szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2007, o 23:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 D'Alemberta kryterium, promień zbieżności szeregu potęgowego
Muszę obliczyć promień zbieżności szeregu: \sum_{n=1}^{\infty}n!x^{2^{n}} Zastosowałem kryterium d'Alemberta i od pewnego momentu nie wiem co zrobić dalej: \lim_{n\rightarrow\infty}\left | \frac{\left (...
 kissirius  4
 potega przy x a promien i przedzial zbieznosci szeregu
dany jest szereg: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n}{(x-1)}^{(2n+2)}, obliczyc jego promien i przedzial zbieznosci. o ile policzenie powyzszych dla szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n}{&#...
 seled  2
 Zbadaj zbieżność szeregów - zadanie 39
Pytania z mojego ostatniego egzaminu. 9 mam poprawkę i jestem w kropce. Zbada zbieżność szeregów. Napisz twierdzenia jakie należy wykorzystać przy badaniu zbieżności. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1) ^{n} }{n ^{10} } \cdot[/tex:1...
 hania_  1
 obszar zbieżności szeregu - zadanie 5
Wyznaczyć obszary zbieżności szeregów: Proszę o sprawdzenie: c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(x+2) ^{n} } Biorę dowolne kryterium do zbadania zbieżności: \sqrt{\left| \frac{1}{n(x+2&#41...
 bambusa1  2
 Sz. Maclaurina i obszar zbieżności
- \frac{x}{(x-1)^{2}} =- \frac{x-1+1}{(x-1)^{2}} =......
 Asentinn  2
 Z definicji zbadać zbieżność szeregów oraz pytanie
Witam. Próbuję rozwiązać pracę domową, ale nie rozumiem co to znaczy "z definicji zbadać zbieżność szeregów". Z definicji to znaczy z jakiej definicji? Podejrzewam, że chodzi o: \lim_{n\to \infty} S_{n} = S \Rightarrow \s...
 xxxtaruoxxx  17
 Badanie zbiezności
\sum_ {n=1} n ^{2}sin \frac{2}{n}tg \frac{5}{n} Jak zbadać zbieżność takiego szeregu?...
 sarah89  9
 współczynniki szeregów Fouriera
Witam serdecznie, Mam takie zadanie: Znaleźć współczynniki szeregu Fouriera dla dowolnego n=0,1,2,3 ... f(x)= \begin{cases} 1 dla - \pi \le x<0 \\ -1 dla 0 \le x< \pi \end{cases} Będę bardzo wdzięczna za wsze...
 mariola_stud  1
 promień zbieżności
Dzisiaj dostałem takie zadanko: Wyznaczyć promień zbieżności szeregu: \sum_{n=0}^{ } \frac{2^{n} ...
 ggx  4
 Zbadać zbieżność szeregów - zadanie 55
Wyraz ogólny równoważny jest temu \left( \frac{n( \sqrt{3} -1)}{n}\right)^ \alpha Następnie rozbijamy na {3} -1)]^ \alpha \cdot \frac{1}{n^ \alpha }[/tex:...
 matinf  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com