szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2007, o 23:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2461
Lokalizacja: NRW
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów


  1. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Jeżeli \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n} oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest rozbieżny.
Dowód:
  1. Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać

    \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}\geqslant N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\right\Rightarrow \left(b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}\right)


    A więc dla n,m>N_{0} i n\geqslant m zachodzi nierówność:

    \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{k}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}

    Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny.
  2. Przypuśćmy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} jest zbieżny. Wtedy na mocy a) zbieżny jest szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.

\blacksquare

Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 3
Witam! Mam problem ze sprawdzeniem zbieżności jednego z szeregów (polecenie nakazuje, aby sprawdzić je z kryterium porównawczego): \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n} \cdot \sqrt{\sin \frac{3}{n+1} } Byłabym wdzięczna ...
 LunaRiddle  1
 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów - zadanie 2
Zbadać za pomocą kryterium porównawczego zbieżność szeregów: \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+\sin n}{n} i \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin \frac{1}{n ^{3} } pozdrawiam...
 mik3  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 8
Kryterium ilorazowe Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy [tex:6...
 Dasio11  0
 Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego Zakładamy, że wyrazy ciągu (a_{n}) są nieujemne.[list...
 bolo  0
 Szeregi. Zbieżność szeregów.
1. Definicja szeregu. Niech dany będzie ciąg {a_n}. Sumę a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q) oznaczamy przez \su...
 Tomasz Rużycki  0
 Zbadać zbieżność szeregu z kryterium porównawczego. - zadanie 5
\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{\ln \frac{ n^{3} + 1 }{ n^{3} } }...
 ugabuga333  5
 potega przy x a promien i przedzial zbieznosci szeregu
dany jest szereg: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n}{(x-1)}^{(2n+2)}, obliczyc jego promien i przedzial zbieznosci. o ile policzenie powyzszych dla szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n}{&#...
 seled  2
 Obliczyć przedział zbieżności szeregu
Dany jest szereg \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(x+2)^n}{n \cdot 4 ^{(n+1)} } Znaleźć przedział zbieżności szeregu....
 Gwynbleiddss  13
 Kryterium Kummera
Witam, mam pewne wątpliwości dotyczące kryterium Kummera, a mianowicie: określmy sobie ciąg Kummera: K_n = b_n \frac{a_n}{a_n_+_1} - b_n_+_1 i ciąg d'Alemberta D_n = \frac{a_n_+_1}{a_n} niech ...
 Miroslav  0
 zbieznosc szeregow - zadanie 73
zbadaj bezwzgledna zbieznosc: a) \sum_{k=1}^{ \infty } \left( \frac{\sin3^{k}}{3^{k}},\ \frac{k}{3^{k}} \right) = \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{\left( \sin3^{k}\right)^{2} +k^{2}} }{3^{k}} b) [t...
 17inferno  9
 Znaleźć przedział zbieżności szeregu z uwzględnieniem końców
\sum_{ n=1}^{\infty } \frac{n (x+3)^{n} }{( n^{3}+1) \cdot 2^{n} } Nie mam zupełnie pojęcia jaką metodą zbadać zbieżność tego szetegu oraz jak wyznaczyć jego końce. Jakieś sugestie?...
 gellard  1
 Znajdź obszar zbieżności
Nie potrafię robić przykładów gdzie "n" jest w podstawie i wykładniku potęgi (jak poniżej) : \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4 ^{n} x ^{2n}}{n ^{3} } proszę więc o wytłumaczenie kolejnych kroków lub jakieś wskazówk...
 ruuudy16  2
 Badanie zbiezności
\sum_ {n=1} n ^{2}sin \frac{2}{n}tg \frac{5}{n} Jak zbadać zbieżność takiego szeregu?...
 sarah89  9
 Zbieżność szeregów - zadanie 59
\sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n } \frac{n ^{2} }{4 ^{n} } Z Cauchy`ego wychodzi + \infty czyli rozbieżny ale jak sprawdzam kryterium Leibnitza to wychodz symbol nieoznaczony [tex:141d9...
 nesz  5
 Zbieżność szereg - kryterium porównawcze. (2f)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n)}{n^{2}} Zgodnie z poleceniem mam zbadać zbieżność szeregu korzystając z kryterium porównawczego, ale jaki jest sens stosować to kryterium skoro widać, że: \lim_{n \t...
 hubertg  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com