szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2012, o 15:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 282
Lokalizacja: Wrocław
Na stole znajdują się 3 szklanki, każda wypełniona dokładnie w połowie. W pierwszej z nich znajduje się martini, w dwóch pozostałych woda sodowa. Nie mamy żadnej miarki do odmierzania płynów, jedyną operacją jaką możemy wykonać jest przelanie zawartości jednej szklanki do drugiej, aż do wypełnienia tej drugiej. ( lub opróżnienia pierwszej) szklanki. Zakładamy, że podczas przelewania nic się nie rozlewa oraz, że po przelaniu płyn zostaje dokładnie wymierzony. Czy można w skończonej liczbie kroków dokładnie wymieszać martini z wodą sodową tak,aby otrzymać roztwór, z którego \frac{1}{3} objętości stanowi martini?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2012, o 18:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Uważam, że nie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2012, o 19:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 282
Lokalizacja: Wrocław
no domyslam sie ze nie,ale jak to pokazac??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2012, o 19:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3701
Lokalizacja: Łódź
withdrawn napisał(a):
Na stole znajdują się 3 szklanki, każda wypełniona dokładnie w połowie.

Ja myślę, że to jest żart. Nie napisano, że szklanki są tej samej wielkości. Wystarczy np., że jakaś szklanka z wodą będzie dwukrotnie większa od szklanki z martini i wtedy wlewamy martini do tej szklanki. :lol:

-- 11 paź 2012, o 19:28 --

Jeżeli szklanki są identyczne, to w kolejnych krokach można otrzymać takie proporcje objętości martini do objętości roztworu:

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{5}{16}, \frac{11}{32}, \frac{21}{64}, \frac{43}{128},...

Zauważmy, że n-ty ułamek wyraża się wzorem:

a _{n}= \frac{1}{2 ^{1} }- \frac{1}{2 ^{2} }+ \frac{1}{2 ^{3} }-... \frac{1}{2 ^{n} }=  \sum_{k=1}^{ n } \frac{1}{2}\left( - \frac{1}{2} \right) ^{k-1}

Czyli a _{n} jest sumą częściową szeregu geometrycznego, dla a= \frac{1}{2}, \ q=- \frac{1}{2} stąd:

a _{n}=  \frac{1}{2}  \cdot  \frac{1-\left(  \frac{1}{2} \right) ^{n}  }{1+ \frac{1}{2} }= \frac{1}{3}\left( 1-\left( - \frac{1}{2} \right) ^{n}  \right)

Mamy odpowiedzieć na pytanie, czy dla skończonego n może zachodzić równość:

\frac{1}{3}= \frac{1}{3}\left( 1-\left( - \frac{1}{2} \right) ^{n}  \right)

Taka równość nigdy nie zajdzie ponieważ \forall _{n} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n} \neq 0

Ten szereg jest zbieżny w nieskończoności do \frac{1}{3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przygotowanie do matury, "Matematyka z Sensem"  628351  0
 Zbiory - Przygotowanie Do Matury, Dla Humanisty  GreenTraucer  4
 Przygotowanie do matury 2015  sceneinvestigator  5
 stężenie, gęstość roztworu  MarzenaM  7
 Przygotowanie do matury - zadanie 5  Kuchar1234  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com