szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3342
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2908
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3342
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność ciągu w podanej przestrzeni
Zbadać zbieżność ciągu x_n=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, ...,\frac{1}{n}, 0, 0, 0, ...)\quad(\frac{1}{n} - n razy) w przestrzeni l^2....
 Miroslav  5
 Iloczyn skalarny w przestrzeni.
Witam! Znalazłem juz ostatnie zadanko, z którym nie moge sobie poradzić. Czy ktos ma pomysł? Rozważmy przestrzeń L^{2} z iloczynem skalarnym danym wzorem <x,y>=x(t)y(t)[/tex:28jd6u...
 lewis83  1
 Norma w przestrzeni liniowej
Jak sprawdzić czy poniżej określona funkcja N _{i}: l _{1} \rightarrow R jest półnormą czy normą w przestrzeni liniowej l _{1}? Ja znam warunki, ale chciałabym zobaczyć jak to się formalnie sp...
 Swider  3
 Odległość w przestrzeni ciągów zbieżnych do 0 cz.2
W przestrzeni c_0 wyznaczyć odległość ciągów x=(x_n), ~~y=(y_n), gdy x_n=\sqrt{n}-1, ~~y_n=0, n\in N....
 borubarek  1
 kula domknięta w przestrzeni metrycznej
Wyznaczyć kulę domkniętą o środku w punkcie 2 i promieniu 3 w przestrzeni \left( \RR, d\right), gdy d\left( x,y\right) = \begin{case...
 stokrotka1992  5
 ośrodkowość przestrzeni
Mam sprawdzić czy dla zbioru T \neq 0 przestrzeń B(T) wszystkich funkcji ograniczonych x:T \rightarrow \mathbb{C} oraz podprzestrzeń C(T&...
 repoka  2
 Metryka w przestrzeni Riemanna
Mamy pytanie: czy w każdej przestrzeni Riemanna pochodna kowariantna metryki (tensora metrycznego) jest zerowa? Jeśli tak to jak to udowodnić?...
 Supersymmetry  0
 Odległość ciągów w przestrzeni l_{2}
W przestrzeni l_{2} wyznaczyć odległość ciągów x=\left( x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}} i y=\left( y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}}, gdzie [tex:2t...
 IloveMath  1
 Funkcja ciągła w przestrzeni unormowanej - zadanie 2
Witam, mam takie oto zadanko: Na rzeczywistej przestrzeni unormowanej określona jest addytywna funkcja ciągła f. Pokazać, że f jest jednorodna. Jak mniej więcej trzeba się za zabrać za udowo...
 Miroslav  2
 Nigdziegęstość w przestrzeni funkcji ciągłych
W przestrzeni C() z metr. maksimum pokaż, że: a) zbiór funkcji różniczkowalnych jest brzegowy, ale nie jest nigdziegęsty. b)zbiór funkcji przyjmujących wartość 0 w punkcie [tex:1...
 21mat  2
 Domknięta podprzestrzeń przestrzeni
Muszę oddać wykładowcy zestaw kliku zadań- niestety od 3 tygodniu leże w szpitalu i moje myślenie jest przez to trochę otępiałe zostało mi jeszcze jedno zadanie za które kompletnie się nie wiem jak zabrać. Mógłby mi ktoś pomóc? Wykazać, że[tex:35tm...
 kropkax  6
 Ośrodkowość przestrzeni l^p n
Poszukuję dowodu ośrodkowości przestrzeni l^{p} _{n} Ewentualnie czy wystarczy wykazać, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest ośrodkowa??...
 l001  5
 Baza przestrzeni odwzorowań p-liniowych znakozmiennych - zadanie 2
Witam,mam problem z udowodnieniem faktu, że dla p>n przestrzeń A_p(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})=\{{0\}} za wszelką pomoc będę bardzo wdzięczny....
 cyberain  0
 funkcjonał liniowy na przestrzeni Banacha.
Witam, mam do zrobienia zadanie: Niech f będzie funkcjonałem liniowym na przestrzeni banacha X. Pokazać że jeśli f nie jest identycznością zera to a) [tex:n8dc9y...
 wiedzmaruda  4
 Elementarne równości w przestrzeni metrycznej
Mam tego dowieść: A,B \subset R A+B = {x,y : x \in A, y \in B} sup(A+B) = sup A + sup B Int(A+B) = Int A + Int B Ja...
 ramanujan  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com