szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3418
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 00:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Lancaster
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3418
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadanie z przestrzeni metrycznych.
Pokaż,że zbiór R^{n} z funkcją {d} określoną wzorem: d(x,y)=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2} } gdzie x = (x_{1},x_{2...
 trebuh11  1
 Odległość w przestrzeni ciągów zbieżnych do 0
W przestrzeni c_{0} (przestrzen ciągów zbieżnych do 0) wyznaczyć odległość ciągów x=(x_{n}),\ y=(y_{n}), gdy a)x_{n}= \frac{n}{n^2+...
 water123  1
 Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej...
Wykazać, że w każdej przestrzeni unitarnej X \neq \left\{ 0 \right\} istnieje układ ortonormalny zupełny. Bardzo proszę o pomoc....
 yellowka  1
 Metryka w przestrzeni Riemanna
Mamy pytanie: czy w każdej przestrzeni Riemanna pochodna kowariantna metryki (tensora metrycznego) jest zerowa? Jeśli tak to jak to udowodnić?...
 Supersymmetry  0
 Przestrzeń Hilberta i nierówność Schwarza w tej przestrzeni
Wykaż, że przestrzeń l^{2} _{n} jest przestrzenią Hilberta. Zapisz nierówność Schwarza dla tej przestrzeni....
 solwina  6
 Odległość w przestrzeni C([0,1]) cz.2
W przestrzeni C() wyznaczyć odległość funkcji x,y\in C(), gdy x(t)=1-t,~~ y(t)=1+t, t\in [/tex:2nxm8h8...
 borubarek  1
 zbieżność ciągu w przestrzeni L2 - zadanie 3
Witam Mam problem z zadaniem Zbadać zbieżność ciagu w przestrzeni \left( l ^{2}, d _{ l_{2} } \right) x _{x} \left( k \right) = \begin{cases} \frac{1}{n}\mbox{ dla }k \le n \\ 0\mbox{ dla...
 jak to  8
 norma w przestrzeni C([0;1])
Zadanie 1. Niech \alpha >0 w przestrzeni funkcji ciągłych określonych na . Określono następujące normy ||f|| _{ \infty } =sup_{t \in } |f(t)|[/tex:1fuyag5...
 Wioletta2  0
 iloczyn skalarny w przestrzeni
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów x(t)=sint oraz x(t)=cost w przestrzeni unitarnej L^2...
 monikap7  0
 izomorfizm przestrzeni c i c0
Co więcej jest to izomorfizm liniowo-topologiczny (przy normie supremum). Można też pokazać, że przestrzenie te nie są liniowo izometryczne, co jest fajnym zadankiem ...
 magda877  3
 Zupełność przestrzeni - zadanie 4
Dla \alpha\in\left(0,1\right] definiujemy C^\alpha\!\left(\left\right) = \left\{ f \in C\!\left(\left \right) \; : \sup_{x,y\in\left}\!\!\tfrac{\left|f&#...
 Hirakata  9
 Zbieżność ciągu w podanej przestrzeni
Zbadać zbieżność ciągu x_n=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, ...,\frac{1}{n}, 0, 0, 0, ...)\quad(\frac{1}{n} - n razy) w przestrzeni l^2....
 Miroslav  5
 Norma w przestrzeni liniowej
Jak sprawdzić czy poniżej określona funkcja N _{i}: l _{1} \rightarrow R jest półnormą czy normą w przestrzeni liniowej l _{1}? Ja znam warunki, ale chciałabym zobaczyć jak to się formalnie sp...
 Swider  3
 kula domknięta w przestrzeni metrycznej
Wyznaczyć kulę domkniętą o środku w punkcie 2 i promieniu 3 w przestrzeni \left( \RR, d\right), gdy d\left( x,y\right) = \begin{case...
 stokrotka1992  5
 ośrodkowość przestrzeni
Mam sprawdzić czy dla zbioru T \neq 0 przestrzeń B(T) wszystkich funkcji ograniczonych x:T \rightarrow \mathbb{C} oraz podprzestrzeń C(T&...
 repoka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com