[ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2012, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
1. Niech S(n) oznacza sumę cyfr liczby n, oblicz S(S(S(2006^{2009})))
2.O podłogęi prostopadłą do niej scianę stoi oparta drabina. Nóżki drabiny przesuwają się po podłodze (bez poślizgu) prostopadle do ściany i drabina obsuwa si. Na środku drabiny siedzi kotek(którego traktujemy jako punkt). Udowodnić, że w miaręopadania drabiny kotek zakreśli w przestrzeni łuk okręgu.
Co do 1 zadania wiem że S(2006^{2})=19 i S(2006^{3})=35, ale to mi nic nie dało, próbowałem też rozkładać 2006=2000+6 i tak liczyć, ale te 2009 w potędze mnie martwi
Jeżeli chodzi o 2 zadanie to wiem że jeżeli oznaczymy odległość czubka drabiny ściany do podłogi jako a, a odległość czubka drabiny opartego o podłogę do końca podłogi(od strony ściany) jako b oraz długość drabiny jako c to przesunięcie w dół x i w lewo y i tak z pitagorasa nam da zależność
a^2+b^2=c^2
(a-x)^2+(b+y)^2=c^2
ale z tego nic nie otrzymuję w stylu funkcji kołowej więc proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2012, o 21:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1826
Lokalizacja: Warszawa
1. Składanie S(n) powoduje bardzo szybki spadek wartości tej funkcji, dlatego to, o co nas pytają będzie bardzo małe. W dodatku zauważ, że 9|n-S(n), ostatniego faktu uczy się w podstawówce :D.

A co do drugiego, to trzeba tutaj zgadnąć, co to za okrąg. Warto też spojrzeć na przypadki końcowe, oraz co się w nich dzieje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2012, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
to dobrze?
n\equiv S(n) mod 9 czyli n^{2009} \equiv S(n)^{2009}mod9 czyli
S(n)^{2009}=9k-1 gdzie k to jakaś tam liczba naturalna, ale dalej S(9k-1) to mogę rozpisać
S(10k-1-k)=S(k-k-1)=S(8), czyli odpowiedź to 8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2012, o 00:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1826
Lokalizacja: Warszawa
No ale czemu 8, a nie 17 ani 25?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2012, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
a no tak, bo ja założyłem że k jest nie większe niż 9, a to lipa to nie wiem jak to zrobić;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2012, o 22:38 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1732
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Można zapisać, że 2006^{2009} < 10000^{2009} = 10^{8036}, czyli 2006^{2009} ma mniej cyfr niż 8037

Dlatego S(2006^{2009}) < 8037 \cdot 9 = 72333 (bo jak w każdą cyfrę wstawimy 9, to S(n) będzie maksymalne).

Idąc w podobny sposób powinieneś wykazać, że to złożenie S(n) będzie miało wartość mniejszą niż 10
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2012, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 253
Hello,
x=2006^{2009}=
Ukryta treść:    

Co daje S(x) = 30203 oraz S(S(x)) = 8 no i S(S(S(x))) = 8.

Sonnhard.

@timon92: Dzięki, poprawiłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2012, o 22:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1036
Lokalizacja: Katowice
ordyh, używaj \LaTeXa do wszystkich, nawet najprostszych wyrażeń matematycznych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 00:22 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
hmm nie ma jakiegoś ładnego rozwiązania, ludzie to zadanie było dane z 4 innymi dla 1 licealistów na warsztatach, musi być jakieś ładne i szybkie rozwiązanie
ps;ordyh chyba w twojej liczbie w 47 linijce jest błąd, sprawdź
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 00:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1826
Lokalizacja: Warszawa
No jest kurczę, jasne, że jest :P.
Mówię, spróbuj to oszacować. Już Marcinek665 praktycznie Ci napisał, jak to się robi, tylko potrzeba wykończenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
72333<10^{6} czyli S(S(2006^{2009}))<S(10^{6}*9)) czyli S(S(2006^{2009}))<S(63) czyli S(S(S(2006^{2009})))<9, ty no jak mniejsza 10 i daje resztę 8 to logiczne że wynik to 8, ale nie ma czegoś ładniejszego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 14:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1826
Lokalizacja: Warszawa
No bardzo dobrze, właśnie o to chodziło ; p. No i to raczej trzeba tak robić, raczej nie ma innego sposobu poza wyliczeniem tego explicite :p.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2012, o 17:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 209
Lokalizacja: Londyn
Czemu zadanie z drabiną jest jako teoria liczb?
Wystarczy tam zauważyć, że kotek siedzi w środku okręgu opisanego na trójkącie drabina-ściana-podłoga, i to w dowolnym momencie. Wynika to z faktu, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się w środku przeciwprostokątnej. Promień tego okręgu jest stały i równy połowie długości drabiny. Oznacza to, że w dowolnym momencie punkt styku ściany i podłogi (będący trzecim wierzchołkiem trójkąta) jest tak samo oddalony od kotka, czyli kotek porusza się po okręgu o promieniu równym połowie długości drabiny i środku w punkcie wspólnym ściany i podłogi. Zadanie jest bardzo proste, ale fajne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2012, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1228
Lokalizacja: tarnów
Świstak napisał:

"że 9|n-S(n) , ostatniego faktu uczy się w podstawówce."

Chciałem zauważyć, że podstawa programowa z 2007r. z matematyki w podstawówce
nie obejmuje tego faktu!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2012, o 21:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 1894
Lokalizacja: Warszawa
Że liczba daje tą samą resztę z dzielenia przez 9 jak jej suma cyfr? Uczą tego na pewno. Cecha podzielności przez 9 na pewno jest w programie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11 - zadanie 2
1 Uzasadnij, że wśród liczb 11, 11^2, 11^3 , 11^4, 11^5, \ldots są takie dwie, które mają jednakowe końcówki pięciocyfrowe. 2. Zauważ, że jeśli liczby 11^k i 11^l...
 zbystura  5
 [Teoria liczb] Równanie w naturalnych z Pawłowskiego
Rozwiąż w liczbach naturalnych x,y,z równanie 5&#40;xy + yz + zx&#41; = 4xyz W rozwiązaniach jest podane: Przy założeniu ze x \le y \le z otrzymujemy [tex:2qppxz...
 Linka  7
 [Kombinatoryka][Teoria liczb] Wzór na liczbę dzielników
Ile dzielników ma liczba postaci p_{1}^{a_1} \cdot p_{2}^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_{i}^{a_i} (gdzie p_i to liczby pierwsze)? To chyba jakiś prosty wzór, a nie mogę go znaleźć....
 neworder  3
 [Teoria liczb] Ciekawe zadanko z sumą cyfr
Czy wie ktoś może, jak rozwiązać następujące zadanko: Znajdź sumę cyfr liczby 4444^{4444}...
 Anonymous  1
 [Planimetria] Przekątne w dwunastokącie foremnym
Ciekawe zadanie zaczerpnięte z jednego z obozów matematycznych: Oznaczmy wierzchołki dwunastokąta foremnego kolejno przez x_1, x_2, ..., x_{12} Wykazać, że przekątne x_3x_8, x_...
 Arbooz  12
 [Teoria liczb] Suma odwrotności dzielników liczby naturalnej
Mam problem z takim zadankiem: &quot;Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.&quot; Proszę o oświecenie;)...
 Sun Tsu  2
 [Teoria liczb] Kwadrat liczby naturalnej
Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania: Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których 2^{n} + 17 jest drugą potęgą liczby naturalnej....
 Marcin16  1
 [Teoria liczb] Dwa równania nieoznaczone
Rozwiązać w liczbach naturalnych: 1. &#40;y+1&#41;^{x}-1 = y! 2. 1!+2!+...+x! = y^{z}...
 neworder  2
 [Teoria liczb] Sumy potęg dwójki
Potrzebuję mały lemacik, ale nie wiem jak go udowodnić.. może nawet jest takie twierdzenie tylko o nim nie wiem, chodzi oto że należy wykazać że suma jakiejkolwiek liczby RÓŻNYCH potęg dwójki jest zawsze różna od jakiejkolwiek sumy różnych innych pot...
 coldplayer  1
 [Teoria liczb] Szukany ciag
Zbadać, czy istnieje ciąg arytmetyczny, który nie zawiera żadnej liczby Fibonacciego, tj jest rozłączny z: 1, 2, 3, 5, 8, 13.......?...
 mol_ksiazkowy  6
 [Planimetria] Zadanie o czwarokącie
Wykaż, że jeśli czworokąt nie ma żadnych dwóch przeciwległych boków równoległych, to wtedy środek odcinka łączącego punkty przecięcia tychże boków leży na prostej łączącej środki obu przekątnych......
 mol_ksiazkowy  3
 [Stereometria] Suma kwadratów pól
Dany jest czworościan, w którym trzy ściany są do siebie parami prostapadłe. Wykaż, że kwadrat pola czwartej ściany jest równy sumie kwadratów pól tychże trzech ścian....
 mol_ksiazkowy  3
 [Teoria liczb] Zabawy z silnia
Wykaż że ta liczba jest całkowita: \frac{&#40;2m&#41;!&#40;2n&#41;!}{m! n! &#40;m+n&#41;!}...
 mol_ksiazkowy  3
 [Planimetria] Cięciwy vs okrąg
wewnatrz okręgu o promieniu 1 dana jest pewna ilczba cięciw . Wykazać, ze jeśli każda średnica przecina co najwyżej k cięciw, to suma długości wszystkich cięciw nie przekracza k \pi...
 mol_ksiazkowy  1
 [Planimetria] Pokrycie płaszczyzny
Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny nalezy do co najwyżej pięciu kół....
 mol_ksiazkowy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com