[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregów
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregów a). \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(lnn)^n}{n^2} b). \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n)^3}{2^n} to mi wyszło [tex:2o...
 monpor7  1
 Zbieżność szeregów - zadanie 39
zbadać zbieżność (zbieżność bezwzględną) szeregu: \sum_{n=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{ln(n)}{n} \right) ^{n} ? Proszę o jakieś wskazówki....
 Edyta1010  0
 kryterium całkowe - zadanie 6
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność całki \int_{a}^{\infty }\frac{dx}{x^{p}} dla a,p>0...
 kalik  1
 12.2.2 kryterium porównawcze, zbieżność i suma szeregu
12.2.2 Używając kryterium porównawczego pokazać, że szereg jest zbieżny. Ile wynosi suma szeregu? \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n(n+2)^2} udowadniam tak \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n(n+2&#41...
 kawafis44  0
 Kryterium Cauchy'ego - zbadaj zbieżność szeregu
Witam, Mam zbadać zbieżność poniższego szeregu korzystając z kryterium Cauchy'ego: \sum_{1}^{\infty} \frac{2^{n}+3^{n}}{3^{n}+4^{n}} Dosyć mocno głowiłem się nad tym zadaniem i do niczego nie doszedłem. Jedyny wynik ja...
 gościnny gość  2
 Zbadaj zbieżność szeregów - zadanie 37
Zbadaj zbieżność szeregów: a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{ \sqrt{n+1}} }{3^{ \sqrt{n} } } Proszę o sugestie i rozwiązania. Prób...
 madzieq92  6
 Zbieżność szeregów - zadanie 19
Witam, potrzebuję pomocy z takimi szeregami, nie wiem jak kombinowac: \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}sin \frac{2}{n}tg \frac{5}{n} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n ^{3} + 4 } -n Ponadto próbowałem...
 proz4c  10
 zbieżność szeregów kryterium d'Alemberta
Witam! Musiałam obliczyć następujące zadanie: Stosując kryterium d'Alemberta zbadaj zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 10^{n} }{n!} Moje rozwiązanie wygląda tak: \lim_{ n\to \infty } \frac{ \...
 akasza666  1
 zbieznosc szeregow i ciagow
1. zbadaj zbieznosc szeregu \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1+(-1)^n}{ \sqrt{n^p(n+2009)} } w zaleznosci od parametru p>0 2. zbadaj zbieznosc szeregu \sum_{n=1}^{+...
 kriegor  9
 Zbadać zasięg i dziedzinę zbieżności
Znajdź zasięg i dziedzinę zbieżności : \sum_{n=1}^{ } \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{n^{2}+3n} (x-2)^{n} Policzyłem...
 elzabbul  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com