szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Kryterium całkowe - zadanie 13
Tak. Całka jest zbieżna, to i szereg jest zbieżny....
 Tifulo  4
 przedział zbieżności szeregu potegowego
może jest to i łatwe, ale nie moge ruszyć;P \sum\limits_{n=1}^{\infty}(x^{2}-3x+1)^{n} Z góry dzięki i pozdr....
 Nochal  1
 Określić obszary zbieżności szeregu funkcyjnego.
Mam określić obszary zbieżności następującego szeregu funkcyjnego: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^{2}} Jakby to był szereg potęgowy to wiem jak się wtedy określa obszar zbieżności. Natomiast z czego trzeba ...
 1608  16
 zbadać zbieżność szeregów - zadanie 14
1.Zbadać zbieżność szeregów: a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{10 ^{n} }{n!} b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ln n} 2.Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregów: c) [tex:3ojp28hc...
 Crisis  11
 Znalezienie szeregów, na które działa tylko jedno kryterium
G.M Fichtenholz "Rachunek różniczkowy i całkowy. T.2" Potrzebny przykład masz na str. 238. ...
 kredka20  13
 Kryterium Abela
Tw.Jezeli \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} elementów przestrzeni Banacha X jest zbiezny, a ciąg b_{n} jest monotonicznym i ograniczonym ciągiem liczbowym, to szereg : \sum_{n=1}^{\infty...
 snoopy^^  1
 Zbadać zbieżność stosujący kryterium porównawcze.
Witam, proszę o pomoc z tymi szeregami, które należy zbadać poprzez kryterium porównawcze: 1) \sum_{n=1}^{\infty }\frac{sin\frac{5\pi}{ \sqrt{n} }}{n+2} 2) \sum_{n=1}^{\infty }tg^{2} \frac{ \sqrt{n} }{n+6}[...
 Noegrus  4
 obliczanie zbieżności szeregu
\sum_{n=1}^{ \infty }(\cos \frac{1}{n+1} - \cos \frac{1}{n}) Mogłabym prosić o jakieś wskazówki?...
 kaslina  3
 2 zadania z szeregów
1) Zbadać zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{n+2}{n+3} ) ^{n ^{2} } 2)Wyznaczyc promien zbieżności szeregu \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!) ^{2}x ^{n} }{(2n)!}[/tex:3fzz2...
 Darekstalowka  2
 Zbieżność szeregu - kr. porównawcze - jak oszacować
Czy na pewno? Zmniejszyłeś licznik, zmniejszyłeś też mianownik ułamka. Licznik zwiekszylem Skoro 2(n+3)! \le...
 machacz  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com