[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2007, o 00:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 promień i przedział zbieżności szeregów potegowych
Mam problem z dwoma szeregami potęgowymi a mianowicie nie wiem z jakiego kryterium wyznaczyć promienie by później przedział zbieżności 1.\sum_{n=1 }^{ \infty}(-1) ^{n} \frac{x ^{n} }{ \sqrt{n} } 2.\s...
 izak110  1
 Obliczanie sum szeregów - zadanie 2
Witam. Czy wytłumaczyłby mi ktoś jak obliczyć sumę następującego szeregu: \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n-1}{n!} Odpowiedź to 1, a ja niestety nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. ...
 as2731  9
 zbieżnośc punktowa i jednostajność szeregów
Witam, mam na zaliczenie takie zadanie. Łatwiejsze przykłady umiem zrobić ale tu mi jakoś nie wychodzi;/ Zbadać zbieżność punktową i jednostajną szeregu: 1. \sum_{n=1}^{ ...
 evelinka1987  2
 jeszcze dwie sumy szeregów
Obliczyć sumy szeregów: \sum_{n=1}^{\infty}= \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \sum_{n=1}^{\infty}= sin \frac{1}{n^2} }...
 kyjta  0
 Zbieżność szeregów i jedna definicja
Cześć, Mam takie zadanie: Co to znaczy, że \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}= +\infty (podaj definicję). i druga część: Czy szeregi są zbieżne? \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{ 3^{n} }{n!} [tex:1...
 Qóba  4
 Kryterium D'alamberta - problem poczatkujacego
Witam , mam problem z przykładem dot. kryterium D'alamberta . Domniemywam , ze jest on trywialny ale jak to się mówi , od czegoś trzeba zacząć . Prosiłbym o ukazanie prawidłowego rozwiązania tego przykładu abym mógł się na czymś wzorować rozwiązując ...
 Colenowaty  5
 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego
Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego: \sum_{n=0}^{ } (n-a^{n})z^{n}, gdzie a ...
 aniolek24  2
 zbieżność i sumy szeregów.
a możesz wytłumaczyc, skąd się bierze to e? :>...
 qwertyuiop91  10
 Granice ciągów, zbieżność szeregów
Witam! To mój pierwszy temat na tym forum i zarazem początki maty z prawdziwego zdarzenia Mam problem z tymi zada...
 supermario82  8
 zbadać zbieżność szeregów - zadanie 26
Hej wszystkim. Bardzo potrzebuję waszej pomocy w zamieszczonych niżej przykładach. Postaram się odwdzięczyć za okazaną pomoc przynajmniej plusikiem. Z góry wam dziękuje za jakiekolwiek wskazówki: 1. \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{tg^{2} \...
 piwowarczyk85  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com