szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3474
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3387
Lokalizacja: Lancaster
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3474
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metryka w przestrzeni Riemanna
Mamy pytanie: czy w każdej przestrzeni Riemanna pochodna kowariantna metryki (tensora metrycznego) jest zerowa? Jeśli tak to jak to udowodnić?...
 Supersymmetry  0
 zbiór sprzężony w przestrzeni
Wiemy ze dla każdego C R^n dualny/polarny zbiór dla tego zbioru to C*= \{ y ...
 anja88  3
 Kula w przestrzeni unormowanej
Udowodnić, że w przestrzeni unormowanej X,\left| \left| \cdot \right| \right| zachodzą równości: \overline{K(x,r)}=\overline{K}(x,r)\\ Int(\overline{K}(x,r))=K(x,r)[...
 hared  1
 norma w przestrzeni ilorazowej
Znajdź normę w przestrzeni ilorazowej: (\mathbb{R}^3,\left \| . \right \|_\infty )/B,\ B=\left \{ (x,y,z):x=z=0 \right \} \left |\left \| \right \| \right |=inf \left\{ \le...
 Anonymous  1
 Komutator operatorów na przestrzeni Hilberta
Rozważamy przestrzeń Hilberta \mathcal{H} = L^2 \bigl( \bigr). Z \mathcal{H} wybieramy podzbiór D tych wszystkich funkcji, które mają pochodną prawie...
 luka52  6
 Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Witam! Mam pokazać, że zbiór P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\} jest wypukły, zwarty w przestrzeni L^{\infty}. Z wypukłością sobie ...
 edzia1987sh  12
 Podzbiór w przestrzeni Hilberta
Witam, niech H będzie dowolną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta. Powiedzmy, że mamy przeliczalny zbiór X \subset H. Czy potrafimy wskazać podprzestrzeń [te...
 Mistrz  2
 Ośrodek w przestrzeni z bazą Schaudera
Mamy przestrzeń (X, ||\cdot||) z bazą Schaudera (u_n). Pokazać, że A=\{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i u_i: n\in\mathbb{N}, \alpha_i\in\mathbb{Q}\} jest oś...
 Miroslav  10
 Odległość w przestrzeni unormowanej
Dokładnie. Pozdrawiam....
 pingwinn  3
 wykazać, że w przestrzeni przesuwalnej jest ciągły - zadanie 3
Wykazać, że: Jeśli X jest przestrzenią liniowo metryczna z metryką przesuwalną i f należy do X' to: 1 f jest ciągły wtedy i tylko wtedy 2 f jest ciągły w jednym punkcie....
 viki90  1
 funkcja ciągła w przestrzeni metrycznej
Proszę o pomoc w następującym zadaniu: X-przestrzeń funkcji rzeczywistych ciągłych przedziale , z metryką d: d(m,n)=sup\left\{ \left| m(x)-n(x)\right|:x \in \right\}gdzie ...
 majeczka1122  2
 Dowód gęstości unormowanej przestrzeni liniowej f. skokowych
Witam! Oznaczmy przez S zbiór funkcji postaci: s= \sum_{i=1}^{n} s _{i} \cdot \chi_{i} (x). Gdzie jest przedziałem podziału P: i s_{i}[/tex:l...
 F4llenone  7
 Zupełność przestrzeni - zadanie 3
W przestrzeni c_{0} ciągów zbieżnych do zera wprowadzamy metryką d((x_{n}),(y_{n}))= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n}} |x_{n}- y_{n} |. Sprawdź zupełność pr...
 paulala  2
 odległość funkcji w przestrzeni
W przestrzeni C\left( \left \right) wyznaczyć odległość funkcji x,y \in C\left( \left \right) gdy x\left( t\right) = \sqrt{t}[/te...
 doly  1
 Przestrzeń Hilberta i nierówność Schwarza w tej przestrzeni
Wykaż, że przestrzeń l^{2} _{n} jest przestrzenią Hilberta. Zapisz nierówność Schwarza dla tej przestrzeni....
 solwina  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com