szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 gru 2012, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Jak można to udowodnić?

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ułamek \frac{2n+1}{9n+4} jest nieskracalny.
Zbadać skracalność ułamków: \frac{2n-1}{9n+4},  \frac{11n+2}{18n+5},  \frac{14n+3}{21n+4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2012, o 20:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1917
Lokalizacja: Wrocław
W pierwszym. Widzimy, że licznik dla n\in \NN^{+} jest mniejszy od mianownika.

Przypuśćmy nie wprost, że ten ułamek jest skracalny. Wtedy możemy zapisać mianownik jako:

9n+4=(2n+1)k \ \ \ \ \mbox{dla pewnego } \ \ \ k\in \ZZ

Przekształcamy.

(9-2k)n=k-4 \\ \\
n=-\frac{k-4}{2k-9}

Otrzymujemy, że n jest niedodatnie. Co jest sprzeczne z założeniami bo miało być naturalne. Zatem ten ułamek jest nieskracalny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 03:01 
Użytkownik

Posty: 1453
Lokalizacja: Warszawa
No, no... Ładnie to, Vardamir, udowodniłeś. Elegancki dowód...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 03:58 
Użytkownik

Posty: 202
Vardamir pokazał, że mianownik nie może być wielokrotnością licznika, a to nie jest koniecznym warunkiem na nieskracalność ułamka. Np. \frac{4}{6} jest skracalny choć 6 \neq 4k dla dowolnego k całkowitego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 10:57 
Moderator

Posty: 9733
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli d dzieli 9n+4 i 2n+1, to dzieli też liczbę:
9n+4 - 4(2n+1)=n
Skoro zaś dzieli n i 2n+1, to dzieli też liczbę:
2n+1 - 2\cdot n = 1
W takim razie d musi być jedynką, co dowodzi tezy.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Ok, mam jeszcze pytanie:

Czy można zbadać skracalnośc pozostałych ułamków korzystając z algorytmu euklidesa?
Jeśli tak to będę wdzięczna za przykład ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:47 
Moderator

Posty: 9733
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, a co więcej - to co zrobiłem w poprzednim poście to de facto też korzystanie z algorytmu Euklidesa:
NWD(9n+4,2n+1) = NWD(n,2n+1)= NWD(n,1) = NWD(0,1)=1

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Ok, dzięki.

Może mógłby ktoś wykonać któryś inny ułamek ponieważ dochodzę do jakiegoś momentu algorytmem i się zacinam. To samo w każdym z ułamków...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:01 
Moderator

Posty: 9733
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zawsze musisz odjąć od większej liczby mniejszą. Pokaż w którym momencie się zacinasz w którymkolwiek z przykładów.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
W przykaldzie \frac{11n+2}{18n+5} dochodzę do momentu 4n-1 i 3n+4 (i problem jest taki, że nie wiadomo która liczba jest większa)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:17 
Moderator

Posty: 9733
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak przypadkiem odejmiesz większą od mniejszej to też się nie stanie - dbaj tylko o to, żeby usunąć n.
Więc najpierw (4n-1) - (3n+4) = n - 5, a potem 3n+4 - 3(n-5)=19

Czyli NWD(4n-1, 3n+4) = NWD(n-5,19). Wystarczy teraz zauważyć, że dla na przykład dla n=5 jest to różne od 1, więc dla tej wartości n ułamek da się skrócić przez 19

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Dzięki wielkie :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Ułamek okresowy  losiuu  4
 Udowodnić, że 0 jest większe od 3.  Hetacz  8
 Rozstrzygnąć, czy dana liczba jest wymierna/niewymierna  seti  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com