[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Wydzielono z: Wyznaczanie sumy szeregów
\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n}{2 ^{n} } (wsk.Zastosować wzór \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2 ^{k} }=2- \frac{2+n}{2 ^{n} } \right)) Skąd pojawił się ten wzór obok jako wskazówka. I co mi ...
 netsprint  1
 Oblicz sumy podanych szeregów
Oblicz sumy podanych szeregow: \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{3} mam rozwiaznie : q= \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } < 1 S= \frac...
 Cieniu  1
 Warunek konieczny zbieżności.
Bo ciąg argumentów sinusa zmierza do zera, skąd i sinusy zmierzają do zera....
 ugabuga333  12
 jeszcze trochę szeregów
\left.\sum_{n=1}^{\infty}\right.(-1)^{n}\frac{ln n}{n} \left.\sum_{n=1}^{\infty}\right. ln\frac{n^{2}+1}{n^{2}} edit: oczywiście zbadać zbieżnosć szeregów ...
 x_x_x  1
 Przestrzeń szeregów absolutnie zbieżnych
Udowodnić, że przestrzeń szeregów absolutnie zbieżnych \ell_{1}:=\{x=(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}:\parallel x\parallel_{1}:=\sum_{n=0}^{\infty}\left| x\right|_{n}<\infty\} z normą \parallel \cdot\para...
 Wojtolino  1
 Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność
Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregów: a). \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^n+4^n}{5^n}...
 monpor7  1
 Szeregi, badanie zbieżności
Mam takie oto szeregi: 1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n} Z kryterium porównawczego wyszło mi że jest rozbieżny, dobrze ? 2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln^{2}n} a na ten ...
 prawyakapit  10
 12.2.5 kryterium porównawcze, zbieżność szeregu, suma
12.2.5 Z kryterium porównawczego pokazać, że szereg jest zbieżny. Ile wynosi jego suma? \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}sin\frac{1}{n} pozdrawiam!...
 kawafis44  3
 Kryterium stopniowe zbieżności szeregów
W tym miejscu udowodnimy wygodne twierdzenie pozwalające efektywnie badać zbieżność szeregów wyrażeń wymiernych, będących ilorazem wielomianów (także i rozszerzonym o wykładniki rzeczywiste). Istota kryterium polega na wyznaczeniu stopnia wyrażenia i...
 JakimPL  3
 wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(x-1)^{n}}{2n+3} jak sie za to zabrac? to ejst szereg potegowy? zrobic podstawienie t=x-1? i co dalej jesli tak...
 efsien  62
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com