[ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Mam do udowodnienia spójność przestrzeni \left( 0,1\right). Znalazłem fajny dowód ale dla zbioru obustronnie domkniętego
260223.htm

a jak będzie w tym przypadku? Proszę o podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Jeszcze łatwiej :) Przedział (0,1) jest homeomorficzny z całą prostą poprzez funkcję f:\RR\to(0,1), f(x)=\frac{1}{\pi}\left(\arctg{x}+\frac{\pi}{2}\right). Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, a \RR z topologią naturalną jest przestrzenią spójną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
kurcze dzięki, ale czy nie da się tego zrobić jakoś na zbiorach, i punktach tak jak w podanym przeze mnie linku? I jeszcze jedno w tym temacie rozumiem wszystko 250780.htm tylko nie rozumiem dlaczego napisałeś, że te dwa przekroje w sumie dadzą cały zbiór A? A co z punktem z? przecież chyba suma tych dwóch zbiorów da nam A \setminus \left\{ z\right\}chyba że nie kumam.... chyba nie kumam :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Przecież z\not\in A, co założyłem nie wprost. Więc wszystko jest w porządku.

Dobrze szukasz. Stary temat odgrzebałeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Kurcze nadal nie kumam, nie da się tego jakoś rozrysować???? :wink:

-- 15 sty 2013, o 19:15 --

Rozumiem, iż założyłeś tam sobie, że nasz zbiór jest niespójny i próbowałeś dojść do sprzeczności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - to założyłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Załóżmy nie wprost, że nasz odcinek\left( 0,1\right) jest niespójny i oznaczmy go przez A. Przyjmijmy, że istnieje taki punkt z \in R \setminus A, że 0<z<1.
zatem \left(-\infty,z\right) \cap A po zsumowaniu z przekrojem A \cap \left( z,\infty\right) da nam zbiórA. W myśl definicji, jeżeli zbiór da się przedstawić jako sumę dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych to jest zbiorem niespójnym.
Kurde no i gdzie tu sprzeczność, której mi potrzeba??? :evil:
sorki ale siedzę i ryje już od rańca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Zauważ, że zbiór U\subset (0,1) jest otwarty w (0,1)\iff jest otwarty w \RR w topologii naturalnej. To wynika z definicji topologii podprzestrzeni, nie będę się tu rozdrabniał. Może innym razem.

Powiedzmy, że (0,1) jest niespójny. Istnieją więc zbiory otwarte rozłączne U,V\subset(0,1) takie, że U\cup V=(0,1). Skoro są ograniczone, to mają oba kresy. Niech 0=\inf U, 1=\sup V. Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset. A zatem \sup U\le\inf V. Oczywiście \sup U=\inf V, gdyż inaczej U\cup V\ne(0,1). No więc mamy, że ten element leży w jednym ze zbiorów, np. w U. Przeczy to jego otwartości, bo żaden przedział o środku w tym kresie nie zawiera się w U. Podobnie, gdyby ten kres leżał w V.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Suszec
szw1710 napisał(a):
Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset.


Nie bardzo rozumiem dlaczego miałoby to zachodzić. Poza tym w rozumowaniu nie założyliśmy dość istotnego założenia, że zbiory U i V są niepuste.

Teraz wystarczy wziąć a \in U, b \in V. Bez straty ogólności możemy założyć, że a < b. Oznaczmy c = \sup(U \cap [a,b]). Wtedy a < c < b (ponieważ istnieje takie \varepsilon > 0, że (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U, (b - \varepsilon, b+ \varepsilon) \subset V).
Punkt c musi należeć do któregoś ze zbiorów. Załóżmy, że c \in U. Ponieważ, U jest otwarty, to istnieje takie \varepsilon > 0, że (c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U. Ale wtedy mamy, że \sup(U \cap [a,b]) > c. Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12625
Lokalizacja: Cieszyn
Z tymi kresami rzeczywiście - za bardzo zasugerowałem się przedziałami. Dziękuję za czujność.

Wykończenie dowodu podobne do mojego. Przestudiowałem je - w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Wielkie dzięki Panowie jesteście WIELCY :wink: pozdrawiam i miłego wieczoru

-- 15 sty 2013, o 22:03 --

A tak z ciekawości czy znalazłaby się jakaś inna funkcja (w miarę prosta), która byłaby tym homeomorfizmem z drugiej odpowiedzi? Tak z ciekawości pytam....

-- 16 sty 2013, o 09:31 --

Czyli mogłoby być tak:
Załóżmy nie wprost, że \left( 0,1\right) jest zbiorem niespójnym.
U,V - niepuste otwarte podzbiory \left( 0,1\right), takie że:
U \cup V = \left( 0,1\right)
zbiory te muszą być także parami rozłączne więc:
U \cap V =\emptyset

Weźmy dwa punkty a,b takie, że a<b...... i reszta już dokładnie tak jak to pokazał
Kolega Łukasz.Przontka...... czy coś opuściłem.......
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 spójność przestrzeni macierzy odwracalnych
Czy przestrzeń macierzy odwracalnych z topologią indukowaną z topologii przestrzeni unormowanej macierzy kwadratowych jest spójna? Czy jest łukowo spójna? Czy zależy to jakoś od rozmiaru macierzy? Udało mi się wymyślić, dlaczego musi to być zbiór o...
 ymar  8
 Wnętrze, domknięcie, spójność
Nieck X=R^2 i niech A=\{&#40;x,y&#41;:1 \le x&lt;2,0&lt;y \le 1\}. Rozważmy metrykę zwykłą w X i metrykę &quot;rzeka&quot;. a) Jakie jest wnętrze zbioru [tex:2yh3...
 misia12345  2
 podzbiór zbioru liczb - zadanie 2
Pokazać, że każdy zawarty podzbiór zbioru liczb niewymiernych P jest zbiorem nigdziegęstym w P...
 baskaa1221  1
 zwartośc i pochodna zbioru
Proszę o pomoc : ) Pokazać, że jeśli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d) wtedy pochodna zbioru A jest też zbiorem zwartym....
 natalamur  1
 Dowód własności wnętrza zbioru
W jaki sposób wykazać, że: Int&#40;A \cap B&#41;=Int&#40;A&#41; \cap Int&#40;B&#41;...
 jukke  1
 Domknięcie, wnętrze, spójność
A ja znam taką definicję: X - przestrzeń topologiczna A\subset X jest spójny \iff nie istnieją zbiory F,G[/tex:2...
 misia12345  9
 Wyznaczyć domknięcie zbioru
(a) A jest domknięty w T \Leftrightarrow \mathbb{R} \backslash A jest otwarty \Leftrightarrow A jest skończony, lub A = \mathbb{R}. ...
 polcia_89  1
 Spójność dowód
Z definicji spójności udowodnij, że jeśli X jest przestrzenią spójną i zbiór A jest niepustym podzbiorem przestrzeni X, który jest jednocześnie otwarty i domknięty to A=X. Zaczęłam rozwiązywać to zadanie, ale nie jestem pewna czy dobrze je rozumiem...
 lemonka  4
 Spójność zbiorów, koło otwarte
Udowodnij, że koło otwarte na płaszcźyznie jest zbiorem spójnym. Proszę o dokładny rozpis dowodu....
 DDDanonek  2
 Spójność zbioru - zadanie 2
Rozważmy zbiór X=S^2 \setminus L, gdzie S^2 jest sferą, zaś jest pewnym przeliczalnym podzbiorem. Pokazać, że X jest spójny....
 sorcerer123  2
 Średnica zbioru względem różnych metryk
Jaka jest średnica zbioru \left\{ &#40;x,y&#41; \in \mathbb{R}^2: &#40;x-1&#41;^2 + &#40;y+1&#41;^2 \le 1 \right\} w metryce euklidesowej, miasto, rzeka, centrum i maksimum? Według mnie w euklidesowej, centrum i maksim...
 MakCis  4
 Zwartość i spójność a ciągłość
Niech f: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}. Załóżmy, że: f&#40;K&#41; jest zbiorem zwartym dla dowolnego zbioru zwartego K\subset \mathbb{R}^{n}, f&#4...
 max  7
 Brzeg zbioru liczb wymiernych
Witam, Jak można udowodnić, że brzeg zbioru liczb wymiernych jest zbiorem liczb rzeczywistych? Innymi słowy dlaczego: \mathrm{bd} \ \mathbb{Q}=\mathbb{R} Wydaje mi się to bardzo nieintuicyjne. Z góry dzięki. Radek...
 rkaminski  3
 Punkty ekstremalne zbioru
Mam następujące zadanie: Wyznaczyć punkty ekstremalne zbioru \{f\in X: 0\leq f&#40;x&#41; \leq x\}, gdzie X=L^p . Nie bardzo wiem, jak się za to zabrać. Wiem, że punkt ekstremalny [tex:2...
 bartm  0
 Ciągłość, a zwartość, spójność i domkniętość zbiorów
Proszę o wytłumaczenie dlaczego podane implikacje nie są prawdziwe: f: X \rightarrow Y - ciągła, (X, Y są przestrzeniami metrycznymi), A \subset X, B \subset Y 1) A ...
 Teano  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com