szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Wyznaczyć środek, promień zbieżności oraz obszar zbieżności
Wyznaczyć środek, promień zbieżności oraz obszar zbieżności szeregu: \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\ln n}{n 2^{n} } (x-3)^{n} Środek dla x=3 przy liczeniu promienia użyłem \\ R=\frac{1} {\lim_{n\...
 gobi12  17
 Kryterium Kummera
Witam, mam pewne wątpliwości dotyczące kryterium Kummera, a mianowicie: określmy sobie ciąg Kummera: K_n = b_n \frac{a_n}{a_n_+_1} - b_n_+_1 i ciąg d'Alemberta D_n = \frac{a_n_+_1}{a_n} niech ...
 Miroslav  0
 promień zbieżności szeregu potęgowego
Mam problem z obliczaniem promienia zbieżności. W ogóle nie wiem jak to się robi. Umiem jedynie rozwiązać te podstawowe, problemy są jednak kiedy choć o troszeczkę przykład się komplikuje. Tutaj są typy szeregów z którymi nie wiem co zrobić : [tex:w...
 corax  3
 Znajdź obszar zbieżności
Nie potrafię robić przykładów gdzie "n" jest w podstawie i wykładniku potęgi (jak poniżej) : \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4 ^{n} x ^{2n}}{n ^{3} } proszę więc o wytłumaczenie kolejnych kroków lub jakieś wskazówk...
 ruuudy16  2
 Sprawdzic zbieznosc szeregow.
Stosujac kryterium Cauchy'ego sprawdzic zbieznosc szeregow: a)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-5)^n}{(\sqrt{n})^n}} b)\sum_{n=1}^{\infty}\ln \frac{n^{2}+1}{n^2} c)\su...
 luke877  8
 Wyznacz przedział zbieżności szeregu
Wyznacz przedział zbieżności szeregu \sum_{n=0}^{\infty} = \frac{n+1}{3 ^{n} } (x-3) ^{n} Promień zbieżności wyszedł mi 3. t=x-3 teraz chce sprawdzić czy...
 mariusz689  3
 Zbieżność szereg - kryterium porównawcze. (2f)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n)}{n^{2}} Zgodnie z poleceniem mam zbadać zbieżność szeregu korzystając z kryterium porównawczego, ale jaki jest sens stosować to kryterium skoro widać, że: \lim_{n \t...
 hubertg  3
 Zbadać zbieżność szeregu z kryterium porównawczego. - zadanie 3
\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{\ln \frac{ n^{3} + 1 }{ n^{3} } }...
 ugabuga333  2
 okresl przedzial zbieznosci szeregu
\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n+1} }{ 2^{n}(n+1) } i znajdz jego sume. Nastepnie znajdz sume szeregu \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 1 }{ 2^{n}(n+1) } Dzieki z gory...
 tomasini  3
 zbieżności ciągów xn=(an,bn,cn)
Witam, mam problem z następującym zagadnieniem: Zbadać zbieżność ciągów i ewentualnie obliczyć ich granice: x_{n} = ( \frac{sin( \frac{n \pi }{2} )}{n} , \left( \frac{n+3}{n-7} \right) ^{n} )\\ x_{n} = &#40...
 Kowal1990  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com