[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Dowód zbieżności szeregu
Na to, by szereg \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} był zbieżny, potrzeba i wystarcza, by zbieżne były szeregi \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} i \sum_{n=0}^{\infty} \beta_{n}[/tex:20z78h0d...
 husky11  2
 Szereg, kryterium ilorazowe
Zbadać zbieżność szeregu: \sum_{n=1}^{\infty} sin(2\pi \sqrt{n^2+1}) W argumencie sinusa sztucznie dodaję -2\pi n a następnie do kryterium ilorazowego dobieram ciąg 1/n. Dochodzę do ta...
 alkamid  4
 Zbieżność szeregów liczbowych.
Witam, Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego przykładu. Rozpisuje go za pomocą kryterium D'Alamberta i nie chce mi wyjść tak, aby ładnie się skróciło. \frac{(n+1)!}{n ^{2n} } Byłbym wdzięczny za rozpisanie te...
 ibefree  1
 Kryterium porównawcze - zadanie 3
Mam za zadanie zbadac zbieznosc szeregow stosujac kryterium porownawcze, ale nie za bardzo rozumiem w jaki sposob "oblicza sie" szereg ktory jest \leqslant od badanego szeregu. Jak by ktos mogl mi to wytlumaczy...
 Szalony_Ryszard  1
 Zbadać zbieżność szeregów - zadanie 41
1) \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sqrt{2}-1\right) 2) \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ \sqrt{e} }{n^2} 3) ...
 adambak  4
 Kryterium Leibnitza - sprawdzenie zbieżności bezwzglednej...
No to już poprawiam przykład, dostosowując go do Twoich standardów ścisłości. Mam nadzieję, że tym razem będzie dobrze. \frac1{n+1}>\frac1n, \frac1{n+1}>\frac{n+2}n\cdot\frac1{n+2}, p...
 matinf  14
 Zbadaj zbieżność szeregów - zadanie 17
Proszę o pomoc w zbadaniu zbieżności następujących szeregów: a) \sum_{n=1}^{\infty}= \frac{2^n+n}{5^n} Z kryterium Cauchy'ego mamy: \sqrt{\frac{2^n+n}{5^n}}= \frac{ \sqrt{2^n+n} }{ \sqrt{5^n} }= ...
 chrisss11  10
 Zbadać zbieżność szeregów. - zadanie 3
Hej. Mam do zrobienia parę przykładów z wyznaczania zbieżności szeregów. Czy mógłby ktoś mi podpowiedzieć jakie kryteria użyć do tych przykładów? 1.) \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{sinn ^{3} }{15 ^{n} } ...
 thomas00  7
 problem podczas obliczania zbieznosci ciagu
Witam! Chciałbym wiedzieć jak doszło do przekształcenia które jest podkreślone. \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{ ^2 \cdot 5^{n+1} \cdot (2n)! }{(2n+2)!(n!)^2 \cdot 5^n}= \underline{\frac{(n+1&#4...
 boboshaq  4
 Badanie zbieżności szeregu - zadanie 26
W temacie "Przykłady badania zbieżności szeregów" Jest taki przykład \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \ln n} w rozwiązani jest zastosowane kryterium kondensacyjne którego nie miałem. Czy mógłby mi ktoś napisać j...
 Aragenix  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com