szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 gru 2012, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Jak można to udowodnić?

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ułamek \frac{2n+1}{9n+4} jest nieskracalny.
Zbadać skracalność ułamków: \frac{2n-1}{9n+4},  \frac{11n+2}{18n+5},  \frac{14n+3}{21n+4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2012, o 20:23 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 1809
Lokalizacja: Wrocław
W pierwszym. Widzimy, że licznik dla n\in \NN^{+} jest mniejszy od mianownika.

Przypuśćmy nie wprost, że ten ułamek jest skracalny. Wtedy możemy zapisać mianownik jako:

9n+4=(2n+1)k \ \ \ \ \mbox{dla pewnego } \ \ \ k\in \ZZ

Przekształcamy.

(9-2k)n=k-4 \\ \\
n=-\frac{k-4}{2k-9}

Otrzymujemy, że n jest niedodatnie. Co jest sprzeczne z założeniami bo miało być naturalne. Zatem ten ułamek jest nieskracalny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 03:01 
Użytkownik

Posty: 690
Lokalizacja: Warszawa
No, no... Ładnie to, Vardamir, udowodniłeś. Elegancki dowód...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 03:58 
Użytkownik

Posty: 202
Vardamir pokazał, że mianownik nie może być wielokrotnością licznika, a to nie jest koniecznym warunkiem na nieskracalność ułamka. Np. \frac{4}{6} jest skracalny choć 6 \neq 4k dla dowolnego k całkowitego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 10:57 
Moderator

Posty: 9522
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli d dzieli 9n+4 i 2n+1, to dzieli też liczbę:
9n+4 - 4(2n+1)=n
Skoro zaś dzieli n i 2n+1, to dzieli też liczbę:
2n+1 - 2\cdot n = 1
W takim razie d musi być jedynką, co dowodzi tezy.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Ok, mam jeszcze pytanie:

Czy można zbadać skracalnośc pozostałych ułamków korzystając z algorytmu euklidesa?
Jeśli tak to będę wdzięczna za przykład ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:47 
Moderator

Posty: 9522
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, a co więcej - to co zrobiłem w poprzednim poście to de facto też korzystanie z algorytmu Euklidesa:
NWD(9n+4,2n+1) = NWD(n,2n+1)= NWD(n,1) = NWD(0,1)=1

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Ok, dzięki.

Może mógłby ktoś wykonać któryś inny ułamek ponieważ dochodzę do jakiegoś momentu algorytmem i się zacinam. To samo w każdym z ułamków...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:01 
Moderator

Posty: 9522
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zawsze musisz odjąć od większej liczby mniejszą. Pokaż w którym momencie się zacinasz w którymkolwiek z przykładów.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
W przykaldzie \frac{11n+2}{18n+5} dochodzę do momentu 4n-1 i 3n+4 (i problem jest taki, że nie wiadomo która liczba jest większa)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:17 
Moderator

Posty: 9522
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak przypadkiem odejmiesz większą od mniejszej to też się nie stanie - dbaj tylko o to, żeby usunąć n.
Więc najpierw (4n-1) - (3n+4) = n - 5, a potem 3n+4 - 3(n-5)=19

Czyli NWD(4n-1, 3n+4) = NWD(n-5,19). Wystarczy teraz zauważyć, że dla na przykład dla n=5 jest to różne od 1, więc dla tej wartości n ułamek da się skrócić przez 19

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2012, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Polska
Dzięki wielkie :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Co to jest liczba kolista??
=/ co to za liczba?...
 Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni
Mam takie zadanko, trzeba udowodnić, że w zbiorze liczb rzeczywistych: sqrtTrzeciegoStopnia(a*b*c)=...
 magik100  2
 Ułamek okresowy
Siemka przeglądałem forumi nieznalazłem nic na ten temat (jak było to sory) ale jak sie zamienia ułamek okresowy na zwykły. Bo kurcze zapomniałem a z kombinowania mi nic nie wychodzi:/ dokładnie chodzi mi o taki ułamek 0,(9) Z góry dzięki za pomoc...
 losiuu  4
 Udowodnić, że 0 jest większe od 3.
Jak udowodnić, że 0 jest większe od 3. Niby proste, a się zamotałem i mam problem Proszę o pomoc....
 Hetacz  8
 Rozstrzygnąć, czy dana liczba jest wymierna/niewymierna
Nie wiem jak rozwiązać następujące zadanie: Sprawdź czy liczba jest wymierna czy niewymierna. Bardzo proszę o pomoc. Dzięki....
 seti  7
 Czy liczba jest całkowita?
Jak udowodnić, że to wyrażenie jest liczbą całkowitą? \sqrt{ 29 - 12 \cdot \sqrt{ 5}} - \sqrt{ 29 + 12 \cdot \sqrt{ 5}}...
 Anonymous  17
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa
Rozstrzygnij, która z liczb jest większa: 22^{55} czy 55^{22} ? Kiedyś to zadanie było robione na kółku, lecz zgubiłem gdzieś obliczenia, wiem że 22^{55} jest ...
 Tomasz B  5
 rozwoinięcie dziesiętne okresowe na ułamek
jak najlepiej takie rzeczy zamieniać bez kalkulatora (krok po kroku jak dla idioty prosze) 0,(5) ???...
 Anonymous  2
 Udowodnij ze liczba ... jest liczba naturalną
Zadanie bardzo podobne do opisanego w tym poscie: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3935 Z tym ze ja mam do czynienia z pierwiastkiem stopnia 3 :/ Oto to...
 1jedrzej1  1
 sprawdzanie która z liczb jest większa
Nie wiem czy umieściłam ten temat we właściwym miejscu, ale zdecydowałam drogą dedukcji że najlapiej pasuje właśnie tu Zadanie jest banalne, ale nie jestem pewna c...
 czkawka  12
 Jak to udowodnić ???
Jak udowodnić metode zamiany ułamków okresowych na zwykłe ze strony http://www.kiss.pl/zasoby/podreczniki/l ... miana.html C...
 BOBERSON  3
 Skrócić ułamek
Trochę mało czytelne . Zgadza się: \frac{3\sqrt6-12}{\sqrt6}=3-2\sqrt6...
 Sulik  5
 Wykaż że prawdziwa jest nierónośc ??
wykaż, że jeżeli a\geq0 i b\geq0 to prawdziwa jest nierównośc a^{5}-2a^{4}b+a^{3}b^{2}+a^{4}b-2a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}\geq0...
 jasq  4
 Średnia Geometryczna, do czego służy i kiedy jest stosowa
Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby któryś z ekspertów zamieścił tu jakieś informacje na ten temat. Z góry dziękuje, pozdrawiam ...
 Dexter  5
 Czy a jest liczbą dodatnią?
a=\sqrt{5}^{\sqrt{7}} - \sqrt{7}^{\sqrt{5}}...
 mol_ksiazkowy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com