szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3332
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2902
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 12:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 3332
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory w przestrzeni unitarnej
Dla R dla dowolnych wektorów x,y \in E (E- przestrzeń unitarna), mamy ,że ||x+y||=||x-y|| \Leftrightarrow <x,y>=0. Podaj przykł...
 trawa696  1
 zbiór w przestrzeni Orlicza
Pokazać, że dla dowolnej funkcji Orlicza \phi zbiór X_\phi=\{x\in l^0 : I_\phi (x)\le 1 \} jest absolutnie wypukłym i pochłaniającym zbiorem w l^\phi. Jak...
 ak-47  0
 Ganica ciągu na przestrzeni miary
Ponieważ \forall_{x\in X} f(x) < \infty więc \lim_{ n\to\infty } a_n =\mu (X)...
 Agula1990  2
 Czy rodzina jest ciałem w przestrzeni X
Czy ktoś pomoże ? Podziękuje bardzo mocno. Zbadać czy rodzina A jest ciałem w przestrzeni X= \left a) A= \left\{ \emptyset , X, \left[ 0,1/2 \right) , \left...
 juhmen15  1
 Problem z uogólnieniej przestrzeni unormowanej
Mam pewien problem dotyczący definicji przestrzeni unormowanej. Konkretnie z przypadkiem gdy jako ciało w przestrzeni wektorowej w której rozważamy normę wezmę dowolne ciało, niekoniecznie zbiór liczb rzeczywistych czy zespolonych. Poszukiwałem infor...
 BraveMaind  6
 zbiór sprzężony w przestrzeni
Wiemy ze dla każdego C R^n dualny/polarny zbiór dla tego zbioru to C*= \{ y ...
 anja88  3
 Zupełność przestrzeni - zadanie 5
jest to Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej \Omega , znikających w nieskończonośc...
 aqlec  2
 odległość punktu od zbioru w przestrzeni l_2
Niech A=\{(x_i)\in l_1:\sum x_i^2=1\}. Wyznacz odległość d(z,A), gdzie z= \frac{1}{2^i} w l_2...
 wiedzma  0
 Warunki funkcji, ktore spelnia relacja
Sprawdz, ktore warunki funkcji spelnia podana relacja: Φ ε RxR x Φ yx+|x|=1 Z gory dzieki za pomoc!...
 maverick  0
 Przestrzeń Hilberta i nierówność Schwarza w tej przestrzeni
Wykaż, że przestrzeń l^{2} _{n} jest przestrzenią Hilberta. Zapisz nierówność Schwarza dla tej przestrzeni....
 solwina  6
 Funkcja ciągła w przestrzeni unormowanej
Jak udowodnić, że każda funkcja liniowa określona na skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej jest ciągła?...
 Miroslav  5
 izomorfizm przestrzeni c i c0
Co więcej jest to izomorfizm liniowo-topologiczny (przy normie supremum). Można też pokazać, że przestrzenie te nie są liniowo izometryczne, co jest fajnym zadankiem ...
 magda877  3
 Norma w przestrzeni funkcji ciągłych
Mam ciąg funkcji f_{n}(x) = x^{n} \in C^{0}(). Jakim wzorem będzie wyrażała się norma || f_{n} ||^{0}? Wiem, że będzie ona wynosiła 1. Nie jestem jednak do końca pewna jak...
 Ola964  2
 Ośrodkowość przestrzeni C(X) + przestrzeń sprzężona
Jak w temacie, czy przestrzeń ta jest ośrodkowa? Jak wygląda przestrzeń do niej sprzężona? C(X)-przestrzeń funkcji ciągłych na prz metrycznej....
 Ryland  5
 ciągi zbieżne w metryce kolejowej
Jakie ciągi są zbieżne w metryce węzła kolejowego: d\left( x,y\right) = \begin{cases} \rho\left( x,0\right) + \rho\left( y,0\right), & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ nie są współliniowe} \\ \rho\left( x...
 sympatia17  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com