szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2013, o 11:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
1. x_n(t)=t^n(1-t), t \in [-1,1].
2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1].

1. \lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^n(1-t)=0
x(t)=\overline{0}.
x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n \ge 0? (dla t \in [0,1] mieliśmy właśnie tak, ale w tym przypadku t \in [-1,1], a ta nierówność wyżej nie jest spełniona, np dla t=1, n=3).
Jak to dalej rozwiązać?

2. x_n(t)=t^{2n}(1-t^2), t \in [-1,1]

\lim_{ n\to \infty }x_n(t)= \lim_{n \to \infty }t^{2n}(1-t^2)=0 \\ \\ 
x(t)=\overline{0}, t \in [-1,1] \\ \\ 
x_n'(t)=2nt^{2n-1}-(2n+2)t^{2n+1} \ge 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{n}{n+1} } \ge t.

\parallel x_n-x\parallel=\sup \left\{ \left|t^{2n} \left( 1-t^2 \right) \right|: t \in \left[ -1,1 \right] \right\} =x_n \sqrt{ \frac{n}{n+1} }=
\left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) = \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n\cdot \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 przy n \rightarrow \infty czyli x_n zbieżny do x.

Dobrze to jest? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 3330
Lokalizacja: Wrocław
W 1) mamy x_n(-1)=(-1)^n\cdot 2 i to nie jest zbieżne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 01:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2902
Lokalizacja: Instytut Matematyczny PAN
w 2) możesz rozważać zbieżność na kawałkach [-1,0] i [0,1] oddzielnie do każdego stosować tw. Diniego:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Diniego

ale nie jest to konieczne. Zauważ, że x_n(-1)=x_n(1)=0. Teraz pokaż, że (x_n)_{n=1}^\infty zbiega jednostajnie do 0 na (0,1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 12:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Ale 2) rozwiązane moim sposobem jest ok? :)

a co w przypadku, gdy mamy ciąg x_n(t)=t^2+nt dla t \in [-1,1]?
Wystarczy napisać, że granica tego ciągu to \infty przy n \rightarrow  \infty, więc x_n(t) jest rozbieżny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 3330
Lokalizacja: Wrocław
Tak, wystaczy. A co do pkt. 2, to szukamy x'_n(t)=0, nie \ge 0, ale poza tym jest dobrze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 norma w przestrzeni afinicznej
Dzień dobry:) Mam za zadanie wprowadzic normę w dowolnej przestrzeni afinicznej, ale niestety nie mam na to pomysłu. Bardzo dziękuję za wszystkie wskazówki !!...
 bylekto  3
 czy ciąg należy do przestrzeni?
Sprawdzić, czy ciąg f _{n}=\left( \frac{1}{nlnn},..., \frac{1}{nlnn},0,0,... \right)na pierwszych n miejscach \frac{1}{nlnn} na pozostałych 0, należy do przestrzeni: a) [tex:3m8ycua4...
 marta12346  6
 zbieżność w przestrzeni metrycznej - zadanie 3
W przestrzeni \iota^{p} = \left\{ \left( a_{1}, a_{2}, ...\right): \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_{n}\right| < \infty \right\} dane są ciągi: x_{n} = \left( \frac{1}{n} , \frac{1}{n} , ..., \...
 sympatia17  5
 Wymiar przestrzeni - zadanie 9
Pokaż, że rodzina \mathcal{F} =\{f_t :\forall_{u\in } (f_t (u) =e^{tu}) \wedge t\in (0,+\infty )\} \subseteq C jest liniowo niezależna. Pokaż, że rodzina \mathcal{G} =\{f_t ...
 ardianmucha  2
 norma na przestrzeni liniowej
nie wiem jak zrobić to zadanie bardzo proszę o pomoc. Wykazać, że norma \left| \left| \cdot \right| \right| na przestzreni liniowej X jest funkcją ciągłą z (X.\left| \left| ...
 zoik1989  1
 norma w przestrzeni C[0,2]
Mam problem z zadaniem: Oblicz normę wektora w przestrzeni: X= C() x(t)= \frac{t}{1+ t^{3} } norma w C() to sup, więc mam ||x||=sup|x(t)|=sup| \frac{t}{1+ t^{3} }| przy [tex:1g3...
 Mika24  1
 Zbiór wypukły w przestrzeni unormowanej
Udowodnić, że K(x_0,r) w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym....
 matematyk261  3
 Charakteryzacja przestrzeni sprzężonej
Mam takie pytanie nie związane z obliczeniami, lecz z samą treścią zagadnienia, bo nie rozumiem za bardzo, o które twierdzenie chodzi. W zagadnieniach na egzamin mam takie dwa sformułowania: charakteryzacja przestrzeni sprzężonej do l^l...
 esserpmi  1
 zbieżność ciągów w przestrzeni - zadanie 2
Zbadać zbieżność ciągu x_n w przestrzeni X: a). x_n(t)= \sqrt{t ^{2}+ \frac{1}{n} }, t \in \left\langle -1,1\right\rangle , X=C(...
 Natasha  2
 Geometria przestrzeni C(K), gdzie K jest zwarta przeliczalna
Klasyczne twierdzenie Bessagi-Pełczyńskiego orzeka, że jeżeli K jest zwartą i przeliczalną (a więc metryzowalną) przestrzenią topologiczną Hausdorffa, to przestrzeń C(K) jest izomorfic...
 Spektralny  5
 Zanurzenie w przestrzeni Hilberta
Witam, Czy ktoś mógłby mi pomóc z dowodzikiem? Twierdzenie wygląda tak: Dowolna niezupełna przestrzeń euklidesowa (unormowana) może być gęsto zanurzona w pewnej przestrzeni Hilberta (Banacha). Jakby ktoś miał jakiś...
 miki999  3
 Problem z uogólnieniej przestrzeni unormowanej
Mam pewien problem dotyczący definicji przestrzeni unormowanej. Konkretnie z przypadkiem gdy jako ciało w przestrzeni wektorowej w której rozważamy normę wezmę dowolne ciało, niekoniecznie zbiór liczb rzeczywistych czy zespolonych. Poszukiwałem infor...
 BraveMaind  6
 norma na przestrzeni ilorazowej
Niech X będzie przestrzenią unormowaną, Y jej podprzestrzenią. Jak będzie wyglądać norma na X/Y?...
 JakubCh  1
 zbiór sprzężony w przestrzeni
Wiemy ze dla każdego C R^n dualny/polarny zbiór dla tego zbioru to C*= \{ y ...
 anja88  3
 Norma w przestrzeni ciągów równoważnych
Cześć Wam. Niech \mathbb{R}^{\mathbb{N}} będzie przestrzenią wszystkich ciągów liczbowych (rzeczywistych). Wprowadźmy relację równoważności w tej przestrzeni w następujący sposób: \left[(x_n)_{n\in\...
 JakimPL  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com