[ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2012, o 15:48 
Gość Specjalny

Posty: 8534
Lokalizacja: Kraków
Ortogonalizacja Grama-Schmidta


Zastosowanie metody przedstawimy na przykładach. Teorię można znaleźć w podręcznikach z algebry liniowej czy w internecie (np. http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Grama-Schmidta).

Spis przykładów



Przykład 1
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{R}^2 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako u_1, u_2 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1
\end{align*}$

Obliczamy iloczyny skalarne:
$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2
\end{align*}$

Nową bazę stanowią wektory:
u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \; u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}


Przykład 2
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczamy jako u_1, u_2, u_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor u_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 1 + 0 = 2
\end{align*}$

Zapisujemy wektor u_2:

u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = 0 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} =  \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor u_3:

u_3 =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix}

Następnie obliczamy normy wektorów u_{1,2,3}:

$\begin{align*}
\| u_1 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\
\| u_2 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-} 1 \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} =  \sqrt{ \frac{3}{2}} \\
\| u_3 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \phantom{-}\frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} } =  \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{align*}$

Bazę ortonormalną oznaczamy przez e_{1,2,3} i zapisujemy:

$\begin{align*}
e_1 & = \frac{u_1}{\|u_1\|}  = \frac{1}{ \sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
e_2 & = \frac{u_2}{\|u_2\|}  = \sqrt{ \frac{2}{3} } \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
e_3 & = \frac{u_3}{\|u_3\|}  = \frac{ \sqrt{3} }{2} \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
\end{align*}$




Przykład 3
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{C}^3 z iloczynem skalarnym a \cdot b = \sum a_i b_i^*. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako u_1, u_2, u_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor u_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1
\end{align*}$

Zapisujemy wektor u_2:

u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} - (-i) \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 - i + 0 = - i \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor u_3:

u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ i \end{pmatrix}




Przykład 4
Dane są wektory
f_1 (x) = 1, \; f_2 (x) = x, \; f_3 (x) = x^2

w przestrzeni funkcji ciągłych C^0 \big( [0, 1] \big) z iloczynem skalarnym

f \cdot  g = \int_0^1 x f(x) g(x) \, \mbox d x

Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako h_1, h_2, h_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
h_1 & = f_1 \\
h_2 & = f_2 - \frac{f_2 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 \\
h_3 & = f_3 - \frac{f_3 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 - \frac{f_3 \cdot h_2}{h_2 \cdot h_2} h_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor h_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
f_2 \cdot h_1 & = \int_0^1 x \cdot x \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{3} x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}  \\
h_1 \cdot h_1 &=  \int_0^1 x \cdot 1^2 \, \mbox d x = \frac{1}{2} x^2 \Big|_0^1 = \frac{1}{2} 
\end{align*}$

Zapisujemy wektor h_2:

h_2 = x - \frac{ \frac{1}{3}}{ \frac{1}{2} } \cdot 1 = x - \frac{2}{3}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
f_3 \cdot h_1 & =  \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{4} x^4 \Big|_0^1 = \frac{1}{4} \\
f_3 \cdot h_2 & =  \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right) \, \mbox d x = \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} x^4\right]_0^1 = \frac{1}{30}   \\
h_2 \cdot h_2 & =  \int_0^1 x \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 \, \mbox d x = \left[ \frac{2}{9} x^2 +  \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{9} x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{36} 
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor h_3:

h_3 = x^2 - \frac{ \frac{1}{4} }{  \frac{1}{2} } \cdot 1 - \frac{ \frac{1}{30}  }{ \frac{1}{36}  } \left( x - \frac{2}{3} \right) = x^2 - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10}



Przykłady z Forum
Lista tematów poruszających zagadnienie:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Czy ktoś może mi to łopatologicznie wyjaśnić? Mam 3 wektory v_{1}, v_{2} i v_{3} rozumiem ze pierwszy u_{1} = v_{1} drugi u_{2} = v_{2} - a*v_{1}[/te...
 dobermann  2
 Ortogonalizacja Grama-Schmidta - zadanie 2
Cześć, przeczytałem teraz w książce o ortogonalizacji Grama-Schmidta, jednak nie widzę w niej żadnego sensu. Opowiem co mi chodzi po głowie. Jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy 0 to znaczy, że wektory te są linowo niezależne, a także, ...
 nwnuinr  5
 rząd macierzy z wykorzystaniem macierzy Grama
Znaleźc rząd macierzy A za pomocą macierzy Grama A=\left i rozwiązac równanie liniowe wektorowe Ax \left(...
 strawberry9202  4
 Zbiór ortonormalny metodą Grama-Schmidta
Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbioru {x _{1},x _{2},x _{3}}, gdzie : x_{1}=(1,1,1), x_{2}=(2,1,1) , x _{3}=(1,1,-1) Mogłby mi ktoś wyt...
 karcia19  5
 Ortogonalizacja wektorów - zadanie 2
Witam. Zastanawiam sie gdzie w ogole ortogonalizacja wektorow ma zastosowanie? Mamy dwa wektory powiedzmy w przestrzeni dwuwymiarowej i chcemy je "przerobic" na prostopadle, uzywamy algorytmu Grama-Schmidta. Bierzemy jeden wektor jako nasz ...
 pajkul  1
 Dewergencja,Rotacja,Metryka,Ortogonalizacja,Szereg Fouriera.
Witam Mam problem z kilkoma zadaniami. Wiem conieco o dywergencji, rotacji, jeszcze mniej o szeregach Furiera. Prosiłbym jakąś dobrą osobę o rozwiązanie zadań (z 1 terminu egzamin, na kolejnym będą podobne ...
 ALittleGreenCar  1
 metoda Grama-Schmidta
Zortogonalizować metodą Grama – Schmidta podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowch (2,1,3)(1,6,2) w przestrzeni E ^{3} Nie wiem jak mam to zrobic w przestrz...
 konrad18m  1
 metoda Grama-Schmidta rzut wekotra na przestrzen
Ukklad wektorow v_{1}=(1,2,2,0) , v_{2}=(0,1,2,1) , v_{3}=(1,2,2,1) przeprowadzic metoda Grama-Schmidta na uklad ortogonalny. Wyznaczyc rzut wektora x =(3,-1,1,3)[/tex:2mjeu...
 kejkun7  8
 Iloczyn skalarny+ortogonalizacja
W R ^{3} określony jest iloczyn skalarny f(x,y)=X^{T}AY, gdzie A jest macierzą formy f w bazie standardowej. A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&2&1\\0&1&...
 roger_biezanow  1
 Zortogonalizować układ wektorów metodą Grama-Schmidta...
Cześć, potrzebuję pomocy z zadaniem, wielkie dzięki z góry za odpowiedź. Zortogonalizować układ wektorów v1 = (-1,0,-1,1), v2 = (0,1,1,1,), v3 = (0,1,1,0), v4 = (1,1,1,-1) metodą Grama-Sch...
 mazet  5
 3 wektory i kąty między nimi vs. ortogonalizacja
Witam, Otóż mam dane 3 wektory w przestrzeni 3D jako \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right). Nie są to bynajmniej wektory jednostkowe i nie leżą na jednej płaszczyźnie oczywiście. Tak dokładnie mam tylko podane ich...
 rkaminski  0
 do wzoru Grama Schmidta
Dla V=\{ x_{1} \in R^{3}: x_{1}+2x_{2}=x_{3}=0\} Napisać ze wzoru dla Grama-Schmidta ortogonalizacji....
 agusiaczarna22  7
 Metoda Rosenbrocka i ortogonalizaca Grama-Schmidta
Witam wszystkich. Mam pewien problem ze zrozumieniem pewnej metody optymalizacji - metody Rosenbrocka. W metodzie tej w pewnym momencie następuje obliczenie nowej bazy kierunków ortogonalnych wg procedury ortogonalizacyjnej Grama-Schmidta. Właśnie ta...
 stach18  0
 Iloczyn skalarny i ortogonalizacja bazy
Mam takie zadanie: g\left( \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)\left( y _{1},y _{2},y _{3}\right) \right)=4x _{1}y _{1}-2 x_{1} y _{2}-2x _{2}y _{1}+3x _{2}y _{2}+x _{3}y _{3} a) wykazać, ze fun...
 arraneran  2
 ortogonalizacja GramaSchmidta
Cześć Nei rozumiem, skąd wzór na ortogonalizacją Grama-Schmidta przekłada się na ten obrazek? ...
 matematyka464  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com