[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3325
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2902
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 12:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 3325
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciągi Cauchy'ego
Hej:) Czy potrafi ktoś wykazać, że wszystkie ciągi Cauchy'ego w przestrzeni \left( \mathbb{R},|| \cdot ||\right), gdzie normą jest wartość bezwzględna, są zbieżne?...
 małgosia  1
 Norma w skończenie wymiarowej przestrzeni rzeczywistej
Oto zadanko, którego rozwiązanie sprawiło mi ostatnio sporo satysfakcji:) Niech \|\cdot\| będzie normą na \mathbb{R}, spełniającą warunek: dla każdych x,y\in \mathbb{R}^{n},[/te...
 max  3
 kula jednostkowa w przestrzeni l^2
Muszę rozwiązać takie zadanie : Wykazać, że kula jednostkowa w przestrzeni l^{2} nie jest zbiorem zwartym....
 grzegorzmartys  0
 Zupełność przestrzeni - zadanie 3
W przestrzeni c_{0} ciągów zbieżnych do zera wprowadzamy metryką d((x_{n}),(y_{n}))= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n}} |x_{n}- y_{n} |. Sprawdź zupełność pr...
 paulala  2
 Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej...
Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej X \neq \left\{ 0 \right\} istnieje układ ortonormalny zupełny. Bardzo proszę o pomoc....
 yellowka  1
 Warunki funkcji, ktore spelnia relacja
Sprawdz, ktore warunki funkcji spelnia podana relacja: Φ ε RxR x Φ yx+|x|=1 Z gory dzieki za pomoc!...
 maverick  0
 dla jakiego parametru funkcja należy do przestrzeni
funkcja x(t)=t ^{a} \\ \\ \\ \\ \\należy do \\ \\ \\ \\ \\ L _{2} jak policzyć d...
 juvex  6
 zbieżność ciągu w przestrzeni L2 - zadanie 3
Witam Mam problem z zadaniem Zbadać zbieżność ciagu w przestrzeni \left( l ^{2}, d _{ l_{2} } \right) x _{x} \left( k \right) = \begin{cases} \frac{1}{n}\mbox{ dla }k \le n \\ 0\mbox{ dla...
 jak to  8
 Kula w przestrzeni metrycznej
Mam takie zadanko ... Wiadomo że w zbiorze R� funkcja dla każdego x=(x1,x2),y=(x1,x2) d(x,y)=max(|x1-y1|,|x2-y2|) jest metryką.Znajdź kule K((2,3),2). Może ktoś ma pomysł jak to rozwiązać ?...
 AgUnka  3
 równoważność norm w przestrzeni
W przestrzeni C(,R) rozważmy normy ||x||_{\max }=\max _{t \in}|x(t)|, ||x||_{2}= \left( \int\limits_{0}^{1}|x \left( t \right) |^{2}dt \right) ^{\frac{1}{2}}[/tex:35...
 viki90  30
 jak dobrać iloczyn skalarny w przestrzeni z zadaną normą?
Mam przestrzeń C ^{1}\left, która staje się rzeczywistą przestrzenią unitarną, jeśli określimy w niej normę wzorem: \left| \left| x\right| \right|= \sqrt{ \int_{0}^{1} \left| x\left( t\right...
 KasienkaG  5
 Kula w przestrzeni unormowanej
Udowodnić, że w przestrzeni unormowanej X,\left| \left| \cdot \right| \right| zachodzą równości: \overline{K(x,r)}=\overline{K}(x,r)\\ Int(\overline{K}(x,r))=K(x,r)[...
 hared  1
 norma w przestrzeni ilorazowej
Znajdź normę w przestrzeni ilorazowej: (\mathbb{R}^3,\left \| . \right \|_\infty )/B,\ B=\left \{ (x,y,z):x=z=0 \right \} \left |\left \| \right \| \right |=inf \left\{ \le...
 michal422  1
 Komutator operatorów na przestrzeni Hilberta
Rozważamy przestrzeń Hilberta \mathcal{H} = L^2 \bigl( \bigr). Z \mathcal{H} wybieramy podzbiór D tych wszystkich funkcji, które mają pochodną prawie...
 luka52  6
 Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Witam! Mam pokazać, że zbiór P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\} jest wypukły, zwarty w przestrzeni L^{\infty}. Z wypukłością sobie ...
 edzia1987sh  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com