szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2007, o 23:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2469
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 dzisiejsze byc! granice,ciagłość,badanie zbieznosci
Bardzo proszę kogokolwiek dobroczynnego o rozwiazanie tych zadanek tylko nie samo rozwiazanie(lub chociaz po 1-2 przyklad`ow z kazdego) od tego zalezy moje jutrzejsze byc albo nie byc...rozwiazania moga byc zamieszczone tu lub mailowo na ...
 lizunia88  2
 12.6 kryterium Couchy'ego
12.6 Przy pomocy Root Test (kryterium Couchy'ego) sprawdź, czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. 1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{2^n} 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{12}}{6^n} 3 [tex:8wytj126...
 kawafis44  4
 badanie zbieżności - zadanie 2
Wyznacz obszar zbieżności i sprawdz czy ciąg jest zbieżny jednostajnie do danej granicy punktowej. f _{n}(x)= \sqrt{x ^{2}+ \frac{1}{n} } , f _{n} :R \rightarrow R...
 ZychFryd  1
 Jak rozpoznawać z jakiego kryterium korzystać przy badaniu s
Jak rozpoznawać z jakiego kryterium korzystać przy badaniu szeregów liczbowych??;)...
 FF  2
 kryterium d'Alemberta - zadanie 2
Mam dany szereg: \sum_{n=1}^{ \infty }= \frac{3^{n}}{n^{2}} korzystając z tw. d'Alemberta, licząc granicę dochodzę do momentu gdzie wychodzi mi : \frac{3 \cdot n^{2}}{n^{2}+2n+1}= \frac{3n^{2}}{n^{2}(...
 anika91  2
 Problem ze znalezieniem sumy szeregu oraz zbieżności szeregu
Witam serdecznie Mam problem z obliczeniem dwóch zadań na egzamin, a mianowicie: 1) Wyznacz sumę szeregu: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} 2) Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n...
 Bialy  1
 obszary zbieznosci szeregow
mam problem z zadankiem typu: wyznaczyc obszary zbieznosci nastepujacych szeregow funkcyjnych: 1.\bigsum_{n=1}^{\infty}(1-x^2)^n 2.\bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{n^{3n}}x^n 3.[tex...
 Gugas  11
 Zbadanie zbieżności szeregu.
Mam problem z następującym szeregiem ; ) \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{ln^{2}(2n)}{n^{3} } W oczywisty sposób spełnia warunek podstawowy, więc próbowałem badać zbieżność kryterium porównawczym, ale niestety nie ...
 Sajkou  11
 promien zbieznosci - zadanie 3
\sum_{n=0}^{\infty} (-13)^{n} (x-\sqrt{3})^{2n}...
 rafalmistrz  4
 Kryterium porównawcze, całka niewłaściwa
Nie wiem jak wykazać zbieżność poniższej całki: \int_{- \infty}^{0} \frac{2^xdx}{x-1} Z góry chcę ją ograniczyć zerem, zaś z dołu próbowałem przez \frac{1}{x-1}, lecz wtedy wychodziła mi rozb...
 alkamid  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com