n^{n+1} }{5^{(n+1)+1} \cdot (n+1)! } \cdot \frac{5^{n+1} \cdot n! }{ n^{n} } = \frac{n^{n+1} \cdot 5^{n+...
 rabbit  2
 Badanie zbieżności całki - czy dobrze robię?
Mam zbadać zbieżność takiej całki: \int_{0}^{ \infty } \frac{ \sqrt{x} }{ e^{x} } Korzystam najpierw, żeby było łatwiej, z kryterium porównawczego: \frac{ \sqrt{x} }{ e^{x} } \le \frac{ x}{ e^{x} }[/tex:...
 sirostr  2
 zbadać zbieżność szeregów - zadanie 24
Zbadać zbieżność następujących szeregów o wyrazach dodatnich: a) \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{ \frac{n}{n ^{4} +1} } Ja zrobiłam to tak: \lim_{n \to \infty } \sqrt{ \frac{n}{n ^{4} +1} }= \lim_{n \to \inft...
 tetra20  1
 odejmowanie szeregów
dzień dobry chciałem zapytać jak odjąć szergi \left( \frac{x}{2} \right)^{n} - \left( \frac{x}{2} \right)^{n+1} chodzi mi o to (Pamiętaj o klamrach [/color:35yh2n...
 tomik7933  2
 zbieżność szeregów zespolonych - zadanie 6
Zbadać zbieżność szeregów a)\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (i2)^n}{2^n} b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4^n}{n^2( \pi +i)^n} Proszę o pomoc w rozwiązaniu, jakieś wskazówki...
 kasiulka93  1
 kryterium d'alemberta - zadanie 7
\sum_{ \infty }^{1} \frac{(n!) ^{2} \cdot 10^{n} }{(3n)!} badam kryterium d'alemberta \frac{(n+1)! ^{2} \cdot 10 ^{n+1} }{(3n+1)!} \cdot \frac{(3n)!}{(n!)...
 kkkkkk13916  4
 kryterium porównawcze/ilorazowe
Witam mam problem z takim zadaniem. Mam zbadac zbieżnośc całek niewłaściwych korzystając z kryterium ilorazowego bądź porównawczego: 1)\;\int\limits_{5}^{\infty}\;{{xdx}\over{\sqrt{x^5-3}}}\\ 2)\; \int\limits_{-\infty}^{-1}\;{{...
 pumbosza  5
 Wyznacz przedział zbieżności. - zadanie 2
Witam. Mam takie zadanie: Podać współczynniki,środek i wyznaczyć przedział zbieżności szeregu: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( 1-x\right) ^{n} }{n \sqrt{n} } Najpierw wyznaczę przedział zbieżności: [tex:2q0l...
 BarSlo  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com