szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2904
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 12:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 3337
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg należący do przestrzeni
Dla każdej z przestrzeni c_0, c, l_ \infty zbadać, czy ciąg x_n=\left( 1+ \frac{(-1)^n}{n} \right)^n, do niej należy...
 Niuans  1
 Różniczkowalność funkcjonału na przestrzeni unormowanej
Rozważmy przestrzeń C(; \RR) \rightarrow \RR_{ \ge 0} : f \mapsto ||f|| := \sup_{t \in } |f(t)| oraz jej podprzestrzeń C^{sym}(;\RR) złożona z funkcji o...
 arezz  0
 pokazac ze bezwarunkowo zbiezn szereg w przestrzeni hilberta
Pokazać, że bezwarunkowo zbieżny szereg \sum x_i w przestrzeni Hilberta spełnia \sum ||x_i||^2<\infty...
 pauli 0128  6
 pole powierzchni w przestrzeni
Bardzo proszę o pmoc w rozwiązaniu takiego zadanka. Obliczyć pole tej części powierzchni z= xy, która jest ograniczona płaszczyznami x+y = 1, x=0, y=0. Dzięki...
 aina1000  1
 Zbieżność ciągu w przestrzeni l2
Witam, mam takie zadanie czy ten ciąg x_{n}=(1,1,1,...,1,1,0,0,0,...), gdzie 1 występuje na pierwszych n miejscach jest zbieżny w przestrzeni l2 z normą ||x||=( \sum_{n}^{ \infty }|x_{n}|^{2}&#41...
 radekrybciak  1
 Ciągi zstępujące.
Mamy twierdzenie: Jeżeli (A_{n})_{n\geqslant 0} oraz (B_{n})_{n\geqslant 0} są zstępującymi ciągami zbiorów domkniętych w przestrzeni unormowanej oraz A _{1}[/te...
 vexa  1
 Trudne zadania z przestrzeni
Jeżeli ktoś potrafi, proszę spróbować rozwiązać te zadania z matematyki wyższej. Będę bardzo wdzięczny. 1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję y=sin(2x), xc w bazie funkcji ortonormalnych wielomianem Lebesgue'a. 2. Czy elementy t^-1, t, t^3 ...
 Anonymous  0
 jak dobrać iloczyn skalarny w przestrzeni z zadaną normą?
Mam przestrzeń C ^{1}\left, która staje się rzeczywistą przestrzenią unitarną, jeśli określimy w niej normę wzorem: \left| \left| x\right| \right|= \sqrt{ \int_{0}^{1} \left| x\left( t\right...
 KasienkaG  5
 Kula w przestrzeni unormowanej
Udowodnić, że w przestrzeni unormowanej X,\left| \left| \cdot \right| \right| zachodzą równości: \overline{K(x,r)}=\overline{K}(x,r)\\ Int(\overline{K}(x,r))=K(x,r)[...
 hared  1
 norma w przestrzeni ilorazowej
Znajdź normę w przestrzeni ilorazowej: (\mathbb{R}^3,\left \| . \right \|_\infty )/B,\ B=\left \{ (x,y,z):x=z=0 \right \} \left |\left \| \right \| \right |=inf \left\{ \le...
 michal422  1
 Komutator operatorów na przestrzeni Hilberta
Rozważamy przestrzeń Hilberta \mathcal{H} = L^2 \bigl( \bigr). Z \mathcal{H} wybieramy podzbiór D tych wszystkich funkcji, które mają pochodną prawie...
 luka52  6
 Zadanie z przestrzeni metrycznych.
Pokaż,że zbiór R^{n} z funkcją {d} określoną wzorem: d(x,y)=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2} } gdzie x = (x_{1},x_{2...
 trebuh11  1
 Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Witam! Mam pokazać, że zbiór P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\} jest wypukły, zwarty w przestrzeni L^{\infty}. Z wypukłością sobie ...
 edzia1987sh  12
 Ośrodek w przestrzeni z bazą Schaudera
Mamy przestrzeń (X, ||\cdot||) z bazą Schaudera (u_n). Pokazać, że A=\{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i u_i: n\in\mathbb{N}, \alpha_i\in\mathbb{Q}\} jest oś...
 Miroslav  10
 Odległość w przestrzeni unormowanej
Dokładnie. Pozdrawiam....
 pingwinn  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com