szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3380
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2949
Lokalizacja: Lancaster
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3380
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadanie z przestrzeni metrycznych.
Pokaż,że zbiór R^{n} z funkcją {d} określoną wzorem: d(x,y)=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2} } gdzie x = (x_{1},x_{2...
 trebuh11  1
 Zanurzenie w przestrzeni Hilberta
Witam, Czy ktoś mógłby mi pomóc z dowodzikiem? Twierdzenie wygląda tak: Dowolna niezupełna przestrzeń euklidesowa (unormowana) może być gęsto zanurzona w pewnej przestrzeni Hilberta (Banacha). Jakby ktoś miał jakiś...
 miki999  3
 Odległość w przestrzeni ciągów zbieżnych do 0
W przestrzeni c_{0} (przestrzen ciągów zbieżnych do 0) wyznaczyć odległość ciągów x=(x_{n}),\ y=(y_{n}), gdy a)x_{n}= \frac{n}{n^2+...
 water123  1
 Odległość w przestrzeni C([0,1]) cz.2
W przestrzeni C() wyznaczyć odległość funkcji x,y\in C(), gdy x(t)=1-t,~~ y(t)=1+t, t\in [/tex:2nxm8h8...
 borubarek  1
 norma w przestrzeni C([0;1])
Zadanie 1. Niech \alpha >0 w przestrzeni funkcji ciągłych określonych na . Określono następujące normy ||f|| _{ \infty } =sup_{t \in } |f(t)|[/tex:1fuyag5...
 Wioletta2  0
 iloczyn skalarny w przestrzeni
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów x(t)=sint oraz x(t)=cost w przestrzeni unitarnej L^2...
 monikap7  0
 Podzbiór w przestrzeni Hilberta
Witam, niech H będzie dowolną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta. Powiedzmy, że mamy przeliczalny zbiór X \subset H. Czy potrafimy wskazać podprzestrzeń [te...
 Mistrz  2
 Kula w przestrzeni metrycznej
Mam takie zadanko ... Wiadomo że w zbiorze R� funkcja dla każdego x=(x1,x2),y=(x1,x2) d(x,y)=max(|x1-y1|,|x2-y2|) jest metryką.Znajdź kule K((2,3),2). Może ktoś ma pomysł jak to rozwiązać ?...
 AgUnka  3
 wykazać, że w przestrzeni przesuwalnej jest ciągły - zadanie 3
Wykazać, że: Jeśli X jest przestrzenią liniowo metryczna z metryką przesuwalną i f należy do X' to: 1 f jest ciągły wtedy i tylko wtedy 2 f jest ciągły w jednym punkcie....
 viki90  1
 Zbieżność ciągu w przestrzeni C([0,1])
Mam sprawdzić, czy ciąg f_{n}= \frac{1}{n} \sin nx, x \in , n \in N jest zbieżny w przestrzeni C(). ustaliłam, że jest on punktowo zbieżny do f(x)=0[...
 prawyakapit  1
 operator liniowy w przestrzeni unormowanej dowód
Użyj następującej obserwacji: zbiór w przestrzeni unormowanej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnej kuli o promieniu w zerze....
 21mat  1
 Zbadanie czy element należy do przestrzeni
Witajcie! Problemem są całki, więc nie jestem pewna czy w dobrym dziale jest ten temat. Mam sprawdzić czy element x \in L_{2} \left. 1. x= \frac{ \sqrt{ \alpha} }{\cos \left( \alpha t\right&...
 milka333  1
 Refleksywność przestrzeni funkcji istotnie ograniczonych
Czy przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych L^\infty(\Omega,\Sigma,\mu) jest refleksywan?...
 janas  2
 Zupełność przestrzeni ciągów sumowalnych z metryką
Niech (x(n))_{n} będzie ciągiem z \ell^{1} (tzn. ciąg ciągów), (x(n))_{n}=(x_{1}(n),x_{2}(n),...). Zakładam...
 Studentka1992  2
 zbieżność ciągu w przestrzeni L2 - zadanie 2
Witam Mam problem z zadaniem Zbadać zbieżność ciagu w przestrzeni \left( l ^{2}, d _{ l_{2} } \right) x _{x} \left( k \right) = \begin{cases} \frac{1}{n}\mbox{ dla }k \le n \\ 0\mbox{ dla...
 jak to  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com