szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Mam do udowodnienia spójność przestrzeni \left( 0,1\right). Znalazłem fajny dowód ale dla zbioru obustronnie domkniętego
260223.htm

a jak będzie w tym przypadku? Proszę o podpowiedź.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14602
Lokalizacja: Cieszyn
Jeszcze łatwiej :) Przedział (0,1) jest homeomorficzny z całą prostą poprzez funkcję f:\RR\to(0,1), f(x)=\frac{1}{\pi}\left(\arctg{x}+\frac{\pi}{2}\right). Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, a \RR z topologią naturalną jest przestrzenią spójną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
kurcze dzięki, ale czy nie da się tego zrobić jakoś na zbiorach, i punktach tak jak w podanym przeze mnie linku? I jeszcze jedno w tym temacie rozumiem wszystko 250780.htm tylko nie rozumiem dlaczego napisałeś, że te dwa przekroje w sumie dadzą cały zbiór A? A co z punktem z? przecież chyba suma tych dwóch zbiorów da nam A \setminus \left\{ z\right\}chyba że nie kumam.... chyba nie kumam :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14602
Lokalizacja: Cieszyn
Przecież z\not\in A, co założyłem nie wprost. Więc wszystko jest w porządku.

Dobrze szukasz. Stary temat odgrzebałeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Kurcze nadal nie kumam, nie da się tego jakoś rozrysować???? :wink:

-- 15 sty 2013, o 19:15 --

Rozumiem, iż założyłeś tam sobie, że nasz zbiór jest niespójny i próbowałeś dojść do sprzeczności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14602
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - to założyłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Załóżmy nie wprost, że nasz odcinek\left( 0,1\right) jest niespójny i oznaczmy go przez A. Przyjmijmy, że istnieje taki punkt z \in R \setminus A, że 0<z<1.
zatem \left(-\infty,z\right) \cap A po zsumowaniu z przekrojem A \cap \left( z,\infty\right) da nam zbiórA. W myśl definicji, jeżeli zbiór da się przedstawić jako sumę dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych to jest zbiorem niespójnym.
Kurde no i gdzie tu sprzeczność, której mi potrzeba??? :evil:
sorki ale siedzę i ryje już od rańca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14602
Lokalizacja: Cieszyn
Zauważ, że zbiór U\subset (0,1) jest otwarty w (0,1)\iff jest otwarty w \RR w topologii naturalnej. To wynika z definicji topologii podprzestrzeni, nie będę się tu rozdrabniał. Może innym razem.

Powiedzmy, że (0,1) jest niespójny. Istnieją więc zbiory otwarte rozłączne U,V\subset(0,1) takie, że U\cup V=(0,1). Skoro są ograniczone, to mają oba kresy. Niech 0=\inf U, 1=\sup V. Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset. A zatem \sup U\le\inf V. Oczywiście \sup U=\inf V, gdyż inaczej U\cup V\ne(0,1). No więc mamy, że ten element leży w jednym ze zbiorów, np. w U. Przeczy to jego otwartości, bo żaden przedział o środku w tym kresie nie zawiera się w U. Podobnie, gdyby ten kres leżał w V.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Suszec
szw1710 napisał(a):
Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset.


Nie bardzo rozumiem dlaczego miałoby to zachodzić. Poza tym w rozumowaniu nie założyliśmy dość istotnego założenia, że zbiory U i V są niepuste.

Teraz wystarczy wziąć a \in U, b \in V. Bez straty ogólności możemy założyć, że a < b. Oznaczmy c = \sup(U \cap [a,b]). Wtedy a < c < b (ponieważ istnieje takie \varepsilon > 0, że (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U, (b - \varepsilon, b+ \varepsilon) \subset V).
Punkt c musi należeć do któregoś ze zbiorów. Załóżmy, że c \in U. Ponieważ, U jest otwarty, to istnieje takie \varepsilon > 0, że (c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U. Ale wtedy mamy, że \sup(U \cap [a,b]) > c. Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14602
Lokalizacja: Cieszyn
Z tymi kresami rzeczywiście - za bardzo zasugerowałem się przedziałami. Dziękuję za czujność.

Wykończenie dowodu podobne do mojego. Przestudiowałem je - w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Wielkie dzięki Panowie jesteście WIELCY :wink: pozdrawiam i miłego wieczoru

-- 15 sty 2013, o 22:03 --

A tak z ciekawości czy znalazłaby się jakaś inna funkcja (w miarę prosta), która byłaby tym homeomorfizmem z drugiej odpowiedzi? Tak z ciekawości pytam....

-- 16 sty 2013, o 09:31 --

Czyli mogłoby być tak:
Załóżmy nie wprost, że \left( 0,1\right) jest zbiorem niespójnym.
U,V - niepuste otwarte podzbiory \left( 0,1\right), takie że:
U \cup V = \left( 0,1\right)
zbiory te muszą być także parami rozłączne więc:
U \cap V =\emptyset

Weźmy dwa punkty a,b takie, że a<b...... i reszta już dokładnie tak jak to pokazał
Kolega Łukasz.Przontka...... czy coś opuściłem.......
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 brzeg zbioru
mam pytanie.. z czego skorzystać przy dowodzeniu tych własności : a) Int&#40; A&#41;=A/Fr&#40;A&#41; b) Fr&#40;A\cup B&#41;\subset Fr &#40;A&#41;\cup Fr&#40;B&#41; c) Fr&#40;A...
 Hania_87  1
 spójność, zwartość
Niech W bedzie zbiorem na płaszczyznie określonym przez W=\{&#40;x,y&#41;: \text{ co najmniej jedna z liczb } x \text{ i } y\text{ jest niewymierna} \} a) Czy W je...
 DDDanonek  1
 Spójność
Spójne są przedziały rozumiane jako zbiory I\subset\mathbb{R} takie, że jeśli x, y\in I, to dla każdego x \le z \le y mamy z\in I, co ...
 Hyuuga Neji  6
 domkniecie zbioru
mam zrobic takie zadanie tzn nie wiem jak sie do tego zabrac. Udowodnic ze clA\setminus clB\subseteq cl&#40;A\setminus B&#41; cl oznacza domkniecie bardzo prosze o pomoc z gory dzieki!...
 jagoda18  1
 Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru
Zad.1. Znajdź wnętrze, brzeg i domknięcie następujących zbiorów: \mathbb{R}\times \mathbb{N}, \mathbb{R}\times , , [tex:20v...
 mietek  0
 Pochodna pochodnej zbioru...
Jak wykazac że pochodna pochodnej zbioru zawiera się w pochodnej zbioru?...
 mapiech  1
 łukowa spójność
Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnić, że jeśli &#40;X,d&#41;, &#40;Y,d&#39;&#41; przestrzenie metryczne, &#40;X,d&#41; łukowo spójna oraz f...
 Marien  1
 Zadania kolokwium zwartość i spójność
Błagam o pomoc bo chyba wykorkuję . Studiuję zaocznie mgr z matmy i te inne działy matmy to mogę ogarnąć ale topologia to dla mnie kosmos. Proszę o p...
 plamaster  3
 Wyznaczyć domknięcie zbioru
(a) A jest domknięty w T \Leftrightarrow \mathbb{R} \backslash A jest otwarty \Leftrightarrow A jest skończony, lub A = \mathbb{R}. ...
 polcia_89  1
 domknięcie zbioru - zadanie 12
Cześć! Jak mam wykazać, że A \subset cl&#40;A&#41; ? Wydaje się to logiczne ale kompletnie nie wiem jak to zapisać. cl&#40;A&#41;= \left\{ x \in X : \exists \left&#40; a_n\right&#41; \subset A \lim_{n...
 leszczu450  6
 retrakt domknięty, pochodna zbioru
1) Pokazać, że każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty 2) Zbiór punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A i oznaczamy A^d. Definiujemy n-tą pochodną zbioru A (oznaczenie A^{&#40;n&#4...
 ziggy_stardust  3
 Wyznaczyć wnętrze zbioru
Gdy X= oraz d&#40;x,y&#41;=\left| x-y\right| a zbiór A=&#40;-1,1&#41; \cap \QQ mam wyznaczyć wnętrze zbioru Korzystam więc z zależności IntA=X ...
 malgoskk  5
 Otwartość zbioru, kule.
Udowodnić: Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą pewnej rodziny kul. Dowód \Leftarrow jest dla mnie oczywisty. Mam tylko pytanie co do dowodu \Rightarrow. Z otwartości [tex:...
 _Mithrandir  2
 punkt skupienia oraz własności pochodnej zbioru
Mam do udowodnienia następujące twierdzenie: Punkt p jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór otwarty zawierający p zawiera punkty zbioru A różne od p. oraz następujące własności pochodnej zbioru: Jeśli X jest przestrzeni...
 lipton10  0
 Obraz zbioru ograniczonego przez funkcję jednostajnie ciągłą
Jeżeli przyjmiemy \delta = M, Z tego że istnieje \delta spełniająca jakiś warunek nie wynika, że \delta=M[/tex:3v6oqt80...
 _Mithrandir  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com