szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2012, o 15:48 
Gość Specjalny

Posty: 8540
Lokalizacja: Kraków
Ortogonalizacja Grama-Schmidta


Zastosowanie metody przedstawimy na przykładach. Teorię można znaleźć w podręcznikach z algebry liniowej czy w internecie (np. http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Grama-Schmidta).

Spis przykładów



Przykład 1
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{R}^2 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako u_1, u_2 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1
\end{align*}$

Obliczamy iloczyny skalarne:
$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2
\end{align*}$

Nową bazę stanowią wektory:
u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \; u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}


Przykład 2
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczamy jako u_1, u_2, u_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor u_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 1 + 0 = 2
\end{align*}$

Zapisujemy wektor u_2:

u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = 0 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} =  \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor u_3:

u_3 =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix}

Następnie obliczamy normy wektorów u_{1,2,3}:

$\begin{align*}
\| u_1 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\
\| u_2 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-} 1 \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} =  \sqrt{ \frac{3}{2}} \\
\| u_3 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \phantom{-}\frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} } =  \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{align*}$

Bazę ortonormalną oznaczamy przez e_{1,2,3} i zapisujemy:

$\begin{align*}
e_1 & = \frac{u_1}{\|u_1\|}  = \frac{1}{ \sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
e_2 & = \frac{u_2}{\|u_2\|}  = \sqrt{ \frac{2}{3} } \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
e_3 & = \frac{u_3}{\|u_3\|}  = \frac{ \sqrt{3} }{2} \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
\end{align*}$




Przykład 3
Dane są wektory
v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}

w przestrzeni wektorowej \mathbb{C}^3 z iloczynem skalarnym a \cdot b = \sum a_i b_i^*. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako u_1, u_2, u_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor u_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1
\end{align*}$

Zapisujemy wektor u_2:

u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} - (-i) \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 - i + 0 = - i \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor u_3:

u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ i \end{pmatrix}




Przykład 4
Dane są wektory
f_1 (x) = 1, \; f_2 (x) = x, \; f_3 (x) = x^2

w przestrzeni funkcji ciągłych C^0 \big( [0, 1] \big) z iloczynem skalarnym

f \cdot  g = \int_0^1 x f(x) g(x) \, \mbox d x

Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako h_1, h_2, h_3 i zapisujemy:

$\begin{align*}
h_1 & = f_1 \\
h_2 & = f_2 - \frac{f_2 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 \\
h_3 & = f_3 - \frac{f_3 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 - \frac{f_3 \cdot h_2}{h_2 \cdot h_2} h_2
\end{align*}$

Wpierw wyznaczamy wektor h_2, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

$\begin{align*}
f_2 \cdot h_1 & = \int_0^1 x \cdot x \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{3} x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}  \\
h_1 \cdot h_1 &=  \int_0^1 x \cdot 1^2 \, \mbox d x = \frac{1}{2} x^2 \Big|_0^1 = \frac{1}{2} 
\end{align*}$

Zapisujemy wektor h_2:

h_2 = x - \frac{ \frac{1}{3}}{ \frac{1}{2} } \cdot 1 = x - \frac{2}{3}

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na v_3:

$\begin{align*}
f_3 \cdot h_1 & =  \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{4} x^4 \Big|_0^1 = \frac{1}{4} \\
f_3 \cdot h_2 & =  \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right) \, \mbox d x = \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} x^4\right]_0^1 = \frac{1}{30}   \\
h_2 \cdot h_2 & =  \int_0^1 x \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 \, \mbox d x = \left[ \frac{2}{9} x^2 +  \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{9} x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{36} 
\end{align*}$

Możemy zatem zapisać wektor h_3:

h_3 = x^2 - \frac{ \frac{1}{4} }{  \frac{1}{2} } \cdot 1 - \frac{ \frac{1}{30}  }{ \frac{1}{36}  } \left( x - \frac{2}{3} \right) = x^2 - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10}



Przykłady z Forum
Lista tematów poruszających zagadnienie:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ortogonalizacja Grama-Schmidta - zadanie 2
Cześć, przeczytałem teraz w książce o ortogonalizacji Grama-Schmidta, jednak nie widzę w niej żadnego sensu. Opowiem co mi chodzi po głowie. Jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy 0 to znaczy, że wektory te są linowo niezależne, a także, ...
 nwnuinr  5
 Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Czy ktoś może mi to łopatologicznie wyjaśnić? Mam 3 wektory v_{1}, v_{2} i v_{3} rozumiem ze pierwszy u_{1} = v_{1} drugi u_{2} = v_{2} - a*v_{1}[/te...
 dobermann  2
 Pierwiastek z macierzy Grama
Mamy n unormowanych, liniowo niezależnych wektorów w \mathbb{R}^n,\ \psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n. Pokazać, że wektory \Gamma^{-\frac{1}{2}}\psi_1,\Gamma^{-\frac{1}{2}}\psi_2,\ldo...
 fon_nojman  0
 Ortogonalizacja Gramma-Shmita
Witam, mam dokonać ortogonalizacji następującej bazy w R^{3} \vec{u_{1}} = \vec{u_{2}} = \vec{u_{3}} = I nie...
 Kitagawa  0
 ortogonalizacja i ortonormalizacja bazy
Przeprowadź ortogonalizację i ortonormalizację podanej bazy: B: ((1,-1,\frac{4}{3}) (1,1,1) (0,0,\frac{4}{3})) Jeśli chodzi o ortogonalizację to można robić metodą Grama-Schmitda, ale opró...
 Domin0  0
 Macierz Grama
Proszę o pomoc: Zadanie na egzaminie brzmi: Zbuduj macierz Grama do macierzy A o wymiarach rxs (r>s). Czy ktoś wie jak to rozwiązać. Bardzo proszę o rozwiązanie zadania. ...
 nefredit  2
 ortonormalizacja grama-schmidta
niech \chi_{A} oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A. Niech H=L ^{2}(6,11) . Zastosuj ortonormalizację Gramma-Schmidta do wektorów f _{1}= \chi_{(6,10)}[/te...
 marta12346  4
 Wydzielenie grama miedzi
Ładunek F=96599C wydziela z elektrolitu 1,008 g wodoru o masie atomowej A1=1,008. Jaki ładunek jest potrzebny, aby wydzielić z elektrolitu jeden gram dwuwartościowej miedzi, której masa atomowa A2=63,57?...
 BTTOS  0
 Ortogonalizacja i ortonormalizacja wektorów
Mogą istnieć inne bazy ortonormalne....
 Kaef  2
 ortonormalizacja Grama Schmidta - zadanie 2
Niech H=R^3, a iloczyn skalarny jest dany wzorem (x_1,x_2,x_3)|(y_1,y_2,y_3)=x_1 \cdot y_1 +x_2 \cdot y_2 +x_3 \cdot y_3. Zastosuj ortonormalizacje Grama Schmidta do wektorów...
 natalianw  1
 Macierz Grama - zadanie 2
Policz wartości tego odwzorowania na tych wektorach....
 Marynarz94  2
 wyznacznik Grama
Oblicz wyznacznik Grama dla układu wektorów a_1=(1,0,0);a_2=(i,i,i),a_3=(0,1,i) w zespolonej przestrzeni l_3^2...
 monikap7  5
 ortogonalizacja wektorów
Zortogonalizować wektory p_{1}=3, p_{2}=2x+1 w Rz iloczynem skalarnym (p,q)=p(-1)q(-1)+p(2)q(2) Tylko jak? ;p nigdzie ...
 freevolity  2
 ortogonalizacja, ortonormalizacja układu
zortogonalizuj układ (zortonormalizuj) w przestrzeń R^{2} z iloczynem skalarnym ((x_{1}, x_{2}),(y_{1},y_{2}[/tex:23fp62...
 samara01  2
 wyznacznik grama, objętość równoległościanu
mamy przestrzeń n-wymiarową i równoległościan rozpięty na k (k<n) wektorach. jak obliczyć jego objętość? wiem, że gdyby było ich n,...
 szt  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com