szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 13:44 
Gość Specjalny

Posty: 8540
Lokalizacja: Kraków
Przez ułamki proste (odpowiednio I i II rodzaju) rozumiemy następujące wyrażenia:

\frac{A}{(ax+b)^k}, \quad \frac{Bx+C}{(cx^2 + dx+e)^p}

gdzie x jest zmienną, zaś pozostałe oznaczenia odnoszą się do stałych, przy czym k i p to liczby naturalne. Dodatkowo wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, tzn. d^2 - 4ec <  0 [1].

Umiejętność rozkładania wyrażeń wymiernych na sumę ułamków prostych jest kluczowa w wielu zagadnieniach analizy matematycznej, m.in. przy całkowaniu funkcji wymiernych, badaniu zbieżności szeregów lub obliczania ich sumy czy też przy obliczaniu odwrotnej transformaty Laplace'a.

Ogólny algorytm rozkładania wyrażenia wymiernego na sumę ułamków prostych przedstawimy na następujących przykładzach.





1. Oblicz całkę
I = \int \frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \, \mbox d x


Pierwiastków wielomianu z mianownika szukamy w postaci dzielników wyrazu wolnego, czyli -6. Widzimy, że 1 jest pierwiastkiem, zatem możemy dalej zapisać:

$\begin{align*} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 &= (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x^2 - 3x - 2x + 6) \\
& = (x-1)(x-2)(x-3) \end{align*} $

Zatem w rozkładzie funkcji podcałkowej na ułamki proste, występować będą tylko ułamki I rodzaju.

\frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}

Zakładamy, że (x-1)(x-2)(x-3) \neq 0 i mnożymy przez to wyrażenie obustronnie powyższą tożsamość

6 - 4x \equiv A (x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C (x-1)(x-2) \quad (1)

Wymnażamy wyrażenia po prawej i porządkujemy wyrazy

6 - 4x \equiv (A+B+C)x^2 + (-5A -4B - 3C) x + (6A + 3 B + 2 C)

Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x po obu stronach tożsamości otrzymamy układ trzech równań liniowych.

\begin{cases} \phantom{-}0 & = A+B+C \\
-4 &= -5A - 4B - 3C \\
\phantom{-}6 &= 6A + 3 B + 2 C\end{cases}

Czytelnik może spróbować rozwiązać ten układ znanymi sobie metodami, jednak do wyznaczenia stałych A, B, C możemy posłużyć się innym rozumowaniem. Otóż podstawmy do równania (1) kolejno x=1, \; x=2, \; x=3, co da nam:

\begin{cases} 2 & = 2A \\ -2 & = -B \\ -6 &= 2C \end{cases}

Zatem:
\frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3}

Rozwiązaniem zadania jest rodzina funkcji:

I = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3} \right) \, \mbox d x = \ln |x+1| + 2 \ln |x-2|  - 3 \ln |x-3| +C


2. Oblicz całkę
I  = \int \frac{\mbox d x}{4 + x^4}


Wydawać by się mogło, że funkcja podcałkowa jest już ułamkiem prostym - wielomian z mianownika nie ma pierwiastków rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Spoglądając na to jak zostały przez nas zdefiniowane ułamki proste widzimy, że wielomian x^4 + 4 powinien dać się rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia. Istotnie, posłużmy się wzorami skróconego mnożenia by zapisać:

x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = \left[ (x^2 + 2) - 2 x \right] \cdot \left[ (x^2 + 2) + 2 x \right]

Rozkład na ułamki proste będzie miał postać:

\frac{1}{4 + x^4} \equiv \frac{A x + B}{x^2 - 2x + 2} + \frac{C x + D}{x^2 + 2x + 2}

Mnożymy tożsamość obustronnie przez 4+x^4 oraz porządkujemy wyrażenia:

1 \equiv (A + C)x^3 + (2A + B - 2 C + D) x^2 + 2(A + B  + C - D)x + 2(B+D)

jest to równoważne następującemu układowi równań

\begin{cases} A + C & = 0 \\ 2A + B - 2 C + D &= 0 \\ 2(A + B  + C - D) & = 0 \\ 2B + 2D & = 1 \end{cases}

Układ ten można uprościć. Z pierwszego równania wyznaczamy A = - C, z ostatniego zaś B = \tfrac{1}{2} - D. Wstawiamy te zależności do drugiego i trzeciego równania otrzymując

\begin{cases} -2 C + \frac{1}{2} - D - 2C + D & = 0 \\ 2 \left( -C + \frac{1}{2} - D + C - D \right) & = 0  \end{cases}

Od razu możemy odczytać, że C = \frac{1}{8} = - A oraz D = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - B. Pozwala to nam zapisać całkę w następującej postaci:

I = \int \left( \frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} + \frac{ \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 + 2x + 2} \right) \, \mbox d x

W tym miejscu zwróćmy uwagę na to, że ułamki proste II rodzaju nie są w ogólności wygodne do całkowania. Jest na to jednak sposób - należy tak przekształcić licznik by znalazła się w nich pochodna trójmianu kwadratowego (z dokładnością do stałej multiplikatywnej) z mianownika plus ,,reszta''. By lepiej zobrazować tę ideę, posłużymy się przykładem.

\frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2}

Pochodna trójmianu z mianownika to (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2, możemy to dalej przekształcić:

$ \begin{align*} 2x - 2 &= - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \right) \\
& = - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right)\\
& = -16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} \right) + 2\end{align*} $

W ten sposób otrzymamy:

\frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} = \frac{ - \frac{1}{16} \left[ (2x-2) - 2 \right] }{x^2 - 2x + 2} = -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{x^2 - 2x +2}

Dodatkowo trójmian kwadratowy w drugim ułamku zapiszmy w postaci kanonicznej: x^2 - 2x +2 = (x-1)^2 + 1.
Postępując analogicznie z drugim ułamkiem prostym powstałym w wyniku rozkładu funkcji podcałkowej z I otrzymamy:

I = \int \left( -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x-1)^2 + 1} + \frac{1}{16} \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{x^2 + 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x+1)^2 + 1}  \right) \, \mbox d x

Korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie otrzymamy:

I = - \frac{1}{16} \ln | x^2  - 2 x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x-1) + \frac{1}{16} \ln | x^2 + 2x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x+1) + C



3. Oblicz sumy następujących szeregów:

S_1 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)}, \quad S_2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2}


Rozkładu na ułamki proste dokonamy przez przekształcenia elementarne:

$\begin{align*} S_1 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n + 1 - n}{n (n+1)} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$


$\begin{align*} S_2 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(n + 1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$



4. Oblicz odwrotną transformatę Laplace'a z: [2]

F(s) = \frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s}


Oczywistym pierwiastkiem mianownika jest s=0. Kolejnych pierwiastków szukamy przez sprawdzanie czy któryś z dzielników liczby 3 nie jest pierwiastkiem. Okazuje się, że s=-3 jest pierwiastkiem. Stąd:

s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s = s(s^3 + 4s^2 + 4s+ 3) = s (s+3)(s^2 + s + 1)

Rozkład na sumę ułamków prostych ma postać:

\frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s} \equiv \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 3} + \frac{D s + E}{s^2 + s + 1}

Tożsamość mnożymy obustronnie przez s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s i porządkujemy wyrazy:

s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1 \equiv (A + B + C)s^3 + (4A + B + 3 C +D)s^2 + (4A + B + 3 D) s +  3A

Jest to równoważne następującemu układowi równań:

\begin{cases} A + B + C & = 1 \\ 4A + B + 3 C +D & = 6 \\ 4A + B + 3 D & = 15 \\ 3A & = 1
\end{cases}

Z ostatniego równania mamy od razu A = \tfrac{1}{3}, co w połączeniu z pierwszym daje: B = \tfrac{2}{3} - C. Możemy zatem przepisać drugie i trzecie równanie:

\begin{cases} \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3C + D & = 6 \\
\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3 D & = 15 \end{cases}

Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład na sumę ułamków prostych:

\frac{1}{3} \frac{1}{s} + \frac{17}{21} \frac{1}{s+3} + \frac{1}{7} \frac{30 - s}{s^2 + s + 1}

Transformaty odwrotne dwóch pierwszych ułamków możemy zapisać od razu:

$ \begin{align*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s} \right\}  & = u(t) \\
\mathcal{L}^{-1} \left\{  \frac{1}{s+3} \right\} & = e^{-3t} \cdot u(t) \end{align*}

Przez u oznaczyliśmy funkcję skoku jednostkowego. Ostatni ułamek, jako ułamek prosty, nie jest najbardziej praktycznym wyborem. W tym celu doprowadzimy go do następującej postaci:

\frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = \frac{30 - s}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} \equiv A \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + B \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}

Taka postać ułamków pozwoli od razu zapisać transformatę odwrotną jako funkcje sinus i kosinus przesunięte w dziedzie s. Prosty rachunek daje odpowiedź w postaci:

G(s) = \frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = - \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + \frac{61}{\sqrt{3}} \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}

Stąd zaś:

\mathcal{L}^{-1} \left\{ G(s) \right\} = - e^{-t/2} \cos \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t) + \frac{61}{\sqrt{3}} e^{-t/2} \sin \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t)

W celu zakończenia zadania należy połączyć ze sobą wyniki kolejnych etapów rozwiązania.



5. Przykłady z Forum, z rozwiązaniami:



Wszelkie komentarze odnośnie tego postu proszę kierować na Obrazek

Źródła:
1. W. Krysicki, L. Włodarski, ,,Analiza matematyczna w zadaniacz, cz. I'', wydanie XXV
2. Arasis, Odwrotna transformata Laplace'a, 298053.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkład LU macierzy- szukanie wyznacznika macierzy
Rozkład LU macierzy- szukanie wyznacznika Rozkład LU macierzy w bardzo łatwy sposób daje nam możliwość policzenia wyznaczni...
 miodzio1988  0
 Wielomian-rozkład na czynniki
Rozłóż wielomian W&#40;x&#41;=x^{4}-7x^{2}+12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu....
 number23wp  1
 pkt przeciecia prostych, proste prostopadle
witam, mam problem z zadaniem, mam nadzieje, ze ktos bedzie w stanie mi pomoc kompletnie nie wiem, jak ruszyc podpunkt a). dane sa proste: L1: \frac{...
 friscovsky  1
 wykonać proste działanie
zaraz zwariuję przez te liczby zespolone! jakby jeszcze ktoś mógł rozpisać dokładnie po kolei co i jak, będę bardzo wdzięczna. &#40; - \sqrt{3} + i &#41; ^ {10}...
 akurat  3
 Rozkład dwumianowy - zadanie 6
X~B&#40;1000;0,6;k&#41;. Obliczyć P&#40;|X-610| \ge 20 zacząłem tak: {1000 \choose k} 0,6^{k} \cdot 0,4^{1000-k} P\left| x-610\right| \ge 20[/tex...
 iie  1
 Zabawa zbiorami , niby proste ale ..
Zadanie : Dana jest przestrzeń U - zbiór kwadratów liczb naturalnych mniejszych lub równych 10. Niech A zawarte w U będzie zbiorem liczb podzielnych przez 3 , natomiast zbiór B w rzestrzeni U , zbiorem liczb mniejszych od 50. Wyznacz zbiory A and B ...
 tomato  2
 Wyrażenia Wymierne - Przykłady - zadanie 2
Witam! Czy ktos mógłby mi pomóc rozwiązac lub naprowadzić jak wykonać te przykłady: a) \frac{x ^{2}+5x+6 }{x ^{2}-7x+12 } \frac{&#40;x-4}{&#40...
 Człeń  5
 Trzy proste przekształcenia.
a) (ab-a)(2ab+6a) b)a- c) x-(y-x)-(x-y)-x-(y-x)...
 Anonymous  4
 Rozkład i prawdopodobieństwo
X ma rozkład N(-2, 4). Prawdopodobieństwo P&#40;S_{6}>4&#41; wynosi ...? Rozwiązanie : P&#40;S_{6}^{2}>4^{2}=16&#41; standaryzujemy P&#40;Y_{5}>\frac{16\times{&#40;-2&#41;}...
 raV_P  6
 Dodać ułamki by wyszło 1.
Witam Mam pewien problem. Otóż mam do dyspozycji liczby od 1 do 9 (1-9). Muszę ułożyć z nich tak ułamki, by po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wyszło 1. Dodam, że tylko raz można użyć jedną liczbę. Ma to wyglądać tak: \frac{x}{x...
 miniuwa  2
 Proste działanie 3 różne wyniki (Wolfram Vs Google Vs Excel)
Witam, Mam proste działanie matematyczne zawiarające mnożenie, dzielenie, podnoszenei do potnegi oraz pierwiastkowanie. Licząc ręcznie otrzymuję pewien wynik wprowadzając równanie do wolframalpha otrzymuję inny wynik, Google i Excel podają tak isam...
 Mondo  4
 Ciągła zmienna losowa/ rozkład Poissona/prawdopodobieństwo
Witam. Proszę o pomoc w 3 zadankach. 1. Dana jest ciągła zmienna losowa X o gęstości: \left\{\begin{array}{ccc} 1, \ x \in \langle - \frac {1}{2} , 0&#41; \\ x, \ x \in \langle 0,1 \rangle \\ 0, w \ p...
 hihopek  5
 Rozkład Cauchy'ego
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Cauchy'ego.Znajdź funkcję charakterystyczna zmiennej losowej 2X=X+Y,gdzie Y=X.Wywnioskuj stąd,że istnieją zależne zmienn...
 majkamaja  0
 przykłady homomorfizmów
Proszę o podanie paru ciekawych przykładów homomorfizmów ...
 JakubCh  1
 rozkład na czynniki - zadanie 64
Cześć! Mam kłopot z rozkładem na czynniki wyrażenia: x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 Wiem, że da się rozłożyć na dwa kwadratowe, ale nie mogę poradzić sobie metodą grupowania, a miejsc zerowych to cudo nie ma ...
 kapec  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com