szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2007, o 23:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Prawo przemienności szeregów
Czy ktoś mógłby mi podać przykład , gdy szereg , który nie jest bezwzględnie zbieżny, bo przegrupowaniu wyrazów zmienia sumę?...
 myszka9  3
 Badanie zbieżnosci szeregów i oliczanie sumy szeregu.
Kilka szeregów.. prosze o pomoc, jak by ktos mogl to niech wytlumaczy to. Chodzi mi o zastosowanie kryteriów: porównawczego, Cauchy'ego, Leibnitza i d'Alemberta. Fajnie gdyby ktos odpowiedzial dzisiaj - jutro kolokwium ...
 studencik  3
 Wyznacz przedziały zbieżności
Wyznaczyć przedziały zbieżnosci następujących szeregów potęgowych oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału: \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{n^{2} }{3n}(x-4)^{n} , \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{(x+1)^{2n}}{3^{2n}}[/tex:...
 Czingisham  7
 promień zbieżności szeregu Maclaurina...
Wyznacz promień zbieżności szeregu Maclaurina funkcji: f(x) = \sqrt{x+2}...
 raphel  0
 Zbadanie zbieżności szeregu - zadanie 5
Ma ktos pomysł na zbadanie zbieżności szeregu metodą porównawczą? \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{10^n-8} Zakładam, że szereg jest zbieżny, więc muszę porównywać 'z góry', czyli znależć coś większego od \fr...
 madzieq92  1
 obliczanie zbieżności szeregu - zadanie 2
Mam takie zadanie, mógłby ktoś pomóc? \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+(-1)^{n}} Jak na razie zrobiłam tylko tyle: \left|\sum_{n=2}^{ \infty } (-1)^{n} \frac{1}{n^{2}+&#...
 kaslina  1
 Zbieżność szeregów - zadanie 7
Zbadac zbieżność szeregów i znaleźć ich sumy a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n(n+1)} b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{(3n-2)(3n+1)} proszę o pokazanie na tych przykład...
 aina1000  4
 Wyznaczenie przedziału zbieżności szeregu potęgowego
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (2x+5)^{n} }{ 2^{n} \sqrt{ n^{3}+1 } }...
 nanaehl  1
 Uogólnione kryterium porównawcze.
Otóż mam taki przykład: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}} Muszę zbadać zbieżność tego szeregu korzystając z uogólnionego kryterium porównawczego. Z definicji wiem, że: \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n...
 dawido000  1
 Zbieżność szeregu (kryt. porównawcze)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-n+\log n^3} \le \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-n}...
 Viranis  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com