szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 13:24 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Witam.
Mam obliczyć objętość bryły powstałej przez przecięcia:
z=ln(x+2)
z=ln(6-x)
x=0
x+y=2
x-y=2

Z tego wychodzi mi, że bryła nie jest ograniczona niczym od dołu (zmierza do minus nieskończoności wzdłuż osi Z). Czy można liczyć całkę z nieskończonej bryły? Jak wtedy będzie wyglądać wzór?

Z góry dzięki za podpowiedzi.
Pozdrawiam
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 14:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
Mi sie wydaje ze z gory ogranicza z=ln(6-x) a z dolu z=ln(x+2),
a szukana objetoscia bedzie roznica objetosci dwoch bryl jednej ograniczonej z gory przez z=ln(6-x) a z dolu przez z=a, i drugiej ograniczonej przez z=ln(x+2) z gory i z=a z dolu,
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
A skąd wziąłeś z=a?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 16:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
To "a" to jest dowolne, a najlepiej przyjac ze a=0, wtedy szukana objetoscia jest, roznica objetosci 2 bryl (V1,V2):
V1- zgory ograniczona przez z=ln(6-x), z dolu przez z=0,
V2- z gory przez z=ln(x+2), z dolu przez z=0
V= V_1-V_2 \\ 
V_1= \iint _D \ln (6-x) dy dx, \ \ V_2=\iint_D \ln(x+2) dydx \\ 
V= \iint_D (\ln(6-x)- \ln(x+2) dydx = \int_a^b dx \int_{f(x)}^{g(x)} (\ln(6-x)- \ln(x+2)) dy \\
b=2, \ a=0, \ | \ g(x)=-x+2, \ f(x)=x-2  \ \ czyli \\  
\int_0^2 dx \int_{x-2}^{-x+2} ( (\ln (6-x) - \ln (x+2))dy
Pozostaje obliczyc calke :razz: :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Hmm...
Jakoś tego nie umiem zobaczyć ;)
A nie powinna być całka po zmiennej y od y=x-2 do y=-x+2?
A poza tym, nie wiem dlaczego tam widzisz dwie bryły. Czy jeżeli mam ln(x+2) to jest on również odbity względem osi X? I analogicznie z tym drugim logarytmem? Bo jeżeli tak, to faktycznie bryła się zamknie i można liczyć. W przeciwnym wypadku nie wiem czym jest ona ograniczona od dołu...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
Ale ln(6-x) jest malejacy, a ln(x+2) jest rosnacy czyli we wspolrzednych (x,z) wytna one jakby "trojkat" o wieszcholkach w punktach x=2,z=ln(4), x=0,z=ln(2), x=0,z=ln(6),
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2007, o 18:59 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
"I stała się jasność"... Wszystko jest przecież oczywiste... tylko, że źle patrzyłem. Tzn wyrysowałem wszystko dobrze, ale nie zauważyłem, że logarytmy i x=0 tworzą ładną bryłę zamkniętą :/
Mam nadzieje że tą całeczkę policzę :D

Dzięki wielkie za pomoc
Pozdrawiam

[ Dodano: 31 Marzec 2007, 21:12 ]
A byłbyś jeszcze tak miły i napisał jak rozwiązać tę całkę? Bo po wyliczeniu wychodzi mi jedna całka \int\limits_{0}^{2} (-2x+4)ln(6-x)dx i dalej jest minus druga podobna całka. Mogę wyciągnąć przed całkę -2, ale i tak całka jest taka jakaś dziwna ;) przez podstawianie trzeba będzie zmienić granice całkowania i nie wiem na jakie, a inaczej tez nie bardzo wiem :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2007, o 16:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
Na poczatek to podstawienie
t=6-x, \ | \ dx=-dt \\ 
I=\int_6^4 (2t-8) \ln t dt =  \int_6^4 2t \ln t dt+ 8\int_4^6\ln t dt \\
1) \ | v=\ln t, \ du=2t dt , \ | \ u=t^2, \ dv=\frac{1}{t}dt \\ 
t^2 \ln t - \int t dt = t^2 \ln t - \frac{t^2}{2} = t^2(\ln t-\frac{1}{2}) \\ 
2) \ |  v=\ln t, \ du = dt \ | \ u=t, \ dv=\frac{1}{t} dt \\ 
t \ln t  - \int dt = t(\ln t  -1) \\ 
I=[t^2(\ln t-\frac{1}{2})-8t(\ln t-1)]_6^4= 12 \ln 6-16 \ln 4-6
:wink: :razz:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2007, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Nie. Spoko. Już obliczyłem. Strasznie się w tym zagmatwałem i wyszła i objętość ujemna... :D Ale sprawdziłem na kompie i liczyłem krok po kroczku :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka  Anonymous  1
 Całka z 1+4y^2  uczeń777  1
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 całka i pochodna  Tom100  1
 Całka przez podstawianie - zadanie 3  SowaX  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com