szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Mam do udowodnienia spójność przestrzeni \left( 0,1\right). Znalazłem fajny dowód ale dla zbioru obustronnie domkniętego
260223.htm

a jak będzie w tym przypadku? Proszę o podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13292
Lokalizacja: Cieszyn
Jeszcze łatwiej :) Przedział (0,1) jest homeomorficzny z całą prostą poprzez funkcję f:\RR\to(0,1), f(x)=\frac{1}{\pi}\left(\arctg{x}+\frac{\pi}{2}\right). Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, a \RR z topologią naturalną jest przestrzenią spójną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
kurcze dzięki, ale czy nie da się tego zrobić jakoś na zbiorach, i punktach tak jak w podanym przeze mnie linku? I jeszcze jedno w tym temacie rozumiem wszystko 250780.htm tylko nie rozumiem dlaczego napisałeś, że te dwa przekroje w sumie dadzą cały zbiór A? A co z punktem z? przecież chyba suma tych dwóch zbiorów da nam A \setminus \left\{ z\right\}chyba że nie kumam.... chyba nie kumam :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13292
Lokalizacja: Cieszyn
Przecież z\not\in A, co założyłem nie wprost. Więc wszystko jest w porządku.

Dobrze szukasz. Stary temat odgrzebałeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Kurcze nadal nie kumam, nie da się tego jakoś rozrysować???? :wink:

-- 15 sty 2013, o 19:15 --

Rozumiem, iż założyłeś tam sobie, że nasz zbiór jest niespójny i próbowałeś dojść do sprzeczności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13292
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - to założyłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Załóżmy nie wprost, że nasz odcinek\left( 0,1\right) jest niespójny i oznaczmy go przez A. Przyjmijmy, że istnieje taki punkt z \in R \setminus A, że 0<z<1.
zatem \left(-\infty,z\right) \cap A po zsumowaniu z przekrojem A \cap \left( z,\infty\right) da nam zbiórA. W myśl definicji, jeżeli zbiór da się przedstawić jako sumę dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych to jest zbiorem niespójnym.
Kurde no i gdzie tu sprzeczność, której mi potrzeba??? :evil:
sorki ale siedzę i ryje już od rańca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13292
Lokalizacja: Cieszyn
Zauważ, że zbiór U\subset (0,1) jest otwarty w (0,1)\iff jest otwarty w \RR w topologii naturalnej. To wynika z definicji topologii podprzestrzeni, nie będę się tu rozdrabniał. Może innym razem.

Powiedzmy, że (0,1) jest niespójny. Istnieją więc zbiory otwarte rozłączne U,V\subset(0,1) takie, że U\cup V=(0,1). Skoro są ograniczone, to mają oba kresy. Niech 0=\inf U, 1=\sup V. Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset. A zatem \sup U\le\inf V. Oczywiście \sup U=\inf V, gdyż inaczej U\cup V\ne(0,1). No więc mamy, że ten element leży w jednym ze zbiorów, np. w U. Przeczy to jego otwartości, bo żaden przedział o środku w tym kresie nie zawiera się w U. Podobnie, gdyby ten kres leżał w V.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Suszec
szw1710 napisał(a):
Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset.


Nie bardzo rozumiem dlaczego miałoby to zachodzić. Poza tym w rozumowaniu nie założyliśmy dość istotnego założenia, że zbiory U i V są niepuste.

Teraz wystarczy wziąć a \in U, b \in V. Bez straty ogólności możemy założyć, że a < b. Oznaczmy c = \sup(U \cap [a,b]). Wtedy a < c < b (ponieważ istnieje takie \varepsilon > 0, że (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U, (b - \varepsilon, b+ \varepsilon) \subset V).
Punkt c musi należeć do któregoś ze zbiorów. Załóżmy, że c \in U. Ponieważ, U jest otwarty, to istnieje takie \varepsilon > 0, że (c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U. Ale wtedy mamy, że \sup(U \cap [a,b]) > c. Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 13292
Lokalizacja: Cieszyn
Z tymi kresami rzeczywiście - za bardzo zasugerowałem się przedziałami. Dziękuję za czujność.

Wykończenie dowodu podobne do mojego. Przestudiowałem je - w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Wielkie dzięki Panowie jesteście WIELCY :wink: pozdrawiam i miłego wieczoru

-- 15 sty 2013, o 22:03 --

A tak z ciekawości czy znalazłaby się jakaś inna funkcja (w miarę prosta), która byłaby tym homeomorfizmem z drugiej odpowiedzi? Tak z ciekawości pytam....

-- 16 sty 2013, o 09:31 --

Czyli mogłoby być tak:
Załóżmy nie wprost, że \left( 0,1\right) jest zbiorem niespójnym.
U,V - niepuste otwarte podzbiory \left( 0,1\right), takie że:
U \cup V = \left( 0,1\right)
zbiory te muszą być także parami rozłączne więc:
U \cap V =\emptyset

Weźmy dwa punkty a,b takie, że a<b...... i reszta już dokładnie tak jak to pokazał
Kolega Łukasz.Przontka...... czy coś opuściłem.......
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przeciwobraz zbioru otwartego to zbiór otwarty- dowód
Cześć! Jeśli f: X \to Y jest ciągła, to przeciwobraz f^{-1}\left&#40; O\right&#41;, gdzie O \subset Y jest zbiorem otwartym, jest zbiorem otwartym. DOWÓD: W...
 leszczu450  4
 Istnienie zbioru otwartego zawierającego (0,0)
Niech \mathcal{T} będzie rodziną wszystkich zbiorów U \subset \mathbb{R}^2 takich, że przecięcie U z każdą prostą L równoległą do osi ...
 gendion  0
 Wyznaczć domknięcie zbioru
Czy domknięciem zbioru A=&#40;-1,0&#41; \cup \left\{ 1- \frac{1}{n}, n \in N \right\} będzie \ A&quot;=...
 malgoskk  2
 Otwartosc zbioru. - zadanie 2
Zad. W \RR^2 rozwazmy metryke rzeke. Zbadaj otwartość zbiorów A=\NN \times \RR \\ B= \NN \times \RR_+ i tu pytanie. Dlaczego w \NN \times \RR ten zbiór nie jest o...
 stoper11  1
 Łukowa spójność zbioru otwartego
Proszę o pomoc w zadaniu: Wykaż, że każdy otwarty i spójny zbiór A \subset R^{2} jest łukowo spójny. Homeomorfizm?...
 plamaster  9
 Spójność odcinka
Witam!Mam problem z takim zadaniem:Udowodnij że odcinek &#40;0,1]\subset\mathbb R ze zwykłą metryką jest spójny....
 kasienkaj91  3
 lokalna spójność
Może miało być f:X\to Y?...
 zoik1989  6
 Własności zbioru funkcji ciągłych.
Niech X oznacza zbiór funkcji ciągłych na z metryką p&#40;f,g&#41; = \sup\{\left| g&#40;t&#41; - f&#40;t&#41; \right|, t\in{} \} Niech A oznacza podzbió...
 majster12  10
 wlasnosci zbioru l. wymiernych
Podaj własności zbioru \mathbb{Q} \left&#40; \mathbb{IQ}\right&#41; względem metryki naturalnej w \mathbb R . Cl\mathbb{Q}=\mathbb R,\ Int\mathbb{Q}=\emptyset,\ \mathbb{Q}^{d}=\...
 17inferno  2
 przeciwobraz zbioru otwartego i domkniętego
Czy mógłby ktoś pomóc mi w dowodzie. Muszę udowodnić, że funkcja jest ciągła jeżeli przeciwobraz zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Oraz, że jeśli jest ciągła to przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty....
 agusiaczarna22  1
 brzeg zbioru - zadanie 5
Czy jeśli A jest zbiorem brzegowym \Leftrightarrow FrA=A? Mam nadzieję, że jeszcze takiego wontku nie było (przeglądałam forum ale nie znalazłam nic podobnego). Wydaje mi się, że w jedną stronę własność zachodzi, udowodn...
 aska2764  9
 przeciwobraz otwartego przez bijekcję jest otwarty
f: U \rightarrow V bijekcja, V \subseteq \RR ^{n} otwarty. Jak pokazać, że U otwarty?...
 JakubCh  6
 Ciągłość, domkniętość zbioru
Rozważamy funkcję f_{a}&#40;x&#41; = \sin \left&#40; \frac{1}{x} \right&#41; , gdy x \neq 0 oraz f_{a}&#40;x&#41; = a, gdy x=0. a)...
 Teano  1
 wnętrze, domknięcie i brze zbioru
Wyznacz wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru &#40;1,3] \times &#40;1,3] w metryce rzeka...
 justyna0811  3
 Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Znaleźć domknięcie i wnętrze podzbioru S=\{ {\frac{n!}{n ^{n}}:n \in \mathbb{N} \} przestrzeni metrycznej &#40;\mathbb{R},d&#41;. Uogólnić wynik....
 juyinkaaa91  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com