szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 12:44 
Gość Specjalny

Posty: 8540
Lokalizacja: Kraków
Przez ułamki proste (odpowiednio I i II rodzaju) rozumiemy następujące wyrażenia:

\frac{A}{(ax+b)^k}, \quad \frac{Bx+C}{(cx^2 + dx+e)^p}

gdzie x jest zmienną, zaś pozostałe oznaczenia odnoszą się do stałych, przy czym k i p to liczby naturalne. Dodatkowo wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, tzn. d^2 - 4ec <  0 [1].

Umiejętność rozkładania wyrażeń wymiernych na sumę ułamków prostych jest kluczowa w wielu zagadnieniach analizy matematycznej, m.in. przy całkowaniu funkcji wymiernych, badaniu zbieżności szeregów lub obliczania ich sumy czy też przy obliczaniu odwrotnej transformaty Laplace'a.

Ogólny algorytm rozkładania wyrażenia wymiernego na sumę ułamków prostych przedstawimy na następujących przykładzach.





1. Oblicz całkę
I = \int \frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \, \mbox d x


Pierwiastków wielomianu z mianownika szukamy w postaci dzielników wyrazu wolnego, czyli -6. Widzimy, że 1 jest pierwiastkiem, zatem możemy dalej zapisać:

$\begin{align*} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 &= (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x^2 - 3x - 2x + 6) \\
& = (x-1)(x-2)(x-3) \end{align*} $

Zatem w rozkładzie funkcji podcałkowej na ułamki proste, występować będą tylko ułamki I rodzaju.

\frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}

Zakładamy, że (x-1)(x-2)(x-3) \neq 0 i mnożymy przez to wyrażenie obustronnie powyższą tożsamość

6 - 4x \equiv A (x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C (x-1)(x-2) \quad (1)

Wymnażamy wyrażenia po prawej i porządkujemy wyrazy

6 - 4x \equiv (A+B+C)x^2 + (-5A -4B - 3C) x + (6A + 3 B + 2 C)

Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x po obu stronach tożsamości otrzymamy układ trzech równań liniowych.

\begin{cases} \phantom{-}0 & = A+B+C \\
-4 &= -5A - 4B - 3C \\
\phantom{-}6 &= 6A + 3 B + 2 C\end{cases}

Czytelnik może spróbować rozwiązać ten układ znanymi sobie metodami, jednak do wyznaczenia stałych A, B, C możemy posłużyć się innym rozumowaniem. Otóż podstawmy do równania (1) kolejno x=1, \; x=2, \; x=3, co da nam:

\begin{cases} 2 & = 2A \\ -2 & = -B \\ -6 &= 2C \end{cases}

Zatem:
\frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3}

Rozwiązaniem zadania jest rodzina funkcji:

I = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3} \right) \, \mbox d x = \ln |x+1| + 2 \ln |x-2|  - 3 \ln |x-3| +C


2. Oblicz całkę
I  = \int \frac{\mbox d x}{4 + x^4}


Wydawać by się mogło, że funkcja podcałkowa jest już ułamkiem prostym - wielomian z mianownika nie ma pierwiastków rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Spoglądając na to jak zostały przez nas zdefiniowane ułamki proste widzimy, że wielomian x^4 + 4 powinien dać się rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia. Istotnie, posłużmy się wzorami skróconego mnożenia by zapisać:

x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = \left[ (x^2 + 2) - 2 x \right] \cdot \left[ (x^2 + 2) + 2 x \right]

Rozkład na ułamki proste będzie miał postać:

\frac{1}{4 + x^4} \equiv \frac{A x + B}{x^2 - 2x + 2} + \frac{C x + D}{x^2 + 2x + 2}

Mnożymy tożsamość obustronnie przez 4+x^4 oraz porządkujemy wyrażenia:

1 \equiv (A + C)x^3 + (2A + B - 2 C + D) x^2 + 2(A + B  + C - D)x + 2(B+D)

jest to równoważne następującemu układowi równań

\begin{cases} A + C & = 0 \\ 2A + B - 2 C + D &= 0 \\ 2(A + B  + C - D) & = 0 \\ 2B + 2D & = 1 \end{cases}

Układ ten można uprościć. Z pierwszego równania wyznaczamy A = - C, z ostatniego zaś B = \tfrac{1}{2} - D. Wstawiamy te zależności do drugiego i trzeciego równania otrzymując

\begin{cases} -2 C + \frac{1}{2} - D - 2C + D & = 0 \\ 2 \left( -C + \frac{1}{2} - D + C - D \right) & = 0  \end{cases}

Od razu możemy odczytać, że C = \frac{1}{8} = - A oraz D = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - B. Pozwala to nam zapisać całkę w następującej postaci:

I = \int \left( \frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} + \frac{ \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 + 2x + 2} \right) \, \mbox d x

W tym miejscu zwróćmy uwagę na to, że ułamki proste II rodzaju nie są w ogólności wygodne do całkowania. Jest na to jednak sposób - należy tak przekształcić licznik by znalazła się w nich pochodna trójmianu kwadratowego (z dokładnością do stałej multiplikatywnej) z mianownika plus ,,reszta''. By lepiej zobrazować tę ideę, posłużymy się przykładem.

\frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2}

Pochodna trójmianu z mianownika to (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2, możemy to dalej przekształcić:

$ \begin{align*} 2x - 2 &= - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \right) \\
& = - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right)\\
& = -16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} \right) + 2\end{align*} $

W ten sposób otrzymamy:

\frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} = \frac{ - \frac{1}{16} \left[ (2x-2) - 2 \right] }{x^2 - 2x + 2} = -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{x^2 - 2x +2}

Dodatkowo trójmian kwadratowy w drugim ułamku zapiszmy w postaci kanonicznej: x^2 - 2x +2 = (x-1)^2 + 1.
Postępując analogicznie z drugim ułamkiem prostym powstałym w wyniku rozkładu funkcji podcałkowej z I otrzymamy:

I = \int \left( -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x-1)^2 + 1} + \frac{1}{16} \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{x^2 + 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x+1)^2 + 1}  \right) \, \mbox d x

Korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie otrzymamy:

I = - \frac{1}{16} \ln | x^2  - 2 x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x-1) + \frac{1}{16} \ln | x^2 + 2x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x+1) + C



3. Oblicz sumy następujących szeregów:

S_1 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)}, \quad S_2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2}


Rozkładu na ułamki proste dokonamy przez przekształcenia elementarne:

$\begin{align*} S_1 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n + 1 - n}{n (n+1)} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$


$\begin{align*} S_2 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(n + 1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$



4. Oblicz odwrotną transformatę Laplace'a z: [2]

F(s) = \frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s}


Oczywistym pierwiastkiem mianownika jest s=0. Kolejnych pierwiastków szukamy przez sprawdzanie czy któryś z dzielników liczby 3 nie jest pierwiastkiem. Okazuje się, że s=-3 jest pierwiastkiem. Stąd:

s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s = s(s^3 + 4s^2 + 4s+ 3) = s (s+3)(s^2 + s + 1)

Rozkład na sumę ułamków prostych ma postać:

\frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s} \equiv \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 3} + \frac{D s + E}{s^2 + s + 1}

Tożsamość mnożymy obustronnie przez s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s i porządkujemy wyrazy:

s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1 \equiv (A + B + C)s^3 + (4A + B + 3 C +D)s^2 + (4A + B + 3 D) s +  3A

Jest to równoważne następującemu układowi równań:

\begin{cases} A + B + C & = 1 \\ 4A + B + 3 C +D & = 6 \\ 4A + B + 3 D & = 15 \\ 3A & = 1
\end{cases}

Z ostatniego równania mamy od razu A = \tfrac{1}{3}, co w połączeniu z pierwszym daje: B = \tfrac{2}{3} - C. Możemy zatem przepisać drugie i trzecie równanie:

\begin{cases} \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3C + D & = 6 \\
\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3 D & = 15 \end{cases}

Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład na sumę ułamków prostych:

\frac{1}{3} \frac{1}{s} + \frac{17}{21} \frac{1}{s+3} + \frac{1}{7} \frac{30 - s}{s^2 + s + 1}

Transformaty odwrotne dwóch pierwszych ułamków możemy zapisać od razu:

$ \begin{align*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s} \right\}  & = u(t) \\
\mathcal{L}^{-1} \left\{  \frac{1}{s+3} \right\} & = e^{-3t} \cdot u(t) \end{align*}

Przez u oznaczyliśmy funkcję skoku jednostkowego. Ostatni ułamek, jako ułamek prosty, nie jest najbardziej praktycznym wyborem. W tym celu doprowadzimy go do następującej postaci:

\frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = \frac{30 - s}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} \equiv A \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + B \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}

Taka postać ułamków pozwoli od razu zapisać transformatę odwrotną jako funkcje sinus i kosinus przesunięte w dziedzie s. Prosty rachunek daje odpowiedź w postaci:

G(s) = \frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = - \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + \frac{61}{\sqrt{3}} \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}

Stąd zaś:

\mathcal{L}^{-1} \left\{ G(s) \right\} = - e^{-t/2} \cos \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t) + \frac{61}{\sqrt{3}} e^{-t/2} \sin \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t)

W celu zakończenia zadania należy połączyć ze sobą wyniki kolejnych etapów rozwiązania.



5. Przykłady z Forum, z rozwiązaniami:



Wszelkie komentarze odnośnie tego postu proszę kierować na Obrazek

Źródła:
1. W. Krysicki, L. Włodarski, ,,Analiza matematyczna w zadaniacz, cz. I'', wydanie XXV
2. Arasis, Odwrotna transformata Laplace'a, 298053.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkład LU macierzy- szukanie wyznacznika macierzy
Rozkład LU macierzy- szukanie wyznacznika Rozkład LU macierzy w bardzo łatwy sposób daje nam możliwość policzenia wyznaczni...
 miodzio1988  0
 Wielomian-rozkład na czynniki
Rozłóż wielomian W&#40;x&#41;=x^{4}-7x^{2}+12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu....
 number23wp  1
 Rozkład dwumianowy - zadanie 10
Przy stole jest F osób. Na koniec posiłku podają sobie oni po kolei talerz, na którym jest C ciastek czekoladowych i D maślanych. Ciastek maślanych jest zawsze więcej niż osób (D&gt;F), liczba ciastek czekoladowych zależy od dnia. Każda z osób bierze...
 jacuch93  0
 Pytanie do wzoru i przykłady z Kompendium
Czy we wzorze na kapitalizację odsetek nie powinno być, że b oznacza ilość okresów kapitalizacji w roku? Następnie w przykładzie 2, czy nie powinno być 6000 \cdot &#40;1+ \frac{p}{6 \cdot 100} &#41;^{6 \cdo...
 Ania221  3
 proste równoległe - zadanie 6
Mam pytanie w związku z zadaniem w piątej klasie szkoły podstawowej. Mianowicie: w zadaniu znajdowały się proste i odcinki różnie względem siebie położone. Polecenie brzmiało: &quot;Wypisz proste równoległe&quot;. Czy w tym wypadku wypisanie wszystk...
 kolezankaa  3
 Rozkład dwumianowy i Poissona - wyprowadzenie
Ups cały czas mam na myśli rozkład dwumianowy ,przepraszam już poprawiłem ...
 Beyo  6
 Wyrażenia Wymierne - Przykłady - zadanie 2
Witam! Czy ktos mógłby mi pomóc rozwiązac lub naprowadzić jak wykonać te przykłady: a) \frac{x ^{2}+5x+6 }{x ^{2}-7x+12 } \frac{&#40;x-4}{&#40...
 Człeń  5
 Prawdopodobieństwo i rozkład normalny
Super, wielkie dzięki....
 aleksandra1232  4
 metoda największej wiarygonosci - rozkład geometryczny
Wyznaczyc estymator największej wiarygodności parametru p w rozkładzie geometrycznym, mając do dyspozycji próbkę prostą k _{1},...,k _{n} pochodna funkcji wiarygodności mi wychodzi: [tex:ty...
 fuqs  5
 Rozkład spektralny/biegunowy operatorów
Szukam rozwiązanych przykładów z rozkładem biegunowym(polarnym) i spektralnym operatorów. Mogą być też książki, oczywiście nie musi byc po polsku....
 arezz  0
 Rozkład i prawdopodobieństwo
X ma rozkład N(-2, 4). Prawdopodobieństwo P&#40;S_{6}>4&#41; wynosi ...? Rozwiązanie : P&#40;S_{6}^{2}>4^{2}=16&#41; standaryzujemy P&#40;Y_{5}>\frac{16\times{&#40;-2&#41;}...
 raV_P  6
 całka nieoznaczona - przykłady
Witam, mam problem z kilkoma całkami. Prosze o podpowiedz jak je rozwiązać. 7. \int \frac{x}{ e^{ x^{2} } }dx 9. \int \sqrt{x} \cdot arcsin\sqrt{x} dx 11. \int e^{x} \cdo...
 siwydym91  3
 rozkład Bernoulliego - zadanie 3
Mam problem z takim oto zadaniem: 1) Załóżmy, że prawdopodobieństwo zarażenia grypą wynosi 0,6. Rozważamy rozkład dwumianowy grypy w rodzinie sześcioosobowej. a) napisz funkcję opisującą rozkład prawdopodobieństwa b) przedstaw ten rozkład w postaci ...
 claudett  0
 rozkład kule i urny
Urna zawiera 2 kule czarne i 4 kule białe. Wylosowano 3 kule. Niech X będzie zmienną losową wyrażającą liczbę kul białych wśród wyloso...
 izabelka161  1
 Rozkład zmiennej losowej przy rzucie kostką
Rzucamy pięć razy kostką do gry. Zmienna losowa X oznacza ilość parzystych liczb wyrzuconych oczek. Podaj rozkład zmiennej X. Dziękuje za pomoc....
 Reamider  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com