szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2469
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Badanie zbieżności ciągu - zadanie 9
karolcia_23, to jedziemy : Napiszmy, co wiemy: Y_n= e^n 1_{ \left[ n^2, \infty \right) } \left( X_n \right) , n \in \NN \\ X_n \sim f_n \left( x \right) =1_{ \left[ 0, \infty \right)...
 karolcia_23  1
 Jakie kryterium tu przyłożyć ?
Witam, jakie kryterium mogę przyłożyć tutaj ? Należy zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{5} - 1)...
 matinf  1
 Zbieżność dwóch szeregów, ze wzorem na e
Cześć mam problem z dwoma przykładami. Pierwszy z nich to \left( \frac{3n}{4n-1} \right)^{2n-1}. Liczę to z Cauchy'ego, dochodzę do \left( 1+ \frac{1-n}{4n-1} \right)^{2- \frac{1}{n} }[/tex...
 jimmyp  1
 Całka - kryterium porównawcze
Mam zbadać zbieżność całki \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1} \mbox{d}x korzystając z kryterium porównawczego. Wiem, że całka ta jest zbieżna, jednak nie mogę znaleźć funkcji, która byłaby większa od tej podc...
 pawellogrd  8
 Zbieżność szeregów - zadanie 48
No domyślam się, że nie kryterium całkowe. Ale nie wiem z czym np ten pierwszy porównać....
 wiskitki  11
 koło zbieżności
Wyznaczyć koło ziezności szeregu: \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^n+i^n \right )(z-1+i)^n Jak wyznaczyć promień?...
 kalik  6
 suma wewnątrz przedziału zbieżności
Cześć. Mam taki szereg funkcyjny i nie mam pojęcia jak wyznaczyć sumę wewnątrz przedziału zbieżności. Czy mógłby mi ktoś tak dokładnie napisać jak to się robi bo przyszłym tyg mam egzamin i muszę się tego nauczyć. z góry dzięki za pomoc [tex:1lk74geq...
 wojteks90  3
 zbieżność szeregów - zadanie 82
proszę o jakieś wskazówki jak zbadać zbieżność takiego o to szeregu : \sin \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot \tg \frac{1}{ \sqrt{n} }...
 szumek1991  6
 Przedział zbieżności - zadanie 8
Jak znaleźć przedział zbieżności szeregu \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1} \cdot x^{2n-1}} {(2n-1) \cdot (2n-1)!} Wiem, że ma wyjść zbiór liczb rzeczywistych tylko nie wiem jak do tego dojś...
 Agniezcka  10
 obszar zbieżności, funkcja graniczna
wyznacz obszar zbieżności, funkcję graniczną i zbadaj charakter zbieżności ciągu funkcyjnego (f_n)_neN: f_n(x)= \frac{nx}{n^3+x^2}, neN....
 kaspa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com