szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3437
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3063
Lokalizacja: Lancaster
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3437
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód gęstości unormowanej przestrzeni liniowej f. skokowych
Witam! Oznaczmy przez S zbiór funkcji postaci: s= \sum_{i=1}^{n} s _{i} \cdot \chi_{i} (x). Gdzie jest przedziałem podziału P: i s_{i}[/tex:l...
 F4llenone  7
 Norma w skończenie wymiarowej przestrzeni rzeczywistej
Oto zadanko, którego rozwiązanie sprawiło mi ostatnio sporo satysfakcji:) Niech \|\cdot\| będzie normą na \mathbb{R}, spełniającą warunek: dla każdych x,y\in \mathbb{R}^{n},[/te...
 max  3
 Zanurzenie w przestrzeni Hilberta
Witam, Czy ktoś mógłby mi pomóc z dowodzikiem? Twierdzenie wygląda tak: Dowolna niezupełna przestrzeń euklidesowa (unormowana) może być gęsto zanurzona w pewnej przestrzeni Hilberta (Banacha). Jakby ktoś miał jakiś...
 miki999  3
 kula jednostkowa w przestrzeni l^2
Muszę rozwiązać takie zadanie : Wykazać, że kula jednostkowa w przestrzeni l^{2} nie jest zbiorem zwartym....
 grzegorzmartys  0
 Zależność między wymiarami przestrzeni V, dualnej, bidualnej
Chciałam zapytać o zależność między wymiarami przestrzeni V, przestrzeni dualnej do niej V^{\ast} i przestrzeni bidualnej V^{\ast \ast}. Wiem, że jeśli [tex:1ygboa...
 Mia_  2
 miara przestrzeni
Może mógłby mi ktoś rozwiązać chociaż jeden przykład z 1) i jeden z 2), na których bym się wzorowała robiąc kolejne. Odpowiedzi typu: ''to takie proste, oczywiste'' itd proszę sobie darować bo za wiele nie wnoszą prócz okazania pewnej ''wyższości''. ...
 ksd  1
 Zupełność przestrzeni ciągów sumowalnych z metryką
Niech (x(n))_{n} będzie ciągiem z \ell^{1} (tzn. ciąg ciągów), (x(n))_{n}=(x_{1}(n),x_{2}(n),...). Zakładam...
 Studentka1992  2
 Ciągłość funkcji w przestrzeni c0
Dane jest odwzorowanie przestrzeni c_0 w siebie f określone wzorem: f( x_{n} )=\left| x_{n}|\right^{ \frac{1}{2}} + \frac{1}{1+n} Definicja przestrzeni [te...
 PiotrowskiW  6
 Baza Schaudera w przestrzeni C[a,b]
Muszę zrozumieć dowód, że układ Schauldera jest bazą Schauldera w przestrzeni C. Niech a, b ∈ R, a < b. Ustawmy liczby wymierne z przedziału w ciąg (w n ) tak, że w_{1} = a, w _{2}= b.[/...
 justyna_g4  0
 Kula w przestrzeni metrycznej
Mam takie zadanko ... Wiadomo że w zbiorze R� funkcja dla każdego x=(x1,x2),y=(x1,x2) d(x,y)=max(|x1-y1|,|x2-y2|) jest metryką.Znajdź kule K((2,3),2). Może ktoś ma pomysł jak to rozwiązać ?...
 AgUnka  3
 twierdzenie o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta
Tw. H-prz. Hilberta, K-niepusty podzbiór H domknięty i wypukły, h \in H. Wtedy\exists! k_{0} \in K \ : \parallel h-k_{0}...
 crazygirl  0
 Zbadanie czy element należy do przestrzeni
Witajcie! Problemem są całki, więc nie jestem pewna czy w dobrym dziale jest ten temat. Mam sprawdzić czy element x \in L_{2} \left. 1. x= \frac{ \sqrt{ \alpha} }{\cos \left( \alpha t\right&...
 milka333  1
 Refleksywność przestrzeni funkcji istotnie ograniczonych
Czy przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych L^\infty(\Omega,\Sigma,\mu) jest refleksywan?...
 janas  2
 izomorfizm przestrzeni c i c0
Co więcej jest to izomorfizm liniowo-topologiczny (przy normie supremum). Można też pokazać, że przestrzenie te nie są liniowo izometryczne, co jest fajnym zadankiem ...
 magda877  3
 Podzbiór w przestrzeni Hilberta
Witam, niech H będzie dowolną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta. Powiedzmy, że mamy przeliczalny zbiór X \subset H. Czy potrafimy wskazać podprzestrzeń [te...
 Mistrz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com