[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3325
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2902
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 12:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 3325
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 czy funkcja należy do przestrzeni L1
Masz na myśli L_1 ? Tak, bo \int_0^2 |f(x)|\,\mbox{d}x =\int_0^2 1\,\mbox{d}x = 2-0 = 2 <\infty....
 Ryland  1
 zupełność przestrzeni l^p_fim
Nie mogę sobie poradzić z pokazaniem, że przestrzeń (l^p_{fim},||\cdot||_p) nie jest zupełna. Skoro w przestrzeni l^p_{fim} mamy ciągi od pewnego miejsca równe 0, to również od tego m...
 przem_as  2
 ciągłość w przestrzeni metrycznej - zadanie 2
Czy funkcje f oraz g takie, że: f:\left( R^{2}, \rho_{1} \right) \rightarrow \left( R^{2}, \beta \right) i g:\left( R^{2},...
 Studentka1992  4
 pole powierzchni w przestrzeni
Bardzo proszę o pmoc w rozwiązaniu takiego zadanka. Obliczyć pole tej części powierzchni z= xy, która jest ograniczona płaszczyznami x+y = 1, x=0, y=0. Dzięki...
 aina1000  1
 Zupełność przestrzeni
Pokazać, że l ^{p} jest zupełna. l ^{p} to przestrzeń ciągów sumowalnych z p-tą potęgą, gdzie norma dana jest wzorem: \left| \right| x \left| \right| = ( \sum_{k=1}^{\infty...
 yaro84  1
 Odległość ciągów w przestrzeni c_{0}
W przestrzeni c_{0} wyznaczyć odległość ciągów x=(x_{n})_{n \in N*} i y=(y_{n})_{n \in N*}, gdzie x_{n}=\frac{1}{n} i ...
 IloveMath  8
 Dowód zupełności przestrzeni
Witam. Mam problem z zadaniem: Udowodnij, że przestrzeń C^{(n)}\left funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły f:\left \rightarrow \mathbb{K} z normą [tex:1ezt38...
 Wojtolino  3
 Metryka w przestrzeni Riemanna
Mamy pytanie: czy w każdej przestrzeni Riemanna pochodna kowariantna metryki (tensora metrycznego) jest zerowa? Jeśli tak to jak to udowodnić?...
 Supersymmetry  0
 Operatory na przestrzeni Hilberta
Mam problem z takim zadaniem: Pokazać, że nie istnieją ograniczone operatory liniowe na przestrzeni Hilberta spełniające warunek PQ-QP=I, gdzie I to operator identycznościowy. Do zadania jest...
 Tomasz Tkaczyk  8
 Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej...
Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej X \neq \left\{ 0 \right\} istnieje układ ortonormalny zupełny. Bardzo proszę o pomoc....
 yellowka  1
 zbieżność ciągu w przestrzeni L2 - zadanie 3
Witam Mam problem z zadaniem Zbadać zbieżność ciagu w przestrzeni \left( l ^{2}, d _{ l_{2} } \right) x _{x} \left( k \right) = \begin{cases} \frac{1}{n}\mbox{ dla }k \le n \\ 0\mbox{ dla...
 jak to  8
 Ciągi Cauchy'ego
Hej:) Czy potrafi ktoś wykazać, że wszystkie ciągi Cauchy'ego w przestrzeni \left( \mathbb{R},|| \cdot ||\right), gdzie normą jest wartość bezwzględna, są zbieżne?...
 małgosia  1
 Operator liniowy przestrzeni unormowanej.
Mam problem z zadankiem. Czy ma ktoś pomysł na rozwiązanie: Niech X i Y będą przestrzenią unormowaną, a A:X\longrightarrow Y operator liniowy. a)funkcjonał \wedge:C()\longrightarrow\mathbb{C},[/...
 lewis83  0
 Zupełność przestrzeni - zadanie 4
Dla \alpha\in\left(0,1\right] definiujemy C^\alpha\!\left(\left\right) = \left\{ f \in C\!\left(\left \right) \; : \sup_{x,y\in\left}\!\!\tfrac{\left|f&#...
 Hirakata  8
 Zbieżność ciągu w podanej przestrzeni
Zbadać zbieżność ciągu x_n=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, ...,\frac{1}{n}, 0, 0, 0, ...)\quad(\frac{1}{n} - n razy) w przestrzeni l^2....
 Miroslav  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com