szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Mam do udowodnienia spójność przestrzeni \left( 0,1\right). Znalazłem fajny dowód ale dla zbioru obustronnie domkniętego
260223.htm

a jak będzie w tym przypadku? Proszę o podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14330
Lokalizacja: Cieszyn
Jeszcze łatwiej :) Przedział (0,1) jest homeomorficzny z całą prostą poprzez funkcję f:\RR\to(0,1), f(x)=\frac{1}{\pi}\left(\arctg{x}+\frac{\pi}{2}\right). Obraz ciągły przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, a \RR z topologią naturalną jest przestrzenią spójną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
kurcze dzięki, ale czy nie da się tego zrobić jakoś na zbiorach, i punktach tak jak w podanym przeze mnie linku? I jeszcze jedno w tym temacie rozumiem wszystko 250780.htm tylko nie rozumiem dlaczego napisałeś, że te dwa przekroje w sumie dadzą cały zbiór A? A co z punktem z? przecież chyba suma tych dwóch zbiorów da nam A \setminus \left\{ z\right\}chyba że nie kumam.... chyba nie kumam :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 18:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14330
Lokalizacja: Cieszyn
Przecież z\not\in A, co założyłem nie wprost. Więc wszystko jest w porządku.

Dobrze szukasz. Stary temat odgrzebałeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Kurcze nadal nie kumam, nie da się tego jakoś rozrysować???? :wink:

-- 15 sty 2013, o 19:15 --

Rozumiem, iż założyłeś tam sobie, że nasz zbiór jest niespójny i próbowałeś dojść do sprzeczności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14330
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - to założyłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Załóżmy nie wprost, że nasz odcinek\left( 0,1\right) jest niespójny i oznaczmy go przez A. Przyjmijmy, że istnieje taki punkt z \in R \setminus A, że 0<z<1.
zatem \left(-\infty,z\right) \cap A po zsumowaniu z przekrojem A \cap \left( z,\infty\right) da nam zbiórA. W myśl definicji, jeżeli zbiór da się przedstawić jako sumę dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych to jest zbiorem niespójnym.
Kurde no i gdzie tu sprzeczność, której mi potrzeba??? :evil:
sorki ale siedzę i ryje już od rańca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14330
Lokalizacja: Cieszyn
Zauważ, że zbiór U\subset (0,1) jest otwarty w (0,1)\iff jest otwarty w \RR w topologii naturalnej. To wynika z definicji topologii podprzestrzeni, nie będę się tu rozdrabniał. Może innym razem.

Powiedzmy, że (0,1) jest niespójny. Istnieją więc zbiory otwarte rozłączne U,V\subset(0,1) takie, że U\cup V=(0,1). Skoro są ograniczone, to mają oba kresy. Niech 0=\inf U, 1=\sup V. Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset. A zatem \sup U\le\inf V. Oczywiście \sup U=\inf V, gdyż inaczej U\cup V\ne(0,1). No więc mamy, że ten element leży w jednym ze zbiorów, np. w U. Przeczy to jego otwartości, bo żaden przedział o środku w tym kresie nie zawiera się w U. Podobnie, gdyby ten kres leżał w V.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 234
Lokalizacja: Suszec
szw1710 napisał(a):
Jeśli \sup U>\inf V, to U\cap V\ne\emptyset.


Nie bardzo rozumiem dlaczego miałoby to zachodzić. Poza tym w rozumowaniu nie założyliśmy dość istotnego założenia, że zbiory U i V są niepuste.

Teraz wystarczy wziąć a \in U, b \in V. Bez straty ogólności możemy założyć, że a < b. Oznaczmy c = \sup(U \cap [a,b]). Wtedy a < c < b (ponieważ istnieje takie \varepsilon > 0, że (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U, (b - \varepsilon, b+ \varepsilon) \subset V).
Punkt c musi należeć do któregoś ze zbiorów. Załóżmy, że c \in U. Ponieważ, U jest otwarty, to istnieje takie \varepsilon > 0, że (c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U. Ale wtedy mamy, że \sup(U \cap [a,b]) > c. Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 14330
Lokalizacja: Cieszyn
Z tymi kresami rzeczywiście - za bardzo zasugerowałem się przedziałami. Dziękuję za czujność.

Wykończenie dowodu podobne do mojego. Przestudiowałem je - w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 58
Lokalizacja: Kalisz
Wielkie dzięki Panowie jesteście WIELCY :wink: pozdrawiam i miłego wieczoru

-- 15 sty 2013, o 22:03 --

A tak z ciekawości czy znalazłaby się jakaś inna funkcja (w miarę prosta), która byłaby tym homeomorfizmem z drugiej odpowiedzi? Tak z ciekawości pytam....

-- 16 sty 2013, o 09:31 --

Czyli mogłoby być tak:
Załóżmy nie wprost, że \left( 0,1\right) jest zbiorem niespójnym.
U,V - niepuste otwarte podzbiory \left( 0,1\right), takie że:
U \cup V = \left( 0,1\right)
zbiory te muszą być także parami rozłączne więc:
U \cap V =\emptyset

Weźmy dwa punkty a,b takie, że a<b...... i reszta już dokładnie tak jak to pokazał
Kolega Łukasz.Przontka...... czy coś opuściłem.......
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym
Cześć ! Twierdzenie z tematu jest dosyć łatwe w dowodzenie i nie zaskakuje. Jednak po co ono w ogóle jest? Do czego może służyć określenie zwartego obrazu? Z góry dziękuję!...
 leszczu450  3
 Domknięcie zbioru - zadanie 9
Cześć ...czyli jest to cała przestrzeń, oraz zbiory postaci &#40;-\infty, a] \cup niekoniecznie, mogą to być też zbiory postaci &#40;-...
 Krzysztof44  4
 Wykazać domkniętość zbioru.
Zawsze miałem z tym problem dlatego proszę o wyrozumiałość i rozwiązanie szczegółowe. Niech T będzie kontrakcją na X, a \alpha dowolną liczbą dodatnią. Pokazać, że...
 PiotrowskiW  3
 Warunek konieczny, spójność
W książce: Bruce Driver'a &quot;Analysis Tools with examples&quot; Znalazłem takie ćwiczenie: Jeżeli zbiór jest spójny, to dla każdych dwóch punktów tego zbioru, istnieje krzywa gładka łącząca te punkty. (krzywa gładka- funkcja z C ^{\...
 PiotrowskiW  6
 wypukłość zbioru - zadanie 2
Mam udowodnić, że domknięcie zbioru wypukłego jest zbiorem wypukłym w przestrzeni unormowanej. Błagam o pomoc, mam jutro kartkówkę z tego a nie umiem ruszyć z tym zadaniem...
 natalia1991  2
 Przestrzeń metryczna i określanie zbioru
Nie wiem, czy w dobrym podtemacie piszę, ale nic mi nie pasowało.. Prosiłabym o rozwiązanie takiego zadania: Niech R^2 będzie przestrzenią metryczną z metryką pitagorejską. Sprawdzić, czy zbiór A=\{ x\in R:\...
 beaver  4
 Spójność zwykła, drogowa i łukowa
W łukowej krzywa nie może się przecinać sama ze sobą, jak już pisałem. Natomiast w drogowej może się ciąć do woli ze sobą. Z tym widzeniem różnicy rzeczywiście jest wielki problem. Szczególnie, że nie narysujesz zbioru, który jest drogowo ale nie ł...
 plamaster  3
 Kategoria zbioru i znalesc rownanie płaszczyzny.
Czyli zle przepisalem pytanie?...
 Cubas  3
 domknięcie zbioru - zadanie 2
Mam topologię \top = \{ \mathbb{R} \} \cup \{ U \mathbb{R}: U \cap &#40;-3,3&#41; = \emptyset} \} Czy tak wyglądają zbiory domknięte dl...
 majchro  6
 uzwarcenie zbioru
Bardzo pilnie proszę o rozwiązanie Pokazać, że jednopunktowe uzwarcenie zbioru N jest homeomorficzne z \{0\} \cup \{ \fr...
 natalamur  1
 Niewymierne- spojnosc
Czy zbior liczb niewymiernych jest spojny i dlaczego?-- 17 cze 2009, o 16:09 --Juz wiem- nie jest spojny ...
 aga_ppp  0
 znajdź brzeg zbioru
Zbiór A jest domknięty gdy jest postaci \mathbb{R}^2 \setminus B gdzie B jest zbiorem otwartym, więc pomyśl i po chwili już widzisz, że zbiór A[/tex...
 Kamiangel  4
 Równoważność - brzeg zbioru
Udowodnij, że jeśli A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej &#40;X,\rho&#41;, to x\in bd A \Leftrightarrow istnieje ciąg x_{n}\in X ...
 ligol  1
 łukowa spójność
Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnić, że jeśli &#40;X,d&#41;, &#40;Y,d&#39;&#41; przestrzenie metryczne, &#40;X,d&#41; łukowo spójna oraz f...
 Marien  1
 Operacja przejścia do zbioru punktów skupienia a iloczyn kar
Punkt a w przestrzeni topologicznej &#40;X, \tau &#41; jest punktem skupienia zbioru A \subset X, jeśli każde otoczenie a zawiera elem...
 Bobi02  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com